BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 3 2

BAB II

VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG

1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA

RUMUS JARAK

&

 

SISTEM TANGAN KANAN   

 

SISTEM TANGAN KIRI 

 

 

 

, ,  

, ,  

| |  

Contoh : Carilah jarak antara titik , , dan , , .

Solusi : | | √ ,

Persamaan baku sebuah bola

Jika , , pada bola dengan radius berpusat pada , , , maka :

atau dalam bentuk terurai dapat ditulis sebagai

Contoh : Carilah pusat dan radius bola dengan persamaan :

Solusi :

Pusat bola , , ; radius

GRAFIK DALAM RUANG DIMENSI TIGA

Contoh : Gambarkanlah grafik dari

Solusi : Perpotongan dengan sumbu ambil & 0

, ,

, ,

Perpotongan dengan sumbu

, ,

2. VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA

, ,

, , adalah vektor satuan baku disebut vektor basis. Panjang , diberikan sbb:

| |

Bila , , dan , , ; maka

.

dan

. | || |

, ,

, ,

, ,

Contoh :

™

SUDUT DAN KOSINUS ARAH

Sudut antara vektor yang tak nol dengan vektor satuan , , disebut

Contoh : Cari sudut-sudut arah vektor

Contoh : Cari vektor yang panjangnya 5 satuan yang mempunyai ,

Solusi : ,

,

Vektor yang memenuhi persyaratan :

, , , , , , ,

Persamaan ini (paling sedikit salah satu A,B,C tidak nol) disebut bentuk baku

Persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi :

,

Contoh:

Cari persamaan bidang yang melalui , , tegak lurus terhadap

, , . Kemudian cari sudut antara bidang ini dan bidang yang persamaannya

Solusi :

Vektor terhadap bidang kedua adalah , , . Sudut antara dua

bidang tersebut adalah :

.

| || | √ √ ,

,

3. HASIL KALI SILANG

Hasil kali silang (hasil kali vektor atau cross product), untuk , ,

dan , , didefinisikan sebagai

, ,

Dengan determinan,

hukum anti komutatif

Contoh : Andaikan , , dan , ,

Hitunglah dan menggunakan definisi determinan

Solusi :

Teorema :

Andaikan dan vektor-vektor dalam ruang dimensi tiga dan sudut antara

mereka, Maka :

1. . . terhadap ,

2. | | | || |

3. Dua vektor dan dalam ruang dimensi tiga adalah sejajar jika dan hanya jika

Contoh : Cari persamaan bidang yang melalui tiga titik

, , , , , , , ,

Solusi :

, , dan , ,

Maka,

Bidang yang melalui , , dengan normal mempunyai

persamaan :

atau

™

SIFAT-SIFAT ALJABAR

TEOREMA :

Jika , dan adalah vektor dalam ruang dimensi tiga dan skalar, maka :

1.

2.

3.

4.

5. (

4. Garis dan Kurva dalam Ruang Dimensi Tiga

Suatu kurva ruang ditentukan oleh suatu tiga persamaan parameter,

, , ,

, , kontinue pada selang I Suatu kurva dinyatakan dengan cara

memberikan vektor posisi dari

suatu titik .

, ,

™

GARIS

garis ditentukan oleh suatu titik tetap

dan suatu vector .

Garis adalah himpunan semua titik

sedemikian sehingga adalah sejajar

terhadap ,

; bilangan riil

dan

Bila , , dan , ,

, ,

Merupakan persamaan parameter dari garis melalui , , dan sejajar

Contoh : Cari persamaan parameter untuk garis yang melalui , , dan

Persamaan simetris garis yang melalui , , dengan bilangan arah a,b,c

yakni :

Persamaan tersebut merupakan konjungsi dari dua persamaan

dan

Contoh : Cari persamaan simetri dari garis yang sejajar vektor , , dan

melalui , ,

Solusi :

Contoh : Cari persamaan simetri dari garis potong bidang-bidang

dan

Solusi : pilih garis menembus bidang dan

dan

Menghasilkan titik (0,4,2)

vektornya adalah :

, , , ,

Dengan menggunakan (3,0,4) untuk

, , diperoleh :

Contoh : Cari persamaan simetri atau persamaan parameter dari garis yang melalui

(1,-2,3) yang tegaklurus terhadap sumbu x dan garis

Solusi : Sumbu x dan garis yang diberikan arah , , dan , ,

Suatu vektor yang tegak lurus terhadap dan v :

Garis yang disyaratkan adalah sejajar terhadap , ,

Persamaan parameter :

, ,

™

GARIS SINGGUNG PADA KURVA

vektor posisi

, , dan adalah

bilangan-bilangan singgung pada

Contoh : Cari persamaan simetrik untuk garis singgung pada

Persamaan simetriknya adalah :

™

KECEPATAN, PERCEPATAN, dan KELENGKUNGAN

Bila

_. adalah vektor posisi untuk titik yang menjelajahi kurva selama bertambah besar.

Misalkan

ada dan kontinu dan kurva mulus. Panjang busur

dari ke diberikan oleh

Suatu titik bergerak sedemikian hingga vector posisinya pada saat adalah

 

   

heliks melingkar • Cari panjang busur untuk

• Hitung percepatan pada

Vektor singgung satuan pada adalah

_{| |}

laju perubahan arah garis singgung terhadap jarak sepanjang kurva

| |

Kelengkungan dari suatu kurva ruang

|_{| |}|

Contoh : Cari kelengkungan dari heliks melingkar

™ KOMPONEN PERCEPATAN

Vektor normal satuan utama N di P :

⁄

| ⁄ |

adalah normal ( ) terhadap kurva diperoleh dari diferensial . ;

sehingga .

Jika hasil kali silang

| | √

| |

| | _{√ √} | | √

√ √

| | | |⁄ _{| |} √

√ √ √