BAB 3 VEKTOR DI R 2 DAN R 3. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.

KERANGKA PEMBAHASAN

1.

Definisi Vektor di R

2

dan R

3

2.

Hasil Kali Scalar

3.

Hasil Kali Silang

3.1 DEFINISI VEKTOR DI R2 DAN R3

Notasi dan Operasi

Vektor  besaran yang mempunyai arah

Notasi vektor

Notasi panjang vektor

adalah

Vektor satuan  Vektor dengan panjang atau norm

sama dengan satu

 1 2 3 3 2 1 3 2 1 , , ˆ ˆ ˆ _{c j c k c c c} i c c c c c                           3 2 1 c c c c 2 3 2 2 2 1

c

c

c

c







VEKTOR GEOMETRI

Vektor memiliki:

 Arah

 Besaran



Vektor juga memiliki:

 Ekor vektor: titik awal, misal A

 Ujung vektor: titik terminal (akhir), misal B



Notasinya: vektor v yang memiliki

titik awal A dan titik akhir B

OPERASI VEKTOR

1.

Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)

2.

Perkalian vektor

a)

dengan scalar

b)

dengan vektor lain

•

Hasil kali titik (Dot Product)

PENJUMLAHAN VEKTOR

u

v

u 

v

u



u

v

v

u 

Misalkan dan adalah vektor – vektor

didefinisikan

yang berada di ruang yang sama, maka vektor maka

PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR

u

u

2

u

2



u

 

k

u

u

u

Perkalian vektor dengan skalar k,

didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang vektor dengan arah

Jika k > 0  searah dengan

ANALISIS OPERASI VEKTOR



a11 a2, a3



a  b 



b₁, b₂ ,b₃





_{1 1}

,

_{2 2}

,

_{3 3}



.

1

a



b



a



b

a



b

a



b



_{1 1}

,

_{2 2}

,

_{3 3}



.

2

a



b



a



b

a



b

a



b



₁, ₂, ₃



. 3 k a  ka ka ka

Secara analitis, kedua operasi pada vektor di atas dapat dijelaskan sebagai berikut :

adalah vektor-vektor di ruang yang sama, maka dan

RUANG DUA (R

2

)

Komponen v adalah koordinat (v

₁

,v

₂

) di titik akhir v, dan

ditulis: v = (v

₁

,v

₂

)

Vektor w ditulis: w = (w

₁

,w

₂

)

Keduanya ekivalen jika

v

₁

= w

₁

dan v

₂

= w

₂

RUANG TIGA (R

3

)

R

3

dapat menjadi R

2

jika dilakukan

pergeseran ke kanan

atau ke kiri

TRANSLASI SUMBU

Persamaan translasinya:

=

− ,

=

−

CONTOH:

Sistem xy ditranslasikan untuk memperoleh sistem

koordinat-x’y’ yang asalnya memiliki koordinat-xy: (k,l) = (4,1).

1.

Tentukan koordinat-x’y’ dari titik tersebut dengan koordinat-xy P(2,0)

2. Tentukan koordinat-xy dari titik tersebut dengan koordinat-x’y’ Q(-1,5)

SOLUSI

1.

Persamaan translasinya: x’ = 2 – 4 = -2, y’ = 0 – 1 = -1

NORMA VEKTOR

NORMA VEKTOR u = panjang vektor u dan dinotasikan dengan

Dengan teori Pythagoras, norma vektor u(u

₁

,u

₂

) dan u(u

₁

,u

₂

,u

₃

):

=

+

(R

2

₎

=

+

+

(R

3

₎

CONTOH APLIKASI:

GPS (GLOBAL POSITIONING SYSTEMS)

GPS mengidentifikasi koordinatnya TITIK (x,y,z) pada saat t

menggunakan sistem segitiga dan menghitung jarak dari empat satelit. Jarak ini dihitungkan menggunakan kecepatan cahaya (sekitar 0.469 jari-jari bumi per 0.01 detik) dan waktu sinyal berjalan dari satelit ke TITIK tersebut. Sebagai contoh, TITIK menerima sinyal pada saat t dan satelit menghantarkan sinyal pada saat t₀, maka jarak yang ditemput oleh sinyal adalah = 0.469 −

Satelit juga mengirimkan koordinatnya (x₀,y₀,z₀) pada waktu tersebut, sehingga = − + − + −

Persamaannya menjadi:

− + − + − = 0.22 −

3.2 HASIL KALI SCALAR (PERKALIAN DOT)

Misalkan , adalah vektor pada ruang yang sama, maka hasil kali titik antara dua vektor:

=

cos

dengan

: panjang : panjang

Ilustrasi dot product vektor A dan B

 cos B A B A 

Contoh 2 :

Tentukan hasil kali titik dari dua vektor dan

Jawab :

Karena tan  = 1 , artinya = 450

= 4 i a  2ˆ _{b 2 i}ˆ ₂ˆ_j  cos b a b a  2 1 8 2 

Ingat aturan cosinus Perhatikan a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{– 2 bc cos}

_

a c b



a b a b a b   cos 2 2 2 2 b a b a a b    



b 

Selanjutnya dapat ditulis Ingat bahwa :   cos b a     2 _ 2 _{ } 2 2 1 _{a b b a}



cos 1. ab  a b 2 2 2 2 1 2 ... . 2 a  a  a  a _n 2 2 2 2 1 2 ... . 3 b  b  b   b_n









2





2 2 2 2 1 1 2 ... . 4 b a  b a  b  a   b_n  a_n n n n n n n

a

b

a

b

a

b

a

a

a

b

b

b

2

...

2

2

...

...

1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1

























n nb a b a b a b a   _{1 1}  _{2 2} ...

Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :

Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada contoh sebelumnya

= 2 (2) + 0 (2)

= 4

Beberapa sifat hasilkali titik : 1. 2. 3. 2 2 1 1b a b a b a    n n

b

a

b

a

b

a

b

a





_{1 1}



_{2 2}



...



a b b a  



b c





a b

 

a c



a     



a b



ka b a kb k R k      , dimana 

PROYEKSI ORTOGONAL

Karena a proy c  _b a b

w

c

w

a





a



b





w



c





b

b

c

b

w









2

b

k

b

b

k







b

k

c 

bahwa

terlihat

2 b b a k  

Jadi,

rumus proyeksi diperoleh :

Contoh 4 :

Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor              3 4 2 u             4 3 1 v b b b a a oy_{b 2} Pr  

Jawab :                                                                                     4 3 1 4 3 1 26 26 4 3 1 26 ) 12 ( ) 12 ( 2 4 3 1 ) 4 ( 3 1 4 3 1 3 4 2 Pr 2 2 2 2 v v v w w oy_v

JARAK ANTARA TITIK DAN GARIS

Jarak (D) antara titik P₀(x₀,y₀) dan garis ax + by + c = 0

= + +

3.3 HASIL KALI SILANG

Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor di Ruang (R3_{) yang menghasilkan vektor yang tegak lurus}

terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.

3 2 1 3 2 1

ˆ

ˆ

ˆ

B

B

B

A

A

A

k

j

i



B

x

A

C 

k B B A A j B B A A i B B A A _ˆ ˆ ˆ 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2   

Contoh : Tentukan , dimana Jawab :

v

u

w





3 2 1 3 2 1 ˆ ˆ ˆ v v v u u u k j i w 



1,2,2



 u v  (3, 0,1) 1 0 3 2 2 1 ˆ ˆ ˆ   k j i



 



  2.1 0( 2) iˆ



3(2)1.1



jˆ 



1.03.2



kˆ k j iˆ 7ˆ 6 ˆ 2   

Beberapa sifat Cross Product : a. b. c.

u



v

2



u

2

v

2





u



v



2







0



u

x

v

u







0



u

x

v

v

Dari sifat ke-3 diperoleh



sin

,

u

x

v



u



v



Jadi





2 2 2 2 v u v u v u    





2 2 2

cos













u

v

u

v



2 2 2





2 2 cos      u v u v



2





2 2 cos 1    u v



2 2 2

sin







u

v

Perhatikan ilustrasi berikut :

Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah u

v





sin v u  sin Genjang Jajaran Luas  u xv  u  v  v u   2 1 segitiga Luas

Contoh :

Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah : A = (1, –1, –2)

B = (4, 1, 0) C = (2, 3, 3)

Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segitiga ABC ! Jawab : Tulis = B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2) = (3, 2, 2) = C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2) = (1, 4, 5)

AB

AC

Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah

AB

AC 5 4 1 2 2 3 ˆ ˆ ˆ _{j k} i  _{ 2i}ˆ _13ˆ_{j 10k}ˆ 100 169 4 2 1    Luas 273 2 1 

ORIENTASI PADA TITIK B

 BA a  b  BC

_{c }

_b

  BC BA 3 2 2 2 2 3 ˆ ˆ ˆ     k j i j k iˆ 13 ˆ 10 ˆ 2       BAxBC 2 1 100 169 4 2 1   273 2 1  = (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2) = (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)

BUKTI 1

Luas jajaran genjang vektor R

2

yang terletak di R

3

adalah

u = (u

₁

,u

₂

,0) dan v = (v

₁

,v

₂

,0)

Faktanya bahwa

= 1, maka luasnya menjadi

BUKTI 2

Luas jajaran genjang di bagian alas adalah

x

Tingginya adalah proyeksi u terhadap

x :

Volumenya:

3.4 GARIS DAN BIDANG DI R

3



Dalam geometri analitik sebuah garis di R

2

dapat

dispesifikasi dengan memberikan gradien dan satu titik

intersepsinya



Mirip dengan itu, di R

3

juga dapat dispesifikasi dengan

memberikan inklanasi (kecenderungan) dan satu titiknya



Inklanasi dari sebuah bidang untuk menentukan vektor

bukan nol disebut

NORMAL,

yang TEGAK LURUS

NORMAL-TITIK



Persamaan bidang yang melalui titik

,

,

dan memiliki vektor bukan nol

=

, ,

sebagai sebuah NORMAL



Buktinya: Titik

( , , ) di bidang tersebut

membentuk vektor

yang ORTOGONAL

terhadap n, sehingga

.

= 0



Karena

=

−

, −

, −

, maka

−

+

−

+

−

=



Ini disebut BENTUK

NORMAL-TITIK

PERSAMAAN

BIDANG



Bentuk umumnya:

CONTOH

Temukan persamaan bidang melalui titik (3,-1,7) dan

tegak lurus n = (4,2,-5)

JAWAB:

−

+

−

+

−

=

4

− 3 + 2

+ 1 − 5

− 7 = 0

4 − 12 + 2 + 2 − 5 + 35 = 0

4 + 2 − 5 + 25 = 0

SPL DALAM BIDANG R

3

Jika ada 3 bidang R

3

,

maka persamaan

bidangnya membentuk

SPL:

+

+

=

+

+

=

+ ℎ +

=

Kemungkinan solusinya:

CONTOH

Temukan persamaan bidang melalui titik 1,2, −1 , (2,3,1), dan (3, −1,2) . Solusinya: + 2 − =

2 + 3 + = 3 − + 2 = Hasilnya adalah = − , = − , = , dan = Jika = −16, maka persamaannya adalah

9 + − 5 − 16 = 0 Solusi LAIN:

= − , − , − = (1,1,2) dan = − , − , − = (2, −3,3) x = (9,1, −5)