REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS Annisa Rahmawati, Siswanto, Muslich
Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret
Abstrak. Aljabar maks-plus merupakan suatu himpunan Rmax dimana Rmax = R∪
{−∞}yang dilengkapi operasi maksimum ⊕dan penjumlahan ⊗. Himpunan matriks berukurann×natas aljabar maks-plus dinotasikan sebagai Rn×n
max. Penelitian ini
bertu-juan untuk membahas mengenai kebebasan linear Gondran-Minoux dan regularitas serta menyelidiki hubungan antara matriks reguler kuat dengan matriks Gondran-Minoux re-guler. Matriks A ∈ Rn×n
max dikatakan reguler kuat jika dan hanya jika permanen kuat.
Untuk menentukan nilai permanen pada matriks, perlu dicari permutasi matriks yang memiliki bobot maksimum. Selanjutnya, matriks dikatakan memiliki permanen kuat apa-bila hanya terdapat satu permutasi yang memiliki bobot maksimum. MatriksA∈Rn×n max
dikatakan Gondran minoux reguler jika ap(A) ⊆ P+
n atau ap(A) ⊆ P −
n. Berdasarkan
hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa setiap matriks yang reguler kuat adalah Gondran-Minoux reguler dan himpunan vektor dikatakan bebas linear Gondran-Minoux jika himpunan vektor tidak dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan saling asing yang membentuk ruang linear.
Kata Kunci: Aljabar maks-plus, matriks, permutasi, kebebasan linear Gondran-Minoux,
reguler kuat, Gondran-Minoux reguler.
1. Pendahuluan
Aljabar linear merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan nyata. Adapun masalah dalam kehidupan nyata tersebut antara lain masalah penjadwalan mesin produksi dalam sebuah perusahaan atau pabrik, antrian dan proses jaringan. Selain digu-nakan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan nyata, aljabar juga berguna sebagai bahan riset para ilmuan, antara lain teori graf dan teori automata dimana permasalahan riset tersebut akan lebih mudah untuk dipahami dengan mengguna-kan teori-teori dalam aljabar.
Menurut Konigsberg[10] aljabar maks-plus adalah himpunan Rmax dimana
Rmax = R∪ {−∞} yang dilengkapi dua operasi penjumlahan ’⊕ = max’ dan
per-kalian ’⊗= +’ dan dinotasikan denganRmax = (Rmax,⊕,⊗, ε, e). Elemen Identitas
untuk penjumlahan adalah −∞ (yang selanjutnya dinotasikan ε) dan elemen iden-titas untuk perkalian adalah e, dimana nilai e= 0.
penelitian yang dilakukan adalah mengenai kebebasan linear atas maks-plus. Bera-wal dari Cunninghame-Green[5] yang mendefinisikan kebebasan linear secara lemah. Himpunan vektor dikatakan bebas linear secara lemah jika himpunan tersebut tidak memuat suatu vektor yang merupakan kombinasi linear dari vektor lain. Selanjut-nya, Izhakian[9] berpendapat bahwa suatu himpunan vektor dikatakan bebas linear secara tropical jika himpunan vektor tidak memuat kombinasi linear dari vektor-vektor pada himpunan tersebut sedemikian sehingga nilai maksimum dari tiap baris diperoleh paling tidak dua kali. Selanjutnya, Gondran-Minoux[7] mempunyai defi-nisi yang berbeda tentang kebebasan linear. Gondran-Minoux mendefidefi-nisikan ke-bebasan linear dari suatu himpunan yaitu himpunan vektor dikatakan bebas linear jika himpunan tersebut tidak dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan saling asing yang membangun sebuah ruang linear.
Pada tahun 2010, Tam[12] mempublikasikan tesisnya yang memuat sistem line-ar pada aljabline-ar maks-plus, himpunan bayangan dan matriks reguler kuat. Selanjut-nya, pada tahun yang sama Butkovic[4] dalam bukunya menyebutkan bahwa setiap matriks reguler kuat merupakan matriks reguler Gondran-Minoux. Oleh karena itu, dalam artikel ini dikaji ulang mengenai kebebasan linear Gondran-Minoux dalam aljabar maks-plus, termasuk matriks regular kuat dan matriks reguler Gondran-Minoux yang telah dibahas oleh Butkovic[4].
2. Graf Berarah dan Matriks atas Aljabar Maks-Plus
Berikut diberikan penjelasan mengenai graf berarah yang mengacu pada Farlow[6] Definisi 2.1. Graf berarahDmerupakan pasangan (V, E) dimanaV adalah himpun-an vertex dari graf D dan E adalah himpunan arcs (edge berarah) yaitu pasangan berurutan dari vertex-vertex yang berbeda dari graf D.
Definisi 2.2. Misalkan D = (V, E) adalah digraf, π = (v1, . . . , vp+1) disebut path
jika(v1, . . . , vp+1)adalah barisan vertex, sedemikian sehinggavi ∈V,∀i = 1, . . . , p+
1 dan (vi, vi+1) ∈ E,∀i = 1, . . . , p. Sebut v1 sebagai vertex awal dan vp+1 sebagai
vertex akhir sehingga path π memiliki panjang p.
Definisi 2.3. Misalkan D = (V, E) adalah digraf, σ = (v1, . . . , vp+1) disebut cycle
jika σ merupakan path dan v1 =vp+1. Cycle dengan panjang 1 disebut loop.
Definisi 2.5. Himpunan matriks berukuran m ×n dengan elemen-elemen Rmaks
atas aljabar maks-plus dinotasikan dengan Rmmaks×n untukm, n∈N. Banyaknya baris dalam suatu matriks adalah m dan banyaknya kolom adalah n. Himpunan tersebut dapat dinyatakan sebagai
Elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dinotasikan dengan aij. Matriks tersebut
dapat dituliskan sebagai A= (aij) dengan i= 1,2, . . . , m dan j = 1,2, . . . , n.
Definisi 2.6. Matriks A ∈ Rnmaks×n disebut normal jika semua elemen diagonalnya bernilai nol dan elemen-elemen yang lain bernilai non-positif.
Definisi 2.7. Diberikan matriks A = (aij) ∈ Rnmaks×n , ZA adalah digraf nol dari
matriks A dengan verteks himpunan N yang memiliki arc (i, j) jika dan hanya jika aij =e dengan i̸=j.
3. Permutasi
Berikut diberikan definisi permutasi yang mengacu pada Meyer[11].
Definisi 3.1. Suatu n-permutasi yang dinotasikan dengan Pn adalah himpunan
ba-risan bilangan yang terdiri dari bilangan-bilangan 1,2,3,· · ·, n.
Setiap permutasi adalah hasil dari cycle sehingga Butkovic mendefinisikan sign
dari permutasi siklik (cycle) sebagai berikut.
Definisi 3.2. Sign dari permutasi siklik (cycle) σ = (i1i2· · ·ik) adalah sgn(σ) =
(−1)k−1. Bilangan integer k dikatakan panjang dari cycle σ.
Definisi 3.3. Jika π1, . . . , πr adalah konstituen cycle dari permutasi π ∈ Pn maka
sign π adalah
sgn(π) =sgn(π1)· · ·sgn(πk).
Definisi 3.4. Permutasi π dikatakan ganjil jikasgn(π) =−1dan genap untuk yang lain.
Lema 3.1. Jika π adalah permutasi ganjil maka setidaknya satu dari konstituen
Selanjutnya, diperkenalkan simbol Pn+ sebagai himpunan permutasi genap dan
Pn− sebagai himpunan permutasi ganjil yang akan digunakan untuk merumuskan kriteria regularitas.
Definisi 3.5.
ap+(A) = ap(A)∩Pn+
ap−(A) = ap(A)∩Pn−.
Selanjutnya, Farlow[6] mendefinisikan matriks permutasi sebagai berikut.
Definisi 3.6. Matriks permutasi adalah sebuah matriks persegi dengan setiap baris dan setiap kolom memuat tepat satu elemen sama dengan 0 dan elemen yang lain sama dengan ε. Jika π : {1,2,· · · , n} → {1,2,· · · , n} adalah sebuah permutasi, Maka matriks permutasi dari π (Pπ = (pij)) didefinisikan sebagai
pij = {
0, untuk i=π(j)
ε, untuk i̸=π(j)
sedemikian hingga kolom ke-j dari Pπ memiliki elemen 0 pada baris π(j).
Definisi 3.7. Misalkan A ∈ Rmaksn×n dan π, σ ∈ Pn, A(σ, π) merupakan matriks
yang diperoleh dari matriks A dengan mempermutasi baris-baris (kolom-kolom) A dengan σ(π). Oleh karena itu, untuk suatu matriks permutasi P dan Q berlaku A(σ, π) = P ⊗A⊗Q. Menurut Goverde[8], suatu matriks permutasi P ∈ Rn×n max
dan matriks B ∈Rn×n
max, hasil dari P ⊗B adalah perubahan baris dari B dan B⊗P
merupakan perubahan kolom dari B.
4. Permanen
Berikut diberikan penjabaran mengenai permanen yang mengacu pada Butkovic[3]. Diberikan A = (aij) ∈ Rmaksn×n dan Pn adalah himpunan semua permutasi dari N.
Permanen maks-aljabar dari A dapat didefinisikan sebagai berikut.
maper(A) = ⊕
π∈Pn
⊗
i∈N
ai,π(i).
Apabila dibaca dengan notasi aljabar konvensional menjadi
maper(A) =maksπ∈Pn
∑
i∈N
Selanjutnya, bobot dari permutasi π untuk π∈Pn didefinisikan
w(A, π) = ⊗
i∈N
ai,π(i)= ∑
i∈N
ai,π(i).
Himpunan dari semua permutasi optimal dinotasikan dengan ap(A), yaitu
ap(A) ={π ∈Pn;maper(A) = ∑
i∈N
ai,π(i)}.
Definisi 4.1. Matriks A dikatakan memiliki permanen kuat jika |ap(A)|= 1.
5. Pembahasan
5.1. Kebebasan Linear pada Aljabar Maks-Plus.
Berikut diberikan definisi dan Teorema mengenai kebebasan linear yang diambil dari Tam[12].
Definisi 5.1. Diberikan vektor-vektor a1, a2, . . . , an ∈Rmmax. Vektor-vektor tersebut
dikatakan bergantung linear jika salah satu dari vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari yang lain. Sebaliknya, vektor-vektor dikatakan bebas linear apabila tidak bergantung linear.
Definisi 5.2. vektor-vektor dikatakan bebas linear kuat jika terdapat b∈Rn
sedemi-kian sehinggab dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear daria1, a2, . . . , an ∈Rmmax
secara tunggal.
Definisi 5.3. Matriks A= (a1, a2, . . . , an) dengan vektor-vektor a1, a2, . . . , an yang
bebas linear kuat disebut matriks reguler kuat jika ukuran matriks m=n.
Lema 5.1. Misalkan A matriks persegi. Jika A adalah matriks reguler kuat maka A memiliki permanen kuat.
Lema 5.2. Jika A∈Rnmax×n dan A∼B maka ap(A) =ap(B).
5.2. Kebebasan Linear Gondran-Minoux.
Konsep lain dari kebebasan linear pada aljabar maks-plus adalah kebebasan line-ar Minoux. Pada bagian ini dibahas mengenai kebebasan lineline-ar Gondran-Minoux untuk matriks yang terbatas. Berikut Akian et al.,[2] memberikan definisi mengenai kebebasan linear Gondran-Minoux.
Definisi 5.4. Vektor-vektora1, a2,· · · , an∈Rmdikatakan bergantung linear
S∪T =K, dan α1, . . . , αk ∈R sedemikian hingga
⊕
i∈S
αi⊗ai = ⊕
j∈T
αj ⊗aj. (1)
Namun, jika persamaan (1) tidak terpenuhi maka vektor-vektor tersebut dikata-kan bebas linear Gondran-Minoux. Matriks persegi dengan kolom-kolom yang bebas linear Gondran-Minoux disebut Gondran-Minoux reguler.
Berikut diberikan contoh vektor yang bergantung linear Gondran-Minoux berda-sarkan Definisi 5.4 yang diambil dari Akian [2].
Contoh 5.1. Diberikan vektor vi := [i,1,−i]t dengan i = 1,2,3,4. Vektor vi
ber-gantung linear Gondran-minoux karena memenuhi
1⊗v1⊕2⊗v3 = 2⊗v2⊕1⊗v4.
Teorema 5.1. Jika matriks A ∈ Rn×n
max maka ap(A) ⊆ Pn+ atau ap(A) ⊆ Pn−
Gondran-Minoux reguler.
Bukti. Setiap matriks adalah ekuivalen dengan bentuk normalnya, sehingga matriks
A ekuivalen dengan matriks normal B = P ⊗ A ⊗ Q dengan P dan Q adalah matriks diagonal sedemikian sehingga id ∈ ap(B) dan id adalah permutasi genap (ap(B) ⊆ P+
n). Matriks A reguler jika dan hanya jika matriks normal B reguler.
Oleh karena B adalah matriks normal, maka maper(B) = 0 sehingga ap(B) =
{π ∈ Pn;bi,π(i) = 0}. Jika π ∈ ap(B) maka semua unsur cycle permutasi dari
π dapat diidentifikasi sebagai cycle pada digraf ZB. Cycle pada digraf dikatakan
ganjil (genap) jika memiliki panjang ganjil (genap). Jika terdapatcycle genap pada
ZB, misal L = (i1, i2, . . . , ik) dan dilengkapi dengan loop (i, i) untuk i ∈ N −L,
maka cycle permutasi yang bersesuaian berada pada bagian ganjil.
w(π, B) = ∏⊗ i̸∈Lbii⊗
∏⊗
i∈Lbi,π(i)
= ∏⊗ i̸∈Lbii⊗
∏⊗ i∈L0
≥ ∏⊗ i∈Nbii
= w(id, B)
≥ w(π, B).
Oleh karena π ∈Pn dan π∈Pn− maka π∈ap−(B) dimana id∈ap+(B).
Akibat 5.2. Diberikan matriks A∈Rn×n
max dan matriks B merupakan bentuk normal
dari matriks A. Jika matriks A adalah reguler Gondran-Minoux maka ZB tidak
Bukti. Matriks A reguler jika dan hanya jika matriks B juga reguler. Regularitas dari matriks normal B = (bij) ekuivalen dengan ketidakberadaan permutasi ganjil
σ ∈ Pn pada matriks normal B sedemikian sehingga bi,σ(i) = 0 untuk setiap i ∈
N. Berdasarkan Lema 3.1 berarti terbukti bahwa jika matriks A adalah reguler Gondran-Minoux maka ZB tidak mengandung cycle genap.
Akibat 5.3. Setiap matriks reguler kuat adalah Gondran-Minoux reguler
Bukti. Mengacu pada Lema 5.1 bahwa setiap matriks reguler kuat pasti permanen kuat. Artinya |ap(A)| = 1. Oleh karena permutasi yang memenuhi adalah tung-gal, misalkan π, pasti π memenuhi salah satu dari permutasi ganjil atau permutasi genap. Sehingga pasti terpenuhi salah satu dari ap(A) ⊆ Pn+ atau ap(A) ⊆ Pn−. Dengan demikian berdasarkan Teorema 5.1 terbukti bahwa setiap matriks reguler kuat adalah Gondran-Minoux reguler.
Teorema 5.4. Jika matriks A ∈ Rm×n memiliki kolom-kolom yang bebas linear Gondran-Minoux maka m≥n.
Bukti. Andaikan A = (aij) ∈ Rm×n dan m < n, dibuktikan bahwa A
memili-ki kolom-kolom bergantung linear. Dikarenakan kolom-kolom bebas linear tidak terpengaruh oleh perkalian ⊗kolom dengan konstanta, diasumsikan tanpa menghi-langkan keumuman bahwa baris terakhir matriks A adalah nol. MisalkanB adalah submatriks m×m dari A dengan maper(B) maksimum. Diasumsikan juga bahwa
B mencakup kolom m pertama matriks A dan id ∈ ap(B). Selanjutnya, diberi-kan matriks C merupakan matriks n×n yang muncul dengan penambahan n−m
baris nol pada A. Jelas bahwa maper(C) = maper(B) dan ap(C) memuat permu-tasi yang merupakan perpanjangan id dari ap(B) ke permutasi N. Ketika A telah memiliki baris nol dan ditambahkan setidaknya satu lagi, maka C memiliki paling tidak dua baris nol, dengan demikian ap(C) memuat paling tidak sepasang permu-tasi yang berbeda. Dengan demikian, berdasarkan Teorema 5.1 C bukan reguler Gondran-Minoux dan jika kolom C dinotasikan denganC1,· · · , Cn maka didapat
⊕ ∑
j∈S
αj⊗Cj = ⊕ ∑
j∈T
αj ⊗Cj
berlaku untuk α ∈ R, S dan T dua buah sub himpunan disjoint tidak kosong
dari himpunan N.
6. Kesimpulan
(1) Suatu himpunan vektor dikatakan bebas linear Gondran-Minoux jika him-punan vektor tersebut tidak dapat dipartisi menjadi dua subhimhim-punan yang saling asing yang membangun sebuah ruang linear. Jika matriks A ∈Rm×n
Gondran-Minoux reguler makam ≥n.
(2) Hubungan antara matriks reguler kuat dan Gondran minoux reguler tertera pada Akibat5.3.
Pustaka
[1] Akian, M., G. Kohen, S. Gaubert, J. P. Quadrat, and M. Viot,Max-Plus Algebra and Appli-cations to System Theory and Optimal Control, Proceeding of the Internasional Congress of Mathematicians,(1994) 1502-1511.
[2] Akian, M., S. Gaubert, and A. Guterman,Linear Independence Over Tropical Semirings and Beyond.
[3] Butkovic, P.,Strong Regularity of Matrices-a Survey of Result, Discrete Applied Mathematics 48 (1994) 45-68.
[4] Butkovic, P.,Max Linear System: Theory and Algoritm, Springer,London, 2010.
[5] Cunninghame-Green, R.A.,Minimax Algebra, Lecture Notes in Economics and Mathematical System, Springer, Berlin,Vol. 166,1979.
[6] Farlow, K. G., Max-Plus Algebra, Master’s thesis, Virginia Polytechnic Institute and State University, 2009.
[7] Gondran, M. and M. Minoux,Linear Algebra in Dioids: A Survey of Recent Result, Annal of Discreate Mathematics, Elsevie Science publisher B.V. North Holland.Vol. 119 (1984),147-164.
[8] Goverde, R. M. P.,Punctuality of Railway Operations and Timeable Stability Analysis, Ph.D thesis, Transport and Planning Department of Delft University of Technology, 2005.
[9] Izhakian,Z.,Tropical Arithmetic and Tropical Matriks Algebra, 2008.
[10] Konigsberg,Z. R., A Generalized Eigenmode Algorithm for Reducible Regular Matrices Over The Max-Plus Algebra, International Mathematichal Forum, Instituto Politecnico Nacional, CIC, Mexico, (2009) 1157-1171.
[11] Meyer, C. D.,Matriks Analysis and Applied Linear Algebra, The Macmillan Publishing Com-pany, New York, 2000.
