Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva; Garis Singgung di Ruang

MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra Gunawan

Kuliah yang Lalu

10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola

10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar

11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3

11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang

11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva

Kuliah Hari Ini

10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola

10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar

11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3

11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang

11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva

11.5 FUNGSI BERNILAI VEKTOR DAN

GERAK SEPANJANG KURVA

MA1201 MATEMATIKA 2A

• Menghitung limit dan turunan fungsi ber-nilai vektor

• Menentukan kecepatan dan percepatan dari suatu partikel yang bergerak sepanjang

Fungsi Bernilai Vektor

Fungsi F yang memetakan tiap

bilangan real t ϵ I ke suatu vektor F(t) di R2 atau R3 disebut sebagai fungsi bernilai vektor.

Sebagai contoh,

F(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2π merupakan fungsi bernilai vektor. Daerah nilai fungsi ini adalah

lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari 1.

1

F(π/2)

Limit Fungsi Bernilai Vektor

Kita tuliskan apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga

Teorema

Misalkan F(t) = f(t)i + g(t)j. Maka F mempunyai limit di c jika dan hanya jika f dan g mempunyai limit di c. Dalam hal ini,

Sebagai akibatnya, F kontinu di c jika dan hanya jika f dan g kontinu di c. Dlm hal ini,

Contoh/Latihan

Tentukan nilai F(0) agar fungsi F yang di-definisikan

menjadi fungsi yg kontinu di setiap titik. , 0 ,

1 sin

)

(    j t 

t e i

t t t

F

Turunan Fungsi Bernilai Vektor

Misalkan F = (f, g) adalah fungsi bernilai vektor. Turunan F di c didefinisikan sebagai

Berdasarkan teorema tentang limit fungsi bernilai vektor, kita dapatkan: jika f dan g

mempunyai turunan di c, maka

Teorema

Teorema

Misalkan F dan G fungsi bernilai vektor di R3. Jika F dan G mempunyai turunan, maka

6.

Catatan. D_t menyatakan operasi turunan terhadap t.

Contoh/Latihan

Tentukan apakah fungsi F yang didefinisikan sebagai

mempunyai turunan di 0.

Contoh/Latihan

Diketahui F(t) = (cos t, sin t) dan p(t) = t2. Tentukan:

Integral Fungsi Bernilai Vektor

Intergral dari fungsi F = (f,g) yang bernilai vektor di R2 didefinisikan sebagai

Catatan. Integral dari fungsi bernilai vektor di R3 didefinisikan serupa.

Gerak Sepanjang Kurva

Misalkan sebuah partikel bergerak sepanjang suatu kurva di bidang dengan persamaan

r(t) = f(t)i + g(t)j, t ϵ I,

yakni, pada saat t, vektor posisi partikel tsb adalah (f(t),g(t)).

Maka, kecepatan dan percepatan partikel tsb adalah

v(t) = f’(t)_i + g’(t)_j, t ϵ I,

Gerak Sepanjang Kurva

r_(t)

v_(t)

Contoh

Diketahui sebuah partikel bergerak di bidang dengan persamaan

r(t) = (cos 2t, sin 2t), t > 0.

(a) Tentukan vektor kecepatan dan percepatan-nya.

(b) Periksa bahwa dan .

(c) Buktikan bahwa lajunya, yaitu|v(t)|, konstan.

) ( )

(t v t

a 

) ( )

(t r t

Soal

11.6 GARIS DAN GARIS SINGGUNG DI

RUANG

MA1201 MATEMATIKA 2A

Persamaan Garis di Bidang

Persamaan Cartesius garis di bidang yang memotong sumbu-y di P(0,c)

dan mempunyai gradien m adalah

y = mx + c.

Persamaan garis ini dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik

x = t, y = mt + c, atau persamaan vektor

c

1

m

Garis melalui (0,c)

dan mempunyai

Persamaan Garis di Bidang

Dari persamaan parametrik

x = t, y = mt + c,

kita dapat pula memperoleh persamaan simetrik

Perhatikan bahwa garis melalui

Persamaan Garis di Ruang

Persamaan garis yang melalui titik P(x₀,y₀,z₀) dan mempunyai vektor arah v = (a,b,c) adalah

r(t) = (x

0,y0,z0) + t(a,b,c) … persamaan vektor

x = x₀ + ta, y = y₀ + tb, z = z₀ + tc … p. parametrik

persamaan simetrik

Contoh

Diketahui sebuah garis melalui titik P(1,-2,3) dan

Q(4,5,6). Tentukan persamaan vektor, persamaan parametrik, dan persamaan simetrik garis tsb.

Soal 1

Persamaan bidang yang melalui titik P(x₀,y₀,z₀)

dan mempunyai vektor normal n = (n

1,n2,n3)

diberikan oleh (x – x₀, y – y₀, z – z₀)●n = 0. Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan dua bidang: 2x – y – 5z = -6 dan

Garis Singgung pada Kurva di Ruang

Persamaan

r(t) = f(t)_i + g(t)_j + h(t)_k

menyatakan sebuah kurva di ruang.

Pada saat t = t₀, vektor posisi-nya adalah r(t

0) dan vektor

singgung-nya adalah

r’(t

0) = f’(t0)i + g’(t0)j + h’(t0)k.

r_(t

0)

Persamaan Garis Singgung pada Kurva

Persamaan parametrik garis singgung pada

kurva tsb di titik P = r(t

0)

adalah:

x = f(t₀) + t.f’(t₀), y = g(t₀) + t.g’(t₀), z = h(t₀) + t.h’(t₀).

r_(t

0)

r’(t₀)

Contoh

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva r(t)

= (t, t2, t3) di titik P(1,1,1).

Jawab: r’(t) = (1, 2t, 3t2). Di titik P(1,1,1), t = 1,

sehingga r’(1) = (1, 2, 3). Jadi, persamaan garis

singgung di P adalah

x = 1 + s y = 1 + 2s z = 1 + 3s

Soal 2