i. 1
Latihan 5: Inner Product Space
1. Diketahui vektor u, v, w ϵ R3 di mana u =
1 2
1 , v =
1 1 1
, dan w =
2
1 2
. Hitunglah :
a. <u, w>
b. <v, w>
c. <3u – 2v, u + 2w>
d. <3u – 2v, u + 2v – w>
e. 3<u, w> – 2<v, w>
f. <w, w>
2. Diketahui vektor u, v ϵ R3 di mana u =
2
3 4
dan v =
1 2 3
. Carilah :
a.inner product dari u dan v b. panjang vektor u dan v c. jarak antrara vektor u dan v d. sudut antara vektor u dan v
3. Andaikan u, v, w Rn, dan k adalah skalar, buktikan bahwa : a. <u, v> = <v, u>
b. <u + v, w> = <u, w> + <v, w>
c. <ku, v> = k <u, v>
d. <u, u> ≥ 0
4. a. Tunjukkan bahwa vektor-vektor u1 =
1 0 0 1
, u2 =
1 2 0 1
, u3 =
2 2 3 2
, u4 =
1 1 2
1
adalah himpunan vektor-vektor yang ortogonal di dalam R4.
b. dengan melakukan normalisasi masing-masing vektor ui dari soal a) tersebut carilah himpunan vektor-vektor yang ortonormal dalam R4 !
c. Nyatakan vektor w = (1, 1, 1, 1)T sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor ortonormal dari soal b) tersebut.
5. Andaikan u dan v adalah vektor-vektor di dalam R2, dengan u =
k
1 dan v =
4 3 . Carilah nilai k sedemikian hingga :
a. u dan v ortogonal
b. sudut antara u dan v adalah /4
c. u dan v sejajar
i. 2 6. Pada ruang R3, tentukan vektor w yang tidak nol yang orthogonal terhadap vektor
u =
4 5 2
dan vektor v =
1 2 1
!.
7. Find two vectors in R3 which have norm 1 and orthogonal to the vectors u =
1 1 1
,
v =
1 0 1
, and w =
2 1 2
!
8. Andaikan u, v ϵ R3 di mana u =
3 2 3 2 3 1
dan v =
3 2 3 1 3 2
. Carilah vektor w ϵ R3 yang
orthogonal terhadap vektor u dan v tersebut !.
9. Andaikan u, v adalah vektor-vektor di dalam ruang inner product V. Buktikan bahwa
<u, v>2 ≤ <u, u> <v, v>
10. Andaikan u, v ϵ V, di mana V adalah ruang inner product. Buktikan ketidaksamaan segitiga ||u + v|| = ||u|| + ||v|| jika dan hanya jika u dan v adalah bergantungan linear (linearly dependence)!
11. Ruang vektor V pada R3, dengan basis lain dari V = {u1, u2, u3} di mana u1 =
4 1 2
,
u2 =
1 2 1
, dan u3 =
1 2
3 .
a. apakah vektor-vektor di dalam V orthogonal?
b. apakah vektor-vektor di dalam V saling bebas linear (linearly independence)?
c. nyatakan v =
10
2 0
sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di dalam V.
i. 3 12. Ruang vektor W pada R4, dengan basis lain dari W = {u1, u2, u3, u4} di mana u1 =
1 1 1 1
,
u2 =
1 1 1 1
, u3 =
1 1 1 1
, dan u4 =
1 1 1
1 .
a. apakah vektor-vektor di dalam W orthogonal?
b. apakah vektor-vektor di dalam W saling bebas linear (linearly independence)?
c. nyatakan v =
2 2 4 4
sebagai kombinasi linear dari u1, u2, u3, u4.
d. carilah koordinat vektor s =
d c b a
relative terhadap basis W.
13. Jika himpunan V memuat vektor-vektor yang orthogonal, buktikan bahwa himpunan V adalah bebas linear (linearly independence) !
14. Cari basis orthogonal dari R3 jika salah satu vektor basisnya adalah
4 3 1
!
15. Cari basis dari komplemen orthogonal V, yaitu V⊥ , jika V = {
1 2 1
}. !
16. Tentukan basis bagi ruang bagian W = {u1, u2} pada R4 yang orthogonal terhadap
vektor-vektor u1 =
4 3 2 1
, u2 =
12
1 2 1
. (atau dengan kata lain cari basis dari komplemen
orthogonal W, yaitu W⊥ ).
17. Tentukan proyesi orthogonal v pada w, jika : a. v =
1 2 1
dan w =
2 1 2
.
i. 4 b. v =
1
2 1
dan w =
3 2 1
.
18. Tentukan proyesi orthogonal v pada w, jika :
a. v =
1 1 1 1
dan w =
1 0 2 1
.
b. v =
12
1 2 1
dan w =
4 3 2 1
.
19. Andaikan S adalah subspace dari ruang inner product V. Buktikan bahwa komplemen orthogonal dari S, yaitu S⊥ adalah juga subpace dari V !
20. Find orthonormal basis of V = R3, if given another basis of V = {X1, X2, X3} where X1 =
1 1 1
and X2 =
0 1 2
.
21. Carilah basis orthonormal dari R3, jika diketahui salah satu vektor basisnya adalah
3 1
3 1 3 1
!
22. Carilah basis orthonormal dari R3, jika diketahui salah satu vektor basisnya adalah
3 0 2
!
23. Carilah basis orthonormal dari R3, jika diketahui salah satu vektor basisnya adalah
2 1 2
!
i. 5 24. Ruang vektor V pada R3, dengan basis lain dari V = {v1, v2, v3} di mana v1 =
0
1 2
,
v2 =
0
1 4
, dan v3 =
1 0 4
. Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan
basis V tersebut ke dalam basis orthonormal !
25. Ruang vektor V pada R3, dengan basis lain dari V = {v1, v2, v3} di mana v1 =
1 1 1
,
v2 =
1
2 1
, dan v3 =
3 2 1
. Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan
basis V tersebut ke dalam basis orthonormal !
26. Dengan proses Gram-Schmidt, carilah basis orthonormal dari ruang vektor V, jika basis lain dari V = {
1 2 1
,
2 1 2
,
4 1 2
}
27. Ruang vektor V dalam R4. Basis lain dari ruang vektor adalah V = {
1 1 1 1
,
1 0 2 1
,
0 4 2 2
}.
Gunakan ortogonalisasi dari Gram-Schmidzt untuk mencari basis ortonormal dari ruang vektor V tersebut !.
28. Basis lain dari R4 adalah basis U = {u1, u2, u3, u4} dengan u1 =
1 0 0 1
, u2 =
0 1 2 0
, u3=
0 0 1 1
,
dan u4 =
1 0 2 1
. Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan basis U
tersebut ke dalam basis ortonormal !
i. 6 29. Basis lain dari R4 adalah basis V= {u1, u2, u3} dengan u1 =
1 1 1 1
, u2 =
4 3 2 1
, dan u3 =
2 2 1
1 .
Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan basis V tersebut ke dalam basis ortonormal !
30. Andaikan matriks P =
3 1 3 2 3 2
3 2 3 1 3 2
3 2 3 2 3 1
. Selidiki :
a. apakah matriks P orthogonal?
b. carilah P-1. Apakah matriks P-1 orthogonal?
c. berapakah det(P) ? dan det(P-1) ?
d. carilah PT (transpose dari P). Apakah PT orthogonal ? e. hitunglah P-1 PT. apakah hasilnya matriks orthogonal?
31. Berapakah nilai x, y, dan z, jika matriks A =
3
z 1
y
x adalah orthogonal ?.
32. Carilah matriks orthogonal P yang berdimensi 3x3 yang baris pertamanya (31 13 13)!
33. Jika matriks A adalah simetri miring (skew-symmetric) serta (I + A) adalah nonsingular, tunjukkan bahwa matriks P = (I – A)(I + A)-1 adalah orthogonal !
34. Berdasarkan hasil soal nomor 27 tersebut, carilah matriks orthogonal P, jika matriks : a. A =
0 3
3 0
b. A =
0 3 2
3 0 1
2 1 0
35. Jika matriks B = AP dengan matriks A orthogonal dan matriks P nonsingular, tunjukkan bahwa PB-1 adalah orthogonal !
36. Jika matriks A adalah orthogonal serta (I + A) adalah nonsingular, tunjukkan bahwa matriks B = (I – A)(I + A)-1 adalah simetri miring !
37. Andaikan matriks transformasi A =
2 1 2
1
6 1 6 2 6
1
3 1 3 1 3 1
0
.
a. selidiki apakah matriks transformasi A orthogonal?.
b. jika vektor u =
2 1 2
, carilah panjang vektor u?
i. 7 c. jika w adalah peta vektor u oleh transformasi A, carilah vektor w !
d. berapakah panjang vektor w? apakah sama dengan panjang u?
38. Buktikan bahwa transformasi orthogonal tidak mengubah panjang vektor !
39. Jika matriks A dan B adalah commute, serta matriks P orthogonal, buktikan bahwa matriks PTAP dan PTBP adalah commute.
