Pertemuan : 1 Materi : Vektor Pada Bidang ( R 2 ), Bab I. Pendahuluan

(1)

By Lukman, M.Si. Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Bandung 1 Pertemuan : 1

Materi : Vektor Pada Bidang ( R2), Bab I. Pendahuluan

Standar Kompetensi :

Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat :

1. Memahami kembali pengertian vektor, operasi pada vektor, dan sifat-sifat operasi pada vektor.

2. Penerapan vektor dalam membuktikan masalah-masalah geometri Kompetensi Dasar :

Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat : 1. Menuliskan kembali pengertian vektor secara geometri dan aljabar.

2. Menuliskan kembali pengertian vektor basis, proyeksi skalar/komponen, dan operasi-operasi pada vektor.

3. Membuktikan secara formal sifat-sifat operasi pada vektor Uraian Materi

1.1 Pengertian Dasar

Kecepatan sebuah mobil yang bergerak dapat dinyatakan oleh sepotong garis yang mempunyai arah. Panjang dari garis tersebut menunjukkan besar kecepatan mobil, dan arah panah dari garis tersebut menunjukkan arah gerak mobil.

Kecepatan adalah salah satu contoh vektor dari banyak vektor yang terdapat di bidang Fisika. Contoh-contoh lain dari vektor adalah gaya, percepatan, momentum, dan sebagainya.

Vektor adalah kombinasi dari suatu besaran dan suatu arah. Maka suatu vektor dapat dinyatakan oleh segmen garis berarah PQ, ditulis

= a

dengan a adalah vektor. Pada umumnya vektor akan ditulis dengan huruf kecil yang dicetak tebal, contoh: a, b, ..., atau dengan huruf besar, contoh: .

a B

A

Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama, akibatnya setiap vektor tidak berubah jika bergerak ke posisi baru dengan tidak mengubah besar dan arah.

Suatu vektor nol didefinisikan sebagai vektor yang mempunyai besaran nol, dan dapat dilukiskan oleh segmen garis terurai yaitu suatu titik tunggal yang arahnya tak tentu atau memiliki semua arah.

(2)

By Lukman, M.Si. Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Bandung 2 1.2 Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Cara Jajaran Genjang

Penjumlahan dua buah vektor dilakukan dengan mengimpitkan kedua pangkal vektor tersebut, kemudian buat garis yang panjangnya masing-masing sama dengan panjang vektor semula sehingga membentuk jajaran genjang. Maka hasil dari penjumlahan kedua vektor tersebut adalah vektor yang pangkalnya pada titik pangkal kedua vektor tersebut dan ujungnya adalah pada perpotongan kedua garis tersebut, lihat gambar 1.

a a a + b b b Gambar 1 Cara Segitiga

Impitkan titik ujung vektor a dengan titik pangkal vektor b, maka vektor hasil penjumlahannya adalah vektor yang bertitik pangkal di a dan titik ujungnya di b, lihat gambar 2.

b a

a + b

Gambar 2

Lawan dari vektor a adalah vektor –a, yang mempunyai besar yang sama dengan a tapi berlawanan arah. Maka pengurangan vektor adalah dengan menjumlahkan dengan lawan vektor kedua, yaitu

a – b = a + (-b) Sifat-sifat Penjumlahan dan Pengurangan

1. a + b = b + a

2. a + (b + c) = (a + b) + c

3. a + b = c jika dan hanya jika b = c – a 4. a + 0 = a, a – a = 0

5. k(sb) = (ks)b = b(ks) 6. k(a + b) = ka + kb 7. (k + s)a = ka + sa 8. 1a = a

(3)

By Lukman, M.Si. Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Bandung 3 Bukti nomor 2 (a + b) + c = a + (b + c) a + b b + c a c b

1.3 Pendekatan Secara Aljabar a. Besar Sebuah Vektor

Besar atau panjang dari sebuah vektor a ditulis | a | atau a. Panjang dari setiap vektor a dan b mempunyai sifat sebagai berikut:

1. | a | ≥ 0 ; | a | = 0 jika dan hanya jika a = 0. 2. |a + b| ≤ | a | + | b |

Bukti nomor 2

Diketahui |a + b|2 = + + 2|a||b|cos, dengan 0 ≤  ≤ .

= + + 2|a||b| ≥ + + 2|a||b|cos = |a + b|2 | a | + | b | ≥ |a + b| b. Vektor Basis

Tinjaulah sistem koordinat tegal lurus OXY dalam bidang dan P dan Q titik-titik dengan koordinat P(x, 0) dan Q(0, y), vektor basis i dan j didefinisikan sebagai berikut:

Vektor i panjangnya satu searah sumbu x positif, dan vektor j panjangnya satu searah sumbu y positif. Maka vektor dan vektor . Untuk setiap sembarang titik P(x,y) pada sistem koordinat, maka vektor .

Untuk setiap vektor a = a1i + a2j dan b = b1i + b2j , maka penjumlahan dan pengurangan didefinisikan sebagai berikut:

1. a + b = (a1 + b1)i + (a2 + b2)j 2. a - b = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j

Dengan menggunakan dalil Phytagoras panjang vektor a adalah | a | = . c. Perkalian Titik/Skalar Dari Dua Vektor

Sudut  antara dua vektor yang tak nol, a dan b didefinisikan sebagai berikut

 =  (a , b) =  AOB

dengan O sebarang titik di bidang dan A, B dipilih sehingga OA = a dan OB = b. Hasil kali skalar a dan b adalah bilangan riil yang dinyatakan oleh

a . b = abcos, dengan  =  (a , b).

Besaran bcos dapat dipandang sebagai komponen dari b dalam arah a, ditulis

kompa b = bcos.

b 

(4)

By Lukman, M.Si. Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Bandung 4 Maka hasil kali skalar dua vektor dapat ditulis dalam bentuk

a . b = a kompa b atau a . b = b kompb a

Pengertian komponen banyak digunakan dalam mekanika. Jika gaya F mempengaruhi sebuah benda bergerak dari A ke B sepanjang segmen AB, maka hanya komponen dari F pada AB yang bekerja. Maka kerja yang dilakukan sama dengan hasil perkalian komponen dan jarak yang dilalui.

Kerja = kompF = F .

Berdasarkan definisi di atas dapat dibuktikan sifat-sifat perkalian skalar sebagai berikut:

1. a . b = 0 , maka a = 0, atau b = 0, atau  = 900. 2. a . b = b . a

3. a . (b + c) = a . b + a . c 4. a . (kb) = (kb) . a = k (a . b) 5. a . a = a2

(5)

Materi : Vektor Pada Ruang ( R3), Bab I. Pendahuluan

1. Memahami kembali pengertian vektor , operasi pada vektor, dan sifat-sifat operasi pada vektor.

2. Penerapan vektor dalam membuktikan masalah-masalah geometri Kompetensi Dasar :

1. Memperluas operasi-operasi vektor pada ruang, serta sifat-sifatnya. 2. Menuliskan kembali pengertian perkalian silang dan sifat-sifatnya.

3. Menggunakan pengertian dan sifat-sifat operasi pada vektor untuk menyebutkan persamaan bidang.

4. Menggunakan pengertian dan sifat-sifat operasi pada vektor untuk membuktikan masalah-masalah geometri.

Uraian Materi

1.1 Vektor Pada Ruang

Vektor pada bidang dapat diperluas dengan memandang vektor tersebut pada ruang. Sehingga untuk setiap vektor a pada ruang memiliki tiga komponen, yaitu

a = a1i + a2j + a3k

dengan i, j, dan k masing-masing vektor yang panjangnya satu. Arah i searah sumbu x positif, arah j searah sumbu y positif, dan arah k searah sumbu z positif.

Hasil kali skalar vektor pada ruang adalah

a . b = abcos , dengan  =  (a , b) = a1b1 + a2b2 + a3b3

Contoh 1

Diketahui vektor a = 3i + 5j – k dan b = i – 4j + 2k . a. Hitung perkalian skalar vektor a dan b.

b. Hitung kosinus sudut vektor a dan b Jawab.

a. a . b = 3.1 + 5.(-4) + (-1).2 = 3 – 20 – 2 = - 19 b. = = -

Contoh 2

Penulisan vektor a dapat ditulis a = . Nyatakan a = sebagai jumlah suatu vektor m yang sejajar b = dan suatu vektor n yang tegak lurus b. Cari vektor m dan n tersebut!

(6)

By Lukman, M.Si. Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Bandung 6 Jawab

n

a

m b

Gambar diatas memberi gambaran bahwa a = m + n, vektor m memiliki panjang sama dengan komponen a dalam arah b. Maka

m = = =

n = a – m =

Persamaan Bidang

Satu cara yang menguntungkan untuk memperoleh persamaan bidang adalah dengan menggunakan konsep vektor. Misalkan W adalah sebarang bidang dan P(x, y, z) sebarang titik di W. Pilih titik tetap Q(a, b, c) di W. Sebut vektor r = dan n = vektor tetap tak nol yang tegak lurus bidang W, maka

n

P W Q r

n . r = 0  A(x – a) + B(y – b) + C(z – c) = 0 (*)

karena P(x, y, z) sebarang titik di W , maka persamaan (*) adalah persamaan bidang W. Contoh 3

Cari persamaan bidang yang melalui (- 4, - 1, 2) dan tegak lurus n = . Kemudian cari kosinus sudut antara bidang tersebut dengan bidang x – 2y + 7z = 5.

Jawab. Persamaan bidangnya adalah 1(x + 4) + (-5)(y + 1) + (z – 2) = 0

 x + 4 – 5y – 5 + z – 2 = 0

 x – 5y + z = 3

Vektor m = adalah vektor yang tegak lurus pada bidang x – 2y + 7z = 5. Sudut antara bidang-bidang tersebut adalah sudut antara normal-normalnya. Vektor normal masing-masing bidang tersebut adalah dan . Apabila  sudut kedua vektor tersebut, maka

(7)

By Lukman, M.Si. Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Bandung 7 1.2 Perkalian Silang

Untuk setiap vektor a dan b pada ruang, perkalian silang kedua vektor tersebut didefinisikan sebagai berikut

a  b = absin  n ,

dengan n adalah vektor normal yang tegal lurus pada a dan b. Apabila a = dan b = , maka

a  b =

Contoh 4

Diketahui a = dan b = . Hitung a  b Jawab

a  b =

Akibat definisi di atas, maka dua vektor a dan b pada ruang adalah sejajar jika dan hanya jika a  b = 0.

Sifat-sifat Perkalian Silang

Misalkan a, b, dan c vektor-vektor pada ruang. 1. a  b = - b  a 2. a  (b + c) = a  b + a  c 3. k (a  b) = (ka)  b 4. a  0 = 0, 0  a = 0, a  a = 0 5. a  (b  c) = (a . c)b – (a . b)c 6. a  b . c = a . b  c

1.3 Penggunaan Vektor untuk Menyelesaikan Masalah-masalah Geometri

Beberapa masalah geometri dapat diselesaikan dengan konsep vektor, diantaranya adalah: 1. Buktikan hukum sinus untuk sebarang segitiga.

Misalkan a = , b = , dan c = pada segitiga ABC. Maka a + b + c = 0. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalian silang, maka

a  (a + b + c) = 0  a  a + a  b + a  c = 0  0 + a  b + a  c = 0 A  a  b = c  a (i) b  (a + b + c) = 0  b  a + b  b + b  c = 0  b  a + 0 + b  c = 0  b  a = c  a (ii) c  (a + b + c) = 0  c  a + c  b + c  c = 0 B C  c  a + c  b + 0 = 0 Gambar 3  c  a = b  c (iii)

(8)

By Lukman, M.Si. Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Bandung 8 a  b = b  c = c  a  ab sin C = bc sin A = ca sin B

terbukti.

2. Buktikan hukum kosinus untuk sebarang segitiga.

Misalkan a = , b = , dan c = pada segitiga ABC. Perhatikan gambar 4, maka A

b + c = a atau c = a - b

c . c = (a – b) . (a – b) b c

= a . a + b . b – 2a . b C a B

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C Gambar 4 3. Menghitung luas segitiga dengan menggunakan vektor.

Perhatikan segitiga pada gambar 4. Luas segitiga tersebut adalah , dengan tingginya adalah bsin C , maka

LABC = ab sin C = |a  b|

Contoh. Hitung luas segitiga yang mempunyai titik-titik sudut A(1, -1, 2), B(4, 1, -2), dan C(0, 3, 1).

Jawab.

Misalkan a = , dan b = . Maka a = = , dan

b = = .

a  b = = - 14i – 7j - 14k

(9)

Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor

Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat : 1. Memahami Kalkulus diferensial dari Vektor.

2. Memahami Kelengkungan dan Percepatan Kompetensi Dasar :

Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat : 1. Menyebutkan kembali pengertian fungsi bernilai vektor 2. Menyebutkan kembali pengertian limit fungsi bernilai vektor 3. Membuktikan teorema-teorema limit fungsi bernilai vektor 4. Menghitung kecepatan dan percepatan gerak pada suatu lintasan. Uraian Materi

1.1 Fungsi Bernilai Vektor

Suatu fungsi F bernilai vektor dengan variabel riil t memetakan setiap bilangan riil t dengan satu vektor F(t). Jadi,

F(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k = Dengan f, g, dan h adalah fungsi-fungsi bernilai riil.

Contoh. F(t) = t2i + tj. Misalkan daerah asal F adalah {-1, 1}, maka petanya adalah F(-1) = i – j , dan F(1) = i + j y -1. 1 F(1) 1. 1 x -1 F(-1)

Daerah asal Daerah hasil 1.2 Kalkulus Fungsi Vektor

Secara intuisi berarti bahwa vektor F(t) menuju vektor L apabila t menuju c atau vetor F(t) – L menuju 0 apabila t menuju c.

F(t) – L F(t)

L

(10)

By Lukman, M.Si. Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Bandung 10 Mengatakan bahwa berarti bahwa untuk setiap  > 0 ada bilangan  > 0 sedemikian sehingga asal saja dipenuhi .

Teorema A

Misalkan F(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k. Maka F mempunyai limit di c jika dan hanya jika f, g, dan h mempunyai limit di c, yaitu

Contoh. Diketahui F(t) = 2ti + t2j – 5tk . Hitung

Jawab

= 2i + j – 5k

Teorema B (Rumus Pendiferensialan)

Misalkan F dan G fungsi vektor yang dapat didiferensialkan, h suatu fungsi skalar yang dapat didiferensialkan dan c sebuah skalar, maka:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

1.3 Gerak Sepanjang Kurva

Misalkan t menggambarkan waktu dan andaikan koordinat sebuah titip P yang bergerak ditentukan oleh persamaan parameter x = f(t), y = g(t). Maka vektor

r(t) = f(t)i + g(t)j

yang berpangkal di titik asal dinamakan vektor posisi titik P pada saat t. Apabila t berubah ujung vektor r(t) bergerak sepanjang lintasan titik P. Lintasan ini adalah sebuah kurva dan gerak yang dijalani oleh P dinamakan gerak sepanjang kurva.

Sejalan dengan gerak linier definisi kecepatan v(t) dan percepatan a(t) di titik P adalah

V(t) = r’(t) dan a(t) = r’’(t) Contoh 1

Andaikan sebuah titik P bergerak sepanjang lingkaran dengan pusat (0,0) dan dengan radius r , serta andaikan P bergerak dengan laju sudut konstan sebesar  radian tiap detik. Apabila kedudukan awalnya berada di (r, 0), tentukan kecepatan, percepatan, dan arah percepatan dari gerak melingkar.

Jawab

Diketahui r(t) = r cos t i + r sin t j , maka v(t) = - r sint i + r cos t j, dan a(t) = - r2 cost i - r2 cos t j = - r2 r(t)

Jadi, arah percepatannya menuju ke pusat dan tegak lurus dengan kecepatannya.