KETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS
ALJABAR MAKS PLUS
oleh
TRI ANGGORO PUTRO
M0112100
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi saya yang berjudul ”Ketercapai-an dari Ru”Ketercapai-ang Eigen Matriks atas Aljabar Maks-Plus” belum pernah diajuk”Ketercapai-an untuk memperoleh gelar kesarjanaan pada suatu perguruan tinggi, dan sepanjang pengetahuan saya juga belum pernah ditulis atau dipublikasikan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.
Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.
Surakarta, Juli 2017
ABSTRAK
Tri Anggoro Putro, 2017. KETERCAPAIAN RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Aljabar maks-plus merupakan suatu himpunanR=R∪{ε}yang dilengkapi dengan dua operasi yaitu⊕ dan⊗, dengana⊕b = maks{a, b}dan a⊗b=a+b. Himpunan matriks berukuran m ×n atas aljabar maks-plus dinotasikan seba-gai Rm×n. Suatu matriks A dikatakan tak tereduksi jika graf precedence G(A) terhubung kuat. Sebaliknya, jika graf precedence G(A) tidak terhubung kuat, maka matriks tersebut tereduksi. Matriks A = (aij) ∈ R
n×n
dikatakan ter-visualisasi jika aij ≤ λ(A) untuk setiap i, j ∈ N dan aij = λ(A) untuk seti-ap (i, j) ∈ E(A). Suatu matriks tervisualisasi kuat apabila aij = λ(A) jika dan hanya jika (i, j) ∈ E(A). Pada penelitian ini, dibahas mengenai proyektor spektral, kelas-kelas siklis dan perilaku khusus dari matriks berpangkat, dan pe-nyelesaian ketercapaian. Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa suatu matriks Q dikatakan proyektor spektral dari A apabila memenuhi
A⊗Q = Q⊗A = Q = Q2. Proyektor spektral Q = Ar akan periodik ketika nilair ≥n2. Jika matriksAadalah suatu matriks definit dan tak tereduksi maka semua baris (atau kolom) dariAr yang termuat di kelas siklis yang sama adalah bernilai sama. Ruang eigen matriks A disebut tercapai apabila orbit O(A, x) memuat vektor eigen dari matriks A.
ABSTRACT
Tri Anggoro Putro, 2017. REACHABILITY OF EIGENSPACES IN MAX-PLUS ALGEBRA. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Max-plus algebra is a setR=R∪ {ε} equipped with two operations⊕and
⊗, wherea⊕b= max{a, b}anda⊗b=a+b. The set of matricesm×nin max-plus algebra is denoted by Rm×n. Matrix A is called irreducible if precedence graph
G(A) is strongly connected, if precedence graph G(A) is not strongly connected, then the matrix is called reducible. Matrix A= (aij)∈R
n×n
is called visualized if aij ≤ λ(A) for all i, j ∈ N and aij = λ(A) for all (i, j) ∈ E(A). A visualized matrix is called strictly visualized if aij = λ(A) if and only if (i, j) ∈ E(A). In this research, is discussed about spectral projector, cyclic classes and ultimate behavior of matrix powers, and solving reachability. Based on the result and discussion can be concluded that matrixQ is called spectral projector onA such thatA⊗Q=Q⊗A=Q=Q2. Spectral projectorQ=Ar will be periodic when
r ≥ n2. If matrix A is definite and irreducible then all rows (or colomns) of Ar with indices in the same cyclic class are equal. Eigenspaces of matrixA is called reachable if orbit O(A, x) contains eigenvector of matrix A.
MOTO
”Keistimewaan dalam kehidupan adalah menjadi dirimu sendiri.”
(Joseph Campbell)
”Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan.”
PERSEMBAHAN
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim,
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah me-limpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penu-lisan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan kepada Nabi Muhammad SAW. Penulis menyadari bahwa terwujudnya skripsi ini berkat bantuan dan bim-bingan dari berbagai pihak. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada
1. Drs. Siswanto, M.Si. dan Supriyadi Wibowo, M.Si. sebagai Pembimbing I dan II yang telah memberikan bimbingan materi serta penulisan dalam skripsi, saran, dan motivasi, dan
2. semua pihak yang telah memberikan bantuan, masukan, dan dukungan ke-pada penulis.
Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.
Surakarta, Juli 2017
2.2.4 Graf dalam Aljabar Maks-Plus . . . 9 2.2.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen . . . 10 2.2.6 Visualisasi Sifat-Sifat Spektral oleh Matriks Scalling . . . . 11 2.3 Kerangka Pemikiran . . . 12
III METODE PENELITIAN 14
IV PEMBAHASAN 15
4.1 Proyektor Spektral . . . 15 4.2 Kelas-Kelas Siklis dan Perilaku Khusus dari Matriks Berpangkat . 19 4.3 Penyelesaian Ketercapaian . . . 24
V PENUTUP 32
5.1 Kesimpulan . . . 32 5.2 Saran . . . 32
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR NOTASI
R : himpunan bilangan real
R : R∪ {ε}
⊕ : operasi maksimum pada aljabar maks plus
⊗ : operasi jumlah pada aljabar maks plus
ε : elemen identitas untuk ⊕ denganε =−∞
e : elemen identitas untuk ⊗ dengane = 0
Rm×n : himpunan matriks berukuran m×n dengan elemen R En : matriks identitas berukuran n×n dalam aljabar maks plus
AT : transpose dari matriks A
A⊗k : A⊗A⊗. . .⊗A (A sebanyak k)
G(A) : graf berarah dari matriks A
I(G) : himpunan yang beranggotakan titik-titik (nodes) pada graf berarah G(A)
E(G) : himpunan yang beranggotakan arcs pada graf berarahG(A)
Aii : submatriks dari matriks A pada diagonal ke-i
a(ijr) : elemen dari matriks Ar
ar
ij : pangkat ke-r dari aij
εn×1
: matriks berukuran n×1 dengan elemennya bernilai ε Q(A) : proyektor spektral dari matriks A
Qi(A) : proyektor spektral elementer ke-i dari matriks A A∗
: matriks Kleene Star
T(A) : transien dari Ak
[i] : kelas siklis yang memuat node i
