BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA - BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA ,

(1)

BAB I VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA

1 X(+)

X(-)

Y(+)

Y(-)

BAB I

VEKTOR GAYA DAN RESULTAN SISTEM GAYA

Pada bab ini, kita akan mempelajari pengaruh gaya-gaya yang bekerja pada suatu partikel. Pemakaian kata “partikel” tidak berarti bahwa kita membatasi pelajaran kita pada benda yang kecil. Yang dimaksud di sini adalah ukuran dan bentuk benda yang ditinjau tidak banyak mempengaruhi penyelesaian masalah.

Gaya termasuk besaran vektor. Sehingga pada materi ini kita akan lebih sering menggunakan istilah vektor sebagai pengganti besaran gaya. Karena gaya merupakan besaran vektor, maka sebuah gaya akan ditentukan oleh besar dan arahnya.

Besarnya suatu gaya ditentukan oleh suatu satuan. Dalam SI, gaya mempunyai satuan Newton(N), sedang sistem satuan Amerika menggunakan satuan pound(lb). Arah gaya ditentukan dengan suatu tanda panah. Perjanjian tanda yang lazim untuk menyatakan arah gaya dapat dilihat pada gambar 1.1.

Gambar 1.1. Perjanjian tanda arah gaya

A. GAYA PADA BIDANG DATAR

(2)

2

(a) _(b)

30 30

Gambar 1.2. Vektor A dan bentuk negatifnya

(a)

A A A

(b) (c)

P

Q

R P

Q

R

Gambar 1.3. Resultan vektor

Dua buah vektor P dan Q yang bekerja pada sebuah benda A (gambar 1.3(a)) dapat digantikan dengan sebuah vektor tunggal R yang akan memberikan efek yang sama pada benda tersebut (gambar 1.3(c)). Vektor ini disebut vektor resultan dari vektor P dan Q.

(3)

3 A

B B

A

R

 

(a) _(b)

Gambar 1.6. Hukum Jajaran genjang

Gambar 1.4. Dua vektor yang sama Gambar 1.5. Dua vektor yang berbeda

B. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN GAYA

Dua buah vektor gaya A dan B bekerja pada satu titik tangkap dan membentuk sudut apit . Resultan atau jumlah kedua vektor tersebut dicari menggunakan hukum jajaran genjang (gambar 1.6(a) dan (b)).

(4)

4 A

B

-B

Gambar 1.10. Pengurangan vektor

 

A-B A

B B A

A+B ATAU

A+B

A

B

(a) _(b) _(c)

Gambar 1.7. Hukum Segitiga

Gambar 1.8. Hukum Segitiga Gambar 1.9. Hukum Segitiga

(5)

5

a b

c

 



Besarnya A-B dihitung menggunakan persamaan berikut ini :

A-B = s (2)

Dimana  = 180 -  dan cos (180 - ) = - cos , sehingga persamaan 2 dapat diubah menjadi :

A-B = s (3)

Rumus hukum segitiga yang sering digunakan dalam perhitungan adalah sebagai berikut :

a sin

b

sin sin

Contoh 1.

(6)

6

P = 40 N

Q = 60 N

R

20

25

Penyelesaian :

R = P P s

= s = 97.73 N

Contoh 2.

Sebuah tiang pancang ditarik dari tanah dengan memakai dua tali seperti tampak pada gambar.

a. tentukan besar gaya P sehingga gaya resultan yang timbul pada tiang mengarah vertikal.

(7)

7 Penyelesaian :

Contoh 3.

Karena resultan kedua gaya pada tiang harus vertikal, maka gambar gaya di samping dapat diubah seperti tampak pada gambar berikut.

a. Dengan menggunakan persamaan hukum

segitiga diperoleh persamaan sebagai

berikut.

(8)

(9)

9 Contoh 4.

Penyelesaian :

C. KOMPONEN TEGAK LURUS SUATU GAYA

Sebuah vektor gaya dapat diuraikan dalam sebuah bidang Cartesian dalam komponen Fx sepanjang sumbu x dan Fy sepanjang sumbu y seperti tampak pada gambar 1.11.

Sebuah mobil mogok ditarik dengan dua tali seperti tampak pada gambar. Tegangan di AB sebesar 400 lb dan sudut  sebesar 20. Diketahui resultan dari dua gaya tersebut bekerja di A diarahkan sepanjang sumbu mobil. Tentukan dengan trigonometri (a) tegangan pada tali AC, (b) besar resultan kedua gaya yang beraksi di A.

a. Gunakan hukum segitiga :

20

b. Gunakan hukum segitiga :

(10)

10 Gambar 1.11. Uraian vektor

Begitu juga sebaliknya, jika diketahui dua komponen gaya Fx dan Fy yang saling tegak lurus, maka dapat dihitung resultan kedua gaya dan arah resultan gaya tersebut menggunakan persamaan berikut :

Fx Fy

tan  (6)

2 2

Fy Fx

F  (7)

D. RESULTAN GAYA DENGAN MENAMBAH KOMPONEN X DAN Y

Tiga buah gaya F1, F2, dan F3 bekerja pada suatu bidang kartesian pada satu titik tangkap seperti ditunjukkan pada gambar 1.12.

Dimana :

Fx = Fcos  (4)

(11)

11 Untuk mencari resultan ketiga gaya tersebut, maka harus diuraikan masing-masing gaya terhadap sumbu x dan y sehingga terdapat komponen gaya-gaya :

F1x = F1cos 1

Dari komponen-komponen gaya di atas, dapat dijumlahkan secara aljabar terhadap sumbu x dan y, yaitu :

Fx = F1x - F2x + F3x (8) dan

Fy = F1y + F2y - F3y (9) sehingga resultan ketiga gaya dicari menggunakan persamaan :

X

(12)

12 X

45 lb

60 lb

75 lb Y







 2

y 2

x F

F

R (10)

Contoh 5.

Penyelesaian :

Tentukan komponen x dan y setiap gaya pada gambar di samping.

Besar(lb) Sumbu X(lb) Sumbu Y(lb)

60 60cos 35 = 49,15 60sin 35 = 34,41

45 45cos 55 = 25,81 45sin 55 = 36,86

(13)

(14)

14 Contoh 7.

Penyelesaian :

Tegangan pada kabel penguat tiang telepon sebesar 370 lb. Tentukan komponen horizontal dan vertikal gaya yang ditimbulkan pada penambat di C.

R = 62 17,52 18,5ft

Tx = - Tcos 

= - 370 x 18,5

6

= - 120 lb

= 120 lb (ke kiri)

Ty = Tsin 

= 370 x 18,5 17,5

(15)

15

E. KESETIMBANGAN SUATU PARTIKEL

Bila resultan semua gaya yang bekerja pada suatu partikel adalah nol, maka partikel tersebut dalam keadaan setimbang. Syarat untuk mencapai keadaan setimbang secara matematis dapat ditulis sebagai berikut ini :

Fx = 0 dan Fy = 0 (11)

(16)

16

A

30 60

W = 20 N

A

30 60

W = 20 N

T3

T1 T2

TBC = 0,74 TAC (a) Fy = 0

TAC Sin 50 + TBC Sin 30 – 400 = 0

0,77 TAC + 0,5 TBC = 400 (b) Substitusikan (a) ke dalam (b) :

0,77 TAC + 0,5 (0,74 TAC) = 400 1,14 TAC = 400

TAC = 350,88 lb Masukkan TAC ke dalam (a) :

TBC = 0,74 x 350,88 = 259,65 lb

Contoh 9 :

Hitung tegangan tali T1, T2, dan T3 pada gambar berikut ini jika titik A setimbang. W adalah berat benda.

Penyelesaian :

(17)

Benda ini berada pada keadaan setimbang sehingga : T3 = W = 20 N

Tinjau titik A :

Karena titik ini setimbang, maka berlaku syarat kesetimbangan.

Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), kita peroleh :

(18)

Subtitusikan nilai T1 ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai T2 T1 = 20 N

Contoh 10.

Penyelesaian :

Suatu kotak yang dapat digerakkan berikut isinya mempunyai 960 lb. Tentukan panjang rantai terpendek ACB yang dapat digunakan untuk mengangkat beban kotak tersebut bila tegangan pada rantai tidak melebihi 730 lb.

Karena berbentuk simetris, maka TAC = TBC

= T.

maka panjang rantai minimum

(19)

19

LATIHAN

1. Determine the magnitude of the

resultant force FR = F1 + F3 and its direction, measured counterclockwise from the positive x-axis.

2. Determine the magnitude of the

resultant force FR = F1 + F2 and its direction, measured counterclockwise from the positive x-axis

3. Resolve the force F1 into components acting the u_andv_{axes and determine the magnitudes}

(20)

20 4. The plate is subjected to the two forces at A and B as shown. If  = 60, determine the magnitude of the resultant of these forces and its direction measured from the horizontal

5. Determine the magnitudes of F1 and F2 so that

the particle P is in equilibrium

(21)

21

7. The device shown is used to straighten the

frames of wrecked autos. Determine the tension of each segment of the chain, i.e., AB and BC if the force which hydraulic cylinder DB exerts on point B is 3,50 kN, as shown

8. Determine the force in cables AB and

AC necessary to support the 12 kg traffic light

9. Coeds AB and AC can each sustain a

(22)