i
OPTIMASI WAKTU PRODUKSI DAN ANALISIS KEPERIODIKAN PADA GRAF SISTEM PRODUKSI BER-LOOP DENGAN
MENGGUNAKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
LUCIA WINDA CESARI NIM : 121414131
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKANMATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
ii SKRIPSI
OPTIMASI WAKTU PRODUKSI DAN ANALISIS KEPERIODIKAN PADA GRAF SISTEM PRODUKSI BER-LOOP DENGAN
MENGGUNAKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS
iii SKRIPSI
OPTIMASI WAKTU PRODUKSI DAN ANALISIS KEPERIODIKAN PADA GRAF SISTEM PRODUKSI BER-LOOP DENGAN
MENGGUNAKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
“Ia membuat segala sesuatu indah pada waktunya, bahkan Ia
memberikan kekekalan dalam hati mereka...”
(Pengkhotbah, 3 : 11)
Karya ini kupersembahkan untuk :
Tuhan Yesus yang senantiasa membimbing dan menyertaiku.
Bapakku Valentinus Susanto dan Ibuku Veronika Jumiyem.
Kakak pertamaku, Felix Santi Wedanti.
Kakak keduaku, drh. Bibiana Krisanti dan suami.
Keponakanku Cyrilla Diandra Kinarian Putri Nugraha.
My Best Partner Ever David Hantoro.
Rohkat-kris SMA N 1 Yogyakarta : Silvi, Winda, Ndari, Kiky, dan
semua rohkat-kris yang selalu memberi dukungan dan semangat.
Kawan, saudara, serta sahabat seperjuangan di Pendidikan
Matematika Edith, Riris, Grace, Dennis, Dedy, Anton.
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Lucia Winda Cesari
Nomor Mahasiswa : 121414131
Demi perkembangan ilmu pengetahuan saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
OPTIMASI WAKTU PRODUKSI DAN ANALISIS KEPERIODIKAN PADA GRAF SISTEM PRODUKSI BER-LOOP DENGAN
MENGGUNAKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS
Dengan demikian, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengolahnya dalam pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin kepada saya atau memberikan royalti pada saya selama masih tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.
Yogyakarta, 31 Agustus 2016 Yang menyatakan
vii ABSTRAK
Lucia Winda Cesari, 2016. Optimasi Waktu Produksi dan Analisis Keperiodikan pada Graf Sistem Produksi Ber-Loop dengan Menggunakan Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-plus. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.
Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji persamaan pada graf sistem produksi ber-loop serta analisis keperiodikannya dengan menggunakan sistem persamaan linear aljabar max-plus. Penelitian diawali dengan membuat graf sistem produksi modifikasi sesuai dengan banyaknya loop yang ada pada graf produksi. Selanjutnya disusun aturan sinkronisasi yang sesuai dengan graf modifikasi serta pemodelan sistem persamaan linear sesuai dengan aturan sinkronisasi yang ada. Langkah berikutnya adalah membahas penjadwalan periodik dari barisan keadaan sistem dan output berdasarkan pada sistem persamaan linear aljabar max-plus.
Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa graf sistem produksi ber-loop dapat disajikan dalam suatu graf modifikasi dengan penambahan unit pemrosesan sesuai banyaknya loop. Dari perhitungan barisan keadaan sistem dan output pada graf sistem produksi ber-loop, barisan input paling lambat dapat ditentukan dengan menjadikan nilai maksimum waktu pemrosesan pada unit-unit pemrosesan yang memulai pemrosesan secara langsung tanpa menunggu unit pemrosesan lain sebagai input pertama. Barisan input selanjutnya ditentukan secara periodik dengan periode sebesar yang merupakan nilai eigen maksimum matriks A. Hal ini membuat barisan keadaan sistem dan output yang terbentuk menjadi periodik. Kata Kunci : Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-plus, Loop, Sistem Produksi, Optimasi, Periodik
viii ABSTRACT
Lucia Winda Cesari, 2016. Optimization of Production Time and Periodicity Analysis in a Production System Graph with Loop Using Linear Equation System in Max-Plus Algebra. Thesis. Mathematic Education Study Program, Mathematic and Science Education Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
This research aims to study about the equation of production system graph with loop and periodicity analysis using linear equations system in max-plus algebra. This research is started by making modification production system graphs based on the number of loops that exist in the production graph. Then, arranging the synchronization rules based on graph modification and making the mathematic model of linear equations system based on the existing synchronization. The next step is discussing the periodic schedule of the state and output of the system based on a linear equations system in max-plus algebra.
The results of this research indicate that graph with loop in production system can be presented in a modification graph by the addition of the processing unit according to the number of the loops. From the calculation of the state and outputs on a production system graph with loop, the slowest input sequence can be determined by making the maximum value of processing time on the processing units as the first input. The maximum value of processing time on the processing units are based on the process that start immediately without waiting for another processing unit. The following input rows are determined periodically with a period of λ which is the maximum eigen value of A. This makes the state and output of the system rows formed to be periodic.
Keywords: Linear Equations System in Max-plus Algebra, Loop, Production
ix
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat dan rahmatNya penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Optimasi Waktu Produksi dan Analisis Keperiodikan pada Graf Sistem Produksi Ber-Loop dengan Menggunakan Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus” dengan baik. Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat memperoleh gelar sarjana pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.
Berbagai hambatan dan rintangan telah penulis hadapi selama penulisan skripsi ini, namun berkat bantuan doa, dukungan, serta motivasi dari semua pihak, penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Rohandi, Ph.D selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. 2. Dr. Hongki Julie, M.Si selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika. 3. Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd selaku dosen pembimbing skripsi yang telah
berkenan meluangkan waktu, tenaga, serta pikiran untuk membimbing penulis dengan penuh kesabaran selama penulisan skripsi.
4. Prof. Dr. St. Suwarsono selaku dosen pembimbing akademik yang telah membantu dan membimbing penulis terutama berkaitan dengan hal akademis selama penulis menempuh kuliah di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma.
x
5. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah membimbing dan mendidik penulis selama menuntut ilmu di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma.
6. Ibu Wasilah selaku pemilik pabrik kue yang telah memberikan izin dan kesempatan kepada penulis untuk melakukan observasi.
7. Kedua orang tuaku, Bapak Valentinus Susanto dan Veronika Jumiyem yang senantiasa memberikan kasih sayang yang tak ternilai serta dukungan baik moral maupun finansial.
8. Kakak-kakakku, Felix Santi Wedanti, drh. Bibiana Krisanti beserta suami, Bonaventura Jiwantara Adhi N serta keponakanku Cyrilla Diandra Kinarian Putri Nugraha yang selalu memberikan dorongan, motivasi dan penghiburan kepada penulis.
9. Mas David Hantoro yang senantiasa memberikan perhatian, dukungan, kesabaran, serta motivasi yang begitu besar sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
10. Kakak-kakak serta sahabat-sahabatku di Rohkat-kris SMA N 1 Yogyakarta, Silvia Rina Primasari, Rosaliani Windawati, Monica Kuswandari HP, Rizky Cynthia Putri, serta rohkaters semua yang telah memberikan semangat yang luar biasa besar kepada penulis.
11. Sahabat-sahabatku Edith Avendita Asa, Grace Nindita, Riris Ayu, Dennis Meilky La’lang, Dedy Lucky, Antonius Doni yang telah memberikan dukungan, motivasi, serta menemani dalam suka duka selama menempuh kuliah di Program Studi Pendidikan Matematika.
xi
12. Teman – teman seperjuangan di Program Studi Pendidikan Matematika 2012, khususnya kelas C yang telah berbagi pengalaman selama penulis kuliah di Universitas Sanata Dharma.
13. Rekan-rekan di UKM Pengabdian Masyarakat khususnya pengurus UKM Pengabdian Masyarakat periode 2013-2014 yang telah berbagi pengalaman yang tak ternilai melalui dinamika kepanitiaan serta pelaksanaan program-program UKM selama penulis kuliah di Universitas Sanata Dharma.
14. Semua pihak yang telah membantu penulis menyelesaikan tugas akhir ini baik secara langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi kesempurnaan tulisan ini. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat dan memberikan wawasan bagi setiap pembaca.
Yogyakarta, 31 Agustus 2016
xii DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN PERSETUJUAN ... ii
HALAMAN PENGESAHAN ... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ... iii
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH .. vi
ABSTRAK ... vii
ABSTRACT ... viii
KATA PENGANTAR ... ix
DAFTAR ISI ... xii
DAFTAR TABEL ... xiv
DAFTAR GAMBAR ... xv
DAFTAR LAMPIRAN ... xvi
DAFTAR SIMBOL ... xvii
BAB IPENDAHULUAN ... 1 A. Latar Belakang ... 1 B. Kajian Pustaka ... 4 C. Rumusan Masalah ... 5 D. Pembatasan Masalah ... 5 E. Batasan Istilah ... 6 F. Tujuan Penelitian ... 7 G. Manfaat Penelitian ... 7 H. Metode Penelitian... 8 I. Sistematika Penulisan ... 9
xiii
BAB II LANDASAN TEORI ... 12
A. Optimasi ... 12
B. Definisi dan Sifat-sifat Aljabar Max-plus ... 12
C. Matriks dan Vektor dalam Aljabar Max-plus... 16
D. Teori Graf dalam Aljabar Max-plus ... 26
E. Sistem Persamaan Linear dalam Aljabar Max-plus ... 27
F. Penerapan Aljabar Max-plus dalam Sistem Linear Max-plus Waktu Invarian dan Sistem Produksi Sederhana ... 37
BAB IIIPEMODELAN WAKTU PRODUKSI DENGAN MENGGUNAKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS PADA GRAF SISTEM PRODUKSI BER-LOOP ... 57
A. Loop Tunggal ... 58
B. Loop Berganda (Multi Loop) ... 66
C. Loop Berganda dengan Banyak Titik (Multi Loop Multi Vertex) ... 76
D. Analisis Model ... 113
BAB IVANALISIS WAKTU OPTIMUM DAN PENJADWALAN PRODUKSI SECARA PERIODIK ... 119
A. Analisis Barisan Keadaan Sistem dan Output ... 119
B. Penjadwalan Produksi Secara Periodik ... 129
C. Keterbatasan Penelitian ... 131
BAB VKESIMPULAN DAN SARAN ... 132
A. KESIMPULAN ... 132
B. SARAN ... 133
DAFTAR PUSTAKA ... 135
xiv
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1 Waktu Transfer Graf Sistem Produksi Loop Tunggal... 60
Tabel 3.2 Waktu Pemrosesan Graf Sistem Produksi Loop Tunggal... 60
Tabel 3.3 Waktu Transfer Graf Sistem Produksi Loop Berganda... 68
Tabel 3.4 Waktu Pemrosesan Graf Sistem Produksi Loop Berganda... 68
Tabel 3.5 Waktu Transfer Graf Sistem Produksi Multi Loop Multi Vertex... 81
Tabel 3.6 Waktu Pemrosesan Graf Sistem Produksi Multi Loop Multi Vertex.. 81
Tabel 3.7 Matriks A Graf Multi Loop Multi Vertex Kolom 1-13... 110
Tabel 3.8 Matriks A Graf Multi Loop Multi Vertex Kolom 14-27... 111
Tabel 3.9 Matriks B Graf Multi Loop Multi Vertex... 112
Tabel 3.10 Matriks C Graf Multi Loop Multi Vertex... 112
Tabel 4.1 Barisan Keadaan Sistem dan Output Graf Sistem Produksi Loop Tunggal... 120
Tabel 4.2 Barisan Keadaan Sistem dan Output pada Graf Sistem Produksi Loop Tunggal dengan Input Paling Lambat ... 121
Tabel 4.3 Barisan Keadaan Sistem dan Output pada Graf Sistem Produksi Multi Loop dengan Input Paling Lambat ... 121
Tabel 4.4 Barisan Keadaan Sistem dan Output pada Graf Sistem Produksi Multi Loop Multi Vertex dengan Input Paling Lambat... 122
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Contoh Sistem Produksi Sederhana... 38
Gambar 2.2 List Program MATLAB Input-Output SLMI... 48
Gambar 2.3 List Program MATLAB Optimasi Input-Output SLMI... 50
Gambar 2.4 List Program MATLAB Nilai Eigen Maksimum... 54
Gambar 3.1 Graf Sistem Produksi Loop Tunggal... 58
Gambar 3.2 Graf Sistem Produksi Modifikasi Loop Tunggal ... 59
Gambar 3.3 Graf Sistem Produksi Loop Berganda ... 66
Gambar 3.4 Graf Sistem Produksi Modifikasi Loop Berganda ... 67
Gambar 3.5 Graf Sistem Produksi Multi Loop Multi Vertex... 76
Gambar 3.6 Graf Sistem Produksi Modifikasi Multi Loop Multi Vertex... 78
Gambar 3.7 Graf Sistem Produksi dengan n Loop... 117
Gambar 3.8 Graf Sistem Produksi Modifikasi dengan n Loop pada Loop Pertama ... 117
xvi
DAFTAR LAMPIRAN
1. Hasil Perhitungan MATLAB untuk Contoh 1... L.1 2. Hasil Perhitungan MATLAB untuk Contoh 2... L.2 3. Hasil Perhitungan MATLAB untuk Contoh 3... L.3 4. Foto Penelitian ... L.4
xvii
DAFTAR SIMBOL
: himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan dua operasi biner dan
: himpunan semua bilangan real
: : : operasi max : operasi plus : : { [ ]| : [ |
: relasi “lebih kecil atau sama dengan” dalam aljabar max-plus : nilai eigen maksimum
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Aljabar merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari konsep atau prinsip penyederhanaan serta pemecahan masalah dengan menggunakan simbol atau huruf tertentu. Salah satu ruang lingkup dalam aljabar yang dinilai baru adalah aljabar max-plus. Aljabar max-plus muncul sekitar tahun 1950 dan berkembang dengan pesat pada tahun 90’an.
Aljabar max-plus merupakan suatu struktur aljabar yang semesta pembicaraannya merupakan gabungan dari himpunan bilangan real dan negatif tak terhingga . Aljabar max-plus dilengkapi dengan operasi maksimum yang dinotasikan dengan , dan operasi penjumlahan dinotasikan dengan . dapat dinotasikan sebagai , dengan merupakan Elemen merupakan elemen netral pada operasi dan 0 merupakan elemen identitas pada operasi . Selanjutnya, dinotasikan dengan
Aljabar max-plus ( merupakan semiring komutatif yang sekaligus idempoten sebab untuk setiap berlaku dan (Subiono, 2013). Selain itu, aljabar max-plus juga merupakan semifield sebab untuk setiap memiliki invers yaitu – , sehingga berlaku
Dalam penerapannya, aljabar max-plus dapat membantu memodelkan ataupun menyelesaikan suatu permasalahan dalam jaringan (teori graf) yang berkaitan dengan masalah sinkronisasi. Aplikasi aljabar max-plus dapat dijumpai dalam penjadwalan penerbangan pesawat di bandara, penjadwalan keberangkatan kereta api, menentukan jalur tercepat, model sistem antrian, maupun dalam sistem produksi sederhana.
Secara khusus dalam penelitian ini, penulis menggunakan sistem persamaan linear dalam aljabar max-plus untuk menghitung waktu optimum dalam sistem produksi sederhana. Dalam masalah pemodelan dan optimasi suatu sistem produksi, terdapat waktu aktivitas yang belum diketahui. Hal ini misalkan karena sistem produksi masih pada tahap perancangan, data-data mengenai waktu aktivitas belum diketahui secara pasti maupun distribusinya. Waktu aktivitas ini dapat diperkirakan berdasarkan pengalaman, pendapat para ahli maupun operator sistem produksi tersebut. Untuk itu waktu aktivitas sistem produksi dimodelkan dalam suatu waktu, yang disebut waktu aktivitas (Rudhito, 2003).
Aljabar max-plus dapat digunakan untuk menggambarkan secara
linear dinamika waktu dari suatu sistem non-linear dalam aljabar
konvensional, sehingga pembahasan menjadi lebih mudah (Kasie G. Farlow, 2009:11). Pendekatan aljabar max-plus berguna untuk menentukan dan menganalisis berbagai sifat sistem, tetapi pendekatan hanya dapat diterapkan pada sebagian sistem kejadian diskrit (SKD). Sistem kejadian diskrit selalu dipengaruhi oleh waktu. Setiap waktu bertambah pasti keadaan sistem akan
berubah pula. Tujuan dari sistem kejadian diskrit (SKD) dapat dijabarkan menggunakan model Sistem Linear Max-plus Invarian sebagai berikut.
Optimasi waktu dalam sistem produksi sederhana akan memberikan dampak positif bagi produsen dan konsumen. Produsen memiliki pedoman waktu yang optimal untuk memproduksi barang sehingga proses produksi barang akan menjadi lebih efektif. Di sisi lain, konsumen akan diuntungkan dengan mengetahui waktu pengambilan barang jadi, sehingga tidak perlu direpotkan dengan keterlambatan.
Pada penelitian ini akan dihitung waktu optimum produksi dari suatu graf sistem produksi ber-loop dengan menggunakan sistem persamaan linear aljabar max-plus waktu invarian, serta dibuat penjadwalan aktivitas produksi secara periodik. Pemilihan graf sistem produksi ber-loop terinspirasi dari pengamatan yang dilakukan penulis ke sebuah pabrik pembuatan kue. Proses pembuatan kue yang dialami membutuhkan beberapa kali pemrosesan untuk beberapa mesin dalam satu kali produksi. Dengan kata lain dalam satu periode produksi, satu mesin dapat bekerja lebih dari satu pemrosesan. Hal ini berkaitan dengan kapasitas mesin dalam mengolah bahan. Proses produksi yang mengharuskan beberapa mesin bekerja lebih dari satu kali untuk setiap satu kali produksi membuat graf yang terbentuk memiliki beberapa loop pada beberapa mesin. Selain itu, berdasarkan hasil observasi yang dilakukan masih ditemui beberapa masalah terkait penjadwalan produksi. Proses produksi
belum terjadwal secara periodik sehingga waktu produksi menjadi kurang efektif. Permasalahan nyata dalam produksi kue yang ditemui ini membuat penulis tertarik untuk membuat penjadwalan yang relevan dengan kondisi produksi.
B. Kajian Pustaka
Dalam penelitian ini penulis memaparkan dua penelitian terdahulu yang relevan dengan optimasi waktu produksi pada graf ber-loop dan penjadwalan produksi secara periodik dalam aljabar max-plus.
Mustofa Arifin (2012) memaparkan tentang optimasi waktu produksi Bakpia Pathok Jaya “25” dengan menggunakan sistem persamaan linear
max-plus waktu invarian dan penjadwalan produksinya. Proses produksi dengan
15 unit pemrosesan disajikans dalam suatu graf produksi tanpa loop.
Perhitungan dilakukan dengan bantuan aplikasi MATLAB program
maxio untuk menentukan barisan output dari sistem produksi dan maxioopt
untuk menentukan waktu minimum dan maksimum memulai produksi. Barisan output yang merupakan hasil dari program maxio digunakan sebagai acuan pembuatan jadwal produksi, sedangkan hasil dari program maxioopt sebagai acuan penentuan batas mulai produksi dan pengambilan barang jadi. Produsen dapat menentukan waktu mulai produksi dengan memilih diantara ̂ atau ̃ sehingga waktu penyelesaian produk ̂ atau ̃ mendekati waktu pengambilan pemesanan yang telah ditentukan oleh konsumen. Produsen dapat memilih ̂ atau ̃ (subpenyelesaian terbesar SLMI pada sistem produksi ini) agar dapat mengoptimalkan waktu produksi Bakpia Pathok Jaya “25”
sehingga hasil produksi dapat memenuhi permintaan konsumen dan pesanan bakpia juga dapat dilayani tepat waktu.
Subiono dan Nur Sofianah (2009) memaparkan tentang penjadwalan suatu produksi secara periodik dengan menggunakan aljabar max-plus. Nilai eigen matriks A dari persamaan awal dijadikan sebagai acuan untuk membuat persamaan baru yang membuat jadwal produksi menjadi periodik. Pada jurnal tersebut persamaan baru dibuat berdasarkan informasi waktu produksi pada dua mesin.
C. Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas, maka penulis dapat merumuskan masalah dalam penelitian ini sebagai berikut.
1. Bagaimana sifat-sifat model matematika waktu produksi pada graf sistem produksi ber-loop dengan menggunakan sistem persamaan linear aljabar
max-plus?
2. Bagaimana menentukan waktu input paling lambat dengan menggunakan aljabar max-plus pada graf sistem produksi ber-loop yang menyebabkan keadaan sistem menjadi periodik?
D. Pembatasan Masalah
Pembatasan masalah dalam skripsi ini dilakukan pada graf sistem produksi ber-loop satu input satu output dengan asumsi kapasitas buffer (penyangga) input maupun internal cukup besar untuk menjamin tidak ada penyangga yang overflow (meluap). Waktu untuk mempersiapkan
bahan-bahan dalam penelitian ini tidak diperhatikan atau dianggap nol, serta waktu produksi dibatasi sampai barang jadi siap untuk dipasarkan.
E. Batasan Istilah
Berdasarkan latar belakang, untuk menghindari kesalahpahaman dalam memahami hasil penelitian ini, maka diperlukan batasan istilah sebagai berikut.
1. Waktu Pemrosesan adalah waktu yang diperlukan unit pemrosesan untuk menyelesaikan pekerjaan (pemrosesan) dalam satu periode produksi. 2. Waktu Produksi adalah waktu yang diperlukan oleh sistem produksi
untuk menyelesaikan pekerjaannya dari mulai bahan baku dimasukkan ke sistem hingga menjadi suatu produk dan keluar dari sistem dalam satu periode produksi.
3. Waktu Transfer adalah waktu perpindahan bahan dari suatu unit pemrosesan ke unit pemrosesan yang lain.
4. Waktu Input adalah waktu yang diperlukan saat bahan mentah memasuki unit pemrosesan yang pertama.
5. Graf adalah pasangan dengan adalah himpunan berhingga tak kosong yang beranggotakan titik (vertices) dan adalah himpunan pasangan (tak terurut) titik-titik. Anggota disebut rusuk (edges).
6. Loop adalah rusuk pada graf yang hanya memiliki satu titik ujung. 7. Periodik adalah suatu kejadian yang memiliki selang waktu tetap.
F. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian yang ingin dicapai adalah sebagai berikut.
1. Mengetahui sifat-sifat model matematika waktu produksi pada graf sistem produksi ber-loop dengan menggunakan sistem persamaan linear aljabar max-plus.
2. Menentukan waktu input paling lambat dengan menggunakan aljabar
max-plus pada graf sistem produksi ber-loop yang menyebabkan keadaan
sistem menjadi periodik.
G. Manfaat Penelitian 1. Bagi Penulis
Penulis mendapatkan pengetahuan baru terkait aljabar max-plus yang belum diperoleh ketika perkuliahan. Melalui penelitian yang dilakukan, penulis memperoleh pengalaman untuk menemukan suatu teori baru terkait aljabar max-plus khususnya pada graf ber-loop yang mampu meningkatkan kemampuan penulis dalam mengaitkan berbagai hal dan belajar membaca pola-pola yang terbentuk dari hail perhitungan barisan keadaan sistem dan output.
2. Bagi Pembaca
Penelitian yang dilakukan bermanfaat untuk menambah pengetahuan pembaca mengenai sistem persamaan linear aljabar
max-plus serta aplikasinya dalam optimasi waktu produksi pada graf sistem
sebagai tambahan informasi dan pustaka bagi lembaga terkait untuk rujukan penelitian atau sebagai bahan perkuliahan tentang aljabar
max-plus. Selain itu pembaca juga mendapatkan pengetahuan untuk
menentukan waktu optimum suatu produksi, sehingga mampu menerapkannya untuk permasalahan lain yang relevan.
3. Bagi Produsen
Hasil dari penelitian ini dapat dijadikan sebagai rujukan dalam pembuatan jadwal produksi secara periodik. Keperiodikan jadwal dapat mempermudah produsen dalam proses produksi dikarenakan waktu produksi yang dapat diprediksi sebelumnya.
H. Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Menentukan tema dan judul penelitian.
2. Mengumpulkan serta membaca jurnal, tesis, maupun buku terkait sistem persamaan linear aljabar max-plus khususnya sistem persamaan linear aljabar max-plus waktu invarian yang akan digunakan untuk menyusun landasan teori dalam penelitian.
3. Melakukan observasi lapangan untuk mempertajam latar belakang dan menemukan masalah-masalah dalam sistem produksi terkait.
4. Menyusun graf sistem produksi ber-loop.
6. Membuat aturan sinkronisasi berdasarkan graf sistem produksi modifikasi yang telah dibuat.
7. Menyusun sistem persamaan linear aljabar max-plus berdasarkan aturan sinkronisasi sebelumnya.
8. Merepresentasikan sistem persamaan linear aljabar max-plus kedalam bentuk matriks.
9. Menghitung nilai eigen yang bersesuaian dengan matriks A. 10. Menghitung barisan keadaan sistem dan output.
11. Membuat analisis penjadwalan periodik berdasarkan waktu input paling lambat.
12. Menyusun jadwal produksi kue berdasarkan barisan keadaan sistem dan
output dengan menggunakan waktu input paling lambat.
I. Sistematika Penulisan
Penulisan skripsi ini akan mengkaji lebih mendalam terkait aplikasi sistem persamaan linear aljabar max-plus dalam Sistem Produksi Sederhana terkait waktu optimum produksi. Skripsi ini terdiri atas lima bab. Bab I merupakan pendahuluan yang berisi latar belakang, kajian pustaka, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian serta sistematika penulisan.
Bab II berisi penjelasan tentang optimasi serta aljabar max-plus yang meliputi definisi dan sifat-sifat aljabar max-plus, vektor dan matriks atas aljabar max-plus, teori graf dalam aljabar max-plus serta sistem persamaan linear pada aljabar max-plus dan aplikasinya dalam sistem produksi sederhana
sebagai landasan teori. Selain itu diberikan pula algoritma MATLAB untuk mempermudah perhitungan waktu optimum produksi.
Bab III berisi pembahasan lebih lanjut mengenai pemodelan optimasi waktu produksi pada graf sistem produksi ber-loop dengan menggunakan sistem persamaan linear aljabar max-plus. Pada bab ini akan dibuat graf sistem produksi ber-loop beserta graf modifikasinya yang sesuai dan dilanjutkan dengan membuat aturan sinkronisasi yang sesuai dengan graf sistem produksi modifikasi. Graf sistem produksi yang disajikan menampilkan beberapa contoh sistem produksi. Pada contoh ketiga graf sistem produksi yang digunakan merupakan graf sistem produksi tahapan pembuatan kue dari hasil pengamatan yang telah dilakukan. Berdasarkan aturan sinkronisasi kemudian disusun sistem persamaan linearnya. Sistem persamaan linear yang telah disusun selanjutnya direpresentasikan dalam bentuk matriks. Kemudian, dihitung nilai eigen pada matriks .
Bab IV berisi analisis waktu optimum produksi berdasarkan perhitungan dengan menggunakan aplikasi MATLAB. Pada bab ini akan dicari keterhubungan nilai eigen matriks terhadap keperiodikan barisan keadaan sistem dan output, serta akan dijelaskan cara menentukan waktu input paling lambat. Berdasarkan barisan keadaan sistem dan output yang diperoleh, akan dijelaskan mengenai penjadwalan pada produksi kue yang telah diamati sebelumnya.
Bagian terakhir dalam penulisan skripsi ini berisikan kesimpulan hasil penelitian dan saran-saran yang dapat digunakan dalam penelitian selanjutnya. Bagian terakhir ini termuat dalam Bab V.
12 BAB II
LANDASAN TEORI A. Optimasi
Menurut Berlianty & Arifin (2010:9), optimasi adalah proses pencarian satu atau lebih penyelesaian yang berhubungan dengan nilai-nilai dari satu atau lebih fungsi objektif pada suatu masalah sehingga diperoleh satu nilai optimal. Optimasi bertujuan untuk meningkatkan kinerja mesin produksi sehingga mempunyai kualitas yang baik dan hasil kerja yang tinggi. Tujuan tersebut digunakan untuk beberapa perusahaan seperti perusahaan yang bergerak di bidang manufaktur dalam proses produksi.
Optimasi banyak memberikan manfaat dalam mengambil keputusan dan dapat diterapkan dalam berbagai bidang diantaranya adalah dalam bidang industri seperti untuk konstruksi sipil atau mesin, pemeliharaan jaringan, dan pengoperasian mesin. Pengoperasian mesin membutuhkan pengambilan keputusan yang tepat agar diperoleh waktu optimal.
B. Definisi dan Sifat-sifat Aljabar Max-plus
Pembahasan akan diawali dengan definisi semiring.
Definisi 2.1
Suatu semiring adalah suatu himpunan tak kosong S disertai dengan dua operasi biner dan yang memenuhi aksioma berikut.
i) merupakan semigrup komutatif dengan elemen netral 0, yaitu memenuhi
,
ii) adalah semigrup dengan elemen satuan 1, yaitu memenuhi
iii)Sifat penyerapan elemen netral 0 terhadap operasi yaitu memenuhi
iv) Operasi distributif terhadap yaitu berlaku .
Contoh 2.1
Diberikan dengan adalah himpunan semua bilangan real dan . Pada didefinisikan operasi dan , sehingga berlaku :
.
Selanjutnya akan ditunjukkan merupakan semiring dengan elemen netral dan elemen satuan .
Bukti :
merupakan semiring karena untuk setiap berlaku : 1. komutatif, asosiatif, dan memiliki elemen netral
a. b. c.
2. asosiatif dan memiliki elemen identitas a. b.
3. Sifat penyerapan elemen netral terhadap operasi
4. Operasi distributif terhadap a. b. Definisi 2.2
Suatu semiring dikatakan komutatif jika operasi bersifat komutatif, yaitu berlaku .
Definisi 2.3
Suatu semiring dikatakan idempoten jika operasi bersifat idempoten, yaitu berlaku .
Menurut Baccelli, et.al (2001) dalam Rudhito (2016:14) istilah semiring idempoten disebut dioid.
Contoh 2.2
Semiring merupakan semiring komutatif yang sekaligus idempoten. Bukti : berlaku : dan Definisi 2.4
Suatu semiring komutatif disebut semifield jika setiap elemen tak netralnya mempunyai invers terhadap operasi yaitu
Contoh 2.3
Semiring komutatif merupakan semifield.
Bukti :
terdapat – sehingga berlaku Dari contoh 2.2 dan 2.3 dapat disimpulkan bahwa merupakan semifield idempoten. Struktur aljabar disebut aljabar max-plus, yang selanjutnya cukup ditulis . Elemen-elemen dari disebut juga skalar. (Rudhito, 2016)
C. Matriks dan Vektor dalam Aljabar Max-plus
Himpunan matriks berukuran dalam aljabar max-plus dinotasikan dengan untuk . Elemen
dan kolom ke- dinotasikan oleh atau [ dengan dan . Matriks A dapat direpresentasikan sebagai berikut.
[ ]
Penjumlahan matriks, perkalian skalar dengan matriks, perkalian antar matriks, serta transpose matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.5
Diberikan matriks . Elemen ke- dari adalah :
[ Dengan dan .
Definisi 2.6
Diberikan matriks dan . Elemen ke- dari ⨂ adalah :
[ ⨂ ⨂ Dengan dan
Definisi 2.7
Diketahui , , elemen ke- dari ⨂ adalah :
[ ⨂
⨂
Definisi 2.8
Diberikan matriks , Elemen ke- dari adalah :
[ Dengan dan
Contoh 2.4
Diberikan matriks * +, * + maka :
1. * + * + [ ] * + 2. ⨂ ⨂ * + * ⨂ ⨂ ⨂ ⨂ + * + 3. ⨂ * + ⨂ * + [ ] * + 4. * + * +
Teorema 2.1 (Rudhito, 2016)
Pernyataan-pernyataan berikut berlaku untuk sebarang skalar dan dan sebarang matriks dan asalkan operasi yang dimaksud terdefinisi.
1. 2. A 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
Selanjutnya akan dibuktikan teorema nomor 4, sedangkan bukti yang lain langsung mengikuti definisi operasi dan sifat-sifat operasi dalam .
Bukti :
Diambil sebarang . Unsur ke- matriks adalah
[
( ) ( ) ( ) [ [ Definisi 2.9 (Rudhito, 2016)
Didefinisikan matriks dengan {
Definisi 2.10 (Rudhito, 2016)
Didefinisikan matriks dengan
, untuk setiap dan .
Definisi 2.11 (Rudhito, 2016)
Untuk sebarang didefinisikan
.
Definisi 2.12 (Schutter, 1996 dalam Rudhito, 2016)
Diberikan suatu matriks . Skalar
disebut nilai eigen
max-plus matriks A jika terdapat suatu vektor dengan sehingga . Vektor tersebut disebut vektor eigen max-plus matriks yang bersesuaian dengan .
Teorema 2.2
Diberikan suatu matriks . Jika adalah nilai eigen matriks di
Bukti :
Misalkan adalah nilai eigen matriks di , maka untuk setiap berlaku dengan . Akibatnya terdapat suatu indeks sehingga dengan . Karena dan maka dan . Karena maka terdapat suatu indeks sedemikian rupa sehingga
. Karena dan maka dan . Demikian seterusnya dengan cara yang sama seperti di atas, maka diperoleh suatu barisan sehingga dengan dan
untuk Karena banyak titik dalam graf berhingga, maka terdapat suatu dan sehingga Akibatnya diperoleh suatu sirkuit ̃. Misalkan ̃ adalah , , , sehingga diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ). Karena operasi di bersifat komutatif maka diperoleh ( ) ( )
(
) atau ( ) atau
. Hal ini berarti merupakan bobot rata-rata sirkuit ̃.
Selanjutnya akan dibahas semimodul atas dan relasi urutan di dalamnya. Dalam Rudhito, 2016 , semimodul atas didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.13
Misalkan adalah semiring komutatif dengan elemen netral 0 dan elemen identitas1. Semimodul M atas S adalah semigrup komutatif bersama operasi perkalian skalar • : , dituliskan sebagai yang memenuhi aksioma berikut. , berlaku : i) ,
ii) , iii) , iv)
v)
Elemen dalam semimodul disebut vektor.
Contoh 2.5
Diberikan [ | . Untuk setiap dan untuk setiap didefinisikan operasi dengan [ dan operasi perkalian skalar • dengan [ . Dari teorema 2.1 1 dan 2 terlihat bahwa merupakan semigrup komutatif dengan elemen netral [ . Selanjutnya dengan memperhatikan teorema 2.1 10, 9, dan 7 dapat disimpulkan bahwa merupakan semimodul atas .
Definisi 2.14 (Wohlgemuth,1990 dalam Rudhito 2016)
Relasi pada himpunan disebut urutan parsial pada jika untuk semua berlaku :
i) Sifat refleksif, yaitu
ii) Sifat antisimetris, yaitu : jika dan , maka . iii) Sifat transitif, yaitu : jika dan , maka .
Elemen dan dikatakan komparabel (comparable) jika atau . Penulisan dapat ditulis juga dengan . Jika dan akan dituliskan dengan .
Definisi 2.15 (Wohlgemuth 1990 dalam Rudhito, 2016)
Urutan parsial pada himpunan disebut urutan total pada jika setiap dua elemen dalam komparabel.
Teorema 2.3 (Rudhito, 2016)
Jika semigrup komutatif idempoten maka relasi yang didefinisikan pada dengan merupakan urutan parsial pada .
Bukti :
Diambil sebarang .
i) Karena berlaku sifat idempoten maka .
ii) Jika dan maka dan . Karena berlaku sifat komutatif maka diperoleh .
iii) Jika dan maka dan . Dari sini karena berlaku sifat asosiatif maka . Dengan demikian .
Akibat 2.1
Relasi yang didefinisikan pada dengan
merupakan urutan parsial pada . Lebih lanjut relasi ini merupakan urutan total pada .
Bukti :
Karena merupakan semigrup komutatif idempoten, maka menurut teorema 2.2 relasi yang didefinisikan pada di atas merupakan urutan parsial pada . Selanjutnya diambil maka berlaku atau .
Akibat 2.2
Relasi yang didefinisikan pada dengan
untuk setiap dan , merupakan urutan parsial pada .
Bukti :
Dengan menggunakan teorema 2.1 1, 2, dan 11 dapat dilihat bahwa merupakan semigrup komutatif idempoten, sehingga menurut teorema 2.2 relasi yang didefinisikan pada di atas merupakan urutan parsial.
Akibat 2.3
Relasi yang didefinisikan pada dengan
untuk setiap , merupakan relasi urutan parsial pada .
Bukti :
Karena merupakan semigrup komutatif idempoten maka relasi yang didefinisikan pada merupakan urutan parsial pada Relasi yang didefinisikan pada bukan merupakan urutan total, karena terdapat * + dan * + dengan * + * + * +. Sehingga dan . Demikian juga dengan relasi yang didefinisikan pada bukan merupakan urutan total, karena terdapat vektor [ dan
[ dengan [ [
[ . Dengan demikian dan .
Teorema 2.4
Diberikan matriks . Jika
dengan maka .
Bukti :
Diambil sebarang dengan maka
.
D. Teori Graf dalam Aljabar Max-plus
Graf didefinisikan sebagai suatu pasangan (V, E) dengan V adalah suatu himpunan berhingga tak kosong yang anggotanya disebut titik (vertices) dan E adalah suatu himpunan pasangan (takterurut) titik-titik. Anggota E disebut rusuk (edges). Suatu graf berarah didefinisikan sebagai suatu pasangan (V, A) dengan V adalah suatu himpunan titik-titik dan A adalah suatu himpunan pasangan terurut titik-titik. Anggota A disebut busur (arc). Untuk busur disebut titik awal busur dan w disebut titik akhir busur. Suatu loop adalah busur .
Jika suatu graf disajikan dalam gambar, titik digambarkan sebagai noktah yang diberi label dengan nama titik yang diwakilinya. Rusuk digambarkan sebagai kurva atau ruas garis yang menghubungkan noktah-noktah yang bersesuaian pada rusuk atau loop. Busur digambarkan sebagai kurva atau ruas garis berarah yang menghubungkan noktah-noktah yang bersesuaian dengan titik awal dan titik akhir busur, dengan tanda panah pada ujungnya yang menandakan arah busur.
Diberikan adalah graf berarah dengan . Suatu lintasan dalam G adalah suatu barisan berhingga busur dengan ( ) A untuk suatu l N dan
k = 1, 2, ... , l 1 (Wilson,1972). Lintasan ini direpresentasikan dengan
... . Titik disebut titik awal lintasan dan titik disebut titik
akhir lintasan. Untuk suatu lintasan , panjang lintasan didefinisikan
Diberikan graf berarah G = (V, A) dengan V = {1, 2, ... , p}. Graf berarah G dikatakan berbobot jika setiap busur (j, i) A dikawankan dengan suatu bilangan real . Bilangan real disebut bobot busur (j, i),
dinotasikan dengan w(j, i). Dalam penyajiannya dengan gambar untuk graf berarah berbobot, busur diberi label dengan bobotnya. Dari pengertian graf berbobot ini, setiap matriks A bersesuaian dengan suatu graf berarah berbobot seperti diberikan dalamdefinisi berikut.
Definisi 2.16 (Graf bobot, Schutter 1996)
Diberikan . Graf bobot dari A adalah graf berarah berbobot dengan dan |
Contoh 2.6
Diberikan [ ].
Graf bobot dari A adalah graf berarah berbobot dengan dan }. Perhatikan sebaliknya bahwa untuk setiap graf berarah berbobot selalu dapat didefinisikan suatu matriks dengan :
{
E. Sistem Persamaan Linear dalam Aljabar Max-plus
Menurut Rudhito, 2016, secara umum terdapat dua bentuk sistem persamaan linear (SPL) max-plus yaitu SPL max-plus input output dan SPL
max-plus iteratif. Pada bagian ini hanya akan dibahas terkait SPL max-plus input-output. Bentuk umum dari sistem persamaan linear max-plus input output adalah : dimana , dan . Untuk mencari solusi dari persamaan tersebut terlebih dulu dapat dicari sub penyelesaiannya.
Definisi 2.17 (Rudhito, 2016)
Diberikan dan
. Vektor disebut suatu sub penyelesaian sistem persamaan linear jika vektor tersebut memenuhi .
Sub penyelesaian selalu ada, karena untuk [ selalu berlaku :
Definisi 2.18
Sub penyelesaian ̂ dari sistem disebut sub penyelesaian terbesar sistem jika ̂ untuk setiap subpenyelesaian dari sistem .
Teorema 2.5
Diberikan dengan unsur-unsur setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan . Sub penyelesaian terbesar ada dan diberikan oleh ̂ dengan
̂
Bukti : Perhatikan bahwa: ( A x m
b ) { ⨂ ⨂ ⨂ ⨂ ⨂ ⨂ ⨂ ⨂ ⨂ ( ( ⨂ ) + ⨂ Karena unsur setiap kolom matriks A tidak semuanya sama dengan , maka untuk
setiap j selalu ada i sehingga yang berarti ada. Mengingat untuk
setiap berlaku dan maka koefisien-koefisien tidak akan berpengaruh pada nilai A x. Sehingga berlaku:
( )
( ) ( )
( ( ) *
( ( ) *
Jadi subpenyelesaian sistem di atas adalah setiap vektor yang
Jika vektor ̂ [ ̂ ̂ ̂ didefinisikan dengan
̂ ( ) untuk setiap maka diperoleh : ( ̂ ( ) *
( ̂ ( ) *
( ̂ )
(⨁ ( ̂) , ̂
Jadi vektor ̂ tersebut merupakan subpenyelesaian sistem . Karena
– ( ) ̂ maka ̂ . Akibatnya ̂.
Jadi vektor ̂ tersebut merupakan subpenyelesaian terbesar sistem
Dengan demikian untuk menyelesaikan sistem persamaan pertama-tama dihitung subpenyelesaian terbesar kemudian diperiksa apakah subpenyelesaian terbesar itu memenuhi sistem persamaan atau tidak. Untuk mempermudah perhitungan subpenyelesaian terbesar dapat digunakan cara berikut ini :
̂ [ ̂ ̂ ̂ ] [ ] [ ]
[
]
Jadi untuk menghitung subpenyelesaian terbesar dari sistem persamaan terlebih dulu dapat dicari ̂
Jika sistem persamaan linear max-plus mempunyai subpenyelesaian terbesar yang bukan merupakan penyelesaian, maka sistem persamaan linear max-plus tersebut tidak memiliki penyelesaian. Hal ini ditunjukkan sebagai berikut.
Andaikan ̅ adalah penyelesaian sistem linear max-plus yang berarti ̅ untuk setiap . Misal sistem persamaan linear max-plus mempunyai subpenyelesaian terbesar ̂ yang bukan merupakan penyelesaian, yang berarti terdapat sehingga ̂ . Karena ̅ juga merupakan subpenyelesaian, maka ̅ ̂. Akibatnya menurut teorema 2.3 berlaku ̅ ̂ yang berarti ̅ ̂ untuk setiap . Hal ini berakibat terdapat sehingga ̅ ̂ yang kontradiksi dengan pengandaian di atas. (Rudhito, 2016).
Teorema 2.6 (Zimmermann dalam Rudhito, 2016)
Andaikan ̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem vektor merupakan subpenyelesaian sistem jika dan hanya jika ̂.
Bukti :
Jika vektor merupakan subpenyelesaian sistem maka ̂. Hal ini terbukti benar sesuai dengan definisi subpenyelesaian terbesar.
ii. Andaikan ̂. Mengingat operasi pada matriks konsisten terhadap urutan dan ̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem , maka berlaku ̂ . Jadi yang berarti merupakan subpenyelesaian sistem
iii. Karena i dan ii benar, maka teorema tersebut terbukti benar.
Teorema 2.7 (Zimmermann dalam Rudhito, 2016)
Sistem mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika ̂ dimana vektor ̂ adalah subpenyelesaian terbesar dari sistem .
Bukti :
i. Akan dibuktikan jika ̂ dimana vektor ̂ adalah subpenyelesaian terbesar dari sistem maka sistem mempunyai penyelesaian. Andaikan ̂ . Karena ̂ adalah subpenyelesaian terbesar dari sistem maka berlaku ̂ Mengingat berlaku ̂ dan ̂ maka ̂ sehingga ̂ merupakan penyelesaian . Jadi terbukti benar mempunyai penyelesaian.
ii. Akan dibuktikan jika mempunyai penyelesaian maka ̂ dimana vektor ̂ adalah subpenyelesaian terbesar dari sistem . Andaikan mempunyai penyelesaian yaitu vektor , maka atau dan .
Terlihat bahwa merupakan subpenyelesaian sistem . Dikarenakan ̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem maka berlaku ̂. Mengingat operasi pada matriks konsisten terhadap urutan maka berlaku ̂ . Jadi ̂
iii. Karena i dan ii benar maka teorema tersebut terbukti benar.
Akibat 2.4 (Schutter dan Boom dalam Rudhito,2016)
Diberikan dengan unsur-unsur setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan , dan . Jika ̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem persamaan linear max-plus maka untuk setiap indeks terdapat suatu indeks sedemikian hingga
̂ .
Bukti :
Karena ̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem persamaan linear max-plus
maka menurut teorema 2.4 ̂ untuk setiap
dengan . Hal ini berarti untuk setiap indeks terdapat suatu indeks sedemikian hingga ̂ atau ̂ .
Definisi 2.19
Diberikan [ . Didefinisikan ‖ ‖ | | untuk
Teorema 2.8 (Schutter dan Boom dalam Rudhito, 2016)
Diberikan dengan komponen setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan . Vektor ̂ dengan ̂ subpenyelesaian terbesar sistem dan ‖ ̂‖ , merupakan vektor yang meminimalkan ‖ ‖ . Selanjutnya ‖ ‖ .
Bukti :
Misalkan ̂ subpenyelesaian terbesar sistem .
i. Jika ̂ merupakan penyelesaian sistem , maka ‖
̂‖ | ̂ | Akibatnya, ̂ meminimalkan ‖
‖ .
ii. Jika ̂ bukan penyelesaian sistem maka ‖ ̂‖ | ̂ |
. Karena ̂ maka
| ̂ | ̂ . Himpunan indeks yaitu dapat dipartisi menjadi tiga himpunan dan sedemikian hingga :
̂ untuk semua ̂ untuk semua
̂ untuk semua , dengan
Karena ̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem maka menurut akibat 2.4 untuk setiap indeks terdapat suatu indeks sedemikian sehingga ̂
Akibatnya tidak kosong. Karena ̂ bukan merupakan penyelesaian sistem
, maka terdapat suatu indeks sehingga | ̂ |
. Akibatnya himpunan juga tidak kosong. Sementara himpunan dapat kosong ataupun tidak kosong. Menurut teorema 2.3 untuk setiap ̂
berlaku ̂ yang berakibat | ̂ |
| | untuk setiap
̂. Dengan memperhatikan
teorema 2.1 6 dan 8 diperoleh bahwa untuk sebarang berlaku ̂ ̂ . Jika , maka ̂ ̂ , yang
berakibat | ̂ | ( ) untuk
skalar positif . Didefinisikan ̂ , dengan
. Karena ( ̂ ) ̂ , maka diperoleh : ,
Karena dan tidak kosong dan untuk semua , maka
‖ ‖ | | | | | | yang
mempunyai nilai minimum untuk . Jadi ( ) ̂ merupakan vektor yang meminimumkan ‖ ‖ . Selanjutnya diperoleh
‖ ‖
(| | |( * |*
Kemudian akan ditunjukkan bahwa tidak ada vektor yang memenuhi ‖ ‖ Misalkan terdapat vektor ̃ sedemikian hingga
‖ ̃ ‖ (3.1)
Didefinisikan ̃ ̂ maka ̃ ̂ . Karena ̂ merupakan subpenyelesaian terbesar sistem maka menurut Akibat 2.4 untuk setiap terdapat suatu indeks sedemikian hingga ̂ . Karena ̃ ( ̂ ) ̂ , maka diperoleh ̃
. Karena ketaksamaan (3.1) maka . (3.2) untuk setiap
Karena ̂ merupakan subpenyelesaian terbesar sistem maka terdapat suatu indeks sehingga ̂ atau ̂ .
Karena
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
Maka ̂ untuk setiap (3.3) Akibatnya :
̃ ( ̂ ) ( ) Karena ketaksamaan (3.2) maka :
Jadi terdapat suatu indeks sedemikian hingga ̃ atau ̃ . Hal ini berakibat bahwa ‖
̃ ‖ yang bertentangan dengan pemisalan bahwa ‖
̃ ‖ .
F. Penerapan Aljabar Max-plus dalam Sistem Linear Max-plus Waktu Invarian dan Sistem Produksi Sederhana
Sistem linear max-plus waktu invarian merupakan sistem kejadian diskrit yang mempunyai waktu aktifitas dan barisan kejadian yang deterministik. Matriks dalam persamaan sistemnya merupakan matriks konstan, yaitu tidak tergantung pada parameter . (Rudhito, 2016).
Definisi 2.20 (Sistem Linear Max-plus Waktu Invarian (SLMI), Schutter 1996)
Sistem Linear Max-plus Waktu Invarian adalah Sistem Kejadian Diskrit (SKD) yang dapat dinyatakan dengan persamaan berikut.
untuk dengan kondisi awal
. Vektor
menyatakan keadaan atau state, adalah vektor input, dan adalah vektor output sistem saat waktu ke- .
SLMI seperti dalam definisi diatas secara singkat dituliskan dengan SLMI dan dituliskan SLMI jika kondisi awal diberikan.
Contoh 2.7
Diperhatikan suatu sistem produksi sederhana yang disajikan dalam gambar di atas. Sistem ini terdiri dari 3 unit pemrosesan , , . Bahan baku dimasukkan ke dan , diproses dan dikirimkan ke . Waktu pemrosesan untuk , , dan berturut-turut adalah dan satuan waktu. Diasumsikan bahwa bahan baku memerlukan satuan waktu untuk dapat masuk dari input ke dan memerlukan satuan waktu dari produk yang telah diselesaikan di untuk sampai di , sedangkan waktu transportasi yang lain diabaikan. Pada input sistem dan antara unit pemrosesan terdapat penyangga (buffer), yang berturut-turut disebut buffer input dan buffer internal, dengan kapasitas yang cukup besar untuk menjamin tidak ada penyangga yang meluap (overflow). Suatu unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja untuk suatu produk baru jika ia telah menyelesaikan pemrosesan produk sebelumnya.
Diasumsikan bahwa setiap unit pemrosesan mulai bekerja segera setelah bahan tersedia. Didefinisikan (Rudhito, 2010):
i) : waktu saat bahan baku dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan ke- ,
ii) : waktu saat unit pemrosesan ke-i mulai bekerja untuk pemrosesan ke- ,
iii) : waktu saat produk ke-k yang diselesaikan meninggalkan sistem. Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- dapat ditentukan sebagai berikut. Jika bahan mentah dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan ke- , maka bahan mentah ini tersedia pada input unit pemrosesan pada waktu . hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku baru segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke- . Waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu, maka produk setengah jadi ke-k akan meninggalkan pada saat . Hal ini dapat dituliskan dengan :
untuk Dengan alasan yang sama untuk , dan waktu saat produk ke-k yang diselesaikan meninggalkan sistem, diperoleh:
untuk
Menggunakan operasi Aljabar Max-plus, persamaan-persamaan dalam model sistem produksi sederhana di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
Jika dituliskan dalam bentuk matriks persamaan di atas menjadi : [
] [ ]
[ untuk dan [ . Hasil di atas dapat juga dituliskan dengan:
untuk , dengan [ , keadaan awal ,
[
] [ ] , dan [ .
Analisis Input-Output Sistem Linear Max-plus Waktu-Invariant
Jika kondisi awal dan suatu barisan input diberikan untuk suatu SLMI , maka secara rekursif dapat ditentukan suatu barisan vektor keadaan sistem dan barisan output sistem.
Diperhatikan sistem produksi sederhana (Gambar 2.1), misalkan kondisi awal sistem [ yang berarti unit pemrosesan dan berturut-turut memulai aktifitasnya saat waktu dan sementara unit pemrosesan masih kosong dan harus menunggu datangnya input dari dan . Bahan mentah dimasukkan sistem saat waktu dan seterusnya yang berarti diberikan barisan input , dan seterusnya, dengan untuk setiap Secara rekursif dapat ditentukan barisan vektor keadaan berikut. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] dan seterusnya.
Kemudian diperoleh barisan output sistem sebagai berikut dengan menggunakan 3 :
dan seterusnya. Hal ini berarti bahwa produk dapat diambil saat 16, 22, 28, 35, dan seterusnya.
Teorema 2.9 (Input-Output SLMI
Diberikan suatu bilangan bulat positif Jika vektor output [ dan vektor input [ pada SLMI maka : dengan [ ] dan [ ]
Bukti :
Jika diberikan kondisi awal dan barisan input dengan induksi matematika akan dibuktikan berlaku
( ) ( ( )) untuk Diperhatikan bahwa ( ) ( ( ))
Jadi benar untuk . Andaikan benar untuk
( ) ( ( )) Maka (( ) ( ( *), ( ) ( ( *) ( ) ( ( *)
Akibatnya diperoleh ( * ( ) untuk
Diberikan suatu bilangan bulat positif . Jika didefinisikan [ dan [ maka dari persamaan diperoleh :
Atau dalam persamaan matriks dapat dituliskan sebagai :
[ ] [ ] [ ] [ ] atau dengan [ ] dan [ ]
Contoh 2.8
Diberikan suatu sistem produksi seperti pada Gambar 2.1. Didefinisikan [ . Jika diberikan [ dan [ , maka diperoleh dengan
* + dan * + Diperhatikan bahwa * + * + * +
Hal ini berarti bahwa jika kondisi awal [ dan bahan baku dimasukkan ke dalam sistem pada saat waktu maka produk akan meninggalkan sistem pada saat waktu
Berikut akan dibahas masalah input paling lambat pada SLMI Masalah input paling lambat pada SLMI adalah sebagai berikut: Diberikan suatu bilangan bulat positip . Diketahui vektor output [ . Misalkan vektor [ adalah vektor input. Permasalahannya adalah menentukan vektor input u terbesar (waktu paling lambat) sehingga memenuhi , dengan K dan H seperti dalam Teorema 2.9.
Teorema 2.10
Diberikan SLMI dengan Jika maka penyelesaian masalah input paling lambat pada SLMI diberikan oleh ̂ [ ̂ ̂ ̂ dengan ̂ ( )
.
Bukti : Karena , maka .
Akibatnya masalah input paling lambat pada SLMI menjadi masalah menentukan vektor input terbesar (waktu paling lambat) yang memenuhi . Masalah ini merupakan masalah menentukan subpenyelesaian terbesar sistem persamaan linear max-plus . Karena maka komponen setiap kolom matriks tidak semuanya sama dengan . Menurut Teorema 2.5 subpenyelesaian terbesar sistem persamaan linear max-plus diberikan oleh vektor ̂ [ ̂ ̂ ̂ dengan ̂ ( )
. Teorema 2.11
Diberikan SLMI dengan Jika maka penyelesaian masalah minimisasi simpangan ouput pada SLMI diberikan oleh ̃ ̂ ⁄ , dengan ̂ merupakansubpenyelesaian terbesar
sistem dan | ̂ |.
Bukti : Karena , maka .
Akibatnya masalah minimisasi simpangan maksimum output ini menjadi menentukan masalah vektor input sedemikian hingga | ̂ |
minimal. Karena maka komponen setiap kolom matriks tidak semuanya sama dengan . Seperti masalah optimisasi yang berkaitan dengan persamaan linear max-plus , menurut Teorema 2.8 suatu penyelesaian ̃ untuk masalah di atas diberikan oleh ̃ ̂ ⁄ dengan ̂ merupakansubpenyelesaian terbesar sistem dan
|
Untuk mempermudah dalam perhitungan sistem, berikut diberikan list program
MATLAB untuk perhitungan masalah-masalah di atas.
% Program MATLAB Menghitung INPUT-OUTPUT Sistem Linear
Max-plus Waktu-Invariant
% Oleh: M. Andy Rudhito FKIP Universitas Sanata Dharma % input: A = matriks max-plus Anxn
% B = matriks nx1 % C = matriks 1xn % x0 = kondisi awal % u = barisan input
% output: x(k) = barisan keadaan sistem % y(k) = barisan output sistem
function io_SLMI = maxio % Memasukkan input
disp(' ')
disp(' INPUT-OUTPUT SLMI(A, B, C, x0) ') disp(' ---') disp(' ')
A = input(' Masukkan matriks A(nxn) = '); disp(' ')
B = input(' Masukkan matriks B(nx1) = '); disp(' ')
C = input(' Masukkan matriks C(1xn) = '); disp(' ')
x0 = input(' Masukkan kondisi awal x0(nx1) = '); disp(' ')
u = input(' Masukkan barisan input sp kej ke-k u(kx1) = '); disp(' ')
q = length(u); [a1, a2] = size(A); L = zeros(a1,q); M = zeros(1,q); L(:,1)= x0;
% Menghitung x(1) = Ax(0) + Bu(1) [x01, x02] = size(x0);
for i = 1 : a1
for j = 1 : x02 Ax0(i, j) = -Inf; for p = 1: a2
Ax0(i, j) = max(Ax0(i, j) , A(i, p) + x0(p, j)); end;
end;
end;
