PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA SISI DALAM ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN FUZZY

(1)

PENDAHULUAN KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI Metode Penelitian Hasil dan Pembahasan PENUTUP

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA SISI DALAM ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN FUZZY

Any Muanalifah

August 9, 2010

(2)

Latar Belakang

Latar Belakang

Teori himpunan fuzzy berkembang pesat saat ini. Banyak sekali

masalah-masalah nyata yang diselesaikan dengan teori himpunan fuzzy.

Baru-baru ini bermunculan teori-teori baru yang berhubungan dengan teori himpunan fuzzy, seperti topologi fuzzy, aljabar fuzzy, program linear fuzzy, dll.

Aljabar Max-Plus adalah semua himpunan bilangan real dengan operasi

⊕ dan ⊗ yang masing-masing didefinisikan sebagai maximum dan penjumlahan. Aljabar max-plus banyak digunakan pada masalah yang berhubungan dengan sinkronisasi seperti penjadwalan, antrian, proses produksi, dll.

Pada proses produksi dengan sistem iteraktif multiprosesor dapat dimodelkan dengan sistem persamaan linear dua sisi aljabar max-plus bentuk A ⊗ x ⊕ b = C ⊗ x ⊕ d , dengan A dan C matriks yang

elemen-elemennya menyatakan lamanya waktu yang dibutuhkan mesin ke-j untuk menyelesaikan suatu produk , xjadalah waktu awal yang diperlukan mesin untuk memproduksi masing-masing produk, bidan di

adalah waktu tertentu yang dibutuhkan jika produk belum selesai diproduksi

(3)

PENDAHULUAN KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI Metode Penelitian Hasil dan Pembahasan PENUTUP Latar Belakang

Latar Belakang

Pada beberapa penerapan, ada masalah yang lebih tepat digambarkan dengan bilangan fuzzy, seperti masalah penjadwalan, antrian yang memerlukan waktu aktifitas/waktu tunggu di dalam sistemnya. Waktu biasanya tidak selalu tetap sekian jam, ataupun sekian menit, tetapi pada kenyataannya bisa berupa perkiraan sehingga lebih tepat digunakan bilangan fuzzy.

Dalam tesis ini dibahas tentang penyelesaian sistem persamaan linear dua sisi dalam aljabar max-plus bilangan fuzzy. Sistem dibahas linear dua sisi yang akan di teliti dalam tesis ini adalah bentuk

A ⊗ x ⊕ b = C ⊗ x ⊕ d . Sistem persamaan linear tersebut terlebih diubah menjadi sistem persamaan linear dua sisi aljabar max-plus interval dengan pendekatan α − cut. Selanjutnya akan dicari penyelesaiannya berupa vektor x^T = [x1,x2, ...,xn]dengan n ∈ N

(4)

Rumusan Masalah

Rumusan Masalah

Bagaimana mencari penyelesaian sistem persamaan linear dua sisi dalam aljabar max-plus bilangan fuzzy?

(5)

PENDAHULUAN KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI Metode Penelitian Hasil dan Pembahasan PENUTUP Batasan Masalah

Batasan Masalah

Batasan masalah dalam penelitian ini adalah :

a. Bilangan fuzzy yang digunakan adalah bilangan fuzzy segitiga bentuk (a1,a, a2)dengan fungsi keanggotaannya

µa(x ) =







x −a₁

a−a₁, a1≤ x ≤ a;

a₂−x

a₂−a, a ≤ x ≤ a2; 0, lainnya.

b. Sistem persamaan Linear yang dicari solusinya adalah sistem persamaan linear dua sisi dengan bentuk A ⊗ x ⊕ b = C ⊗ x ⊕ d , dimana matriks A dan C adalah matriks fuzzy, yaitu matriks yang elemen-elemennya terdiri atas bilangan fuzzy segitiga. Sedangkan b dan d adalah vektor fuzzy, yaitu vektor yang elemen-elemennya berupa bilangan fuzzy segitiga

c. Operasi-operasi aritmatika pada bilangan fuzzy segitiga didefinisikan menggunakan α − cut-nya

(6)

Tujuan Penelitian

Tujuan Penelitian

Berdasarkan permasalahan maka tujuan dari penelitian ini adalah: “Mencari vektor penyelesaian bilangan fuzzy segitiga x yang memenuhi sistem persamaan linear dua sisi aljabar max-plus bilangan fuzzy dengan bentuk A ⊗ x ⊕ b = C ⊗ x ⊕ d ”

(7)

PENDAHULUAN KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI Metode Penelitian Hasil dan Pembahasan PENUTUP Manfaat Penelitian

Manfaat yang didapat dari pengerjaan penelitian ini adalah sebagai berikut:

a. Memberikan langkah-langkah dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua sisi dalam aljabar max-plus bilangan fuzzy dimana bilangan fuzzy yang digunakan adalah bilangan fuzzy segitiga bentuk (a1,a, a2) dengan fungsi keanggotaannya

µa(x ) =







x −a₁

a−a₁, a1≤ x ≤ a;

a₂−x

b. Memberikan kemudahan untuk mendapatkan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear dua sisi dalam aljabar max-plus bilangan fuzzy yang dapat digunakan untuk memodelkan suatu permasalahan nyata.

c. Mengembangkan suatu kajian mengenai bilangan fuzzy dalam Aljabar Max-Plus.

(8)

Kajian Pustaka

Penelitian-penelitian Sebelumnya (Andy Ruditho,2008)

Dalam makalahnya, Rudhito membahas tentang sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur. Sistem persamaan linear yang dibahas oleh Rudhito mempunyai bentuk A ⊗ x = b, dimana elemen-elemen matriks A dan vektor b berupa bilangan kabur segitiga (bks) yang mempunyai bentuk (a1,a, a2)dengan fungsi keanggotaannya µa(x ) =







x −a₁

a−a₁, a1≤ x ≤ a;

a₂−x

dimana unsur-unsur setiap kolom pada matriknya tidak semuanya sama dengan takhingga, selalu mempunyai subpenyelesaian terbesar. Sistem persamaan linear A ⊗ x = b kemudian diselesaikan dengan teori subpenyelesaian terbesar. Mencari subpenyelesaian terbesar sistem tersebut dapat dilakukan dengan menentukan terlebih dahulu subpenyelesaian terbesar setiap sistem persamaan linear max-plus interval α − cut nya. Selanjutnya dengan menggunakan Teorema dekomposisi dapat ditentukan fungsi keanggotaan subpenyelesaian terbesar bilangan kabur yang dimaksud. Jika subpenyelesaian terbesar bilangan kabur tersebut memenuhi sistem persamaan linearnya, maka subpenyelesaian tersebut merupakan penyelesaian sistem A ⊗ x = b (Rudhito dkk,2008)

Bacheli,dkk 2001

Dalam Aljabar max-plus, tidak adanya invers terhadap ⊕ yang dalam hal ini didefinisikan dengan maksimum menyulitkan kita untuk

menyelesaikan sistem persamaan linear dua sisi dengan bentuk A ⊗ x ⊕ b = C ⊗ x ⊕ d . Untuk memudahkan penyelesaian sistem persamaan tersebut aljabar max-plus diperluas menjadi aljabar

max-plus simetri dengan memunculkan notasi baru berupa kemudian sistem itu diubah kedalam bentuk balance A ⊗ x ⊕ b∇C ⊗ x ⊕ d yang mempunyai penyelesaian yang sama dengan A ⊗ x ⊕ b = C ⊗ x ⊕ d .

(9)

PENDAHULUAN KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI Metode Penelitian Hasil dan Pembahasan PENUTUP Kajian Pustaka

Penelitian Sebelumnya

Dalam perkembangannya muncul banyak sekali perluasaan aljabar max-plus, diantaranya penelitian tentang matriks interval dalam aljabar max-plus yang dilakukan oleh Cechlarova. Cechlarova(2001) telah membahas tentang sistem interval persamaan linear max-separable dimana matriks yang menyusunnya dalah matriks interval.

Rudhito., dkk (2008) juga Sistem persamaan linear iteratif max-plus interval dengan sistem persamaan linear yang berbentuk x = A ⊗ x ⊕ b.

Aminu & Butkovic membahas tentang program linear dengan fungsi ken-dala berupa sistem persamaan linear dua sisi yaitu

A ⊗ x ⊕ b = C ⊗ x ⊕ d . Sistem persamaan linear tersebut diselesaikan dengan menggunakan metode alternating, kemudian dicari solusi optimal dari permasalahan program linear tersebut. (Aminu &

Butkovic,2009).

(10)

Dasar Teori

Aljabar Max-Plus

(Heidergott,dkk., 2006,hal 13)Diberikan Rε

def= R ∪ {ε} dengan R adalah semua bilangan real dan ε^def= −∞. Pada Rεdidefinisikan operasi berikut:

x ⊕ y^def=max {x , y } (1)

dan

x ⊗ y^def=x + y (2)

Example

1 −2 ⊕ 4 = maks{−2, 4} = 4

2 4 ⊗ 3 = 4 + 3 = 7

(11)

PENDAHULUAN KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI Metode Penelitian Hasil dan Pembahasan PENUTUP Dasar Teori

Sifat-sifat dalam aljabar max-plus

Berikut ini adalah sifat-sifat dalam aljabar max-plus (Heidergott,dkk., 2006, hal 14):

a. Assosiatif

∀x, y , z ∈ Rmaks:x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y ) ⊕ z, dan

∀x, y , z ∈ R^maks:x ⊗ (y ⊗ z) = (x ⊗ y ) ⊗ z b. Komutatif

∀x, y ∈ R^maks:x ⊕ y = y ⊕ x danx ⊗ y = y ⊗ x c. Distributif ⊗ terhadap ⊕

∀x, y , z ∈ R^maks:x ⊗ (y ⊕ z) = (x ⊗ y ) ⊕ (x ⊗ z) d. Adanya elemen nol, yaitu ε

∀x ∈ Rmaks :x ⊕ ε = ε ⊕ x = x

(12)

Dasar Teori

Lanjutan sifat-sifat dalam aljabar max-plus e. Adanya elemen satuan, yaitu e

∀x ∈ Rmaks:x ⊗ e = e ⊗ x = x f. Elemen nol ε adalah absorbing untuk operasi ⊗

∀x ∈ Rmaks:x ⊗ ε = ε ⊗ x = ε g. Idempoten dari operasi ⊕

∀x ∈ R^maks :x ⊕ x = x

(13)

Matriks Atas Aljabar Max-Plus

Himpunan matriks ukuran m × n dalam aljabar max-plus dinotasikan oleh R^m×nmax . Untuk m, n ∈ N dengan n 6= 0 dan m 6= 0, didefinisikan

m^def= {1, 2, . . . , m} dan n^def= {1, 2, . . . , n}. Elemen A ∈ R^m×nmax baris ke-i kolom ke-j dinotasikan oleh ai,juntuk i ∈ m dan j ∈ n matriks A ditulis sebagai

A =







a1,1 a1,2 . . . a1,n

a2,1 a2,2 . . . a2,n

... ... . .. ... am,1 am,2 . . . am,n







(14)

Dasar Teori

Penjumlahan Matriks

Penjumlahan matriks A, B ∈ R^m×nmax dinotasikan oleh A ⊕ B didefinisikan oleh

[A ⊕ B]i,j=ai,j⊕ bi,j

= max(ai,j,bi,j), Perkalian Matriks

Untuk A ∈ R^m×nmax dan skalar α ∈ Rmaxperkalian α ⊗ A didefinisikan sebagai [α ⊗A]i,j

def= α ⊗ai,j

untuk i ∈ m dan j ∈ n.

Untuk matriks A ∈ R^m×pmax dan B ∈ R^p×nmax perkalian matriks A ⊗ B didefi-nisikan sebagai

[A ⊗ B]i,j =

p

M

k =1

ai,k⊗ bk ,j

= max

k ∈p{ai,k+bk ,j},

(15)

Perpangkatan Matriks

Untuk A ∈ R^n×nmax, pangkat ke-k dari A dinotasikan oleh A^⊗kdidefinisikan sebagai:

A^{⊗k def}=A ⊗ A ⊗ A ⊗ . . . ⊗ A

| {z }

k

Transpose Matriks

Transpose dari A ∈ R^m×nmax dinotasikan dengan A^T, didefinsikan sebagai [A^T]ij=aji, untuk i ∈ m dan j ∈ n

Matriks Identitas

Matriks identitas E(n,n) didefinisikan [E (n, n)]ij

def=

e, untuk i =j;

ε, lainnya.

(16)

Aljabar Max-Plus Interval

Aljabar Max-Plus Interval

Telah diketahui (Rε, ⊕, ⊗)merupakan semiring idempoten dan tidak memuat pembagi nol, dengan elemen netral ε. Didefinisikan

I(R)^ε= {x = hx , x i|x , x ∈ R, ε ≺ x x} ∪ {hε, εi}

PadaI(R)εdidefinisikan ⊕ dan ⊗ dengan:

x ⊕ y = hx ⊕ y , x ⊕ y i dan

x ⊗ y = hx ⊗ y , x ⊗ y i, ∀x , y ∈I(R)ε

Sifat-sifat dalam aljabar max-plus interval mengikuti sifat-sifat aljabar max-plus biasa.

(17)

PENDAHULUAN KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI Metode Penelitian Hasil dan Pembahasan PENUTUP Aljabar Max-Plus Interval

Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval

Untuk setiap matriks intervalA ∈ I(R)^m×nmax didefinisikan matriks

A = (A_ij) ∈ R^m×nmax dan A = (Aij) ∈ R^m×nmax , yang berturut-turut disebut matriks batas bawah dan matriks batas atas matriks intervalA.

Penjumlahan Matriks Interval

Diketahui [A, A], [B, B] ∈I(R)^m×nmax . Didefinisikan:

[A, A] ⊕ [B, B] = [A ⊕ B, A ⊕ B]

Perkalian Matriks Interval

Diketahui [A, A] ∈I(R)^m×pmax , [B, B] ∈I(R)^p×nmax. Didefinisikan:

[A, A] ⊗ [B, B] = [A ⊗ B, A ⊗ B]

(18)

Aljabar Max-Plus Simetri

Kita definisikan dua anggota baru untuk setiap x ∈ Rε: x dan x^•. Didapatkan 3 himpunan berbeda yaitu:

S^⊕= Rε.

S= { x |x ∈ Rε}.

S^•= {x^•|x ∈ R^ε}.

Struktur aljabar Smax= (S, ⊕, ⊗) juga dioid komutatif. Kita Sebut S^maxdioid simetri dari aljabar max-plus atau cukup aljabar max-plus simetri saja. Jadi S = S^⊕∪ S∪ S^•. S^⊕∩ S∩ S^•= {(ε, ε)}dan ε = ε = ε^•.

Jika x,y∈ R^ε, maka

x ⊕ ( y ) = x jika x > y (3)

x ⊕ ( y ) = y jika x < y (4)

x ⊕ ( x ) = x^• (5)

(19)

Linear Balance

Untuk linear balance terdapat beberapa aturan dasar sebagai berikut(Schutter,1996):

1: ∀a, b, c ∈ S : a c∇b ⇔ a∇b ⊕ c 2: ∀a, b ∈ S^⊕∪ S:a∇b ⇔ a = b

Sekarang kita memberikan himpunan penyelesaian (dengan a ∈ R dan x ∈ S):

• Himpunan penyelesaian balance x ∇a adalah {a} ∪ {b^•|b ∈ Rεdanb ≥ a}

• Himpunan penyelesaian balance x ∇ a adalah { a} ∪ {b^•|b ∈ R^εdanb ≥ a}

• Himpunan penyelesaian x ∇ε adalah {ε} ∪ {b^•|b ∈ R}

• Himpunan penyelesaian balance x ∇a^•adalah {b|b ∈ Rεdan b ≤ a} ∪ { c|c ∈ Rεdan c ≤ a} ∪ {d^•|d ∈ R^ε}.

(20)

Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus A ⊗ x = b

Untuk itu masalah penyelesaian A ⊗ x = b dapat diperlemah dengan mendefinisikan konsep subpenyelesaian berikut:

Diberikan A ∈ R^m×nmax dan b ∈ R^mmax. Vektor x⁰∈ Rⁿmaxdisebut suatu

subpenyelesaian sistem persamaan linear A ⊗ x = b jika vektor x⁰tersebut memenuhi

A ⊗ x⁰ b.

Theorem

Diberikan A ∈ R^m×nmax dengan unsur-unsur setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan ε dan b ∈ R^m. Subpenyelesaian terbesar A ⊗ x = b ada dan diberikan olehbx dengan

−bxj= max

i {−bi+Aij} untuk setiap i = 1,2,...,m dan j = 1,2,...,n.

(21)

Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus A ⊗ x = B ⊗ y

Cuningham-Green(2003) mengenalkan suatu algoritma yang konvergen ke suatu penyelesaian yang berhingga dari sebarang titik awal berhingga.

Metode ini dinamakan Metode Alternating, dengan algoritmanya sebagai berikut:

Input: Matriks A dan B ukuran m × n, vektor x=x(0) Output : Vektor x dan y

1 Pilih sebarang vektor x yang berhingga.

2 Tetapkan r = 0 dan x(0) = x.

3 Hitung a = A ⊗ x .

4 Definisikan y = −(B^T⊗ (−a)).

5 Hitunng b = B ⊗ y .

6 Hitung x = −(A^T ⊗ (−b)).

7 Tetapkan r = r + 1 dan ulangi hingga konvergen.

(22)

Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus A ⊗ x = B ⊗ x

Berikut ini adalah algoritma penyelesaian sistem persamaan linear dua sisi aljabar max-plus A ⊗ x = B ⊗ x dengan menggunakan metode alternating:

Input : Matriks A,B ∈ R^m×nmax . Output : vektor x ∈ Rⁿmax.

1 Pilih sebarang vektor x yang berhingga

2 r = 0 dan x(0) = x

3 Hitung b = B ⊗ x .

4 Definisikan x = −(A^T ⊗ −b).

5 Hitung a = A ⊗ x .

6 Hitung x = −(B^T⊗ −a).

7 Ulangi hingga memenuhi A ⊗ x = B ⊗ x .

(23)

Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus A ⊗ x ⊕ b = C ⊗ x ⊕ d Persamaan linear aljabar max-plus dengan bentuk umum :

Ax ⊕ b = Cx ⊕ d

dimana A dan C adalah matriks n × n sedangkan b dan d adalah vektor - n.

Sistem ini dapat dirubah dalam bentuk canonical untuk kemudian diselesaikan persamaannya.

Sistem Ax ⊕ b = Cx ⊕ d disebut bentuk canonical jika A, C, b dan d memenuhi:

Ci,j= ε, jika Aij>Cij, dan Aij= εjika Aij <Cij

di= εjika bi>didan bi = εjika bi<di

(24)

Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus Interval

Diberikan A ∈ I(R)^n×nmax dan b ∈ I(Rⁿmax). Suatu vektor interval x^∗∈ I(Rⁿmax) disebut penyelesaian interval sistem interval x = A ⊗ x ⊕ b jika x^∗memenuhi sistem interval tersebut.

Theorem

Diberikan A ∈ I(R)^n×nmax dengan unsur-unsur setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan ε dan b ∈ I(Rⁿmax, dimana A = [A, A] dan b = [b, b].

Subpenyelesaian terbesar A ⊗ x = b ada dan diberikan oleh vektor interval x = [−(A^T ⊗ (−b)), −(A^T ⊗ (−b))].

(25)

Diagram Penelitian

Adapun diagram penelitian ini digambarkan sebagai berikut:

Aljabar Max-Plus

⇓

Aljabar Max-Plus Interval

⇓

Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy

⇓

Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus

⇓

Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus Interval

⇓

Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy

⇓

Sistem Persamaan Linear Dua Sisi Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy

Gambar:Diagram Alir Penelitian

(26)

Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy

Diberikan Rε: R ∪ {ε} dengan R adalah himpunan semua bilangan fuzzy dan ε := {∞} (dalam hal ini {−∞} dapat dipandang sebagai bilangan fuzzy dengan α − cutnya adalah {−∞, −∞}, untuk setiap α ∈ [0, 1]).

Pada R^εdidefinisikan operasi sebagai berikut:

Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan fuzzy dengan α − cut berturut-turut adalah a^α= [a^α,a^α]dan b^α= [b^α,b^α], dengan a^αdan a^α berturut-turut adalah batas atas dan batas bawah interval a^α, untuk b^α analog.

1 a⊕b = max (a, b) adalah bilangan fuzzy dengan α − cut:

(max (a, b))^α:= [max (a^α,b^α),max (a^α,b^α)], untuk setiap α ∈ [0, 1]

2 a⊗b = a + b adalah bilangan fuzzy dengan α − cut : (a + b)^α:= [a^α+b^α,a^α+b^α], untuk setiap α ∈ [0, 1]

(27)

PENDAHULUAN KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI Metode Penelitian Hasil dan Pembahasan PENUTUP Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy

Definition

Diberikan A ∈ F (R)^n×nmax dan b ∈ F (R)^n×nmax. Suatu vektor bilangan fuzzy x^∗∈ F (R)ⁿmax disebut penyelesaian bilangan fuzzy sistem A ⊗ x = b jika x^∗ memenuhi sistem tersebut.

Definition

Diberikan A ∈ F (R)^n×nmax dan b ∈ F (R)^n×nmax. Suatu vektor bilangan fuzzy x⁰∈ F (R)ⁿmaxdisebut subpenyelesaian bilangan fuzzy sistem A ⊗ x = b jika berlaku A ⊗ x⁰≤ b

Definition

Diberikan A ∈ F (R)^n×nmax dan b ∈ F (R)^n×nmax. Suatu vektor bilangan fuzzy bx ∈ F (R)ⁿmaxdisebut subpenyelesaian terbesar interval sistem A ⊗ x = b jika x⁰≤bx untuk setiap subpenyelesaian bilangan fuzzy x’ dari sistem A ⊗ x = b.

(28)

Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy

Berikut diberikan suatu contoh dengan mengambil salah satu tipe bilangan fuzzy yang sederhana, yaitu bilangan fuzzy segitiga dengan fungsi keanggotaan

µa(x ) =







x −a₁

a−a₁, a1≤ x ≤ a;

a₂−x

(6)

Pendukung (support) a ditas adalah interval terbuka (a1,a2)dan α − cut-nya adalah:

a^α=

h(a − a1)α +a1, −(a2− a)α + a2i 0 < α ≤ 1;

ha1,a2i, α =0. (7)

(29)

PENDAHULUAN KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI Metode Penelitian Hasil dan Pembahasan PENUTUP Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy

Example

Dalam matriks dan vektor bilangan fuzzy segitiga (a1,a, a2) Misalkan A =





h−3, −2, −1i h4, 5, 6i hε, ε, εi h3, 4, 4i hε, ε, εi h−3, −2, 0i h4, 5, 6i h7, 8, 10i h7, 7, 7i



dan b =





h6, 8, 10i h9, 10, 11i h12, 14, 15i





akan ditentukan vektorbx yang merupakan sub penyelesaian bilangan fuzzy sistem A ⊗ x = b.

Dengan α − cut = 0 maka diperoleh sistem persamaan linear max-plus interval sebagai berikut:





h−3, −2i h4, 6i hε, εi h3, 4i hε, εi h−3, 0i h4, 6i h7, 10i h7, 7i



⊗



 x1

x2

x3



=



 h6, 10i h9, 11i h12, 15i





Dengan menggunakan scilab 5.2.2 dan toolbox max-plus versi 1.02 diperoleh bx = (h6, 7i, h2, 4i, h5, 8i)^T

(30)

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Sisi dalam Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy

Berikut ini adalah algoritma metode alternating untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua sisi A ⊗ x ⊕ b = C ⊗ ⊕d :

Input : Matriks A,C ∈ R^m×nmax , vektor b,d ∈ Rⁿmax

Output : vektor x ∈ Rⁿmax

Langkah-langkah:

1 Tetapkan matriks Indentitas E ∈ R^n×nmax 2 Bentuk matriks baru A dan B dengan A =

A b

C d

dan B =

E E

3 Tambahkan z sehingga x =

x z

maka diperoleh sistem persamaan linear

A b

C d

⊗

x z

=

E E

⊗ y

4 Tetapkan r = 0 dan x(0) = x

5 y = −

E E

T

⊗−(

A b

C d

⊗

x z

)

6 Hitung x = −

A b

C d

T

⊗ −(

E E

⊗ y )

7 Tetapkan r = r + 1

8 Ulangi hingga diperoleh A ⊗ [x ; z] = B ⊗ y dan nilai z = 0

(31)

PENDAHULUAN KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI Metode Penelitian Hasil dan Pembahasan PENUTUP Contoh Sistem Persamaan Linear Dua Sisi dalam Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy

Contoh 1

Diketahui sistem persamaan linear dua sisi sebagai berikut:





h−1, 0, 1i h0, 1, 2i h3, 4, 4i h7, 8, 8i h4, 5, 6i h1, 2, 3i h7, 8, 9i h2, 3, 4i h5, 6, 7i h0, 1, 3i h6, 7, 8i h−2, −1, 0i



⊗





 x1

x2

x3

x4







⊕





h6, 7, 8i h5, 6, 9i h4, 5, 6i



=





h−2, −1, 0i h−1, 0, 1i h3, 4, 4i h3, 4, 5i h0, 1, 2i h1, 2, 3i h7, 8, 9i h−1, 0, 2i h5, 6, 7i h0, 1, 3i h5, 6, 7i h−3, −2, 0i



⊗





 x1

x2

x3

x4







⊕





h8, 9, 10i h6, 8, 10i h7, 9, 11i





(32)

Contoh Sistem Persamaan Linear Dua Sisi dalam Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy

Table:Hasil perhitungan batas-batas α − cut vektor penyelesaian sistem persamaan linear dua sisi dalam aljabar max-plus bilangan fuzzy pada Contoh 1

α −cut x1 x1 x2 x2 x3 x3 x4 x 4

0.00 2.00 4.00 7.00 8.00 1.00 3.00 1.00 2.00 0.05 2.05 3.95 7.05 8.00 1.05 2.95 1.00 1.95 0.10 2.10 3.90 7.10 8.00 1.10 2.90 1.00 1.90 0.15 2.15 3.85 7.15 8.00 1.15 2.85 1.00 1.85 0.20 2.20 3.80 7.20 8.00 1.20 2.80 1.00 1.80 0.25 2.25 3.75 7.25 8.00 1.25 2.75 1.00 1.75 0.30 2.30 3.70 7.30 8.00 1.30 2.70 1.00 1.70 0.35 2.35 3.65 7.35 8.00 1.35 2.65 1.00 1.65 0.40 2.40 3.60 7.40 8.00 1.40 2.60 1.00 1.60 0.45 2.45 3.55 7.45 8.00 1.45 2.55 1.00 1.55 0.50 2.50 3.50 7.50 8.00 1.50 2.50 1.00 1.50 0.55 2.55 3.45 7.55 8.00 1.55 2.45 1.00 1.45 0.60 2.60 3.40 7.60 8.00 1.60 2.40 1.00 1.40 0.65 2.65 3.35 7.65 8.00 1.65 2.35 1.00 1.35 0.70 2.70 3.30 7.70 8.00 1.70 2.30 1.00 1.30 0.75 2.75 3.25 7.75 8.00 1.75 2.25 1.00 1.25 0.80 2.80 3.20 7.80 8.00 1.80 2.20 1.00 1.20 0.85 2.85 3.15 7.85 8.00 1.85 2.15 1.00 1.15 0.90 2.90 3.10 7.90 8.00 1.90 2.10 1.00 1.10 0.95 2.95 3.05 7.95 8.00 1.95 2.05 1.00 1.05 1.00 3.00 3.00 8.00 8.00 2.00 2.00 1.00 1.00

(33)

Sehingga diperoleh penyelesaian sistem persamaaan linear dua sisi dalam aljabar max-plus bilangan fuzzy x = (h2, 3, 4i, h7, 8, 8i, h1, 2, 3i, h1, 1, 2i)

Gambar:Grafik α − cut dan x1

(34)

Gambar:Grafik α − cut dan x₂

(35)

PENDAHULUAN KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI Metode Penelitian Hasil dan Pembahasan PENUTUP Contoh Sistem Persamaan Linear Dua Sisi dalam Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy

Gambar:Grafik α − cut dan x₃

(36)

Gambar:Grafik α − cut dan x₄

(37)

PENDAHULUAN KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI Metode Penelitian Hasil dan Pembahasan PENUTUP Kesimpulan

Kesimpulan

Sistem persamaan linear dua sisi A ⊗ x ⊕ b = C ⊗ x ⊕ d dalam aljabar max-plus bilangan fuzzy dimana bilangan fuzzy yang digunakan adalah bilangan fuzzy segitiga dengan bentuk (a1,a, a2)dan fungsi keanggotaan µa(x ) =







x −a₁

a−a₁, a1≤ x ≤ a;

a₂−x

dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan α − cut-nya yaitu matriks yang elemen-elemennya berupa bilangan fuzzy diubah dalam bentuk matriks interval. Selanjutnya sistem persamaan linear dua sisi aljabar max-plus kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode alternating.

Untuk sistem persamaan dua sisi alajabar max-plus bilangan fuzzy dengan matriks A dan C ∈ R^n×nmax dapat juga dise-lesaikan dengan menggunakan aturan cramer dengan terlebih dahulu diubah ke dalam bentuk sistem linear balance.

(38)

Saran

Saran

Saran untuk penelitian selanjutnya adalah:

a. Bilangan fuzzy yang digunakan pada sistem persamaan linear dua sisi dalam aljabar max-plus bisa digunakan bilangan fuzzy selain bilangan fuzzy segitiga (a1,a, a2)dengan fungsi keanggotanya

µa(x ) =







x −a₁

a−a₁, a1≤ x ≤ a;

a₂−x

b. Untuk sistem persamaan linear dua sisi aljabar max-plus bilangan fuzzy de-ngan A,C ∈ R^n×nmax dapat dibuat program untuk menghitung nilai determinan pada aturan cramer, sehingga dapat mempermudah penyelesaiannya.