Trihastuti Agustinah

Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Trihastuti Agustinah

2. Teori 3. Contoh

4. Simpulan

5. Latihan

1. Objektif

Mahasiswa mampu:

1) mendeskripsikan ruang hasilkali dalam beserta teorema yang menyertainya

2) menghitung vektor ortogonal dan ortonormal melalui proses Gram-Schmidt

Tujuan Pembelajaran

Ruang hasilkali dalam merupakan generalisasi dari konsep ruang hasilkali-

dalam Euclidean. Selain berbeda dalam

notasi yang digunakan, konsep ini digunakan untuk mendapatkan basis ortonormal

melalui aplikasi proses Gram-Schmidt.

Pendahuluan

Hasikali-dalam (inner product)

Hasilkali-dalam Euclidean: u∙v

Notasi umum hasilkali-dalam: 〈u,v〉

Aksioma:

 〈u,v〉 = 〈v,u 〉 simetri

 〈u+v,w〉 =〈u,w〉 + 〈v,w〉 aditif

 〈ku,v〉 = k〈u,v〉 homogenitas

 〈v,v〉 ≥ 0 definit positif

〈v,v〉 = 0 iff v = 0

Contoh 1

Norma dan jarak

Definisi norm atau panjang Euclidean untuk vektor u=(u

₁

, u

₂

,∙∙∙, u

_n

):

Definisi jarak (distance) antara titik u=(u

₁

, u

₂

,∙∙∙, u

_n

) dan v=(v

₁

, v

₂

,∙∙∙, v

_n

):

2 2

2 2

1 2

, 〉1 = u + u + + u_n

〈

= u u 

u

2 2

2 2

2 1

1 ) ( ) ( )

( )

,

( u v u v u_n v_n

d u v = u − v = − + − ++ −

Contoh 2

Hasilkali-dalam dibangkitkan oleh matriks

Vektor u=[u

₁

u

₂

∙∙∙ u

_n

]

^T

dan v=[v

₁

v

₂

∙∙∙ v

_n

]

^T (ekspresi dalam matriks n×1)

Matriks A dapat dibalik:

karena u·v = v

^T

u, maka

〈u,v〉 = (Av)

^T

Au 〈u,v〉 = v

^TA^TAu

〈u,v〉 = Au · Av

= ?

Hasilkali-dalam berbobot

 Hasilkali-dalam: dibangkitkan oleh matriks identitas n×n 〈u,v〉 = Iu·Iv = u·v



 







 







 



= 

〉

〈

2 1 2

1 0 2

0 3 2

0

0 ] 3

[

, u

v u v v

u



 



= 

2 0

0 A 3



 







 



= 

2 1 2

1 0 2

0 ] 3

[ u

v u v

 Hasilkali-dalam berbobot:

Bukti.

2 2 1

1 2

3u v + u v

=

dibangkitkan oleh matriks:

〈u,v〉 = 3u₁v₁ + 2u₂v₂

Hasilkali-dalam berbobot

Secara umum, hasilkali-dalam Euclidean berbobot 〈u,v〉 = w

₁u₁v₁

+ w

₂u₂v₂

+ ∙∙∙ + w

_nu_nv_n





















=

wn

w w

A















0 0

0

0 0

0

0 0

0

2 1

merupakan hasilkali-dalam pada R

ⁿ yang dibangkitkan

oleh matriks

Sifat-sifat hasilkali-dalam

Jika u, v, dan w adalah vektor di ruang hasilkali-dalam, dan skalar k

 〈u,v+w〉 = 〈u,v〉+ 〈u, w〉

 〈0, v〉 = 〈v, 0〉 = 0

 〈u – v,w〉 = 〈u,w〉 – 〈v, w〉

 〈u,kv〉 = k〈u,v〉

 〈u, v– w〉 = 〈u,v〉 – 〈u, w〉

〉

〈 v u , 2

^{〈u,v〉 = 0}

Ortogonalitas

Dua vektor u dan v adalah ortogonal iff

Teorema Phytagoras:

Bukti.

〉 +

+

〈

=

+ v

²

( u v ), ( u v ) u

2

2

v

u +

=

〈u,v〉 = 0

2 2

2

u v

v

u + = +

v

2

+ +

= u

²

Ortogonal dan Ortonormal

Himpunan vektor ortogonal:

– himpunan vektor-vektor dalam ruang hasilkali-dalam – semua pasangan dari vektor berlainan dalam himpunan

tersebut adalah ortogonal

Ortonormal:

– himpunan vektor ortogonal

– tiap vektor dalam himpunan tersebut memiliki norma 1

Normalisasi

Normalisasi:

proses perkalian vektor tak-nol dengan kebalikan dari panjang vektor tersebut

1 1 1

1 = = v =

v v v v

v

Vektor dengan norma 1:

v v 1

Bukti.

Contoh 3

Koordinat relatif terhadap basis ortonormal

Jika S = {v₁, v₂, ∙∙∙, v_n} adalah basis ortonormal untuk ruang hasilkali-dalam V, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka

Vektor koordinat u relatif terhadap S

koordinat relatif terhadap S

u = 〈u,v₁〉v₁ + 〈u,v₂〉v₂ + ∙∙∙ + 〈u,v_n〉v_n

(u)_S = (〈u,v₁〉, 〈u,v₂〉, ∙∙∙ , 〈u,v_n〉)

〈u,v₂〉

〈u,v₁〉 〈u,v_n〉

Koordinat relatif terhadap basis ortogonal

S = {v₁,v₂,∙∙∙,v_n}: basis ortogonal untuk ruang vektor V

Vektor u sebagai kombinasi linear dari vektor basis ortogonal







= 

′

n

S n

v v v

v v

v , , ,

2 2 1

1 

n n n

n

v v v

u v v

v v

u v v

v v

u v

u , , ,

2 2 2

2 1

1 1

1 + + +

= 

n n

n v v

v v u

v v v u

v v u u

2 2 2

2 1 2

2 1

1 , ,

, 〉 + 〈 〉 + + 〈 〉

= 〈 

Normalisasi dari tiap vektor dalam S

basis ortonormal

Contoh 4

Teorema proyeksi Rumus proyeksi

u u

u = + ⊥

W projW

proj

karena

u u

_W

u

W

proj proj

⊥

= −

maka

) proj

(

proj u u u

u = _W + − _W

W w₂

w₁ u

0

u = w₁ + w₂

W

u – proj_Wu

0

u

proj_Wu

Teorema proyeksi

Misal W merupakan subruang dimensi terbatas dari ruang hasilkali dalam V

r r Wu = 〈u, v 〉v +〈u,v 〉v + + 〈u, v 〉v

proj _{1 1 2 2} 

1) Jika S = {v₁, v₂, ∙∙∙, v_r} adalah basis ortonormal untuk W, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka

2) Jika S = {v₁, v₂, ∙∙∙, v_r} adalah basis ortogonal untuk W, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka

r r

r

W v

v v v u

v v v u

v v

u u _{2 2 2}

2 2 2 1

1

1 , ,

proj , 〈 〉

+

〉 + + 〈

〉

= 〈 

Proses Gram-Schmidt

Langkah 1: set v

₁

= u

₁

Proses

ortogonalisasi

:

step-by-step

Langkah 2: dapatkan vektor v

₂

ortogonal terhadap v

₁

hitung komponen u

₂

ortogonal pada W

₁

^{1 2 1}

1 2

2 2

2 2

proj ,

1 v

v v u u

u u

v 〈 〉

−

=

−

= _W

W₁

u₂

v₁ v₂

proj_W

1u₂

Proses Gram-Schmidt

Langkah 3: Bentuk vektor v

₃

ortogonal terhadap v

₁

dan v

₂

2 2 2

2 1 3

2 1

1 3 3

3 3

3

, proj ,

2 v

v v v u

v v u u

u u

v = − _W = − 〈 〉 − 〈 〉

Langkah ke-n: …

W₂

proj_W

2u₃ u₃

v₁

v₂ v₃

Contoh 5

Dekomposisi QR

Matriks A adalah matriks (m×n) dengan vektor kolom

Faktor dari A: A

=QR dengan

– Q adalah matriks m×n dengan vektor kolom ortonormal – R adalah matriks segitiga atas n×n dapat dibalik

bebas linear

















〉

〈

〉

〈

〉

〈

〉

〈

〉

〈

〉

〈

=

3 3

2 3 2

2

1 3 1

2 1

1

, 0

0

, ,

0

, ,

,

q u

q u q

u

q u q

u q

u R

???

Contoh 6

Contoh 1

Misalkan u =(u₁,u₂ ) dan v = (v₁,v₂). Tunjukkan bahwa hasilkali-dalam Euclidean berbobot:

〈u,v〉 = 3u₁v₁ + 2u₂v₂

memenuhi aksioma hasilkali-dalam.

Contoh 1

Jawab:

• 〈u,v〉 = 〈v,u〉

• Jika w = (w₁,w₂), maka

〈u+v,w〉 = 3(u₁ + v₁) w₁+ 2(u₂+v₂) w₂

= (3u₁w₁+2u₂ w₂)+(3v₁w₁+2 v₂w₂) = 〈u,w〉 +〈v,w〉

• 〈ku,v〉 = 3(ku₁)v₁ + 2(ku₂)v₂

= k(3u₁v₁ + 2u₂v₂) = k〈u,v〉

• 〈v,v〉 = 3v₁v₁+ 2v₂v₂ = 3v₁²+ 2v₂² ≥ 0

〈v,v〉 = 0 iff v₁=0 , v₂=0 ^ v = (v₁,v₂) = 0

Contoh 2

Vektor u =(1,0) dan v = (0,1) di R², dapatkan norma dan jarak

Hasilkali-dalam berbobot: 〈u,v〉 = 3u₁v₁ + 2u₂v₂ ^{u = 〈u, u〉1 2 = [3(1)(1) + 2(0)(0)]1 2 = 3}

2

) 1

1 , 1 ( ), 1 , 1 ( )

,

(u v = u − v = 〈 − − 〉 d

5 )]

1 )(

1 ( 2 )

1 )(

1 ( 3

[ + − − ^{1 2} =

=

1 0

1² + ² =

= u

2 )

1 ( 1

) 1 , 1 ( )

,

(u v = u − v = − = ² + − ² = d

Contoh 3

Dapatkan basis ortonormal untuk vektor-vektor u₁ = (0,1,0), u₂ = (1,0,1) dan u₃ = (1,0,-1).

1 =1

u u₂ = 2 u₃ = 2

) 0 , 1 , 0 (

1 1 = 1 =

u

v u 



 



= 

= 2

, 1 0 2 , 1

2 2 2

u

v u 



 



 −

=

= 2

, 1 0 2 , 1

3 3 3

u v u

Himpunan S={v₁,v₂,v₃} adalah ortonormal, karena

0 ,

,

, _{2 1 3 2 3}

1 〉 = 〈 〉 = 〈 〉 =

〈v v v v v v

3 1

2

1 = v = v =

v

Jawaban contoh 3

Contoh 4

Vektor v₁= (0,1,0), v₂= (-4/5,0,3/5), v₃= (3/5,0,4/5). Buktikan S={v₁, v₂, v₃} merupakan basis ortonormal untuk R³.

• Ekspresikan vektor u = (1, 1, 1) sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S

• Dapatkan vektor koordinat (u)_S

Contoh 4

• Hasilkali-dalam u dan v_i:

〈u,v₁〉=1; 〈u,v₂〉=-1/5; 〈u,v₃〉=7/5

• Vektor u sebagai kombinasi linear u = v₁ – (1/5)v₂ + (7/5) v₃

(1, 1, 1) = (0,1,0) – 1/5(-4/5, 0, 3/5) + 7/5 (3/5, 0, 4/5)

• Vektor koordinat u relatif terhadap S:

(u)_S = (〈u,v₁〉, 〈u,v₂〉, 〈u,v₃〉) = (1, -1/5, 7/5)

• Basis ortonormal: vektor ortogonal dengan norma 1

Contoh 5

Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasi vektor basis u₁ = (1,1,1), u₂ = (0, 1,1), u₃ = (0,0,1) ke dalam basis ortogonal {v₁, v₂, v₃}; kemudian dapatkan basis

ortonormal {q₁, q₂, q₃};

Contoh 5

Langkah 1:

2 1 1

1 2 2

2 2

2

proj ,

1 v

v v u u

u u

v = − _W = − 〈 〉



 

−

=

−

= 3

, 1 3 , 1 3 ) 2

1 , 1 , 1 3 ( ) 2 1 , 1 , 0 (

Langkah 2:

v₁ = u₁ = (1,1,1)

2 2 2

2 1 3

2 1

1 3 3

3 3

3

, proj ,

2 v

v v v u

v v u u

u u

v = − _W = − 〈 〉 − 〈 〉



 

−

−

−

= 3

, 1 3 , 1 3 2 3

2 3 ) 1

1 , 1 , 1 3( ) 1 1 , 0 , 0

( 



 

 −

= 2

, 1 2 , 1 0

Langkah 3:

) 1 , 1 , 1

1 = (

v 



 

−

= 3

, 1 3 , 1 3 2

v2 



 

 −

= 2

, 1 2 , 1

3 0

Basis ortogonal: v

Contoh 5

Norma dari v₁, v₂ dan v₃:

Basis ortonormal:

1 = 3

v 3

6

2 =

v 2

1

3 = v



 



= 

= 3

, 1 3 , 1 3 1

1 1 1

v q v



 

−

=

= 6

, 1 6 , 1 6 2

2 2 2

v q v



 

 −

=

= 2

, 1 2 , 1

0

3 3 3

v q v

) 1 , 1 , 1

1 = (

v 



 

−

= 3

, 1 3 , 1 3 2

v2 



 

 −

= 2

, 1 2 , 1

3 0

Basis ortogonal: v

Contoh 6

Dapatkan dekomposisi QR untuk matriks berikut:

 







 







=

1 1

1

0 1

1

0 0

1

A

Contoh 6

Vektor kolom dari matriks A:

















= 1 1 1 u1

















= 1 1 0 u2

















= 1 0 0 u3

Basis ortonormal diperoleh dari proses Gram-Schmidt pada contoh 4:

















=

3 1

3 1

3 1

q1















−

=

6 1

6 1

6 2

q2

















−

=

2 1

2 1

0 q3

Contoh 6 Matriks R

Dekomposisi QR

















=

















〉

〈

〉

〈

〉

〈

〉

〈

〉

〈

〉

〈

=

2 1

0 0

6 1

6 2

0

3 1

3 2

3 3

, 0

0

, ,

0

, ,

,

3 3

2 3 2

2

1 3 1

2 1

1

q u

q u q

u

q u q

u q

u R

R A Q

































−

−

=

















2 1

0 0

6 1

6 2

0

3 1

3 2

3 3

2 1

6 1

3 1

2 1

6 1

3 1

0 6

2 3

1

1 1 1

0 1 1

0 0 1

 Ruang hasilkali dalam merupakan perluasan konsep dari ruang hasilkali-dalam Euclidean

Ruang hasilkali dalam

 Ortonormal dibentuk dari himpunan vektor ortogonal dengan tiap vektor dalam himpunan tersebut memiliki norma 1

 Proses Gram-Schmidt digunakan untuk

mendapatkan basis ortogonal dari sebarang basis

untuk ruang hasilkali dalam dimensi terbatas

1) Dapatkan basis ortonormal dari {u₁, u₂,u₃} dengan

menggunakan proses Gram-Schmidt untuk u₁ = (1, 1, 1), u₂ = (-1, 1, 0) dan u₃ = (1, 2,1).

Soal Latihan

2) Misalkan 〈u,v〉 merupakan hasilkali-dalam Euclidean pada R², dan misal vektor u=(3,-2), v=(4,5), w=(-1,6).

a) Dapatkan 〈u+v,w〉.

b) Bila hasilkali-dalam diubah menjadi hasilkali-dalam berbobot 〈u,v〉 = 4u₁v₁+5u₂v₂, dapatkan 〈u+v,w〉.

.