SIFAT TOPOLOGI FK PADA RUANG BARISAN BERNILAI VEKTOR DIBANGUN OLEH FUNGSI MODULUS SKRIPSI NURHAURA IRSYAD

(1)

SIFAT TOPOLOGI FK PADA RUANG BARISAN BERNILAI VEKTOR DIBANGUN OLEH FUNGSI MODULUS

SKRIPSI

NURHAURA IRSYAD 140803063

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2018

(2)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Matematika

NURHAURA IRSYAD 140803063

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2018

(3)

PERNYATAAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kuti- pan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2018

Nurhaura Irsyad 140803063

ii

(4)

Judul : Sifat Topologi FK Pada Ruang Barisan

Bernilai Vektor Dibangun Oleh Fungsi Modulus

Kategori : Skripsi

Nama : Nurhaura Irsyad

Nomor Induk Mahasiswa : 140803063

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara

Disetujui di Medan, Juli 2018

Ketua Program Studi Matematika Pembimbing,

Dr. Suyanto, M.Kom Dr. Elvina Herawati, M.Si NIP. 19590813 198601 1 002 NIP. 19621103 199103 2 001

(5)

ABSTRAK

Ruang barisan bernilai vektor merupakan generalisasi dari ruang barisan bernilai real. Pada tulisan ini, dibentuk beberapa ruang barisan bernilai vektor dibangun oleh fungsi modulus, dinotasikan dengan Γ_f(X) dan Λ_f(X). Ruang-ruang barisan ini disebut sebagai ruang barisan bernilai vektor entire dan ruang barisan bernilai vektor analitik. Berhasil diperlihatkan beberapa sifat topologi FK pada Γf(X) dan Λ_f(X) terhadap paranorma yang didefinisikan.

Kata kunci: fungsi modulus, paranorma, sifat topologi FK, ruang barisan bernilai vektor

iv

(6)

ABSTRACT

Vector valued sequence space is a generalization of real valued sequence space. In this research, some vector valued modulus function sequence space is established, which are denoted by Γ_f(X) and Λ_f(X). These sequence spaces are called as vector valued entire sequence space and vector valued analytic sequence space. Some topological properties of FK spaces Γf(X) and Λ_f(X) with respect to a paranorm which is defined are obtained.

Keywords : modulus function, paranorm, topologies properties of FK, vector value equence spaces.

(7)

PENGHARGAAN

Segala puji bagi Allah Subhaanahu wa Ta’ala, Tuhan sekalian alam yang senantiasa kita memuji, meminta pertolongan, dan memohon ampunan kepada-Nya. Tiada Tuhan yang berhak disembah dengan benar kecuali Dia, dan Muhammad Shallal- laahu ’alaihi wa sallam adalah hamba dan utusan-Nya. Alhamdulillaah, berkat rah- mat dan karunia yang dilimpahkan-Nya, maka Penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul, ”Sifat Topologi FK pada Ruang Barisan Bernilai Vektor Diban- gun Oleh Fungsi Modulus” sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.

Terima kasih Penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Elvina Herawaty, M.Si selaku dosen pembimbing yang senantiasa meluangkan waktunya untuk membim- bing, memberikan arahan, dukungan dalam penulsisan skripsi ini dan motivasi yang luar biasa kepada Penulis untuk lebih baik kedepannya. Semoga Allah Subhanahu wa Ta’ala membalas kebaikan ibu dengan balasan yang terbaik dari sisi-Nya. Jaza- akumullaahu khairan katsir. Terima kasih kepada Bapak Prof. Saib Suwilo, M.Sc dan ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberi banyak saran dan kritik yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini.

Terima kasih kepada Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku ketua dan sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU, seluruh dosen matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu yang insyaa Allah bermanfaat kepada Penulis dari sejak awal perkuliahan, para pegawai FMIPA USU.

Selanjutnya, terima kasih yang teramat sangat Penulis ucapkan kepada ibunda tercinta Susi Delwita dan ayahanda tercinta Irsyad yang selalu memberikan doa yang mulia, dukungan, nasihat dan kasih sayang yang tak terhingga sehingga Penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Semoga Allah ’Azza wa Jalla membalas kebaikan ibunda dan ayahanda dengan kebaikan yang terbaik dari sisi-Nya,

vi

(8)

Nya di akhirat kelak. Kemudian, terima kasih kepada adik-adik saya Zhafran Mo- hamad Irsyad dan Hulwah Labibah Irsyad beserta seluruh keluarga besar Penulis yang selalu memotivasi dan mendo’akan yang terbaik untuk Penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini. Semoga Allah Subhaanahu wa Ta’ala menjadikan kalian termasuk hamba-hamba-Nya yang shalih dan shalihah, yang bertaqwa kepada-Nya dengan sebenar-benarnya ketaqwaan.

Dan tak lupa Penulis sampaikan terimakasih kepada Desti, Ria, Annisa, Nurmala, Fitri, Mutia, Lestari, Lili, Febri, Septian, Evan, rekan-rekan Pengurus dan Anggota IMKubik (Ikatan Mahasiswa Matematika Muslim), AIESEC peri- ode 2016/2017 serta teman-teman seperjuangan angkatan 2014, seluruh adik-adik Matematika stambuk 2015, 2016 dan 2017 yang selalu memberikan dukungan dan yang selalu menyemangati Penulis.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini jauh dari kesempurnaan. Untuk itu, Penulis meminta maaf apabila ada kesalahan atau kekhilafan dalam skripsi ini.

Akhirnya, Penulis berharap kepada Allah Subhaanahu wa Ta’ala agar menjadikan skripsi ini bermanfaat bagi diri Penulis pribadi dan orang lain.

Medan, Juli 2018

Nurhaura Irsyad

(9)

DAFTAR ISI

PERNYATAAN . . . ii

PENGESAHAN SKRIPSI . . . iii

ABSTRAK . . . iv

ABSTRACT . . . v

PENGHARGAAN . . . vi

DAFTAR ISI . . . viii

1 PENDAHULUAN . . . 1

1.1. Latar Belakang . . . 1

1.2. Perumusan Masalah . . . 3

1.3. Batasan Masalah . . . 4

1.4. Tujuan Penelitian . . . 4

1.5. Manfaat Penelitian . . . 4

1.6. Metodologi Penelitian . . . 4

1.6.1. Diagram Konsep . . . 5

2 TINJAUAN PUSTAKA . . . 7

2.1. Ruang Barisan Bernilai Vektor . . . 7

2.2. Ruang Bernorma . . . 10

2.3. Ruang Berparanorma . . . 13

2.4. Ruang Barisan Dibangun oleh Fungsi Modulus . . . 16

3 HASIL DAN PEMBAHASAN . . . 20

3.1. Topologi Paranorma pada Ruang Barisan Bernilai Vektor dibangun oleh Fungsi Modulus . . . 20

4 KESIMPULAN DAN SARAN . . . 27

4.1. Kesimpulan . . . 27

4.2. Saran . . . 27

DAFTAR PUSTAKA . . . 28

viii

(10)

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Diberikan ruang vektor X dan himpunan bilangan asli N = {1, 2, . . . }. Fungsi x :N^{→ X} dengan aturank 7→ x(k)disebut barisan bernilai vektor X atau barisan bernilai X. Dalam hal ini, barisan bernilaiXdapat ditulis dengan notasix = (x(k)), denganx(k) ∈ X untuk setiapk ∈N.

Konsep pada ruang barisan bernilai vektor merupakan generalisasi dari ruang barisan bernilai skalar yang diperkenalkan oleh Pietsch (1962). Selanjutnya, Pietch (1965) mempelajari ruang barisan bernilai vektor ke teori operator bernilai mutlakdan ruang nuclear. Koleksi semua barisan bernilai vektor dinotasikan den- ganΩ(X)yaitu

Ω(X) :=

x = (x(k)) : x(k) ∈ X, k ∈N

Ruang linier bagian Y dari Ω(X) disebut ruang barisan bernilai X atau ruang barisan-X. Untuk X merupakan ruang bernorma yaitu X = (X, k . kX), Kolk (2011) memperkenalkan ruang barisan di bawah yang merupakan generalisasi dari ruang barisan Maddox (1967).

`∞(X) =

(x(k)) ∈ Ω(X) : sup

k∈N

kx(k)k_X < ∞

c₀(X) =

(x(k)) ∈ Ω(X) : lim

k kx(k)k_X = 0

`(X) = (

(x(k)) ∈ Ω(X) :X

k∈N

kx(k)k_X < ∞ )

w₀(X) = (

(x(k)) ∈ Ω(X) : lim

n n⁻¹

n

X

k=1

kx(k)k_X = 0 )

(11)

2 Bentuk ruang barisan bernilai vektor tersebut di atas masing-masing dise- but ruang barisan-X terbatas, ruang barisan-X konvergen ke nol, ruang barisan-X dengan deret terjumlah norma dan ruang barisan-Xterjumlah kuat ke nol.

Ruang barisan Y dikatakan solid jika(x(k)) ∈ Y dan|y(k)| ≤ |x(k)|. untuk setiapk ∈N berlaku^{(y(k)) ∈ Y}. Ruang barisan`(X)danc₀(X)merupakan contoh ruang barisan yang solid. Dengan memanfaatkan sifat solid dari suatu ruang barisan, Ruckle (1973) dan Maddox (1986) memperkenalkan ruang barisan bernilai real dengan memanfaatkan fungsi modulus. Fungsi Modulus adalah suatu fungsi f : [0, ∞) → [0, ∞) dengan sifat f (x) = 0 jika dan hanya jika x = 0, f (x + y) ≤ f (x) + f (y), naik, dan kontinu. Jika sifat f (x + y) ≤ f (x) + f (y)diganti dengan sifat konveks, maka fungsif disebut fungsi Orlicz. UntukY ruang barisan real solid,f fungsi modulus dan R notasi himpunan bilangan real, Ruckle (1973) memperkenalkan ruang barisan berikut

Y (f ) =

x = (x_k), x_k∈R^{: (f (|x}k|)) ∈ Y

dan mempelajari beberapa sifat topologi terhadap norma.

Selanjutnya untuk ruang barisanY (f )diatas digeneralisasi oleh Maddox (1986). Untuk kasus Y = `(X)dengan X = R, ruang barisan ini ditulis dengan notasi`(f )dan didefinisikan sebagai berikut.

`(f ) :=

x = (x_k), x_k ∈R^: X

k

f (|x_k|) < ∞

Dalam hal ini diperlihatkan bahwa`(f ) ⊂ `(R⁾dan`(f )^α = `∞(R⁾, dengan`(f )^α merupakan dual-αdari`(f ), yaitu

`(f )^α :=

a = (a_k), a_k∈R^: X

k

|a_kx_k| < ∞, ∀x ∈ `(f )

Untuk`(f )^α = `(f )^β = `, dengan`(f )^β merupakan dual-βdari`(f ), yaitu

`(f )^β :=

a = (a_k), a_k∈R^: X

k

|a_kx_k|konvergen untuk setiapx ∈ `(f )

Dengan menggunakan ide fungsi modulus, Adnan (2006) memperkenalkan ruang barisan Entire dan Analytic bernilai real, yaitu

Γ(f ) :=

x = (x_k), x_k ∈R^{: (f (|x}k|))^1/k → 0, k → ∞

(12)

dan

Λ(f ) :=

x = (x_k), x_k ∈R^{: sup}

k∈N

{(f (|x_k|))^1/k} < ∞

Ruang barisanΓ(f )danΛ(f )merupakan modifikasi dari barisan Entire dan Analytic yang diperkenalkan oleh Rao dan Subramanian (2004). Dalam hal ini, berhasil diperlihatkan sifat topologi terhadap metrik.

Selanjutnya, Konsep paranorma berkaitan dengan konsep metrik. Fak- tanya, ruang berparanorma total sama dengan ruang metrik. Lebih lanjut, ruang berparanorma total lengkap disebut ruang Frechet. Ruang barisanXdisebut ruang- FKjika ruang FrechetX = (X, p)atas barisan bernilai vektor dengan fungsi koor- dinatP_n : X →R kontinu untuk setiap^{n ∈}N. Penelitian tentang paranorma telah dilakukan salah satunya Nakano (1951).

Sejauh yang penulis ketahui berdasarkan referensi jurnal maupun sumber di internet, belum ditemukan adanya penelitian mengenai sifat topologi FK pada ruang barisan bernilai vektor dibangun oleh fungsi modulus terhadap paranorma.

Oleh karena itu, timbul pemikiran penulis untuk meneliti generalisasi ruang barisan bernilai real yang dibangun oleh fungsi modulus pada ruang barisan bernilai vektor tersebut.

Berdasarkan latar belakang di atas, maka penulis memilih judul penelitian, ”Sifat Topologi FK pada Ruang Barisan Bernilai Vektor Dibangun oleh Fungsi Modulus”.

1.2. Perumusan Masalah

Pada penelitian ini, penulis menggeneralisasi ruang barisan bernilai real dibangun oleh fungsi modulus yang didefinisikan oleh Adnan ke ruang barisan bernilai vektor. Oleh karena itu, masalah yang akan dibahas penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Bagaimana bentuk ruang barisan bernilai vektor dibangun oleh fungsi modulus.

2. Bagaimana sifat topologi pada ruang barisan bernilai vektor terhadap para-

(13)

4 norma.

1.3. Batasan Masalah

Penulis akan meneliti sifat-sifat topologi terhadap paranorma pada ruang barisan bernilai vektor dibangun oleh fungsi modulus atas ruang bernorma lengkap X. Adapun sifat-sifat topologi yang akan dibahas pada penelitian ini terkait dengan sifat lengkap terhadap paranorma yang didefinisikan, sifat-FK, sifat-AK pada ruang barisan yang didefinisikan.

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah mengembangkan teori tentang ruang barisan bernilai vektor dengan meneliti sifat topologi FK terhadap paranorma, pada ruang barisan yang didefinisikan.

1.5. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah :

1. Menambah pengetahuan mengenai ruang barisan, khususnya ruang barisan bernilai vektor dibangun oleh fungsi modulus.

2. Membuka area baru penelitian di bidang analisis matematika dan ilmu-ilmu terkait.

3. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan terutama bagi mahasiswa terutama penelitian mengenai bidang yang serupa.

1.6. Metodologi Penelitian

Metodologi dalam penelitian ini adalah menggunakan studi literatur, yaitu metode kepustakaan yang dilakukan dengan cara mempelajari teori-teori pada buku- buku, jurnal-jurnal maupun sumber-sumber informasi yang berkaitan untuk mem-

(14)

peroleh informasi teoritis tentang masalah yang akan diteliti.

1. Mendefinisikan ruang barisan bernilai vektor yang dibangun oleh fungsi modulus. Dalam hal ini,ruang barisan ini disebut ruang barisan bernilai vektor Entiredan Analytic yang dinotasikan denganΓ_f(X)danΛ_f(X).

2. Meneliti sifat topologi-FK pada ruang barisan yang didefinisikan terhadap suatu paranorma.

1.6.1. Diagram Konsep

Berikut ini adalah susunan kerangka teoritis yang disajikan dalam bentuk diagram Fish bone untuk membentuk sifat-sifat baru ruang barisan bernilai vektor dibangun oleh fungsi modulus dengan menggunakan generalisasi dari ruang barisan bernilai real. Adapun notasinya adalah ruang barisanΓ_f(X)danΛ_f(X).

(15)

6

Gambar 1.1 Diagram Konsep

(16)

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini disampaikan beberapa konsep dasar yang diperlukan pada bab selanjutnya. Beberapa contoh diberikan untuk memperjelas beberapa definisi yang diberikan. Uraian tentang pengertian dasar ini disajikan secara ringkas sesuai dengan tujuan dari penelitian.

2.1. Ruang Barisan Bernilai Vektor

Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan tak kosong X dan himpunan bilangan real R.

Selanjutnya didefinisikan dua operasi penjumlahan+ : X × X → Xdan perkalian

· :R^{× X → X} masing-masing dengan aturan

(x, y) 7→ x + ydan(α, x) 7→ αx

Himpunan tak kosongXdengan dua operasi di atas disebut ruang vektor, jika untuk setiapx, y, z ∈ X danα, β ∈R berlaku sifat-sifat berikut :

(a) x + y = y + x;

(b) (x + y) + z = x + (y + z);

(c) untuk setiapx, y ∈ Xterdapatp ∈ X sehinggax + p = y; (d) α(βx)=(αβ)x;

(e) (α + β)x = αx + βx; (f) α(x + y) = αx + αy; (g) 1x = x;

(h) Terdapat suatu vektorθyang disebut dengan vektor nol dengan sifatx+θ = x untuk semua vektorx.

(17)

8 (i) Terdapat suatu vektor di−xyang disebut dengan negatif darixdengan sifat x + (−x) = 0 untuk semua vektor x. Hal ini berbeda denganx − y dalam vektor penulisan menjadix + (−y).

(Debnath dan Minkusinski, 2005).

Contoh 2.1.2 HimpunanX = R³ merupakan ruang vektor terhadap penjumlahan dan perkalian dari koordinatnya.

Penyelesaian:

Diberikanx, y, z ∈R³denganx = (x(k)) = (x(1), x(2), x(3)),(y(k)) = (y(1), y(2), y(3)), dan(z(k)) = (z(1), z(2), z(3)), diperoleh

Definisi 2.1.3 Diberikan ruang vektor X dan Λ(X) ⊆ X merupakan himpunan bagian dariX. Himpunan bagianΛ(X)disebut dengan ruang vektor bagian dariX jika memenuhi sifat berikut.

1 Tertutup terhadap penjumlahan yaitu x, y ∈ Λ(X) dengan aturan x + y ∈ Λ(X)

2 Tertutup terhadap perkalian yaitux ∈ Λ(X)dengan aturanαx ∈ Λ(X). Contoh 2.1.4 Himpunan vektor-vektor pada R³dengan

Λ(X) = {(x, y, z)|x = 2z untuk setiapx, y, z ∈R³^} merupakan ruang vektor bagian dari R³.

Penyelesaian:

(1). Diberikan Λ₁(X), Λ₂(X) ∈ R³, dan Λ(X) = {(x, y, z)|x = 2z} sehingga

(18)

diperoleh

Λ₁(X) + Λ₂(X) = (x₁, y₁, z₁) + (x₂, y₂, z₂)

= (x₁+ x₂, y₁+ y₂, z₁+ z₂)

= (2z₁+ 2z₂, y₁+ y₂, z₁+ z₂)

= 2(z₁+ z₂), (y₁+ y₂), (z₁+ z₂)

= 2z, y, z

Akibatnyax, y, z ∈R³ sehingga terbukti bahwaΛ(X)tertutup terhadap penjumlahan.

(2). DiberikanΛ(X) ∈R³, diperoleh

αΛ(X) = α(x, y, z)

= α(2z, y, z)

= (α2z, αy, αz) ∈R³ Sehingga terbukti bahwaΛ(X)tertutup terhadap perkalian.

Dari hasil(1), (2), (3) dapat disimpulkan bahwa Λ(X) merupakan ruang vektor bagian dari R³.

Definisi 2.1.5 Diberikan ruang vektorXdan himpunan bilangan asli N= {1, 2, . . . }. Fungsi padax :N ^{→ X} dengan aturank 7→ x(k)disebut barisan bernilai vektor- X atau barisan bernilai-X dan ditulis dengan notasi x = (x(k)). Dalam hal ini, x(k) ∈ X untuk setiapk ∈N. (Debnath dan Minkusinski, 2005)

Contoh 2.1.6 UntukX =R³ yang merupakan ruang vektor, barisanx = (x(k))di R³ merupakan barisan bernilai-Xdanx(k) ∈R³.

Koleksi dari semua barisan bernilai vektor dinotasikan denganΩ(X)yaitu Ω(X) := {x = (x(k)) : x(k) ∈ X,untuk setiap k∈N^}

Dapat diperlihatkanΩ(X) merupakan ruang vektor terhadap operasi penjumlahan

(19)

10

dan perkalian skalar yang didefinisikan sebagai berikut.

x + y = (x(k) + (y(k)) αx = (αx(k))

Selanjutnya untuk sebarang ruang vektor bagian Λ(X) ⊆ Ω(X) disebut ruang barisan bernilai vektor. Karena notasiΛ(X) pada skripsi ini digunakan untuk ruang barisan bernilai vektor, untuk selanjutnya ruang barisan bernilai vektor disebut ruang barisan saja. (Debnath dan Minkusinski, 2005)

Definisi 2.1.7 Ruang barisanΛ(X)dikatakan solid atau normal jika(x(k)) ∈ Λ(X) dan|y(k)| ≤ |x(k)|untukk ∈N, berakibaty = (y(k)) ∈ Λ(X). (Banas J dan Mur- saleen, 2014)

Contoh 2.1.8 Ruang barisan yang didefinisikan sebagai berikut:

`_∞=

x = (x(k)) ∈R: sup |x(k)| < ∞

merupakan ruang barisan solid atau normal.

Penyelesaian:

Diambil sebarangx = (x(k)) ∈ `_∞ dengan|y(k)| ≤ |x(k)|untuk setiapk ∈ N^∈

`∞dengan|y(k)| ≤ |x(k)|untuk setiapk ∈N. Karenax = (x(k)) ∈ `∞, maka

sup |x(k)| < ∞ (2.1)

Dari diketahui|y(k)| ≤ |x(k)|untuk setiapk ∈N. Dengan mengambil kedua ruas tersebut diperolehsup |y(k)| ≤ sup |x(k)|. Dari persamaan 2.1, diperoleh

sup |y(k)| ≤ sup |x(k)| < ∞

Akibatnya sup |y(k)| < ∞sehingga y = (y(k)) ∈ `∞. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa`∞merupakan ruang barisan solid.

2.2. Ruang Bernorma

Definisi 2.2.1 Diberikan ruang vektor X. Fungsi k.k : X → R disebut norma apabila untuk setiapx, y ∈ Xdanα ∈R memenuhi sifat-sifat :

(20)

(N1) kxk ≥ 0,kxk = 0jika dan hanya jikax = 0, (N2) kαxk = |α|kxk, dan

(N3) kx + yk ≤ kxk + kyk.

Ruang vektorXyang dilengkapi dengan normak·kXdisebut ruang bernor- madan ditulis dengan notasi(X, k · k_X)atauX saja untuk singkatnya. (Aliprantis dan Border, 2006)

Definisi 2.2.2 Barisan(x(k))di dalam ruang bernorma X dikatakan konvergen ke suatux(0) ∈ X jika untuk setiap bilanganε > 0 terdapatk0 ∈ N sehingga untuk setiap k ≥ k₀ berlaku kx(k)x(0)k_X < ε dan ditulis dengan notasi x(k) → x(0) untukk → ∞.

Contoh 2.2.3 Ruang barisan yang didefinisikan sebagai berikut :

`_∞=

x = (x(k)) ∈R: sup |x(k)| < ∞

merupakan ruang bernorma terhadap norma kxk∞= sup |x(k)|

Penyelesaian:

Karena|x(k)|, makasup |x(k)| ≥ 0. Akibatnya, kxk_∞ ≥ 0. Selanjutnya, diasumsikan kxk∞ = 0. Karenakxk∞ ≥ 0, berlaku0 ≤ sup |x(k)| < ε sehingga untuk setiapε > 0berlakusup |x(k)| = 0. Hal ini berarti bahwa barisanx = (x(k)) = θ. Sebaliknya, diasumsikanx = (x(k)) = θ. Oleh karena itu

kxk∞= sup |0| = 0 Akibatnyakxk∞ = 0.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwakαxk∞ = |α|kxk∞untuk sebarang bilangan real α ∈ R. Apabila diambil ^{α = 0}, maka kαxk∞ = k0xk∞ = 0. Diasumsikan

(21)

12

α 6= 0maka diperoleh

kαxk∞= sup |αx(k)|∞

= |α| sup |x(k)|∞

= |α|kαxk_∞

Selanjutnya akan diperlihatkan bahwakx + yk∞kxk∞+ kyk∞. Diambil sebarang x = (x(k)),y = (y(k)) ∈ `_∞. Berarti

kxk∞ = sup |x(k)|dankyk∞= sup |y(k)|

Selanjutnya

kx + yk∞ = sup(|x(k) + y(k)|)

≤ sup(|x(k)| + |y(k)|)

= sup |x(k)| + sup |y(k)|

= kxk∞+ kyk∞

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa`∞merupakan ruang bernorma.

Definisi 2.2.4 Barisan(x(k))di dalam ruang bernormaX disebut barisan Cauchy jika untuk setiap bilanganε > 0terdapatk₀ ∈N sehingga untuk setiap^{j ≥ k ≥ k}0

berlakukx(j) − x(k)kX < ε. (Debnath dan Minkusinski, 2005)

Definisi 2.2.5 Ruang bernorma X dikatakan bersifat lengkap jika setiap barisan Cauchynya konvergen. Ruang bernorma yang bersifat lengkap disebut Ruang Ba- nach. (Debnath dan Minkusinski, 2005)

Contoh 2.2.6 Ruang barisancyang didefinisikan sebagai berikut:

c =

x = (x(k)) ∈R^{: (∃ l ∈}R^{) x(k) → l}

merupakan ruang Banach.

Penyelesaian:

(1) Diambil sebarang barisan Cauchy (xⁱ) ⊂ c, dengan xⁱ = (xⁱ(1), xⁱ(2), · · · )

(22)

untuk setiapi ∈N. Karena^(xⁱ⁾merupakan barisan Cauchy, berarti untuk sebarang bilangan > 0terdapati0 ∈N, sehingga untuk setiap^{j ≥ i ≥ i}⁰ berlaku

kx^j − xⁱk_∞= sup(|x^j(k) − xⁱ(k)|) < .

Karena terpenuhisup(|x^j(k) − xⁱ(k)|) < maka|x^j(k) − xⁱ(k)| < .Hal ini berarti barisan(xⁱ(k))dengan(xⁱ(k)) = (xⁱ(1), xⁱ(2), · · · )merupakan barisan Cauchy di c untuk setiap k ∈ N. Selanjutnya terdapat suatu barisan ^{x = (x(k))} denganx(k) ∈R untuk setiap^k. Dengan kata lain, lim

i→∞xⁱ(k) = x(k)untuk setiap k ∈N. Selanjutnya, apabila dibentuk barisanx = (x(k)) = (x(1), x(2), · · · )maka xⁱ → xuntuki → ∞. Oleh karena itu,

kx^j(k) − x(k)k∞= |x^j(k) − lim

i→∞xⁱ(k)|∞

= lim

i→∞|x^j(k) − xⁱ(k)|∞

untuk setiapi ≥ i₀. Oleh karena itu, dengan menggunakan definisi norma diperoleh kx − xⁱk = sup(|x(k) − xⁱ(k)|)∞<

untuk setiapi ≥ i₀. Hal ini menunjukkan bahwa xⁱ → xuntuki → ∞atau lim

i→∞xⁱ = x.

(2) Selanjutnya karena(xⁱ) ∈ c, maka ada` ∈ R sehingga^xⁱ ^{→ `}untuki → ∞.

dan lim_i→∞xⁱ(k) = x(k). Oleh karena itu, x(k) = lim_i→∞xⁱ → `. Akibatnya, x(k) → `. Oleh karena itu, x = (x(k))ada dic. Dari hasil (1) dan (2) diperoleh bahwacmerupakan ruang Banach.

2.3. Ruang Berparanorma

Pada bagian ini diperkenalkan beberapa sifat khusus dari ruang berparanorma.

Definisi 2.3.1 Diberikan ruang vektorX. Paranorma adalah suatu fungsip : X → R yang memenuhi sifat-sifat :

(P1) p(θ) = 0, untukθadalah vektor nol pada ruang linearX,

(23)

14

(P2) p(x) ≥ 0, untuk setiapx ∈ X,

(P3) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), untuk setiapx, y ∈ X, (P4) p(−x) = p(x), untuk setiapx ∈ X, dan

(P5) Jika(λ_k)adalah barisan bilangan real dengan|λ_k−λ| → 0untukk → ∞dan (x(k)) ⊂ Xdenganp(x(k)−x) → 0untukk → ∞, makap(λ_kx(k)−λx) → 0untukk → ∞.

Ruang vektorX yang dilengkapi dengan suatu paranormapdisebut ruang berparanormadan ditulis dengan notasi(X, p)atauXsaja untuk singkatnya. Lebih lanjut lagi, jika p(x) = 0berakibat x = θ, maka p disebut paranorma total dan (X, p)disebut ruang berparanorma total. (Banas J dan Mursaleen, 2014)

Contoh 2.3.2 Diberikan ruang bernorma X = (X, k.k_X). Fungsi p : X → R dengan aturan p(x) = k.k_X untuk setiap x ∈ X merupakan paranorma. Hal ini dapat diperlihatkan dengan cara sebagai berikut. Karena x ≥ 0, maka p(x) ≥ 0. Selanjutnya diberikan diberikan x = θ, yaitu barisanθ = θ_k ∈ Γ_f(X)denganθ_k adalah vektor nol padaX untuk setiapk ∈ N. Karenax(k) = 0, maka diperoleh kx(k)k = 0 Dengan demikian p(θ_k) = 0untuk setiap k ∈ N. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa pgenap. Karena kx(k)k = k − x(k)k, berlaku p(x) = p(−x). Selanjutnya akan diperlihatkan bahwapmemenuhi pertidaksamaan segitiga. Untuk itu diambil fungsip : X →R dan dengan aturan^{x, y ∈ X}Diperoleh

p(x + y) = kx + yk

≤ kxk + kyk

karena X merupakan ruang bernorma maka pmemenuhi pertidaksamaa segitiga.

Selanjutnya akan diperlihatkan bahwaρ memenuhi sifat (P 5). Untuk itu, diambil sebarang barisan bilangan real (λ_k) dengan |λ_k − λ| → 0 untuk k → ∞ dan

(24)

(x(k)) ⊂ Xdenganp(x_k− x) → 0untukn → ∞, diperoleh p(x(k) − x) = kλ_kx(k) − λxk_X

≤ kλ_kx(k) − λx(k)k_X + kλx(k) − λxk_X

= kx(k)k_X|λ_k− λ| + |λ|ρ(x(k) − x) → 0

Dari(P 1) - (P 5), dapat disimpulkan bahwa X merupakan ruang berparanorma terhadap paranormap(x) = k · kX.

Definisi 2.3.3 Diberikan ruang berparanorma(X, p). Barisan(x(k)) ⊂ Xdikatakan konvergen kei₀ ∈ X jika untuk setiap bilanganε > 0terdapat i₀ sehingga untuk setiapk ≥ i₀ berlakup(x(k) − i₀ < εatau biasa ditulis sebagai

p(x(k) − i₀) → 0untukk → ∞

Definisi 2.3.4 Barisan (x(k)) di dalam ruang berparanorma total (X, p) disebut barisan Cauchy jika untuk setiap bilangan ε > 0 terdapat k₀ ∈ N sehingga untuk setiapj ≥ k ≥ k₀ berlakup(x(j) − x(k)) < ε. (Banas J dan Mursaleen, 2014) Definisi 2.3.5 Ruang berparanorma(X, p)disebut ruang berparanorma lengkap jika setiap barisan Cauchynya diXkonvergen. (Banas J dan Mursaleen, 2014)

Definisi 2.3.6 Ruang Frechet adalah ruang berparanorma total yang bersifat lengkap.

(Banas J dan Mursaleen, 2014)

Definisi 2.3.7 Ruang berparanorma (X, p) disebut sebagai ruang K (Kantrovich) yang bersifat lengkap terhadap paranorma p jika fungsi koordinat Q_k : X → R dengan aturanx → Q_k(x) = x(k) kontinu padaX untuk setiap x = (x(k)) ∈ X dan untuk setiapk ∈N. (Banas J dan Mursaleen, 2014)

Definisi 2.3.8 Diberikan ruang barisanX. FungsiQ_k : X ∈R dengan aturan^{x 7→}

Q_k(X), untuk setiap k ∈ N dan untuk setiap x = (x(k)) ∈ X disebut fungsi koordinat. (Banas J dan Mursaleen, 2014)

Definisi 2.3.9 Ruang FrechetX dikatakan Ruang FK (Frechet Kantrovich) jika ruang FrechetX kontinu terhadap fungsi koordinat. (Banas J dan Mursaleen, 2014)

(25)

16 Definisi 2.3.10 Ruang FrechetX dikatakan mempunyai sifat AK Abshnittskonver- genzjika untuk setiap barisanx = (x(k)) ∈ X danN ∈ N,^p(x^N ^{− x) → 0}untuk N → ∞ dengan x^N = (x(1), x(2), ..., x(N ), 0, 0, ...). (Banas J dan Mursaleen, 2014)

2.4. Ruang Barisan Dibangun oleh Fungsi Modulus

Pada Subbab ini dibahas beberapa ruang barisan yang dibangun oleh fungsi modulus. Namun sebelumnya, diberikan definisi suatu fungsi dikatakan naik dan kontinu.

Definisi 2.4.1 Fungsif : [0, ∞) → [0, ∞)dikatakan naik pada[0, ∞), jika untuk setiapx, y ∈ [0, ∞)denganx ≤ yberlakuf (x) ≤ f (y).

Definisi 2.4.2 Fungsi f : [0, ∞) → [0, ∞) dikatakan kontinu di suatu titik c ∈ [0, ∞), jika untuk sebarang bilanganε > 0terdapat bilanganδ > 0sehingga untuk setiap x ∈ [0, ∞) dengan |x − c| < δ, berlaku|f (x) − f (c)| < ε. Selanjutnya, fungsif dikatakan kontinu pada[0, ∞)jikaf kontinu di setiapc ∈ [0, ∞).

Contoh 2.4.3 Fungsi f : [0, ∞) → [0, ∞) dengan aturan f (x) = ¹_x untuk setiap x ∈R merupakan fungsi kontinu.

Definisi 2.4.4 Fungsif : [0, ∞) → [0, ∞)dikatakan fungsi modulus jika memenuhi sifat-sifat:

(i) f (x) = 0jika dan hanya jikax = 0. (ii) f (x + y) ≤ f (x) + f (y),

(iii) f naik.

(iv) f kontinu pada R⁺. (Maddox, 1986)

Contoh 2.4.5 Fungsif : [0, ∞) → [0, ∞)dengan aturanf (x) =√

xuntuk setiap x ∈R merupakan fungsi modulus.

(26)

Penyelesaian:

Grafik fungsif (x) =√

x. Akan dibuktikan

Gambar 2.1 Grafik fungsi f (x) =√ x

bahwaf (x) = √

xmerupakan fungsi modulus. Pertama, akan ditunjukkan bahwa f memenuhi persamaan (i) pada definisi Definisi 2.4.1. Untuk f (x) = 0, maka ^√x = 0. Akibatnya x = 0. Sebaliknya diasumsikan bahwa x = 0. karena x = 0, maka^√x = √

0 = 0. Akibatnyaf (x) = 0. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwaf memenuhi pertidaksamaan segitiga. Untuk itu diberikan sebarangx, y ∈ [0, ∞) dengan f (x) = √

x dan f (y) = √

y. Asumsikan ^√x + y > √ x + √

y. Dengan mengkuadratkan kedua ruas, diperoleh

x + y > x + 2√ xy + y 0 > 2√

xy 0 >√

xy 0 > xy y < 0

Hal ini kontradiksi dengan y ≥ 0 Sehingga seharusnya ^√x + y ≤ √

x + √ y. Sehinggaf memenuhi pertidaksamaan segitiga. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa f naik. Untuk itu diambil sebarang x, y ∈ [0, ∞] dengan x ≤ y. Akibatnya

|√

x| ≤ |√

y|. Dengan mengambil nilai mutlak pada kedua ruas di atas, diperoleh

(27)

18 f (x) ≤ f (y)untuk setiapx, y ∈ [0, ∞], yang berartifnaik padax, y ∈ [0, ∞]. Se- lanjutnya akan dibuktikan bahwa fungsif kontinu pada[0, ∞]. Untuk itu, diambil sebarang ε > 0dan c ∈ R. Akan dibuktikan bahwa terdapat^{δ > 0} sehingga jika x ∈R dengan|x − c| < δberlaku|√

x −√

c| < ε. Oleh karena itu,

√x −√ c.

√x +√

√ c x +√

c =

√x√ x −√

c√

√ c x +√

c

= x − c

√x +√ c Untukc 6= 0, dipilihε√

c. Oleh karena itu,

|√ x −√

c| =

x − c

√x +√ c

≤ |x − c|

√x +√ c

≤ |x − c|

√c

< ε√

√c c = ε Akibatnya|f (x) − f (c)| = |√

x −√

c| < εuntukc 6= 0. Selanjutnya untukc = 0, dipilihδ = ε². Oleh karena itu,

|√ x −√

c| =

x − c

√x +√ c

≤ |x − c|

√x +√ c

= |x|

√x =√ x < ε

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa f kontinu pada R⁺. Sehingga dapat disimpulkan bahwa f : [0, ∞) → [0, ∞) dengan aturan f (x) = √

x merupakan fungsi modulus.

Dengan menggunakan ide fungsi modulus, Adnan (2006) memperkenalkan ruang barisan Entire dan Analytic bernilai real, yaitu

Γ(f ) :=

x = (x_k), x_k ∈R^{: (f (|x}k|))^1/k → 0, k → ∞

dan

Λ(f ) :=

x = (x_k), x_k ∈R^{: sup}

k∈N

{(f (|x_k|))^1/k} < ∞

(28)

Ruang barisan Γ(f ) dan Λ(f ) merupakan bentuk khusus dari barisan Entire dan Analytic yang diperkenalkan oleh Rao dan Subramanian (2004). Dalam hal ini, berhasil diperlihatkan sifat topologi terhadap metrik.

(29)

BAB 3

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini akan diperlihatkan beberapa sifat topologi pada ruang barisan bernilai vektor yang dibangun oleh fungsi modulus seperti ruang Frechet, ruang-FK, ruang- AK.

3.1. Topologi Paranorma pada Ruang Barisan Bernilai Vektor dibangun oleh Fungsi Modulus

Diberikan fungsif : [0, ∞] → [0, ∞). Fungsif disebut fungsi modulus jika memenuhi sifat-sifat:

(i) f (x) = 0jika dan hanya jikax = 0. (ii) f (x + y) ≤ f (x) + f (y),

(iii) f naik.

(iv) f kontinu pada R⁺.

Kemudian diberikan Himpunan tak kosongX dengan norma k · k_X. Dengan memanfaatkan fungsi modulus, didefinisikan himpunan-himpunan yang dinotasikan denganΓ_f(X)danΛ_f(X), yaitu

Γ_f(X) =

x = (x(k)), x(k) ∈ Ω(X) : (f (kx(k)k_X))¹^k → 0, k → ∞

Λ_f(X) =

x = (x(k)), x(k) ∈ Ω(X) : sup

k∈N

{(f (kx(kk)))^k¹} < ∞

.

Berikut ini diberikan teorema yang memperlihatkan bahwa himpunan-himpunan Γf(X)danΛf(X)masing-masing merupakan ruang vektor.

Teorema 3.1.1 Himpunan Γ_f(X) dan Λ_f(X) masing-masing merupakan ruang vektor.

(30)

Bukti. Akan dibuktikan ruang barisanΓ_f(X)merupakan ruang vektor. Untuk itu, diambil sebarang barisanx, y ∈ Γf(X)sehingga

(f (kx(k)k_X))^k¹ → 0dan(f (ky(k)k_X))¹^k → 0 untukk → ∞. Untuk setiapk ∈N diperoleh

(f (kx(k) + y(k)k_X))¹^k ≤ ((f (kx(k) + y(k)k_X))^k)^k¹

Dengan menggunakan pertidaksamaan minkowski diperoleh

((f (kx(k) + y(k)k_X))^k)¹^k ≤ ((f (kx(k)k_X))^k)^k¹ + ((f (y(k)k_X))^k)^k¹

= ((f (kx(k)k_X))¹^k)^k+ ((f (y(k)k_X))¹^k)^k Karena(f (kx(k)k_X))¹^k → 0dan(f (ky(k)k_X))^k¹ → 0, maka

(f (kx(k)kX))^k¹ + (f (ky(k)kX))¹^k → 0

untukk → ∞. Jadi, diperolehx + y ∈ Γ_f(X).

Selanjutnya diambil sebarang barisanx ∈ Γf(X)danα ∈R. Karena ruang barisan tersebut merupakan ruang bernorma, berlaku

(f (kαx(k)kX))¹^k = (f |α|(kx(k)kX))¹^k ≤ |α|(f (kx(k)kX))¹^k

≤ α(f (kx(k)kX))¹^k

untuk setiap k ∈ N. Hal ini menunjukkan bahwa ^{αx ∈ Γ}f(X). Karena x + y ∈ Γ_f(X)danαx ∈ Γ_f(X)untuk sebarangx, y ∈ Γ_f(X)dan sebarangα ∈R, maka Γ_f(X)merupakan ruang vektor sehingga teorema di atas terbukti. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa Λ_f(X) merupakan ruang vektor. Untuk itu, diambil sebarang barisanx, y ∈ Λ_f(X)sehingga

sup{(f (kx(k)k_X))¹^k} < ∞dan sup{(f (ky(k)k_X))¹^k} < ∞ Untuk setiapk ∈N diperoleh

sup{(f (kx(k) + y(k)k_X))^k¹} ≤ sup{((f (kx(k) + y(k)k_X))^k)^k¹}

(31)

22

Dengan menggunakan pertidaksamaan minkowski diperoleh

sup{((f (kx(k) + y(k)k_X))^k)¹^k} ≤ sup{((f (kx(k)k_X))^k)¹^k} + sup{((f (y(k)k_X))^k)¹^k}

= sup{((f (kx(k)k_X))^k¹)^k} + sup{((f (y(k)k_X))¹^k)^k}

Karena(f (kx(k)k_X))¹^k < ∞dansup{(f (ky(k)k_X))¹^k} < ∞, maka sup{(f (kx(k)k_X))¹^k + (f (ky(k)k_X))¹^k} < ∞

untukk → ∞. Jadi, diperolehx + y ∈ Λ_f(X).

Selanjutnya diambil sebarang barisanx ∈ Λ_f(X)danα ∈R. Karena ruang barisan tersebut merupakan ruang bernorma, berlaku

sup{(f (kαx(k)k_X))¹^k} = sup{(f |α|(kx(k)k_X))¹^k} ≤ |α| sup{(f (kx(k)k_X))¹^k}

≤ α sup{(f (kx(k)k_X))^k¹}

untuk setiap k ∈ N. Hal ini menunjukkan bahwa ^{αx ∈ Λ}f(X). Karena x + y ∈ Λ_f(X) dan αx ∈ Λ_f(X) untuk sebarang x, y ∈ Λ_f(X) dan sebarang α ∈ R, maka Λ_f(X) merupakan ruang vektor sehingga teorema di atas terbukti. Dengan demikian terbukti bahwa himpunan Γ_f(X) dan Λ_f(X) merupakan ruang vektor.

Selanjutnya, diberikan teorema yang memperlihatkan bahwa ruang barisanΓ_f(X) merupakan suatu ruang berparanorma total.

Teorema 3.1.2 Fungsionalp : Γ_f(X) →R dengan aturan p(x) = sup

(f (kx(k)k_X))¹^k

merupakan suatu paranorma total.

Bukti. Diambil sebarangx ∈ Γ_f(X). Karenax ≥ 0, maka jelas bahwap(x) ≥ 0. Selanjutnya diberikanx = θ, yaitu barisanθ = θ_k ∈ Γ_f(X)denganθ_kadalah vektor nol padaX untuk setiapk ∈ N, makakx(k)k = 0. Karenakx(k)k = 0, maka fungsif (kx(k)k_X) = 0. Akibatnya(f (kx(k)k_X))¹^k = 0sehinggasup{(f (kx(k)k)_X)¹^k = 0}. Dengan demikian p(θ_k) = 0 untuk setiap k ∈ N. Sebaliknya, diasumsikan p(x) = 0, maka

sup

(f (kx(k)k_X))^k¹

= 0

(32)

Hal ini berakibat untuk setiap ε > 0, berlaku 0 < sup{(f (kx(k)k_X))^k¹} < ε. Karenaε > 0sebarang, maka(f (kx(k)k_X))¹^k = 0untuk setiapk ∈ N. Akibatnya x(k) = θ, dengan θ adalah vektor nol diX. Dengan demikian, diperoleh x = θ. Selanjutnya karena (f (kx(k)k_X))¹^k = (f (k − x(k)k_X))¹^k, maka p(x) = p(−x). Selanjutnya akan diperlihatkan bahwapmemenuhi pertidaksamaan segitiga. Untuk itu, diambil sebarang barisanx ∈ Γ_f(X)sehingga

(f (kx(k)k_X))^k¹ → 0 dan (f (ky(k)k_X))¹^k → 0 Untukk → ∞. Untuk setiapk ∈N diperoleh

(f (kx(k) + y(k)k_X))^k¹ ≤ ((f (kx(k) + y(k)k_X))^k)¹^k Dengan menggunakan pertidaksamaan minkowski diperoleh

((f (kx(k) + y(k)k_X))^k)^k¹ ≤ ((f (kx(k)k_X))^k)^k¹ + ((f (ky(k)k_X))^k)^k¹

≤ ((f (kx(k)k_X))¹^k)^k+ ((f (ky(k)k_X))¹^k)^k Oleh karena itu,p(x+y) ≤ p(x)+p(y)untuk setiapx, y ∈ Γ_f(X). Kemudian, akan ditunjukkan bahwa perkalian skalar fungsipkontinu. Untuk itu, diambil sebarang barisan bilangan real(λ_k)dan(x(k)) ∈ Γ_f(X)dengan|λ_k− λ| → 0untukk ∈ ∞. Maka diperoleh

(f (kx(k))k_X))^k¹ = (f (kλ_kx(k) − λx(k)k_X))^k¹

= (f (k(λ_k− λ)x(k)k_X) + kλ(x(k) − x)k_X))^k¹

≤ (((f |λ_k− λ|kx(k)k + |λ|k(x(k) − x)k_X))^k)^k¹ Dengan menggunakan pertidaksamaan Minkowski diperoleh

(((f |λ_k− λ|kx(k)k + |λ|k(x(k) − x)k_X))^k)^k¹ = (((f |λ_k− λ|kx(k)k_X))^k)¹^k + (|λ|k(x(k) − x)k_X))^k)^k¹

= (((f |λ_k− λ|kx(k)k_X))¹^k)^k+ (|λ|k(x(k) − x)k_X))¹^k)^k Hal ini berarti diperoleh

p(λ_kx(k) − λx(k)) = sup{(f (kλ_kx(k) − λx(k)k_X))^k¹}

≤ kλ_k− λksup{((f (kx(k)k_X))¹^k)^k}

≤ |λ_k− λ|p(x(k) + |λ|p(x(k) − x) → 0

(33)

24 Dengan demikian, p(λ_kx(k) − λx(k)) → 0. Sehingga dapat disimpulkan bah- waΓf(X)merupakan ruang berparanorma total terhadap paranorma yang didefin-

isikan.

Pada teorema berikut, diberikan hasil bahwa setiap barisan cauchy pada ruang Γ_f(X)bersifat konvergen. Dengan kata lain, diperoleh hasil bahwa Γ_f(X)merupakan ruang Frechet.

Teorema 3.1.3 Ruang vektor Γf(X) dan Λf(X) merupakan ruang Frechet terhadap paranormap(x) = sup{(f (kx(k)k_X))^k¹}.

Bukti. Diambil sebarang barisan Cauchy(xⁱ) ∈ Γf(X). Hal ini berarti untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat i₀ ∈ N sehingga untuk setiap ^{j ≥ i ≥ i}0, diperoleh p(x^j− xⁱ) < ε. Akibatnya

p(x^j − xⁱ) = sup

(f (kx^j(k) − xⁱ(k)k_X))¹^k

< ε

Untuk setiapj ≥ i ≥ i₀. Karenasup (f kx^j(k) − xⁱ(k)k_X))¹^k < ε, berlaku(f (kx^j(k)−

xⁱ(k)k_X))¹^k < εuntuk setiapε > 0. Selanjutnya karenaf adalah fungsi modulus, makakx^j(k)−xⁱ(k)k = 0untuk setiapk ∈N. Dengan kata lain,^kx^j^(k)−xⁱ^{(k)k <}

ε untuk setiap ε > 0. Hal ini berarti bahwa barisan (x^j(k)) merupakan barisan Cauchy diXuntuk setiapk ∈N. Karena^Xadalah ruang bernorma lengkap, maka (x^j(k)) konvergen ke suatu x(k) ∈ X. Dengan kata lain, lim_j→∞x^j(k) = x(k) untuk setiap k ∈ N. Selanjutnya dibentuk barisan x = (x(k)) = (x(1), x(2), ..., ) diperoleh

sup

(f (kx − xⁱk_X))¹^k

= sup

(f (k lim

j→∞x − xⁱk_X))¹^k

= sup

j→∞lim(f (kx − xⁱkX))¹^k

= lim

j→∞sup

Untuk setiap i ≥ i₀. Oleh karena itu, dengan menggunakan definisi paranorma maka untuk setiapε > 0, diperoleh

(34)

p(x − xⁱ) = sup

< ε

Hal ini menunjukkan bahwa xⁱ → x untuk i ∈ ∞. Kemudian akan ditunjukkan bahwax ∈ Γ_f(X). Karena fungsi modulusf kontinu, diperoleh

(f (kxk_X))¹^k = (f (k lim

j→∞xⁱk_X))¹^k

= lim

j→∞(f (kxⁱk_X))¹^k → 0

Untuki → ∞. Dengan demikian,x ∈ Γf(X). Sehingga dapat disimpulkan

bahwaΓ_f(X)merupakan ruang Frechet.

Teorema 3.1.4Γ_f(X)merupakan ruang-FK terhadap paranormap.

Bukti. Diberikanx = (x(k)) ∈ Γ_f(X)dan barisan(xⁱ) ⊂ Γ_f(X)denganx⁽ⁱ⁾→ x untuki → ∞. Berarti untuk sebarangε > 0terdapati₀ ∈N sehingga untuk setiap i ≥ i₀ berlaku

p(x⁽ⁱ⁾− x) < ε.

Hal ini berarti

p(x⁽ⁱ⁾− x) = sup{(f (kxⁱ(k) − x(k)k_X))¹^k} < ε

Karena sebarangε > 0, berartif (kxⁱ(k) − x(k)k) = 0untuk setiapi ≥ i₀. Karena f merupakan fungsi modulus, maka kxⁱ(k) − x(k)k = 0untuk setiap i ≥ i0 dan setiapk ∈N. Akibatnya

kxⁱ(k) − x(k)k < ε

untuk setiapi ≥ i₀ dan untuk sebarangε > 0. Oleh karena itu, untuk setiapk ∈N dani ≥ i₀ berlaku

Q_k(x⁽ⁱ⁾) − Q_k(x) = x⁽ⁱ⁾(k) − x(k) < ε

Hal ini menunjukkan bahwa fungsi koordinat Q_k : Γ_f(X) → R kontinu pada

Γ_f(X). Jadi,Γ_f(X)merupakan ruang-FK.

Teorema 3.1.5 Ruang vektorΓ_f(X)merupakan ruang-AK.

(35)

26 Bukti. Diambil sebarangx = (x(k)) ∈ Γ_f(X)danN ∈N dengan

x^N = (x(1), x(2), ..., x(N ), 0, 0, 0, ...). Oleh karena itu,x−x^N = (0, 0, ..., 0, x(N + 1), ...) untukN ∈N. Karena^f merupakan fungsi modulus, maka

(f (kx(k)kX))¹^k → 0untukk → ∞ Dengan menggunakan definisi paranorma, maka

p(x) = sup

(f (kx(k)k_X))¹^k

Oleh karena itu, untuk setiap bilanganε¿ 0 diperoleh p(x − x^N) = sup

(f (kx(k)k_X))¹^k

≤ sup

(f (kx(k)k_X))¹^k

< ε

Hal ini berartip(x − x^N) → 0untukN ∈ ∞. Sehingga, dapat disimpulkan bahwa

Γ_f(X)merupakan ruang AK.

(36)

KESIMPULAN DAN SARAN

Pada bab ini akan diberikan kesimpulan dan saran-saran yang dapat diambil berdasarkan materi-materi yang telah dibahas pada bab sebelumnya.

4.1. Kesimpulan

Ruang barisan Γf(X) dan Λf(X) merupakan generalisasi ruang barisan bernilai real yang dibangun oleh fungsi modulus yang didefinisikan oleh Adnan, yaituΓ(f ) danΛ(f ). Ruang barisanΓf(X)danΛf(X)masing-masing disebut sebagai ruang barisan bernilai vektor Entire dan (Analytic dibangun oleh fungsi modulus. Berhasil diperlihatkan sifat topologi pada ruang barisan Γf(X) dan Λf(X) terhadap paranorma yang didefinisikan. Lebih lanjut, ruang Γ_f(X) merupakan ruang FK yang memiliki sifat AK.

4.2. Saran

Banyak hal yang bisa diteliti dan dikembangkan lebih lanjut dari hasil penelitian ini, namun karena keterbatasan kemampuan, penulis belum bisa melanjutkannya lebih jauh. Salah satunya dengan meneliti sifat topologi FK pada ruang barisanΛ_f(X)

(37)

DAFTAR PUSTAKA

[1] Adnan, 2006. Some FK spaces defined by a modulus function. International Journal of Pure and Applied Mathematics, 30 : 43-48.

[Aliprantis CD and Border KC] Aliprantis CD and Border KC, 2006. Infinite Di- mensional Analysis Verlag Berlin. Springer Verlag Berlin Heidelberg,3^rded., New York

[3] Bana´s J, Mursaleen M, 2014. Sequence Spaces and Measures of Noncompact- ness with Applications to Differential and Integral Equations. Springer. India.

[4] Debnath L, Mikusinsi P, 2005. Introduction to Hilbert Space with Application.

Elsevier Academic Press, New York.

[5] Kolk E, 2011. Topologies in generalized Orlicz sequence spaces. Filomat, 24(4): 253-261.

[6] Maddox IJ, 1970. Elements of Functional Analysis. The University Press1^st. Cambridge.

[7] Maddox IJ, 1986. Sequence space defined by a modulus, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 100, 161-166.

[8] Nakano, 1951. Modular sequence spaces. Proc. Japan Math. Soc, 422-436.

[9] Pietsch A, 1962. Verallgemeinerte Volkommene Folgenraume. Akademie Ver- lag. Berlin

[10] Pietsch A, 1965. Nuclear Locally Convex Spaces. Akademie Verlag. Berlin [11] Rao KC, Subramanian N, 2004. The Orlicz Space of Entire Sequences. Inter-

nat. J. Math. Sci., 68: 3755-3764.

[12] Ruckle WH, 1973. FK spaces in which the sequence of coordinate vectors is bounded. Canad. J. Math., 973-978.