2 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya

Aljabar Linear

2 SKS

Silabus :

Bab I Matriks dan Operasinya

Bab II Determinan Matriks

Bab III Sistem Persamaan Linear

Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang

Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang

Bab V Ruang Vektor

Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam

Bab VII Transformasi Linear

Bab VIII Ruang Eigen

24/12/2014 12:05

Bab 5 RUANG VEKTOR

Sub Pokok Bahasan ◦ Ruang Vektor Umum ◦ Subruang

◦ Basis dan Dimensi ◦ Basis Subruang

Beberapa Aplikasi Ruang Vektor

Beberapa metode optimasi Sistem Kontrol

Operation Research

Ruang Vektor Umum

Misalkan dan k, l



_Riil

V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan

Untuk setiap 2.

3.

V

w

v

u

,

,



V v

u  

maka

,

v

V

u







v

u

v  u



v

w

 

u

v



w

u











3.

4. Terdapat sehingga untuk setiap berlaku

5. Untuk setiap terdapat sehingga

24/12/2014 12:05

MA-1223 Aljabar Linear 4



v

w

 

u

v



w

u











u u

u  ₀  ₀   V



0 u V

V

u



 

u

   

     0

 _{u u u}

6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar. Untuk setiap dan k  _{Riil maka}

7. 8. 9.

V

u



k

u



V



u v



ku kv

k   



k  l



u  ku  lu

     

lu l k u kl u

k  

Contoh :

1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar).

Notasi : Rn _{(Ruang Euclides orde n)}

2. Himpunan matriks berukuran m x n

dengan operasi standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar),

dan perkalian matriks dengan skalar), Notasi : M_mxn (Ruang Matriks mxn)

3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar. Notasi : P_n (Ruang Polinom orde n)

24/12/2014 12:05

Ruang Euclides orde n

Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:

 Penjumlahan

 Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)

 Perkalian Titik (Euclidean inner product)



u v u v u_n v_n



v

u   ₁  _{1, 2}  _2,..., 



ku

ku

ku

_n



u

k



₁

,

₂

,...,

n nv

u v

u v

u v

u   _{1 1}  _{2 2}  _... 

 Panjang vektor didefinisikan oleh :

 Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :

n nv

u v

u v

u v

u   _{1 1}  _{2 2}  _... 



u u



12

u  

 

u v u v

d _,  



 



2





2

2 2

2 1

1 v u v ... un vn

u       

2 2

2 2

1 u ... un

Contoh :

Diketahui dan

Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut

Jawab:

Panjang vektor :



,1 ,1 2, 3





u v 



2, 2, 1, 1





u u



12

u    12 12  22  32  15

10 1

1 2

22 _ 2 _ 2 _ 2 _

 v

Jarak kedua vektor adalah:

24/12/2014 12:05

MA-1223 Aljabar Linear 8

 

u v u v

d _,  

10 1

1 2

22 _ 2 _ 2 _ 2 _

 v



_{1 2}

 

2 _{ 12}

 

2 _{ 21}

 

2 _{ 31}



2



   

7

2 1

1

1 2 2 2 2



 

  

Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V

W dinamakan subruang (subspace) V

jika W juga merupakan ruang vektor

yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.

Syarat W disebut subruang dari V adalah :

Syarat W disebut subruang dari V adalah :

1. W  _{{ }}

2. W  _V

3. Jika maka

4. Jika dan k  _{Riil maka}

W

v

u

,



u



v



W

W

Contoh :

Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2x2

Jawab :

maka 0

0

1. O  _ _W

W



 

2. Jelas bahwa W  _M2x2

3. Ambil sembarang matriks A, B  _W

Tulis

dan

24/12/2014 12:05

MA-1223 Aljabar Linear 10

maka 0

0

0 0

1. O _W

  

 



W



 

   

  

0 0

2

1 a

a

A _

  

  

0 0

2

1

b

Perhatikan bahwa :

Ini menunjukan bahwa

4. Ambil sembarang matriks A  _{W dan k}  _Riil

                        0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 2 1 2 1 b a b a b b a a B A

W

B

A





4. Ambil sembarang matriks A  _{W dan k}  _Riil

maka

Ini menunjukan bahwa

Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.

W ka

ka

kA _ 

Tunjukan bahwa matriks

A

dimana setiap

unsur diagonalnya adalah nol merupakan

subruang dari ruang vektor matriks

2x2.dimana A adalah :

   

  

0 7

2 0

Contoh :

Periksa apakah himpunan D yang berisi semua matriks orde 2x2 yang determinannya nol

merupakan subruang dari ruang vektor M2x2 Jawab :

Ambil sembarang matriks A, B  _W

Pilih

a

≠

b

:

   

  

0 0

b a

A

   

  

a b

B 0 0

, jelas bahwa

det

(A) = 0

B

A















a

b

b

a

Perhatikan bahwa :

=

Karena

a

≠ b

Maka

det

(

A

+

B

) = a2 _{– b}2 _{≠ 0}

24/12/2014 12:05

MA-1223 Aljabar Linear 14 Jadi

D

bukan merupakan subruang

u

1

v

v₂ v_n

n

n

v

k

v

k

v

k

u



1

1



2

2



...



Sebuah vektor

dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor

, , … ,

jika vektor – vektor tersebut

dapat dinyatakan dalam bentuk :

n

n

2

2

1

1

Contoh

u

v

a

Misal _{= (2, 4, 0), dan}

Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas

= (4, 2, 6)

adalah vektor-vektor di R3_.

= (1, –1, 3)

a.

24/12/2014 12:05

MA-1223 Aljabar Linear 16

b

c

                                6 2 4 3 1 - 1 0 4 2 2 1 k k a. Tulis

akan diperiksa apakah ada

k

₁,

k

₂,

sehingga kesamaan tersebut dipenuhi. Jawab :

a

v

k

u

k

₁



₂



                               6 2 4 3 0 1 4 1 2 2 1 k k

  

 

  

 

  

 

  

 

0 0

0

2 1

0

2

1 ~ 6

3

0

6 3 1

2

1 12 12

a

u

dengan OBE, diperoleh:

Dengan demikian,

merupakan kombinasi linear dari vektor dan v

24/12/2014 12:05

MA-1223 Aljabar Linear 18

a

u

v

u

a









2



merupakan kombinasi linear dari vektor dan atau

b v

k u

k₁  ₂  

                                6 5 1 3 1 1 0 4 2 2 1 k k         

 2 1 1

k b. Tulis :

ini dapat ditulis menjadi:

                              3 0 0 2 1 0 1 ~ 6 3 0 3 3 0 0 1 ~ 6 3 0 5 1 4 1 1

2 12 12 12

dengan OBE dapat kita peroleh :

Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa SPL tersebut adalah tidak konsisten

(tidak mempunyaisolusi).

24/12/2014 12:05

MA-1223 Aljabar Linear 20 (tidak mempunyaisolusi).

Jadi, tidak ada nilai

k

₁ dan

k

₂ yang memenuhi

 b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear

c. Dengan memilih

k

₁ = 0 dan

k

₂ = 0, maka dapat ditulis

c

v

k

u

k

₁





₂







Himpunan vektor

dikatakan membangun suatu ruang vektor

V

jika setiap vektor pada

V

selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di

S

. Definisi membangun dan bebas linear



v v v_n



S  ₁, ₂, ... ,

Contoh :

24/12/2014 12:05

MA-1223 Aljabar Linear 22 1

v

2 v

3

v

= (1, 1, 2),

= (1, 0, 1), dan = (2, 1, 3)

Contoh :

Tentukan apakah

Jawab :

misalkan

.

Tulis :

Ambil sembarang vektor di R2

3 3 2

2 1

1

v

k

v

k

v

k

u







           3 2 1 u u u u                                3 2 1 3 2 1 3 1 2 1 0 1 2 1 1 u u u k k k .

Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :

3 3 2

2 1

1

v

k

v

k

v

k

Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear

SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten) Dengan OBE diperoleh :

24/12/2014 12:05

MA-1223 Aljabar Linear 24 haruslah u₃ – u₂ – u₁ = 0

Agar SPL itu konsisten

Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang (unsur – unsurnya bebas, tak bersyarat)



u

u

u

_n



S



₁

,

₂

,...,

Misalkan

0 ...

1 2 1

1u  k u   knun 

k

S dikatakan bebas linear (

linearly independent

)

hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni adalah himpunan vektor diruang vektor

V

JIKA SPL homogen :

0

1 

k k₂  0

k

_n



₀

hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni

,..., ,

Jika solusinya tidak tunggal

(Bergantung linear /

linearly dependent

)



 ,1 3, 2





u _a 



,1 ,1 1



0

2 1











k

a

u

k

Diketahui dan

Apakah saling bebas linear di R3

Tulis

atau Contoh :

Jawab :

24/12/2014 12:05

MA-1223 Aljabar Linear 26 

 

 

  

           

 

  

 

 ₀

0 0

1 2

1 3

1 1

-2 1

~ 0 0 0

1 2

1 3

1 1

-  

 

  

 



~ 0 0 0

1 0

4 0

1 1

  

 

  



 

  

 

  

 

0 0 0

0 0

1 0

0 1

dengan OBE dapat diperoleh :

dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu :

k

₁ = 0, dan

k

₂ = 0.

           2 3 1 a             1 1 1 b              4 6 2 c c k b k a k

0   

,

,

Jawab : Tulis :

Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3

Soal tugas 2: Misalkan

24/12/2014 12:05

MA-1223 Aljabar Linear 28

c k b

k a

k_{1 2 3}

0   

~ 0

1 0

0 4

0

2 1

1

  

 

  



  

  

 

  



  

0 0

0

0 1

0

2 1

1

dengan OBE diperoleh :

Ini menunjukan bahwa

k

₁,

k

₂,

k

₃ mrp solusi tak hingga banyak Jadi

c

b

Basis dan Dimensi

Jika

V

adalah sembarang ruang vektor dan

S

= {

ū

₁,

ū

₂, … ,

ū

_n } merupakan

himpunan berhingga dari vektor – vektor di

V

, maka

S

dinamakan basis bagi

V

Jika kedua syarat berikut dipenuhi :

24/12/2014 12:05

MA-1223 Aljabar Linear 30 Jika kedua syarat berikut dipenuhi :

                                        2 1 0 1 , 4 12 8 0 , 0 1 1 0 , 6 3 6 3 M Contoh :

Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :

merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2 Jawab :

Tulis kombinasi linear :

                                       

 _{c d}

b a k k k k 2 1 0 1 4 12 8 0 0 1 1 0 6 3 6 3 4 3 2 1

Tulis kombinasi linear :

atau                       d c b a k k k k k k k k k k k

k_{1 4 1 2 3}