Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear
Diktat Aljabar Linear Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3
4. VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3
4.1. PENGANTAR DEFINISI 4.1: VEKTOR
Vektor adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. Vektor yang memiliki panjang dan arah yang sama dikatakan ekivalen. Dua vektor v,w ekivalen, dapat dituliskan sebagai v = w
B titik terminal
V W Z
V = AB→
A titik awal V=W=Z ketiganya ekivalen
Gb.4.1 (a) Vektor (b) Vektor Ekivalen
DEFINISI 4.2:
1. Penjumlahan Vektor 2. Vektor Negatif V
W V
V + W Besar V= Besar(-V)
Namun arahnya Berlawanan.
Gb.4.2 (a) Penambahan Vektor -V (b) Vektor negatif
3. Pengurangan Vektor
V-W V V V - W
-W W W
(c) Pengurangan Vektor DEFINISI 4.3:
Jika v adalah vektor tak nol, k-skalar, k ∈ℜ, k ≠ 0, maka k v didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang v , jika
k > 0 , arah k v searah dengan arah v k < 0 , arah k v berlawanan dengan arah v k v = 0, jika k = 0 atau v = 0
v -v 2v
Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear
Diktat Aljabar Linear Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3
4.1.1 VEKTOR DI RUANG-2
Jika V – Vektor pada bidang Titik awal adalah titik asal koordinat
V = (v1,v2) , W = (w1,w2) v1,v2 – Komponen-komponen dari V
Sifat-sifat yang berlaku pada pada vektor di Ruang-2 adalah Ekivalen bila v1=w1 dan v2=w2
Penjumlahan : V + W = (v1+w1, v2+ w2) Perkalian scalar: kV =(kv1,kv2) Pengurangan : V-W = (v1 - w1, v2 - w2) (v1+w1,v2+w2) Y W (v1,v2) V+W V X X Gb.4.3 Vektor-vektor di ruang-2 4.1.2 VEKTOR DI RUANG-3
Jika V – Vektor di ruang berdimensi 3
V = (v1,v2,v3) W =(w1,w2,w3)
Sifat-sifat yang berlaku pada pada vektor di Ruang-3adalah Ekivalen bila v1=w1 ; v2 =w2 dan v3=w3
Penjumlahan : V + W = (v1+w1, v2+ w2,v3+w3)
Perkalian scalar: kV =(kv1,kv2, kv3)
Pengurangan : V-W = (v1 - w1, v2 - w2, v3-w3)
4.2. NORM VEKTOR
DEFINISI 4.4 : NORM VEKTOR
• : ℜn→ℜ+0 adalah norm vektor jika ∀x,y ∈ℜn , α∈ℜ
(a) x ≥ 0 dan x = 0 ⇔ x=0 (b) αxx = α x
Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear
Diktat Aljabar Linear Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3 CONTOH 4.5 • Euclidean Norm in ℜ2 V = (v1,v2) 22 2 1 2 v v V = +
• Jika P1 (x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah 2 titik di ruang-3, maka jarak d diantara
kedua titik tersebut adalah norm vector P1P2 → 2 1P P = (x2-x1, y2-y1,z2-z1) d =
(
) (
) (
2 1)
2 2 1 2 2 1 2 x y y z z x − + − + − z P2 P1 y xGb. 4.3 Jarak antara dua vektor
4.3. HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI
4.3.1 HASIL KALI TITIK
DEFINISI 4.6: HASIL KALI TITIK
Jika u dan v adalah vector- vektor di ℜ2 atau ℜ3 dan θ adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau Euclidean Inner Product u.v didefinisiakan oleh
= = ≠ ≠ = 0 0 0 0 0 cos . v atau u Jika v dan u jika v u v u θ (4.1) TEOREMA 4.7:
Misalkan u dan v adalah vektor di ruang-2 atau di ruang-3 (a) v.v = v 2, i.e., v = (v.v)1/2
(b) Jika u ≠ 0 dan v ≠ 0, θ sudut antara kedua vektor tersebut, maka
θ lancip jika dan hanya jika u.v > 0
θ tumpul jika dan hanya jika u.v < 0
θ = π/2 jika dan hanya jika u.v = 0 Bukti :
(a) karena sudut θ diantara v dan v adalah 0, maka dapat diperoleh :
v.v = v v cos θ = v 2 cos 0 = v 2
(b) karena u > 0 , v > 0 dan u.v = u v cos θ berarti u.v < 0 ⇔ cos θ < 0 ⇒θ tumpul
Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear
Diktat Aljabar Linear Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3 CATATAN 4.8
Jika u ⊥ v maka u dan v dikatakan orthogonal TEOREMA 4.9:
Jika u,v dan w adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k adalah skalar, maka (a) u.v = v.u
(b) u.(v+w) = u.v + u.w (c) k (u.v) = (ku).v = u.(kv) (d) v.v > 0 jika v ≠ 0 dan v.v = 0 jika v = 0 4.3.2 PROYEKSI w2 u w2 u u w2 w1 a a w1 w1 a w1 Gb.4.4 proyeksi vektor u w1 // a w1 + w2 = u w2 u w2⊥ a w2 = u – w1
w1 dinamakan proyeksi orthogonal u pada a (komponen vektor u sepanjang a)
Proya u
w2 dinamakan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a w2 = u – w1 = u - Proya u
TEOREMA 4.10
Jika u dan a adalah vektor-vektor di ruang-2 atau di ruang-3, dan jika a≠ 0, maka (w1 = ) Proya u = a a a u 2 . (w2 = ) u- Proya u = u - a a a u 2 . Bukti
Diketahui jika w1 // a maka w1 = k a, k – skalar u = w1 + w2 = k a + w2 ⇒ u . a = (k a + w2) . a = k 2 a + w2 . a (w2 . a = 0, karena w2 ⊥ a ) ⇒ k = 2 . a a u ⇒ w1 = a a a u 2 .
Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear
Diktat Aljabar Linear Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3 Panjang komponen vector u sepangan vektor a dapat diperoleh dengan menarik norm sebagai berikut : a a a u a a a u u oya 2 2 . . Pr = = = a a a u 2 . ( a2 > 0} (4.2)
Jika θ menyatakan sudut antara u dan a, maka
u.a = u a cosθ
maka persamaan (4.2) dapat dituliskan menjadi :
θ
cos
Proyau = u (4.3)
4.4. HASIL KALI SILANG (CROSS PRODUCT) DEFINISI 4.11
Jika U = (u1,u2,u3) dan V = (v1,v2,v3) adalah vektor di ruang-3, maka hasil kali silang
U x V adalah vektor yang didefinisikan oleh :
U x V = − 3 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 , , v v u u v v u u v v u u (4.4) TEOREMA 4.12
Jika u dan v adalah vektor di ruang-3 maka
(a) u.(u x v) = 0 (u x v ortogonal ke u) (b) v.(u x v) = 0 (u x v ortogonal ke v) (c) 2 2 2 2 ) . ( vu v u v x u = − (Identitas Lagrange) TEOREMA 4.13
Jika u, v dan w adalah sebarang vektor di ruang-3, dan k adalah sebarang skalar, maka : (a) u x v = - (v x u) (b) u x (v+w) = (u x v) + (u x w) (c) (u + v) x w = (u x w) + (v x w) (d) k (u x v) = (k u) x v = u x (kv) (e) u x 0 = 0 x u = 0 (f) u x u = 0 a a u u oya . Pr =
Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear
Diktat Aljabar Linear Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3
4.4.1 UNIT VEKTOR i = (1, 0, 0) j = (0,1,0) k = (0,0,1) z i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k, j x k = i , k x i = j j x i = -k, k x j = -i, i x k = -j k = (0,0,1) ⇒ u x v = 3 2 1 3 2 1 v v v u u u k j i j = (0,1,0) y i = (1,0,0) x Gb.4.5 Unit Vektor Makna dari cross product
u x v Jika θ menyatakan sudut antara u dan v, maka
u.v = u v cos θ 2 2 2 2 ) . ( vu v u v x u = − = u 2 v 2 – ( u v cos θ)2 = u 2 v 2 (1 – cos 2θ) u = u 2 v 2 sin2θ θ ⇒ uxv = u v sinθ v
Gb. 4.6 Ilustrasi Cross Product
v Luas = Alas Tinggi
= u v sinθ v v sin θ = uxv θ u
Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear Diktat Aljabar Linear
Diktat Aljabar Linear Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3 4.5. RUANG VEKTOR UMUM
DEFINISI 4.14 : RUANG VEKTOR UMUM Jika V adalah sebuah ruang vektor
(a) Jika u,v ∈ V, maka u + v ∈ V (b) u+v = v+u
(c) u+(v+w) = (u+v)+w
(d) Jika 0 ∈ V sehingga 0 + u = u+ 0, ∀ u ∈ V
(e) ∀ u ∈ V , ∃ - u ∈ V (negatif u). sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 (f) Jika k,l ∈ℜ, u ∈ V, maka k u ∈V (g) k (u + v) , k u + k v (h) (k+l) u = k u + l u (i) k(l u) =(kl) u (j) 1 u = u CONTOH 4.15
1. Himpunan semua tripel bilangan riil (x,y,z) dengan operasi –operasi (x,y,z) + (x’,y’,z’) = (x+x’, y+ y’, z + z’) dan k (x,y,z) = (kx, y,z) BUKAN merupakan ruang vector, karena (f) TIDAK terpenuhi.
2. Himpunan semua pasangan bilangan riil (x,y ) , x ≥ 0 dengan operasi-operasi baku pada ℜ2 BUKAN merupakan ruang vector karena (e) dan (f) TIDAK terpenuhi.
