CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE

CHAPTER 6.

INNER PRODUCT SPACE

• Inner Products

• Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces

• Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process;

QR-Decomposition

• Best Approximation; Least Squares

• Orthogonal Matrices; Change of Basis

6.3. Basis Orthogonal Proses Gram-Schmidt;

Dekomposisi QR

Basis Orthogonal dan Orthonormal

• Suatu himpunan vektor dalam ruang hasil kali dalam disebut himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor

yang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal.

• Suatu himpunan ortogonal dimana setiap vektor mempunyai norma 1 disebut orthonormal.

Dua vektor u dan v dalam suatu hasil kali dalam disebut ortogonal jika u, v = 0.

Himpunan W = { v

₁

, v

₂

, … , v

_n

} adalah ortonormal jika:

v

_i,

v

_j

= <v

_i

, v

_j

> =

0, jika i ≠ j

1, jika i = j

Basis Orthogonal dan Orthonormal

Contoh:

• Jika u

₁

= (0, 1, 0), u

₂

= (1, 0, 1), u

₃

= (1, 0, -1) dan R

³

mempunyai hasil kali dalam Euclidean, maka himpunan vektor- vektor S = {u

₁

, u

₂

, u

₃

} adalah ortogonal karena :

u

₁

, u

₂

= u

₁

, u

₃

= u

₂

, u

₃

= 0.

u₁, u₂ = 0.1+1.0+0.1 = 0

u₁, u₃ = 0.1 + 1.0 + 0.(-1) = 0 u₂, u₃ = 1.1 + 0.0 + 1.(-1) = 0

Matriks Orthogonal

• Himpunan ortogonal dalam R

^{n }

Matriks diagonal.

• Kolom-kolom matriks Q

_mxn

membentuk himpunan yang ortonormal jika dan hanya jika Q

^T

Q = I

_n

.

• Matriks A

_nxn

yang kolom-kolomnya membentuk himpunan yang ortonormal disebut matriks ortogonal.

• Matriks A

_nxn

adalah matriks ortogonal jika dan hanya jika Q

^-1

=Q

^T

(atau dengan kata lain Q

^T

Q=QQ

^T

=I

_n

)

Q^-1=Q^T Q^TQ = QQ^T= I_n

Matriks Orthogonal

Tunjukkan bahwa matriks berikut merupakan matriks ortogonal:

Normalisasi Vektor tak- nol

Jika v adalah vektor tak nol dalam suatu ruang hasil kali dalam, maka mempunyai norma 1, karena;

• Proses mengalikan suatu vektor tak-nol v dengan kebalikan panjangnya untuk mendapatkan suatu vektor bernorma 1 disebut menormalkan v.

•

Suatu himpunan vektor-vektor yang orthogonal bisa selalu

diubah menjadi suatu himpunan ortonormal dengan

menormalkan masing-masing vektornya.

Contoh Menormalkan Vektor Tak-Nol

Jika u

₁

= (0, 1, 0), u

₂

= (1, 0, 1), u

₃

= (1, 0, -1)

• Norma Euclidean :

• Normalisasi u

₁

, u

₂

, and u

₃

:

• Himpunan S = { v

₁

, v

₂

, v

₃

} orthonormal dimana:

1

1,

2

2,

3

2

u u u

2 ) , 1

0 2 , ( 1 2 ),

, 1 0 2 , ( 1 ),

0 , 1 , 0 (

3 3 3

2 2 2

1 1

1

u

v u u

v u u

v u

Koordinat Relatif Terhadap Basis Ortogonal

Basis Orthogonal  basis yang terdiri dari vektor- vektor orthogonal.

Ruang Hasil Kali Dalam

Basis Ortonormal  basis yang berisi vektor-vektor ortonormal

Contoh: basis standard untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclidean : I = (1,0,0); j = (0,1,0); k = (0,0,1)

Secara umum, basis standard hasil kali dalam Euclidean R

ⁿ

:

e

₁

= (1,0,0,.., n); e

₂

= (0, 1,0,…,n); ….. ; e

_n

= (0,0,0,…, 1)

Koordinat Relatif Terhadap Basis Ortonormal

Teorema:

Jika S= {v

₁

, v

₂

,… , v

_n

} adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam V, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka

u = u, v

₁

v

₁

+ u, v

₂

v

₂

+ · · · + u, v

_n

v

_n

u, v

₁

, u, v

₂

, … , u, v

_n

 koordinat-koordinat dari u relatif terhadap basis

ortonormal S = {v

₁

, v

₂

, …, v

_n

}

(u)

_S

= ( u, v

₁

, u, v

₂

, … , u, v

_n

)  vektor koordinat dari

u relatif terhadap basis ini.

Contoh

• Jika v

₁

= (0, 1, 0), v

₂

= (-4/5, 0, 3/5), v

₃

= (3/5, 0, 4/5), buktikan bahwa S = {v

₁

, v

₂

, v

₃

} adalah suatu basis

ortonormal untuk R

³

dengan hasil kali dalam Euclidean.

• Nyatakan vektor u = (1, 1, 1) sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S dan cari vektor koordinat (u)

_s

.

Jawab:

 u, v

₁

= 1, u, v

₂

= -1/5, u, v

₃

= 7/5

 u = v

₁

– 1/5 v

₂

+ 7/5 v

₃

 Vektor koordinat u relatif terhadap S

(u)

_s

=( u, v

₁

, u, v

₂

, u, v

₃

) = (1, -1/5, 7/5)

ortonormal

Basis Orthonormal

Jika S adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam berdimensi –n dan jika (u)

_s

= ( u

₁

, u

₂

, …, u

_n

) dan

(v)

_s

= ( v

₁

, v

₂

, …, v

_n

) maka:

n n

n n

n

v u v

u v

u

v u

v u

v u

d

u u

u







2 2 1

1

2 2

2 2

2 1 1

2 2

2 2

1

,

) (

) (

) (

) , (

v u

v

u

u

Basis Orthonormal

Contoh:

Diketahui v

₁

= (0, 1, 0), v

₂

= (-4/5, 0, 3/5), v

₃

= (3/5, 0, 4/5), dan S = {v

₁

, v

₂

, v

₃

} adalah suatu basis ortonormal untuk R

³

dengan hasil kali dalam Euclidean. Vektor u = (1, 1, 1) merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S dan vektor koordinat (u)

_s

=( u, v

₁

, u, v

₂

,

u, v

₃

) = (1, -1/5, 7/5)

Maka norma vektor u = (1,1,1) adalah :

Norma u juga bisa dihitung berdasarkan vektor koordinat

(u)

_s

= (1, -1/5, 7/5)

Kombinasi Linier Vektor dalam Basis Ortogonal S

• Jika S = {v

₁

, v

₂

, …, v

_n

} adalah suatu basis ortogonal untuk suatu ruang vektor V, maka menormalkan masing-masing vektor ini menghasilkan basis ortonormal:

• Jika u sebarang vektor dari V berlaku:

atau

• Rumus ini menyatakan u sebagai kombinasi linier dari vektor- vektor dalam basis ortogonal S.

n

S

n

v v v

v v

v , , , '

2 2 1

1



n n n

n

v v v

u v v

v v

u v v

v v

u v

u , , ,

2 2 2

2 1

1 1

1



n n

n

v

v v v u

v v v u

v v

u u

_{2 2 2}

2 2 2 1

1

1

, ,

, 

Orthonormal Basis

Jika S = {v

₁

, v

₂

, …, v

_n

} adalah suatu himpunan vektor-vektor

tak nol yang ortogonal dalam suatu ruang hasil kali dalam,

maka S bebas linier

Proyeksi Ortogonal

Dalam R

²

atau R

³

dengan hasil kali dalam Euclidean, secara geometris, jika W adalah suatu garis atau bidang yang melalui titik asal, maka setiap vektor u dalam ruang tersebut dinyatakan sebagai:

u = w

₁

+ w

₂

dimana w

₁

berada dalam W dan w

₂

tegak lurus terhadap W (W ).

w

₁

 proyeksi ortogonal u pada W  proy

_w

u

w

₂

 komponen u yang ortogonal terhadap W  proy

_w

u

Proyeksi Ortogonal

w

₁

 proyeksi ortogonal u pada W  proy

_w

u

w

₂

 komponen u yang ortogonal terhadap W  proy

_w

u

Karena w

₂

= u – w

₁



u = proy

_w

u + (u – proy

_w

u)

Basis Orthonormal

Anggap W adalah suatu sub-ruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasil kali dalam V.

a. Jika {v

₁

, …, v

_r

} adalah suatu basis orthonormal untuk W dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka

proj

_w

u = u,v

₁

v

₁

+ u,v

₂

v

₂

+ … + u,v

_r

v

_r

b. Jika {v

₁

, …, v

_r

} adalah suatu basis ortogonal untuk W dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka

r r

r

v

v v v u

v v v u

v v u u

W 2 2 2

2 2 2 1

1

1

, ,

proj , 

Contoh

Jika R

³

memiliki hasil kali dalam Euclidean, dan anggap W adalah sub ruang yang terentang oleh vektor-vektor ortonormal v

₁

= (0, 1, 0) dan v

₂

= (-4/5, 0, 3/5) maka :

• Proyeksi ortogonal u = (1, 1, 1) pada W adalah

• Komponen u ortogonal terhadap W adalah:

Basis Ortogonal dan Ortonormal

Teori

Setiap ruang hasil kali dalam tak-nol berdimensi terhingga mempunyai suatu basis ortonormal.

Proses mengubah suatu basis sebarang menjadi suatu basis

ortonormal disebut Proses Gram-Schmidt

Proses Gram-Schmidt

Misal V adalah sebarang ruang hasil kali dalam tak-nol berdimensi terhingga , {u

₁

, u

₂

, …, u

_n

} adalah sebarang basis untuk V.

Untuk menghasilkan suatu basis ortogonal {v

₁

, v

₂

, …, v

_n

} untuk V dilakukan proses Gram Schmidt berikut:

Langkah 1:

Anggap v

₁

= u

₁

Langkah 2:

Hitung v

₂

ortogonal v

₁

dengan menghitung komponen u

₂

yang ortogonal terhadap ruang

W

₁

yang terentang v

₁

:

Proses Gram-Schmidt

Langkah 3 :

Susun vektor v

₃

yang ortogonal terhadap v

₁

dan v

₂

, dengan menghitung komponen u

₁

yang ortogonal terhadap ruang W

₂

yang terentang oleh v

₁

dan v

₂

.

Langkah 4:

Untuk menentukan vektor v

₄

yang ortogonal terhadap v

₁

, v

₂

dan v

₃

, hitung komponen u

₄

yang ortogonal terhadap ruang W

₃

yang terentang oleh v

₁

, v

₂

dan v

₃

.

Vektor-vektor basis ortogonal  dinormalkan



basis ortonormal V

Contoh Proses Gram-Schmidt

Tinjau ruang vektor R

³

dengan hasil kali dalam Euclidean.

Terapkan proses Gram Schmidt untuk mengubah vektor-vektor basis u

₁

= (1, 1, 1), u

₂

= (0, 1, 1), u

₃

= (0, 0, 1)

Menjadi suatu basis ortogonal {v

₁

, v

₂

, v

₃

}; kemudian normalkan vektor basis ortogonal tersebut untuk mendapatkan suatu basis ortonormal {q

₁

, q

₂

, q

₃

}.

Jawab :

Step 1: Anggap v

₁

= u

₁

 v

₁

= u

₁

= (1, 1, 1) Step 2: Anggap v

₂

= u

₂

– proj

_W1

u

₂

.



• Step 3: Anggap v

₃

= u

₃

– proj

_W2

u

₃

.,

• Jadi v

₁

= (1, 1, 1), v

₂

= (-2/3, 1/3, 1/3), v

₃

= (0, -1/2, 1/2) membentuk suatu basis ortogonal untuk R

³

. Norma

vektor-vektor ini adalah:

Sehingga basis ortonormal untuk R

³

adalah:

u₁ = (1, 1, 1), u₂ = (0, 1, 1), u₃ = (0,0, 1)

Dekomposisi QR

Jika A adalah suatu matriks nxn dengan vektor-vektor kolom yang bebas secara linier, maka A bisa difaktorkan sebagai :

A = QR

Q ^ matriks m n dengan vektor-vektor kolom yang ortonormal, dimana Q

^T

Q = I

R  matriks segitiga atas nxn yang dapat dibalik.

Jika Q

^T

Q = I, maka : Q

^T

A = Q

^T

QR

Q

^T

A = R = IR

Dekomposisi QR

Example : QR-Decomposition of a 3 3 Matrix Carilah dekomposisi QR dari

Jawab :

• Vektor-vektor kolom A adalah:

• Dengan menerapkan proses Gram-Scmidht dengan rangkaian normalisasi seperti contoh sebelumnya didapat:

1 0 0 1 1 0 1 1 1 A

1 2 3

1/ 3 2 / 6 0

1/ 3 , 1/ 6 , 1/ 2

1/ 3 1/ 6 1/ 2

q q q

Q

R matriks 

Dekomposisi QR dari A

^:

2012/5/2 Elementary Linear Algebra 29

Change of Basis 6.5.

Orthogonal Matrices

30

Matriks-matriks Orthogonal

Definisi:

Suatu matriks bujursangkar A dengan sifat A^-1 = A^T Disebut sebagai matriks ortogonal, dimana;

AA^T = A^TA = I

Matriks-matriks Orthogonal

Matriks adalah ortogonal dimana terbukti A

^T

A = 1, maka

vektor baris dan vektor kolomnya membentuk himpunan ortogonal.

Matriks adalah matriks ortogonal, karena;

AA^T = A^TA = I

Sifat Dasar Matriks-matriks Orthogonal

Teorema:

1. Invers dari suatu matriks ortogonal adalah ortogonal.

2. Hasil kali matriks-matriks ortogonal adalah ortogonal.

3. Jika A ortogonal, maka det(A) = 1 atau det(A) = -1 Teorema:

Untuk suatu matriks A

_nxn

:

• A ortogonal

• Vektor-vektor baris dari A membentuk suatu himpunan ortonormal pada R

ⁿ

dengan hasil kali dalam Euclidean.

• Vektor-vektor kolom dari A membentuk suatu himpunan

ortonormal pada R

ⁿ

dengan hasil kali dalam Euclidean.

Matriks Orthogonal Sebagai Operator Linear

Teorema:

Jika A adalah matriks nxn, maka pernyataan berikut ekuivalen:

• A ortogonal.

• untuk semua x pada R

ⁿ

.

• Ax. Ay = x. y untuk semua x dan y pada R

ⁿ

.

Perubahan Basis

Jika S= {v

₁

, v

₂

,…, v

_n

} adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor V, maka setiap vektor v dalam V dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor basis:

v = k

₁

v

₁

+ k

₂

v

₂

+… + k

_n

v

_n

k

₁

,k

₂

, …, k

_n

 koordinat v relatif terhadap S, dan vektor : v

_{s =}

(k

₁

, k

₂

,…k

_n

)  vektor koordinat v relatif terhadap S.

 Matriks koordinat v relatif terhadap S.

Matriks Koordinat

Matriks koordinat v relatif terhadap S dinyatakan oleh [v]

_s

adalah

matriks berukuran nx1 yang didefinisikan sebagai:

Matriks Koordinat Ortonormal

Teorema:

Jika S= {v

₁

, v

₂

,… , v

_n

} adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam V, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka

u = u, v

₁

v

₁

+ u, v

₂

v

₂

+ · · · + u, v

_n

v

_n

u, v

₁

, u, v

₂

, … , u, v

_n

 koordinat-koordinat dari u relatif

terhadap basis ortonormal S = {v

₁

, v

₂

, …, v

_n

}

(u)

_S

= ( u, v

₁

, u, v

₂

, … , u, v

_n

)  vektor koordinat dari u relatif terhadap basis ini.

 Matriks koordinat v relatif terhadap S.

Contoh Matriks Koordinat

Masalah Perubahan Basis

Jika kita merubah basis untuk suatu ruang vektor V dari

old basis B to some new basis B’ , bagaimana matriks koordinat lama [v]_B

dari

vektor v dikaitkan dengan matriks koordinat baru [v]

_B’

?

Masalah Perubahan Basis

matriks koordinat lama [v]

_B 

matriks koordinat baru [v]

_B’

Persamaan ini menyatakan bahwa matriks koordinat lama

[v]_B

dihasilkan jika kita mengalikan dari kiri matriks koordinat baru

[v]

_B’

dengan matriks:

Solution of the Change-of-Basis Problem

Jika kita mengubah basis untuk suatu ruang vektor V dari suatu basis lama B = ( b

₁

, b

₂

,…, b

_n

) menjadi suatu basis B’ = ( b’

₁

, b’

₂

,…, b’

_n

) , maka matriks koordinat lama

[v]_B

dari suatu vektor v dihubungkan dengan matriks koordinat baru [v]

_B’

dari suatu vektor v yang sama dengan persamaan:

Dimana kolom-kolom dari P adalah matriks –matriks koordinat dari vektor-vektor basis baru relatif terhadap basis lama, yaitu vektor- vektor kolom dari P adalah ;

Matriks P disebut matriks transisi dari B’ ke B, dinyatakan dalam

bentuk vektor-vektor kolomnya sebagai ;

Example

Consider the bases and for R², where

(a) Find the transition matrix from B’ to B (b) Use to find [v]_B if

Solution (a)

First we must find the coordinate vectors for the new basis vectors u’₁ and u’₂ relative to the old basis B.

Solution (b)

Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis ortonormal ke basis ortonormal lainnya untuk suatu ruang hasil kali dalam, maka P adalah suatu matriks ortogonal, yaitu :

P

^-1

= P

^T

Matriks Transisi

Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis B’ ke suatu basis B,

maka untuk setiap vektor v berlaku:

Penerapan Pada Rotasi Sumbu Koordinat

Sumbu koordinat x’ dan y’ didapat dengan merotasi sumbu xy berlawanan jarum jam terhadap titik asal dengan sudut θ.

Q

(x,y) (x’ ,y’) B = (u₁, u₂)

B’ = (u₁’, u₂’)

P = transisi dari B’ ke B.

Rotasi Sumbu Koordinat

Komponen u₁’ pada basis lama:

1. cos θ 2. sin θ

Komponen u₂’ pada basis lama:

1. cos (θ+ π/2) = -sin θ 2. sin (θ+ π/2) = cosθ

Didapat P matriks ortogonal

P^-1 = P^T

Misal sumbu sumbu tersebut dirotasikan dengan θ = π/4, maka;

Jika (x, y) = (2, -1), maka koordinat baru dari Q: