BAB IV ANALISIS WAKTU OPTIMUM DAN PENJADWALAN PRODUKSI
A. Analisis Barisan Keadaan Sistem dan Output
Pada bagian ini dibuat analisis atas persamaan yang telah diperoleh dari graf sistem produksi modifikasi. Analisis ini dilakukan dengan cara menghitung barisan keadaan sistem dan barisan output sistem dengan bantuan program MATLAB. Berdasarkan hasil yang diperoleh, dapat ditentukan waktu optimum serta dapat dibuat jadwal produksi yang periodik.
Perhitungan barisan keadaan sistem dan barisan output sistem pada Gambar 3.2 dimulai dengan memberikan kondisi awal ( sebagai berikut.
[ – – – –
Selain dengan memberikan input kondisi awal diberikan pula input berupa matriks dan seperti yang telah dijelaskan pada Bab III. Hasil dari perhitungan barisan keadaan sistem dan barisan output pada Gambar 3.2 dengan menggunakan program MATLAB untuk dengan barisan input [ akan tersaji dalam Tabel 4.1.
0 1 2 3 4 5 6 1 11 33 55 77 99 121 2 10 18 26 37 50 62 -inf 23 45 67 89 111 133 -inf 23 45 67 89 111 133 -inf 35 57 79 101 123 145 -inf 48 70 92 114 136 158 60 82 104 126 148 170
Berdasarkan Tabel 4.1 terlihat bahwa selisih waktu mulai produksi antara produksi ke- dengan produksi ke- pada masing-masing unit pemrosesan tidak sama. Dengan kata lain sistem belum periodik. Untuk itu diperlukan suatu perhitungan yang membuat sistem menjadi periodik. Berdasarkan pada barisan keadaan output pada Tabel 4.1 akan dihitung waktu mulai paling lambat( ̂ . Waktu mulai paling lambat membuat keadaan sistem menjadi periodik serta mampu mempertahankan kualitas barang yang diolah. Perhitungan waktu paling lambat dilakukan dengan bantuan program
MATLAB. Hasil dari perhitungan waktu paling lambat ( ̂ adalah sebagai
berikut.
Barisan input paling lambat ( ̂ = [ Barisan output y untuk ̂ = [
Barisan input minimum simpangan ̃ = [ Barisan output y untuk ̃ =[
Dari hasil perhitungan tersebut, input paling lambat akan digunakan lagi untuk mencari barisan keadaan sistem dengan bantuan program MATLAB.
Tabel 4.1 Barisan Keadaan Sistem dan Output Graf Sistem Produksi Loop Tunggal
Hasil dari perhitungan barisan keadaan sistem dengan input paling lambat adalah sebagai berikut.
0 1 2 3 4 5 6 1 11 33 55 77 99 121 2 12 34 56 78 100 122 -inf 23 45 67 89 111 133 -inf 23 45 67 89 111 133 -inf 35 57 79 101 123 145 -inf 48 70 92 114 136 158 60 82 104 126 148 170
Pada Tabel 4.2 terlihat bahwa barisan keadaan sistem dan output telah periodik pada saat mulai produksi ke-1. Keperiodikan barisan keadaan sistem dan output tercermin dari kesamaan selisih waktu mulai produksi ke- dengan waktu mulai produksi ke- pada setiap unit pemrosesan. Selisih waktu mulai produksi untuk setiap unit pemrosesan pada Gambar 3.2 adalah 22 satuan waktu.
Dengan menggunakan cara yang sama dihitung pula barisan keadaan sistem dan output pada Gambar 3.4 dan 3.6. Hasil akhir barisan keadaan sistem dan output pada Gambar 3.4 dengan barisan input paling lambat ( ̂ [ adalah sebagai berikut.
0 1 2 3 4 5 0 10 44 78 112 146 1 11 45 79 113 147 -Inf 16 50 84 118 152 -Inf 28 62 96 130 164 -Inf 28 62 96 130 164 -Inf 43 77 111 145 179 -Inf 40 74 108 142 176
Tabel 4.2 Barisan Keadaan Sistem dan Output pada Graf Loop Tunggal dengan Input Paling Lambat
Tabel 4.3 Barisan Keadaan Sistem dan Ouput pada Graf Multi Loop dengan Input Paling Lambat
-Inf 57 91 125 159 193
67 101 135 169 203
Tabel 4.3 menunjukkan bahwa barisan keadaan sistem mulai periodik setelah produksi ke-1. Barisan keadaan sistem dan output pada Gambar 3.4 periodik dengan periode 34 satuan waktu. Selanjutnya dengan menggunakan cara yang sama ditentukan barisan keadaan sistem dan ouput pada Gambar 3.6 dengan input paling lambat. Barisan keadaan sistem dan output pada Gambar 3.6 dengan menggunakan input paling lambat ( ̂ [ adalah sebagai berikut.
0 1 2 3 4 5 10 944 5109 9274 13439 17604 5 939 5104 9269 13434 17599 10 944 5109 9274 13439 17604 -inf 1379 5544 9709 13874 18039 -inf 1878 6043 10208 14373 18538 -inf 1878 6043 10208 14373 18538 -inf 1379 5544 9709 13874 18039 -inf 2186 6351 10516 14681 18846 -inf 1819 5984 10149 14314 18479 -inf 2199 6364 10529 14694 18859 -inf 2566 6731 10896 15061 19226 -inf 2836 7001 11166 15331 19496 -inf 3096 7261 11426 15591 19756 -inf 3349 7514 11679 15844 20009 -inf 3627 7792 11957 16122 20287 -inf 3880 8045 12210 16375 20540 -inf 4147 8312 12477 16642 20807 -inf 4427 8592 12757 16922 21087 -inf 4705 8870 13035 17200 21365 Tabel 4.4 Barisan Keadaan Sistem dan Ouput pada Graf Multi Loop Multi
-inf 4985 9150 13315 17480 21645 -inf 5277 9442 13607 17772 21937 -inf 5561 9726 13891 18056 22221 -inf 5859 10024 14189 18354 22519 -inf 6158 10323 14488 18653 22818 -inf 6519 10684 14849 19014 23179 -inf 6813 10978 15143 19308 23473 -inf 9186 13351 17516 21681 25846 10034 14199 18364 22529 26694
Pada Tabel 4.4 terlihat bahwa barisan keadaan sistem dan output telah periodik pada saat mulai produksi ke-1. Keperiodikan barisan keadaan sistem dan output tercermin dari kesamaan selisih waktu mulai produksi ke- dengan waktu mulai produksi ke- pada setiap unit pemrosesan. Selisih waktu mulai produksi untuk setiap unit pemrosesan pada Gambar 3.6 adalah 4165 satuan waktu.
Berikut ini akan dianalisis keterhubungan antara entry dan nilai eigen matriks A pada sistem persamaan linear aljabar max-plus terhadap waktu
input paling lambat dan keperiodikan barisan keadaan sistem dan output
sistem produksi berdasarkan pada contoh-contoh yang telah dipaparkan sebelumnya.
Pengamatan yang pertama dilakukan pada barisan keadaan sistem pada sistem produksi loop tunggal. Barisan keadaan sistem pada graf sistem produksi loop tunggal dengan persamaan
,
[ ] , [ ] , [
dan memiliki nilai eigen yang bersesuaian dengan matriks = 22 ,menunjukkan keperiodikannya pada produksi pertama untuk waktu input paling lambat ̂ [ dengan periode 22 satuan waktu. Waktu input paling lambat pada produksi pertama untuk graf loop tunggal mempunyai nilai yang sama dengan entry matriks A yang terletak pada baris pertama dan kolom pertama yaitu 10 yang juga merupakan nilai maksimum waktu pemrosesan untuk unit-unit pemrosesan yang dapat memulai pekerjaan tanpa menunggu unit pemrosesan yang lain. Dalam kasus ini dan . Selain itu, periode barisan keadaan sistem dan ouput memiliki nilai yang sama dengan nilai eigen matriks A. Hal yang sama juga berlaku pada periode waktu input paling lambat yaitu 22 satuan waktu yang merupakan nilai eigen dari matriks A.
Pengamatan selanjutnya dilakukan pada barisan keadaan sistem pada sistem produksi loop ganda (Multi loop). Barisan keadaan sistem pada graf sistem produksi multi loop dengan persamaan
,
dengan matriks dan yang didefinisikan sebagai berikut. [ ] , [ ] , [
dan memiliki nilai eigen yang bersesuaian dengan matriks = 34, menunjukkan keperiodikannya pada produksi pertama untuk waktu input paling lambat ̂ [ dengan periode 34 satuan waktu. Waktu input paling lambat pada produksi pertama untuk graf sistem produksi
multi loop mempunyai nilai yang sama dengan entry matriks yang terletak
pada baris kedua dan kolom kedua yaitu 10 yang merupakan nilai maksimum waktu pemrosesan pada unit pemrosesan yang dapat memulai produksi secara langsung tanpa harus bergantung pada unit pemrosesan lainnya. Selain itu, periode barisan keadaan sistem dan ouput memiliki nilai yang sama dengan nilai eigen matriks . Hal yang sama juga berlaku pada periode waktu input paling lambat yaitu 34 satuan waktu yang merupakan nilai eigen dari matriks .
Pengamatan yang dilakukan pada barisan keadaan sistem pada sistem produksi ber-loop ganda dengan beberapa titik (Multi loop multi vertex). Barisan keadaan sistem pada graf multi loop multi vertex dengan persamaan
,
dengan matriks dan yang didefinisikan pada Tabel 3.7, Tabel 3.8, dan Tabel 3,9 dan memiliki nilai eigen yang bersesuaian dengan matriks = 4165, menunjukkan keperiodikannya pada produksi pertama untuk waktu
input paling lambat ̂ [ dengan periode
4165 satuan waktu. Waktu input paling lambat pada produksi pertama untuk graf multi loop multi vertex mempunyai nilai yang sama dengan entry matriks yang terletak pada baris pertama dan kolom pertama yaitu 934 yang merupakan nilai maksimum waktu pemrosesan pada unit pemrosesan yang dapat memulai produksi secara langsung tanpa harus bergantung pada unit pemrosesan lainnya. Selain itu, periode barisan keadaan sistem dan ouput memiliki nilai yang sama dengan nilai eigen matriks . Hal yang sama juga berlaku pada periode waktu input paling lambat yaitu 4165 satuan waktu yang merupakan nilai eigen dari matriks .
Berdasarkan pada pengamatan di atas dapat disimpulkan suatu teorema berikut.
Teorema 4.1
Jika terdapat suatu persamaan
, dengan matriks [
], merupakan nilai eigen
maksimum dari matriks , dan input bersesuaian dengan matriks , serta diketahui hingga merupakan unit pemrosesan yang memulai
pemrosesan tanpa bergantung pada pemrosesan lainnya maka barisan input paling lambat agar barisan keadaan sistem periodik adalah [ dengan .
Bukti :
Misal diberikan nilai , maka . merupakan unit pemrosesan yang bekerja secara langsung tanpa bergantung pada unit pemrosesan lainnya, sehingga waktu pemrosesan untuk tiap-tiap unit pemrosesannya sama dengan . merupakan nilai eigen maksimum dari matriks , sehingga merupakan waktu terlama yang dimiliki suatu unit pemrosesan dalam sistem produksi untuk menyelesaikan pekerjaannya dalam satu periode.
Selanjutnya akan diambil input paling lambat untuk produksi pertama. Karena merupakan unit pemrosesan yang bekerja secara langsung maka unit-unit pemrosesan tersebut bergantung pada waktu input yang diberikan. Semakin cepat waktu inputnya, semakin cepat pula unit pemrosesan tersebut memulai pekerjaannya, begitupun sebaliknya. Dalam kasus ini akan dicari input yang paling lambat yang memenuhi . Jika maka ada yang memenuhi Jadi, bukan input paling lambat. Jika maka waktu produksi yang diambil menjadi tidak optimum karena semua unit pemrosesan dari hingga seharusnya telah dapat menyelesaikan proses pertamanya. Hal ini membuat barang akan keluar dari sistem melebihi dari waktu yang diharapkan. Sehingga diambil yang membuat tetap.
Jika diambil periode , maka ada unit pemrosesan yang belum menyelesaikan pemrosesan sebelumnya saat unit pemrosesan yang lain telah melakukan pemrosesan periode selanjutnya. Hal ini membuat keadaan tidak periodik untuk semua sistem. Selanjutnya diambil sebagai periode yang merupakan waktu terlama yang dimiliki suatu unit pemrosesan dalam sistem produksi untuk menyelesaikan pekerjaannya dalam satu periode. Pengambilan sebagai periode membuat semua unit pemrosesan telah selesai melakukan pemrosesan dan siap melakukan pemrosesan selanjutnya. Begitu pun untuk unit pemrosesan dengan waktu pemrosesan sebesar , unit pemrosesan tersebut akan segera melakukan pemrosesan selanjutnya tanpa harus menunggu terlalu lama.
Jika diambil periode , maka akan terjadi waktu tunggu pada unit pemrosesan dengan waktu proses terpanjang sehingga waktu pemrosesan menjadi tidak optimum.
Sehingga, periode yang diambil untuk membuat barisan keadaan sistem menjadi periodik adalah . Seperti dijelaskan diatas, bahwa unit pemrosesan yang bekerja secara langsung dapat memulai produksi sesuai dengan barisan input yang dimasukkan. Sehingga, agar barisan keadaan sistem optimum dan periodik, barisan input yang dipilih adalah [ dengan .
Dengan barisan input paling lambat tersebut akan diperoleh barisan keadaan sistem dan ouput yang periodik dengan periode sebesar . Pada sistem tersebut, menjadi periode dari barisan keadaan sistem dan output
dikarenakan yang berupa nilai eigen maksimum dari matriks merupakan waktu proses terlama suatu unit pemrosesan dapat menyelesaikan pekerjaannya.