MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya

Aljabar Linear Elementer

MA1223

3 SKS

Silabus :

Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks

Bab III Sistem Persamaan Linear

Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang Bab V Ruang Vektor

Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear

VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG

Pokok Bahasan :

1. Notasi dan Operasi Vektor

2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal

3. Perkalian silang dan Aplikasinya

Beberapa Aplikasi :

• Proses Grafika Komputer

Notasi dan Operasi

Vektor Î besaran yang mempunyai arah Notasi vektor

(

_{1 2 3}

)

3 2 1 3 2 1 , , ˆ ˆ

ˆ _{c j c k c c c}

i c c

c c

c = + + =

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

Notasi panjang vektor

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 2 1 c c c c adalah 2 3 2 2 2

1

c

c

c

c

=

+

+

Operasi Vektor meliputi :

1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)

2. Perkalian vektor

(a) dengan skalar

(b) dengan vektor lain

• Hasil kali titik (Dot Product)

Penjumlahan Vektor

u

v

u

+

v

u

{

u

v

v

u

+

Misalkan dan adalah vektor – vektor

didefinisikan

yang berada di ruang yang sama, maka vektor

u

u

2

u

2

−

Perkalian vektor dengan skalar

u

( )

k

u

u

u

u

Perkalian vektor dengan skalar k,

didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang vektor dengan arah

Jika k > 0 Æ searah dengan

Scaling

P P

(

a₁₁ a₂,a₃

)

a = b =

(

b₁, b₂ , b₃

)

(

_{1 1}

,

_{2 2}

,

_{3 3}

)

.

1

a

+

b

=

a

+

b

a

+

b

a

+

b

(

_{1 1}, _{2 2}, _{3 3}

)

.

2 a −b = a −b a −b a −b

(

₁, ₂, ₃

)

.

3 k a = ka ka ka

Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas dapat dijelaskan sebagai berikut :

adalah vektor-vektor di ruang yang sama dan

maka

Perkalian antara dua vektor

• Hasil kali titik (dot product)

• Hasil kali silang (cross product)

Î Hasil kali titik merupakan operasi

antara dua buah vektor pada ruang yang sama

yang menghasilkan skalar

Hasil kali titik (dot product)

Î Hasil kali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang R3

yang menghasilkan vektor

Dot Product

Misalkan

adalah vektor pada ruang yang sama maka hasil kali titik antara dua vektor :

dimana

: panjang

: panjang

α : sudut keduanya

α

cos

b a b

a • =

,

a

b

a

b

a

Ilustrasi dot product vektor A dan B

α

cos

B A

B

Contoh 2 :

Tentukan hasil kali titik dari dua vektor dan

Jawab :

Karena tan α = 1 , artinya = 450

i

a = 2ˆ _b = _2iˆ +₂ˆ_j

α

cos

b a b

a• =

2 1 8 2

Ingat aturan cosinus

Perhatikan

a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{– 2 bc cos}

α

a

c

b

α

a

b

a

b

a b−

α

2 2

2

− +

= −

α

b

Selanjutnya dapat ditulis

Ingat bahwa :

= θ cos b a ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ _{2 +} 2 _{− −} 2

2

1 _{a b b a}

α cos 1. a•b = a b

2 2 2 2 1 2 ... .

2 a = a + a + a _n

2 2 2 2 1 2 ... .

3 b = b + b + + b_n

(

) (

)

2

(

)

2 2 2 2 1 1 2 ... .

4 b− a = b − a + b − a + + b_n − a_n

n

n

a

a

a

b

b

b

₁2

+

₂ 2

+

...

+

2

+

₁2

+

₂ 2

+

...

+

2

=

n nb a b a b a b

Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :

Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada contoh sebelumnya

= 2 (2) + 0 (2) = 4

Beberapa sifat hasilkali titik :

1.

2.

2 2 1

1b a b

a b

a • = +

n n

b

a

b

a

b

a

b

a

•

=

_{1 1}

+

_{2 2}

+

...

+

a b b

a• = •

( )

b c

( ) ( )

a b a c

a • + = • + •

Proyeksi Ortogonal

Karena

a proy c = _b

a

b

w

c

w

a

=

+

a

•

b

=

(

w

+

c

)

•

b

b

c

b

w

•

+

•

=

b k

b b

k

=

• =

b

k

c

=

bahwa

terlihat

2

Jadi,

rumus proyeksi diperoleh :

Contoh 4 :

Tentukan proyeksi ortogonal

vektor

terhadap vektor ⎟

⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − =

3 4 2

u

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− =

4 3 1 v

b b

b a a

oy_{b 2}

Cross Product (hasilkali silang)

Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor di Ruang (R3_{) yang menghasilkan vektor yang tegak}

lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.

3 2 1 3 2 1

ˆ

ˆ

ˆ

B

B

B

A

B

A

k

j

i

=

B

x

A

C

=

k B B A A j B B A A i B B A A ˆ ˆ ˆ 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3

2 − +

Ilustrasi Cross Product (hasilkali silang)

B

x

A

Contoh :

Tentukan , dimana

Jawab :

v

u

w

=

×

3 2 1 3 2 1 ˆ ˆ ˆ v v v u u u k j i w =

(

1,2,− 2

)

=

u v = (3, 0,1)

1 0 3 2 2 1 ˆ ˆ ˆ − = k j i

(

− −

)

+

= 2.1 0( 2) iˆ

(

3(−2) −1.1

)

ˆj +

(

1.0 −3.2

)

kˆ

ˆ ˆ

ˆ− −

Beberapa sifat Cross Product :

a.

b.

c.

u

×

v

2

=

u

2

v

2

−

(

u

•

v

)

2

(

)

=

0

•

u

x

v

u

(

)

=

0

Dari sifat ke-3 diperoleh

(

)

2 2

2 2

v u v

u v

u × = − •

(

)

2

2 2

cos

α

⋅

⋅

−

⋅

=

u

v

u

v

(

2 2 2

α

)

2 2

cos

⋅ ⋅

− ⋅

= u v u v

(

2

α

)

2

2

cos 1−

⋅

= u v

α

2 2

2

sin

⋅

⋅

=

u

v

α

sin

,

u

x

v

=

u

⋅

v

⋅

Perhatikan ilustrasi berikut :

Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah

u

v

α

α

sin

v

u

α

sin Genjang

Jajaran

Luas = u xv = u ⋅ v ⋅

v u ×

= 1

Contoh :

Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah : A = (1, –1, –2)

B = (4, 1, 0) C = (2, 3, 3)

Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segitiga ABC !

Jawab :

Tulis

= B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2) = (3, 2, 2)

= C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2) = (1, 4, 5)

AB

Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah AB ×AC

5 4

1

2 2

3

ˆ ˆ

ˆ _{j k}

i

=

k j

iˆ 13ˆ 10 ˆ

2 − +

=

100 169

4 2 1

+ +

=

Luas

273 2

Orientasi pada titik B

=

BA a − b

=

BC

c

−

b

= ×BC BA

3 2

2

2 2

3

ˆ ˆ

ˆ

−

− −

−

k j

i

j k

iˆ 13 ˆ 10 ˆ 2 + −

− =

= = BAxBC

2 1

100 169

4 2 1

+ +

273 1

=

= (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2)

= (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)

Latihan Bab 4

1. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh pasangan vektor berikut :

a. dan

b. dan

2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:

a. dan

b. dan

3. Tentukan dua buah vektor satuan yang tegak lurus terhadap

4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor

dan

5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− =

2 3

u

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛− =

1 3 7

u

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ =

4 0 2