Pembuktian Teorema

(1)

PEMBUKTIAN TEOREMA

TEOREMA 5.3.1. TEOREMA 5.3.1.

Suatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor disebut: Suatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor disebut:

(a)

(a) Tak bebas secara linear jika dan hanya jika paling tidak salah satu vektorTak bebas secara linear jika dan hanya jika paling tidak salah satu vektor dalam S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari dalam S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya dalam S.

vektor lainnya dalam S.

(b)

(b) Bebas secara linear jika dan hanya jika tidak ada vektor dalam S yangBebas secara linear jika dan hanya jika tidak ada vektor dalam S yang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lain dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S.

dalam S.

Bukti : Bukti :

(a)

(a) Anggap S = {vAnggap S = {v11, , vv22,..., v,..., vrr} adalah suau himpunan dengan dua atau lebih} adalah suau himpunan dengan dua atau lebih

vektor. Jika kita asumsikan bahwa S tak bebas secara linear, maka ada vektor. Jika kita asumsikan bahwa S tak bebas secara linear, maka ada skalar-skalar k

skalar-skalar k 11, k , k 22,..., k ,..., k rr tidak semuanya nol, sedemikian sehinggatidak semuanya nol, sedemikian sehingga

k

k 11vv22+ k + k 22vv22+ ... + k + ... + k rrvvrr= = 0 0 (1)(1)

Secara khusus, anggap k

Secara khusus, anggap k 11

≠ 0. Maka (1)

≠ 0. Maka (1) dapat ditulis ulang sebagai

dapat ditulis ulang sebagai

V V11 ==  __  __ vv11 + ... ++ ... +   __  __ vvrr Yang menyatakan v

Yang menyatakan v11 sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainsebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lain

dalam S. Demikian juga, jika k

dalam S. Demikian juga, jika k j j

≠ 0 dalam (1) untuk j = 2, 3, ..., r, maka v

j j

dapat dinyatakan sebaga

dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari i kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S.vektor-vektor lain dalam S.

Sebaliknya, mari kita mengasumsikan bahwa paling tidak salah satu vektor Sebaliknya, mari kita mengasumsikan bahwa paling tidak salah satu vektor dalam S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari dalam S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Secara khusus, anggap bahwa

vektor lainnya. Secara khusus, anggap bahwa

v v11= c= c11vv22+ c+ c22vv22+ ... + c+ ... + crrvvrr sehingga sehingga v v11- c- c11vv22- c- c22vv22- ... - c- ... - crrvvrr= 0= 0 dipenuhi oleh dipenuhi oleh k k 11= = 1, 1, k k 22 = -c= -c22, , ... ... , , k k rr = -c= -crr

(2)

yang tidak semuanya nol. Bukti dalam kasus dimana suatu vektor selain v1

dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S adalah serupa.

(b) Anggap S = {v1, v2,..., vr} adalah suau himpunan dengan dua atau lebih

vektor. Jika kita asumsikan bahwa S bebas secara linear, maka skalar-skalar k 1, k 2,..., k r semuanya nol, sedemikian sehingga

k 1v2+ k 2v2+ ... + k rvr= 0

diperoleh

k 1= 0, k 2 = 0, ... , k r = 0

Karena semua skalar bernilai nol, dengan demikian dapat dinyatakan bahwa suatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor yang bebas secara linear, tidak ada vektor dalam S yang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S.

TEOREMA 5.3.2

(a) Suatu himpunan vektor terhingga yang berisi vektor nol tak bebas secara linear.

(b) Suatu himpunan dengan tepat dua vektor bebas secara linear jika dan hanya jika vektor yang satu bukan merupakan penggandaan skalar dari vektor lainnya.

Bukti :

(a) Untuk setiap vektor v1 , v2 , ... , vr himpunan S = {v1, v2,...,vr , 0} tak

bebas secara linear karena persamaan

0v1+ 0v2+ ... +0vr + 1 (0) = 0

menyatakan 0 sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S dengan koefisien-koefisienyang tidak semuanya nol.

(c) Anggap S = {v1, v2} adalah suatu himpunan dengan dua vektor. Jika kita

asumsikan bahwa S bebas secara linear, maka skalar-skalar k 1 dan k 2

semuanya nol, sedemikian sehingga k 1v2+ k 2v2 = 0

secara khusus anggap k 1 = 0, maka persamaan di atas dapat ditulis ulang

sebagai

(3)

k 2v2 = 0

k 2=  _

k 2= 0

Dengan demikian,dapat dinyatakan bahwa dua vektor dalam S yang bebas secara linear dengan koefisien-koefisien yang semuanya nol, yaitu vektor yang satu bukan merupakan penggandaan dari vektor yang lainnya.

TEOREMA 5.3.3

Anggap S = { v1, v2, … , vr } adalah suatu

himpunan vektor-vektor dalam Rn.

Jika r ˃ n, maka S tak bebas secara linear.

Bukti : Anggap bahwa v1 = (v11, v12, ..., v1n) v2 = (v21, v22, ..., v2n)   vr = (vr1, vr2, ..., vr n) Tinjau persamaan k 1v2+ k 2v2+ ... + k rvr= 0

jika, kita menyatakan kedua ruas persamaan ini dalam bentuk komponen-komponen dan kemudian menyamakan komponen-komponen-komponen-komponen yang berpadanan, maka kita dapatkan sistem

v11k 1+ v21k 2+ ... + vr1k r = 0

v12k 1+ v22k 2+ ... + vr2k r = 0

 

v1nk 1+ v2nk 2+ ... + vrnk r = 0

Ini adalah suatu sistem homogen n persamaan dalam r peubah k 1, ..., k r. Karena

r>n, maka dari Teorema 1.2.1 kita dapatkan bahwa sistem tersebut mempunyai penyelesaian-penyelesaian tak trivial. Dengan demikian, S

= { v1, v2, … , vr

} adalah suatu himpunan yang tak bebas secara linear.

(4)

TEOREMA 5.3.4

Jika fungsi f1, f2, …, fn, mempunyai n –

1 turunan yang kontinu pada selang (-

∞,

∞) dan jika Wronskian dari fungsi

-fungsi ini tidak sama dengan nol pada (-

∞, ∞),

maka fungsi-fungsi ini membentuk suatu himpunan vektor yang bebas secara linear dalam C(n-1)(-

∞, ∞).

Bukti :

Jika f 1= f 1(x),f 2= f 2(x) ,,,,,,,,f n= f n(x)adalahfungsi-fungsi yang dapatditurunkan n-1

kali padaselang()maka determinan dari

f 1(x) f 2(x) ... f n(x)

W(x) = f 1'(x) f 2'(x) ... f n'(x)

  

f 1(n-1)(x) f 2(n-1)(x) ... f n(n-1)(x)

disebut Wronskian* dari f 1 , f 2 , ..., f n. Sebagaimana yang akan kami tunjukkan

sekarang, determinan ini berguna untuk memastikan apakah fungsi-fungsi f 1 , f 2 ,

..., f n membentuk suatu himpunan vektor-vektor yang bebas secara linear dalam

ruang vektor C(n-1)(-

∞,∞).

Anggap, untuk sementara, bahwa f 1 , f 2 , ..., f n adalah vektor-vektor yang tak

bebas secara linear dalam C(n-1)(-

∞,∞). Maka ada skalar k

1 , k 2 , ..., k n , tidak

semuanya nol, Sedemikian sehingga

k 1 f 1(x) + k 2 f 2(x) + ... + k n f n(x) = 0

Untuk semua x dalam selang (-

∞,∞). Dengan mengkombinasikan persamaan

ini dengan persamaan-persamaan yang diperoleh dengan n

–

1 diferensiasi berturut-turut, kita akan mendapatkan

k 1 f 1(x) + k 2 f 2(x) + ... + k n f n(x) = 0

k 1 f 1‘(x) + k 2 f 2‘(x) + ... + k n f n‘(x) = 0

k 1 f 1(n-1)(x) + k 2 f 2(n-1)(x) + ... + k n f n(n-1)(x) = 0

Jadi, ketakbebasan linear dari f 1, f 2 , ..., f nmengimplikasikan bahwa sistem linear

f 1(x) f 2(x) ... f n(x) k 1 0

f 1' (x) f 2'(x) ... f n'(x) k 2 0

    

(5)

Mempunyai suatu penyelesaian trivial untuk setiap x dalam selang

(-∞,∞). Ini pada gilirannya mengimplikasikan bahwa untuk setiap x dalam (

-

∞,∞)

matriks koefisiennya tidak dapat dibalik, atau secara setara, bahwa determinannya (Wronskian) nol untuk setiap x dalam (-

∞,∞). Jadi, jika Wronskian tidak identik

dengan nol pada (-

∞,∞), maka fungsi

-fungsi f 1 , f 2 , ..., f n pastilah merupakan

vektor-vektor yang bebas secara linear dalam C(n-1)(-

∞,∞)

TEOREMA 5.4.1

Jika S = {v1, v2

, …, v

n} adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor V, maka

setiap vektor v dalam V dapat dinyatakan dalam bentuk

v = c1v1 + c2v2

+ … + c

nvn

dalam tepat satu cara.

Bukti :

Karena S merentangkan V, maka dari definisi suatu himpunan rentang kita dapatkan bahwa setiap vektor dalam V dapat diyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S. Untuk melihat bahwa hanya ada satu cara untuk menyatakan suatu vektor sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S, anggap bahwa suatu vektor v dapat ditulis sebagai

v = c1v1 + c2v2+

… + c

nvn (2)

dan juga sebagai

v = k 1v1+ k 2v2

+ … +

k nvn (3)

Dengan mengurangkan persamaan (2) dan (3) akan didapatkan

0 = (c1

–

k 1)v1+ (c2

–

k 2)v2

+ … +

(cn

–

k n)vn

Karena ruas kanan dari persamaan ini adalah kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S, maka kebebasan linear dari S mengimplikasikan bahwa

c1

–

k 1 = 0 c2

–

k 1= 0 ... cn

–

k n= 0

Yaitu,

c1= k 1 c2= k 1 ... cn = k n

(6)

TEOREMA 5.4.2

Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan {v1, v2, …, vn}

adalah sembarang basis, maka :

(a) Setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas secara linear.

(b) Tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang merentang V.

Bukti :

(a)

Anggap S’ = {w

1 , w2, ..., wm} adalah sembarang himpunan m vektor

dalam V, dimana m > n. Kita ingin menunjukkan bahwa S’ tak bebas

secara linear. Karena S = {v1, v2, ..., vn} adalah suatu basis, maka setiap

wi dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S,

misalkan

w1 = a11 v1+ a21 v2+ ... + an1 vn

w2 = a12 v1+ a22 v2+ ... + an2 vn

   

wm= a1mv1+ a2mv2+ ... + anmvn (4)

Untuk

menunjukkan bahwa S’ tak bebas secara linear, kita harus mencari

skalar k 1, k 2, ... , k m, yang tidak semuanya nol sedemikian sehingga

k 1 w1+ k 2w2 + ... + k mwm = 0 (5)

Dengan menggunakan persamaan dalam (4), kita dapat menulis ulang (5) sebagai

(k 1 a11 + k 2 a12 + ... + k m a1m)v1

+ (k 1a21 + k 2a22 + ... + k ma2m)v2



+ (k 1an1 + k 2an2 + ... + k manm)vn = 0

Jadi, dari kebebasan linear S, masalah membuktikan bahwa S’ adalah

suatu himpunan yang tak bebas secara linear berubah menjadi menunjukkan bahwa skalar k 1 , k 2 , ..., k m , yang tidak semuanya nol, yang

(7)

a11 k 1+ a12k 2+ ... + a1mk m= 0

a21 k 1+ a22 k 2+ ... + a2mk m= 0

   

an1 k 1+ an2 k 2+ ... + anmk m = 0 (6)

Akan tetapi, (6) mempunyai peubah yang lebih banyak dari persamaannya, sehingga bukti ini menjadi lengkap karena Teorema 1.2.1 menjamin adanya penyelesaian yang tak trivial.

(b)

Anggap S’ = {w

₁ , w2, ..., wm} adalah sembarang himpunan m vektor

dalam V, dimana m < n. Kita ingin menunjukkan bahwa S’ tidak

merentang V. Pembuktian akan dilakukan dengan kontradiksi : Kita akan

menunjukkan bahwa mengasumsikan bahwa S’ merentang V akan

membawa kita pada suatu kontradiksi kebebasan linear dari {v1, v2, ..., vn}.

Jika S’ merentang V, maka setiap vektor dalam V adalah suatu kombinasi

linear dari vektor-

vektor dalam S’. Secara khusus, setiap vektor basis v

i

adalah suatu kombinasi linear dari vektor-

vektor dalam S’, misalkan

v1 = a11 w1+ a21 w2+ ... + am1wm

v2 = a12 w1+ a22 w2+ ... + am2wm

   

vn= a1nw1+ a2nw2 + ... + amnwm (7)

Untuk memperoleh kontradiksi, kita akan menunjukkan bahwa ada skalar k 1 , k 2, ..., k n , yang tidak semuanya nol, sedemikian sehingga

k 1 v1+ k 2v2 + ... + k nvn= 0 (8)

Akan tetapi, amati bahwa (7) dan (8) mempunyai bentuk yang sama dengan (4) dan (5), kecuali bahwa m dan n dipertukarkan, serta w dan v dipertukarkan. Jadi, perhitungan yang membawa pada (8) sekarang menghasilkan

(8)

a11 k 1+ a12 k 2+ ... + a1n k n= 0

a21 k 1+ a22 k 2+ ... + a2n k n = 0

   

am1k 1+ am2k 2+ ... + amnk n= 0

Sistem ini mempunyai peubah yang lebih banyak daripada persamaan, dan dengan demikian mempunyai penyelesaian tak trivial berdasarkan teorema 1.2.1.

TEOREMA 5.4.3

Semua basis untuk ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama.

Bukti :

Dari teorema sebelumnya kita ketahui bahwa jika S = {v1 , v2, ..., vn}

adalah sembarang basis untuk suatu ruang vektor V, maka semua himpunan dalam V yang secara simultan merentang V dan merupakan himpunan yang bebas secara linear pasti mempunyai n vektor. Jadi, semua basis untuk V harus mempunyai tepat n vektor. Teorema 5.4.3 mengimplikasikan bahwa semua basis untuk Rn mempunyai n vektor. Secara khusus, setiap basis untuk R3 mempunyai tiga vektor, setiap basis untuk R2 mempunyai dua vektor, dan setiap basis untuk R1 (=R) mempunyai satu vektor. Secara intuitif, R3 berdimensi tiga, R2 (ruang bidang) berdimensi dua, dan R (suatu garis) berdimensi satu. Jadi, untuk ruang-ruang vektor yang kita kenal, jumlah vektor dalam suatu basis sama dengan dimensinya

TEOREMA 5.4.4 (TEOREMA PLUS/MINUS)

Anggap S adalah himpunan vektor tak kosong dalam suatu ruang vektor V.

(a) Jika S adalah himpunan yang bebas secara linear, dan jika v adalah suatu dalam V yang berada diluar rentang (S), maka himpunan S {v} yang dihasilkan dengan menyelipkan v ke S tetap bebas secara linear.

(b) Jika v adalah suatu vektor dalam S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S, dan jika S - {v} menyatakan himpunan yang diperoleh dengan memindahkan v dari S, maka S dan S - {v} merentangkan ruang vektor yang sama; yaitu

(9)

Bukti :

(a) Anggap S = {v1 , v2, ..., vr} adalah suatu himpunan vektor-vektor yang

bebas secara linear dalam V, dan v adalah suatu vektor dalam V di luar

rent(S). Untuk menunjukkan bahwa S’

= {v1 , v2, ..., vr, v} adalah

himpunan yang bebas secara linear, kita harus menunjukkan bahwa satu-satunya skalar yang memenuhi

k 1v1+ k 2v2 + ... + k rvr+ k r+1v = 0 (9)

adalah k 1 = k 2 = ... = k r = k r+1 = 0. Akan tetapi, kita harus mendapatkan

k r+1= 0; jika tidak, kita dapat menyelesaikan (9) untuk v sebagai suatu

kombinasi linear dari v1, v2, ..., vr, yang berlawanan dengan asumsi bahwa

v berada di luar rent(S). Jadi, (9) tersederhana menjadi

k 1v1+ k 2v2+ ... + k rvr= 0 (10)

yang, berdasarkan kebebasan linear dari {v1, v2, ..., vr}, mengimplikasikan

bahwa

k 1 = k 2 = ... = k r = 0

(b) Anggap S = {v1, v2, ..., vr} adalah suatu himpunan vektor-vektor dalam V,

dan secara khusus anggap vr adalah kombinasi linear dari v1, v2, ..., vr,

misalkan

vr= c1v1+ c2v2+ ... + cr-1vr-1 (11)

Kita ingin menunjukkan bahwa jika vr dihilangkan dari S, maka himpunan

vektor-vektor yang tersisa {v1 , v2, ..., vr-1} tetap merentangkan rent(S);

yaitu, kita harus menunjukkan bahwa setiap vektor w dalam rent(S) dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari {v1 , v2, ..., vr-1}. Akan

tetapi, jika w berada dalam rent(S), maka w dapat dinyatakan dalam bentuk

w = k 1v1+ k 2v2+ ... + k r-1vr-1+ k rvr

atau dengan mensubsitusikan (11)

w = k 1v1+ k 2v2+ ... + k r-1vr-1+ k r (c1v1+ c2v2+ ... + cr-1vr-1)

(10)

TEOREMA 5.4.5

Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi n, dan jika S adalah suatu himpunan dalam V dengan tepat n vektor, maka S adalah suatu basis untuk V atau S bebas secara linear.

Bukti :

Anggap S tepat mempunyai n vektor dan merentang V. Untuk membuktikan bahwa S adalah suatu basis, kita harus menunjukkan bahwa S adalah himpunan yang bebas secara linear. Akan tetapi, jika tidak demikian adanya, maka suatu vektor v dalam S adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Jika kita hilangkan vektor-vektor ini dari S, maka Teorema Plus/Minus (5.4.4b) kita dapatkan bahwa himpunan n-1 vektor yang lainnya tetap merentang V. Akan tetapi, ini tidak mungkin, karena dari teorema 5.4.2b kita ketahui bahwa tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang dapat merentang suatu ruang vektor berdimensi n. Jadi, S bebas secara linear.

Anggap S tepat mempunyai n vektor, dan merupakan suatu himpunan yang bebas secara linear. Untuk membuktikan bahwa S adalah suatu basis, kita harus menunjukkan bahwa S merentangkan V. Akan tetapi, jika tidak demikian adanya, maka ada suatu vektor v dalam V yang tidak berada dalam rent(S). Jika kita selipkan vektor ini ke dalam S, maka dari Teorema Plus/Minus (5.4.4a) kita dapatkan bahwa himpunan n+1 vektor ini tetap bebas secara linear. Akan tetapi, ini tidak mungkin, karena dari Teorema 5.4.2a kita ketahui bahwa tidak ada himpunan dengan vektor lebih dari n dalam suatu ruang vektor berdimensi n yang dapat bebas secara linear. Jadi, S merentangkan V.

(11)

TEOREMA 5.4.6

Anggap S adalah suatu himpunan terhingga vektor-vektor dalam suatu ruang vektor berdimensi terhingga V.

(a) Jika S merentang V, tetapi bukan merupakan basis untuk V, maka S dapat direduksi menjadi suatu basis untuk V dengan menghilangkan vektor yang tepat dari S.

(b) Jika S adalah suatu himpunan yang bebas secara linear yang belum menjadi suatu basis untuk V, maka S dapat diperbesar menjadi basis untuk V dengan menyelipkan vektor-vektor yang tepat ke dalam S.

Bukti :

(a) Jika S adalah suatu himpunan vektor-vektor yang merentang V, tetapi bukan merupakan suatu basis untuk V, maka S adalah himpunan yang tak bebas secara linear. Jadi, suatu vektor v dalam S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya dalam S. Berdasarkan Teorema Plus/Minus (5.4.4b), kita dapat menghilangkan v dari S, dan

himpunan S’ yang dihasilkan akan tetap merentang V. Jika S’ bebas secara

linear, maka S’ adalah suatu basis untuk V, dan tugas kita selesai. Jika S’

tak bebas secara linear, maka kita dapat meghilangkan vektor yang tepat

dari S’ untuk menghasilkan himpunan S” yang tetap merentang V. Kita

dapat terus menghilangkan vektor-vektor dengan cara ini sampai akhirnya kita sampai pada suatu vektor-vektor dalam S yang bebas secara linear dan merentang V. Himpunan bagian dari S ini merupakan basis untuk V.

(b) Anggap dim(V) = n. Jika S merupakan suatu himpunan yang bebas secara linear yang belum merupakan basis untuk V, maka S gagal merentang V, dan ada suatu vektor v dalam V yang tidak berada dalam rent(S). Menurut Teorema Plus/Minus (5.4.4a), kita dapat menyelipkan v ke S, dan

himpunan S’ yang dihasilkan akan tetap bebas secara linear. Jika S’

merentang V, maka S’ merupakan suatu basis untuk V, dan kita dapat

berhenti sampai disini. Jika S’

tidak merentang V, maka kita dapat

menyelipkan suatu vektor yang tepat ke dalam S’ untuk menghilangkan

suatu himpunan S” yang tetap bebas secara linear. Kita dapat terus

menyelipkan vektor-vektor dengan cara ini sampai kita sampai pada suatu himpunan dengan n vektor yang bebas secara linear dalam V. Himpunan ini akan menjadi basis untuk V menurut Teorema 5.4.5.

(12)

TEOREMA 5.4.7

Jika W adalah suatu subruang dari ruang vektor berdimensi terhingga V, maka

dim(W) ≤ dim(V); lebih jauh, jika dim(W) = dim(V), maka

W = V. Bukti :

Anggap S = {w1, w2, ..., wm} adalah basis untuk W. S dapat merupakan

basis untuk V atau dapat juga tidak. Jika S adalah basis untuk V, maka dim(W) = dim(V) = m. Jika tidak, maka berdasarkan Teorema 5.4.6b, vektor-vektor dapat ditambahkan ke himpunan S yang bebas secara linear untuk membuatnya menjadi

basis untuk V sehingga dim(W) < dim(V). Jadi, dim(W) ≤ dim(V) dalam semua

kasus. Jika dim(W) = dim(V), maka S adalah suatu himpunan dari m vektor-vektor yang bebas secara linear dalam ruang vektor-vektor yang berdimensi m; dengan demikian, S adalah suatu basis untuk V berdasarkan Teorema 5.4.5. Hal ini mengimplikasikan bahwa W = V.