BASIS DAN DIMENSI
Representasi Basis
Jika S={v1,v2,...,vn) adalah suatu basis dari ruang vektor V, maka tiap vektor v pada V
dapat dinyatakan dalam bentuk v= c1v1+ c2v2+... cnvn dengan cepat satu cara
Bukti: karena S merentang V, maka sesuai definisi dari himpunan rentangan bahwa setiap vektor pada V dapat dinyatakan sesuai dengan sesuatu kombinasi linier dari vektor – vektor pada S. Untuk melihat bahwa hanya terdapat satu cara untuk menyatakan suatu vektor sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor pada S.
Kita misalkan beberapa vektor v dapat ditulis: V = c1v1+ c2v2+... cnvn , atau
V = k1v1+ k2v2+... knvn
dengan mengurangkan persamaan kedua dengan persamaan menghasilkan 0 = v = (c1-k1 )v1+ (c2-k2 )v2+...(cn-kn )vn
Karena ruas kanan dari persamaan ini adalah suatu kombinasi linier dari vektor-vektor pasa S, kebebasan linier dari S mengimplikasikan bahwa:
c1-k1 = 0, c2-k2 = 0, ... cn-kn = 0
yaitu
c1= k1,, c1= k1 ,... cn = kn
jadi, kedua pernyataan untuk v adalah sama • Basis Standar untuk R3
Misalkan i =(1,1,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)
Maka S = (i,j,k) adalah suatu himpunan bebas linier pada R3. Himpunan ini juga merentang R3 karena vektor sebarang v=(a,b,c) pada R3 dapat ditulis sebagai V(a,b,c) = a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=ai + bj +ck
(v)s=(a,b,c) z ck k -(0,0,1) (a,b,c) .j bj y .i(1,0,0) x (0,1,0) basis standar untuk Rn
misalkan
e1 =(1,0,0,...,0), e2 =(0,1,0,...,0),... en =(0,0,0,...1)
maka
S={ e1, e2, ...,en }
Adalah suatu himpunan bebas linier pada Rn. Lebih lanjut, himpunan ini juga nerentang Rn dapat ditulis sebagai
Jadi basis S adalah suatu basis untuk Rn disebut juga basis standar untuk Rn sesuai dengan persamaan dikotak atas bahwa koordinat-koordinat v = (v1, v2,...vn) relatif
terhadap basis standar adalah v1, v2,...vn sehingga
• Memperlihakan bahwa Himpunan Vektor adalah suatu Basis 1 1 2 2 ... n n v v v = + + + v e e e
(
1, 2,... n)
( )v s= v v vMisalkan v1=(1, 2, 3),v2=(2, 3, 4),dan v =3 (4, 5, 6) tunjukkan bahwa himpunan S={ v1, v2,v3} adalah suatu basis untuk R3.
Penyelesaian:
Untuk menujukkan bahwa himpunan S merentang R3, kita harus menujukkan bahwa suatu vektor sebarang b=(b b b1, 2, 3) dapat dinyatakan sebagai suatu
kombinasi linier 1 1 2 2 3 3
c v c v c v
= + +
b
Dari vektor-vektor pada S. Dengan menyatakan persamaan ini dalam bentuk komponen-komponen kita peroleh
1 2 3 1 2 3
( ,b b b, )=c(1, 2, 3)+c (2, 3, 4)+c (4, 5, 6)
Atau ( ,b b b1 2, 3)=(c1+2c2+4 , 2c3 c1+3c2+5 , 3c3 c1+4c2+6 )c3
Atau menyetarakan komponen- komponen yang bersesuaian,
1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 3 2 4 2 3 5 3 4 6 c c c b c c c b c c c b + + = + + = + + =
Untuk membuktikan bahwa S bebas linier, kita harus menunjukan bahwa satu-satunya solusi dari:
1 1 2 2 3 3 0
c v +c v +c v =
• Mempersentasikan suatu vektor dengan menggunakan dua basis Misalkan s={v1,v2, v3} adalah basis untuk Rn
V1=(1,2,1), v2=(2,9,0), v3=(3,3,4)
a) Tentukan vektor koordinat dari V=(5,1,9) dalam S
b) Tentukan vektor v pada R3 yang vektor koordinatnya dalam basis S adalah (v)s
=(-1,3,2) Penyelesaian (a).
Kita harus menentukan skalar-skalar c c1, 2,c3sedemikian rupa hingga
1 1 2 2 3 3
c c c
= + +
v v v v
Atau, dalam bentuk komponen-komponennya
1 2 3
(5,1, 9)=c (1, 2,1)+c (2, 9, 0)+c (3, 3, 4)
Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian kita peroleh c1+2c2+3c3=5
2c1+9c2+3c3= −1
c +1 +4c3=9
Dengan menyelesaikan sistem ini, kita perolehc1=1,c2 = −1,c3=2
Sehingga ( )v s=(1, 1, 2)−
Penyelesaian (b)
Menggunakan definisi dari vektor koordinat (v)s , kita peroleh
1 2 3 ( 1)v 3v 2v = − + + v ( 1)(1, 2,1) 3(2, 9, 0) 2(3, 3, 4) (11, 31, 7) = − + + =
• Basis standar untuk Pn
a) Tunjukan bahwa S={1,x,x2,...xn} adalah basis untuk vektor Pn yang terdiri dari
polinomial-polinomial berbentuk a0+a1x+...+anx n
b) Tentukan vektor koordinat dari polinomial p= a0+a1x+a2x2 relatif terhadap
basis S={1,x,x2} untuk P2
Penyelesaian(b)
Penyelesaian(b)
Koordinat-koordinat p= a0+a1x+a2x2 adalah koefesien-koefesien skalar dari
vektor basis 1,x, dan x2, sehingga (p)s=(a0, a1, a2)
• Basis standar untuk Mmn
1 2 3 4 1 0 0 1 0 0 0 0 , , , 0 0 0 0 1 0 0 1 m = m = m = m =
Himpunan S={M1,M2,M3,M4} adalah basis untuk ruang vektor M22 yang terdiri dari
matriks 2x2 untuk melihat bahwa S merentang M22 perharikan bahwa suatu vektor (matriks)
sebarng a b c d
Untuk melihat bahwa S bebas linier, asumsikan bahwa
1 2 3 4 0 aM +bM +cM +dM = 1 2 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 v danv − − = − Yaitu: 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 a +b +c +d = Maka 0 0 0 0 a b c d =
Jadi a=b=c=d=0, sehingga S bebas linier. Basis S pada contoh ini disebut basis standar untuk M22
• Basis untuk subruang rentang S
• Bebrapa Ruang Berdimensi Terhingga dan Takterhingga Teorema
Misalkan V adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan {v1,v2,...vn} adalah
basis sebarang
a. Jika suatu himpunan memiliki vektor dari n, maka himpunan tersebut bersifat tidak bebas linier
b. Jika suatu himpunan memliki vektor kurang dari n, maka himpunan tersebut bersifat tidak merentang V
Semua basis untuk ruang vektor berdimensi terhingga memilki jumlah vektor yang sma
Definisi:
Dimensi dari ruang vektor V yang berdimensi terhingga, dinotasikan dengan dim(V), didefinisikan sebagai banyaknya vektor-vektor pada suatu basis untuk V , selain itu kita mendefinisikan ruang vektor nol sebgai berdimensi nol
• Dimensi dari beberapa ruang vektor
Dim (Rn) = n [basis standar memiliki n vektor Dim (Pn)= n + 1[basis standar memiliki n + 1
Dim (M mn)= mn [basis standar memiliki mn]
Definisi
Suatu ruang vektor taknol V disebut berdimensi takerhingga jika terdiri dari himpunan-himpunan takhingga vektor-vektor {v1,v2,...vn} yang berbentuk suatu basis. Jika tidak terdapat himpunan semacam ini, V disebut sebagai berdimensi tak terhingga, selain itu akan mengangap ruang vektor nol sebagai berdimensi takterhingga.
• Dimensi dari Ruang Solusi
Tentukan basis dimensi dari ruang solusi sistem homogen
1 2 3 2x +2x −x +x5 =0 -x1 - x2 + 2x3 - 3x4+x5=0 x1+x2-2x3 -x5=0 x3 + x4 + x5=0 penyelesaian: 1 , 2 , 3 , 4 0, 5 x = − −s t x =s x = −t x = x =t Sehingga: 1 2 3 4 5 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 x s t s t x s s x t t s t x t t x − − − − − − = − = + − = + −
Yang menunjukan bahwa vektor – vektor
1 2 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 v danv − − = − Teorema plus/minus
Misalkan S adalah himpunan takkosong vektor-vektor pada ruang vektor V
a. Jika S adalah himpunan bebas linier, dan jika v adalah suatu vektor pada V yang terletak diluar rentang (S), maka himpunan S∪{v} yang diperoleh dengan menyisipkan v ke dalam S masih bersifat bebas linier
b. Jika v adalah suatu vektor pada S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor lainya pada S, dan jika S –{v} menotasikan himpunan yang diperoleh dengan mengeluarkan v dari S,maka S dan S-{v} merentang ruang yang sama yaitu
• Memeriksa basis Teorema
Misalkan S adalah suatu himpunan terhingga dari vektor-vektor pada ruang vektor V berdimensi terhingga
a. Jika S merentang V, tetapi bukan suatu basis untuk V, maka S dapat direduksi menjadi suatu basis untuk V dengan mengeluarkan vektor-vektor yang sesuai dengan S
b. Jika S adalah himpunan bebas linier yang belum merupakan basis untuk V, maka S dapat diperbesar menjadi suatu basis untuk V dengan menyisipkan vektor-vektor yang sesuai ke daam S
