Geometri pada Bidang, Vektor

(1)

Geometri pada Bidang, Vektor

Zahnur@informatika.unsyiah.ac.id

Prodi Matematika FMIPA Unsyiah

September 9, 2011

(2)

Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan hu1, u2i.

Disini digunakan notasi hu₁, u₂i bukan (u₁, u₂) karena notasi (u1, u2) sudah digunakan sebagai selang terbuka dan juga sebagai titik pada bidang koordinat.

Salah satu keuntungan menyatakan vektor dalam pendekatan aljabar adalah karena dapat dengan mudah dikembangkan untuk dimensi yang lebih tinggi.

(3)

Gambar: Vektor direpresentasikan sebagai pasangan berurutan hu₁, u2i

(4)

Bilangan-bilangan u₁ dan u₂ disebut komponen (component) dari u = hu1, u2i.

Dua vektor u = hu1, u2i dan v = hv₁, v2i adalah sama jka dan hanya jika u₁ = v₁ dan u₂= v₂.

Untuk menjumlahkan u dan v, kita menjumlahkan komponen-komponen yang bersesuaian, yaitu

u + v = hu1+ v1, u2+ v2i

Untuk mengalikan u dengan skalar c, kita kalikan setiap komponen dengan c. Jadi

cu = uc = hcu₁, cu₂i Secara khusus

−u = h−u₁, −u2i 0 = 0u = h0, 0i

(5)

Teorema

Untuk sebarang vektor u, v dan w dan sebarang skalar a dan b, berlaku hubungan

1 u + v = v + u

2 (u + v) + w = u + (v + w)

3 u + 0 = 0 + u

4 u + (−u) = 0

5 a(bu) = (ab)u = u(ab)

6 a(u + v) = au + av

7 (a + b)u = au + bu

8 1u =u

(6)

Panjang (length) (atau besaran, magnutude) |u| dari suatu vektor u = hu₁, u₂i, dinyatakan dengan

|u| = q

u²₁+ u²₂

Perkalian dua vektor u dan v, disebut hasilkali titik (dot product) dan disimbolkan dengan u · v didefinisikan sebagai

u · v = u1v1+ u2v2

Rumus lain untuk hasilkali titik diberikan oleh u · v = |u||v| cos θ

dimana u dan v vektor-vektor taknol dan θ (0 ≤ θ ≤ π) adalah sudut antara u dan v.

(7)

Contoh 1.

Misalkan a = h3, −1i dan b = h1, −1i, tentukan vektor |a|b.

Penyelesaian

|a| =p3²+ (−1)² =√ 10 Jadi |a|b =√

10b =√

10h1, −1i = h√ 10, −√

10i

(8)

Contoh 1.

Penyelesaian

|a| =p3²+ (−1)² =√ 10 Jadi |a|b =√

10b =√

10h1, −1i = h√ 10, −√

10i

(9)

Contoh 1.

Penyelesaian

|a| =p3²+ (−1)² =√ 10 Jadi |a|b =√

10b =√

10h1, −1i = h√ 10, −√

10i

(10)

Contoh 1.

Penyelesaian

|a| =p3²+ (−1)² =√ 10 Jadi |a|b =√

10b =√

10h1, −1i = h√ 10, −√

10i

(11)

Teorema

Jika u, v dan w adalah vektor-vektor dan c adalah skalar, maka sifat-sifat berikut ini berlaku.

1 u · v = v · u

2 u · (v + w) = u · v + u · w

3 c(u · v) = (cu) · v = u · (cv)

4 0 · u = 0

5 u · u = |u|² Teorema

Dua vektor u dan v saling tegak lurus jika dan hanya jika hasilkali titiknya u · v adalah 0.

(12)

Contoh 2.

Tentukan sudut antara u = h8, 6i dan v = h5, 12i.

Penyelesaian cos θ = u · v

|u||v| = (8)(5) + (6)(12) (10)(13) = 112

130 ≈ 0, 862 Jadi θ = cos⁻¹(0, 862) ≈ 0, 532 (atau 30, 5^◦)

(13)

Contoh 2.

|u||v| = (8)(5) + (6)(12) (10)(13) = 112

130 ≈ 0, 862

(14)

Contoh 2.

|u||v| = (8)(5) + (6)(12) (10)(13) = 112

130 ≈ 0, 862 Jadi θ = cos⁻¹(0, 862) ≈ 0, 532 (atau 30, 5^◦)

(15)

Contoh 2.

|u||v| = (8)(5) + (6)(12) (10)(13) = 112

130 ≈ 0, 862

(16)

Misalkan i = h1, 0i dan j = h0, 1i, dan perhatikan bahwa kedua vektor ini saling tegak lurus dan mempunyai panjang satu.

Vektor-vektor seperti ini disebut vektor basis (basis vector), karena sebarang vektor u = hu₁, u₂i dapat direpresentasikan secara unik dalam bentuk i dan j, yaitu,

u = hu₁, u₂i = u₁h1, 0i + u₂h0, 1i = u₁i + u₂j

Gambar: Interprestasi geometrik dari vektor basis

(17)

Misalkan u dan v adalah vektor, dan misalkan θ adalah sudut antara kedua vektor tersebut. Selanjutnya, kita asumsikan 0 ≤ θ ≤ π/2. Misalkan w adalah vektor pada arah v yang mempunyai besaran |u| cos θ. Karena w mempunyai arah yang sama dengan v, maka kita tahu bahwa w = cv untuk suatu skalar c positif. Di sisi lain, besaran w haruslah |u| cos θ. Jadi,

|u| cos θ = |w| = |cv| = c|v|

Dengan demikian, konstanta c adalah c = |u|

|v|cos θ = |u|

|v|

u · v

|u||v| = u · v

|v|² Jadi

w = u · v

|v|²

v

(18)

Gambar: Proyeksi vektor u pada vektor v

(19)

Untuk π/2 < θ ≤ π, kita mendefinisikan w sebagai vektor pada garis yang ditentukan oleh v, tetapi dengan mengarah pada arah yang berlawanan dengan v. Besaran vektor ini adalah

|w| = −|u| cos θ = c|v| untuk beberapa skalar c positif. Jadi, c = (−|u| cos θ)/(|v|) = −u · v/|v|², Karena w mempunyai arah yang berlawanan dengan v, maka kita memperoleh

w = −cv = (u · v/|v|²)v. Jadi, pada kedua kasus ini kita mempunyai w = (u · v/|v|²)v. Vektor w disebut proyeksi vektor u pada v, atau kadang-kadang hanya disebut proyeksi u pada v, dan dinotasikan dengan pr_vu:

pr_vu = u · v

|v|²

v.

(20)

Proyeki skalar u pada v didefinisikan sebagai |u| cos θ. Hasilnya bisa positif, nol, atau negatif, bergantung pada apakah sudut θ lancip, biasa, atau tumpul. Ketika 0 ≤ θ ≤ π/2 maka proyeksi skalar akan sama dengan besaran dari pr_vu, dan ketika π/2 < θ ≤ π, maka proyeksi skalar akan berlawanan dengan besaran dari prvu.

(21)