Ruang Vektor. Adri Priadana. ilkomadri.com

Ruang

Vektor

Adri Priadana

ilkomadri.com

MEDAN SKLAR

Misalkan diketahui bahwa K adalah himpunan, dan didefinisikan 2 buah operasi penjumlahan (+) dan perkalian (*). Maka K dikatakan medan skalar jika dipenuhi 10 aksioma berikut:

1. Untuk setiap α, β  K maka α + β  K dan α * β  K

2. Untuk setiap α, β, γ  K maka (α + β) + γ = α + ( β + γ )

3. Terdapat 0  K disebut elemen nol, sedemikian sehingga 0 + α = α + 0 = α, untuk setiap α  K

4. Untuk masing-masing α  K, terdapat – α  K disebut negatif dari α sedemikian sehingga

(-α) + α = α + (-α) = 0

5. Untuk setiap α, β  K maka α + β = β + α

MEDAN SKLAR

6. Untuk setiap α, β, γ  K maka (α * β) * γ = α * ( β * γ )

7. Untuk setiap α, β, γ  K

a. α * ( β + γ ) = α * β + α * γ

b. ( β + γ ) * α = β * α + γ * α

8. Untuk setiap α, β  K maka α * β = β * α

9. Terdapat 1  K disebut elemen satuan, sedemikian sehingga 1 * α = α * 1, untuk setiap α  K

10. Untuk masing-masing α ≠ 0  K, terdapat α^-1  K disebut invers dari α sedemikian sehingga

α^-1 * α = α * α^-1 = 1

Dalam hal ini semua anggota dari Field adalah skalar

MEDAN SKLAR

Contoh

Himpunan bilangan riil R adalah medan skalar terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.

Berikut adalah pembuktiannya : misal 1, 2, 3  R

1. 1 + 2 = 3, 3  R dan 1 * 2 = 2, 2  R

2. (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) => 6 = 6

3. Elemen 0 dari R adalah “0”, dan 0 + 1 = 1 + 0 = 1, dimana 1  R

4. (-1) + 1 = 1 + (-1) = 0

5. 1 + 2 = 2 + 1

MEDAN SKLAR

6. (1 * 2)*3 = 1*(2*3) => 6 = 6

7. Untuk setiap 1, 2, 3  R

a. 1 * ( 2 + 3 ) = 1 * 2 + 1 * 3 => 6 = 6

b. ( 2 + 3 ) * 1 = 2 * 1 + 3 * 1 => 6 = 6

8. 1 * 2 = 2 * 1 => 2 = 2

9. Elemen “1” dari R adalah “1”, dan 1*1 = 1*1 = 1

10. 1^-1 * 1 = 1 * 1^-1 = 1

Tidak hanya pada 1, 2, 3, semua bagian dari R harus terpenuhi semua aksioma tersebut agar dapat dikatakan medan skalar.

RUANG VEKTOR

Ada 8 syarat agar V (himpunan vektor) disebut sebagai ruang vektor, yaitu:

1. Jika vektor-vektor u, v  V , maka vektor u + v

 V dan jika α  K , maka α u  V

2. Jika vektor-vektor u, v, w  V, maka (u + v) + w = u + (v + w)

3. Untuk setiap u, v  V dan α  K maka α * (u + v)

= α*u + α*v

4. Ada 0  V (vektor 0) sehingga 0 + u = u + 0, untuk semua u  V

RUANG VEKTOR

5. Untuk semua u  V terdapat - u  V sehingga u + (-u) = 0

6. Untik setiap u, v  V , maka u + v = v + u

7. Untuk setiap u, v  V dan α , β  K berlaku

a.

(α + β) * u = α*u + β*u

b.

(α β) * u = α (β*u)

8. Untuk setiap u  V berlaku 1 * u = u , dimana 1 adalah elemen satuan dari K

RUANG VEKTOR

Contoh

Terdapat himpunan vektor V = { [1, 2, 3] , [2, 3, 4], [3, 5, 7], [2, 6, 12] } dan himpunan skalar R {1, 2, 3}

. Apakah himpunan vektor V adalah ruang vektor?

Jawab

untuk membuktikannya harus dicari apakah himpunan vektor tersebut memenuhi aksioma

1. u + v  V

[1, 2, 3] + [3, 5, 7] = [4, 7, 10]

karena [4, 7, 10] ∉ V , aksioma pertama tidak terpenuhi

maka himpunan vektor tersebut bukan ruang vektor

R UANG BAGIAN ( ^SUBSPACE )

•

Ruang bagian atau sub ruang vektor adalah sebenarnya ruang vektor juga, namun dengan syarat-syarat khusus

•

Jika W adalah sekumpulan dari satu vektor atau lebih dari ruang vektor V, maka W disebut

sebagai sub ruang V, jika dan hanya jika kedua kondisi di bawah ini berlaku :

1.

W ≠ Ø (W tidak kosong) atau W ≠ { }

2.

Untuk setiap u, v  W maka u + v  W

3.

Untuk setiap u  W dan α  K , maka αu  W

R UANG BAGIAN ( ^SUBSPACE )

Contoh

Apakah ruang nol, O, merupakan sub ruang? O = {0}

Jawab

Bukti:

1. Ada 0 ∈ O, jadi O ≠ ∅

2. Ambil u, v ∈ O, berarti u = 0 dan v = 0,

akibatnya u + v = 0 + 0 = 0, jadi u + v

∈ O

3. Ambil u ∈ O, berarti u = 0, akibatnya ku = k0 = 0, jadi ku ∈ O

Jadi O merupakan sub ruang dari setiap ruang vektor yang melingkupinya.

VEKTOR YANG BEBAS LINIER DAN BERGANTUNG LINIER

• Himpunan m buah vektor {u₁, u₂, ..., u_m } disebut bergantung linier (linearly dependent) bila

terdapat skalar-skalar λ₁, λ₂, ..., λ_m yang tidak semuanya nol sedemikian rupa sehingga :

λ₁ u₁ + λ₂ u₂ + ... + λ_m u_m = 0 (0 adalah vektor nol)

Sebaliknya, himpunan vektor {u₁, u₂, ..., u_m}

disebut bebas linier (linearly independent) jika λ₁ u₁ + λ₂ u₂ + ... + λ_m u_m = 0

hanya dipenuhi oleh λ₁ = λ₂ = ... = λ_m = 0

VEKTOR YANG BEBAS LINIER DAN BERGANTUNG LINIER

Contoh

Selidiki apakah

1. a = [8, 18, 13], b = [1, 3, 2] , c = [2, 4, 3]

2. a = [2, 3] dan b [7, 1]

bebas linier atau bergantung linier?

1. λ₁ [8, 18, 13] + λ₂ [1, 3, 2] + λ₃ [2, 4, 3] = 0 Misalnya λ₁ = 1, λ₂ = -2, λ₃ = -3, maka persamaan tersebut menjadi

1 [8, 18, 13] - 2 [1, 3, 2] - 3 [2, 4, 3] = 0 karena ada λ yang ≠ 0, maka ketiga vektor

tersebut bergantung linier

VEKTOR YANG BEBAS LINIER DAN BERGANTUNG LINIER

2.

Untuk a = [2, 3] dan b [7, 1] maka λ

₁

[2, 3] + λ

₂

[7, 1] = 0 sehingga

2 λ

₁

+ 7 λ

₂

= 0 3 λ

₁

+ 1 λ

₂

= 0

persamaan tersebut hanya dipenuhi bila λ

₁

= 0

dan λ

₂

= 0. Jadi vektor tersebut bebas linier.

KOMBINASI LINIER

•

Suatu vektor v dikatakan kombinasi liner dari himpunan vektor {u

₁

, u

₂

, ..., u

_m

} bila terdapat skalar-skalar λ

₁

, λ

₂

, ..., λ

_m

sedemikian hingga

v = λ

₁

u

₁

+ λ

₂

u

₂

+ ... + λ

_m

u

_m

KOMBINASI LINIER

Contoh

1.

Apakah a = [5, 15, 16] merupakan kombinasi linier dari b = [3, 3, 2] dan c = [1, 6, 7]

2.

Apakah a = [5, 3] merupakan kombinasi linier

dari b = [4, 3] dan c = [3, 7]

KOMBINASI LINIER

Jawab

Kita akan menyatakan a sebagai kombinasi linier dari b dan c

1.

Kita hitung λ

₁

dan λ

₂

yang memenuhi

[5, 15, 16] = λ

₁

[3, 3, 2] + λ

₂

[1, 6, 7]

 5 = 3λ₁ + λ₂

 15 = 3λ₁ + 6λ₂

 16 = 2λ₁ + 7λ₂

Dengan subtitusi, diperoleh λ₁ = 1 dan λ₂ = 2, jadi a merupakan kombinasi linier dari b dan c, dimana komposisi a = b + 2c

KOMBINASI LINIER

2.

Kita hitung λ

₁

dan λ

₂

yang memenuhi [5, 3] = λ

₁

[4, 3] + λ

₂

[3, 7]

 5 = 4λ₁ + 3λ₂

 3 = 3λ₁ + 7λ₂

Dengan subtitusi, tidak diperoleh nilai λ₁ dan λ₂ yang memenuhi. Jadi a bukan kombinasi linier dari b dan c.

RENTANGAN ( ^SPAN )

•

Misalkan S = {v

₁

, v

₂

, ..., v

_k

} adalah himpunan vektor dalam ruang vektor real V dan span (S), adalah himpunan yang berisi semua vektor

kombinasi linier dari v

₁

, v

₂

, ..., v

_k

, yaitu

span (S) = {c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_kv_k | c₁, c₂, c₃, ..., c_k  R }

jika span (S) = V , maka dikatakan bahwa V dibangun / dibentuk oleh S atau S membentuk V

RENTANGAN ( ^SPAN )

Contoh

Tentukan apakah v

₁

=(-2,1,2), v

₂

=(0,1,3), v

₃

=(-1,0,1) span dari ruang vektor R

³

Jawab :

Untuk menentukan span di ruang vektor R

³

, maka dicari kemungkinan setiap vektor di ruang R

³

adalah kombinasi linier dari v

₁

, v

₂

dan v

₃

. Misalkan vektor a = ( a

₁

, a

₂

, a

₃

) di ruang vektor R

³

, maka a dapat ditulis

sebagai kombinasi linier dari v

₁

,v

₂

,dan v

₃

RENTANGAN ( ^SPAN )

Agar supaya ada nilai k

₁

, k

₂

dan k

₃

, maka matrik 3 x 3 tersebut harus mempunyai invers atau

determinan tidak boleh sama dengan nol . Karena determinan matrik tersebut adalah -3, maka k

₁

, k

₂

dan k

₃

didapatkan. Jadi disimpulkan bahwa v

₁

, v

₂

dan v

₃

merupakan span dari ruang vektor R

³

1 1 1

2 1 2 3 2 2

3 3 3

-2 0 -1 -2 0 -1

1 1 0 1 1 0

2 3 1 2 3 1

a a k

a k k k a k

a a k

             

                  

             

                

     

BASIS DAN DIMENSI

Vektor-vektor v

₁

, v

₂

, ..., v

_k

dalam ruang vektor V dikatakan membentuk basis dimensi V, jika

1.

v

₁

, v

₂

, ..., v

_k

membangun V atau span (v

₁

, v

₂

, ..., v

_k

) = V

2.

v

₁

, v

₂

, ..., v

_k

adalah bebas linier

Dimensi dari ruang vektor V adalah jumlah vektor- vektor yang membentuk basis pada V

BASIS DAN DIMENSI

Contoh

Tentukan apakah vektor V = {a, b, c} basis dalam R³ dan tentukan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh:

1. a = [2, 3, 6] , b = [5, 7, 2] , c = [7, 10, 8]

2. a = [1, 3, 5] , b = [2, -3, 1] , c = [-3, 0, 1]

BASIS DAN DIMENSI

Jawab

1. λ₁ [2, 3, 6] + λ₂ [5, 7, 2] + λ₃ [7, 10, 8] = 0 Misalnya λ₁ = 1, λ₂ = 1, λ₃ = -1, maka persamaan tersebut menjadi

1 [2, 3, 6] + 1 [5, 7, 2] - 1 [7, 10, 8] = 0 karena ada λ yang ≠ 0, maka ketiga vektor tersebut bergantung linier dan vektor a, b, c bukan basis dalam R³ dan dimensi ruang vektor V adalah 2, (c = a + b) -> {a, b} bebas linier karena tidak berkelipatan.

BASIS DAN DIMENSI

2. λ₁ [1, 3, 5] + λ₂ [2, -3, 1] + λ₃ [-3, 0, 1] = 0 sehingga

[1, 3, 5] + [2, -3, 1] + [-3, 0, 1] = [0 , 0, 0]

maka

λ₁ + 2λ₂ - 3λ₃ = 0, 3λ₁ - 3λ₂ = 0,

5λ₁ + λ₂ + λ₃ = 0

persamaan kedua menyebabkan λ₁ = λ₂, kalau hasil ini disubstitusikan ke persamaan pertama

menyebabkan λ₁ = λ₂ = λ₃. Karena tidak ada λ yang ≠ 0, maka ketiga vektor tersebut bebas linier.

BASIS DAN DIMENSI

2. a = [1, 3, 5] , b = [2, -3, 1] , c = [-3, 0, 1]

Jika kita jadikan matriks

dari matrik tersebut didapatkan determinan yaitu - 99

maka kedua syarat terpenuhi sehingga vektor a, b, c basis dalam R³ dan dimensi ruang vektor V adalah 3.

1 2 -3

3 -3 0

5 1 1

Matur Nuwun 