RUANG VEKTOR EUCLID. Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia

RUANG

VEKTOR

EUCLID

Departemen Matematika Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia

By Jorge Stolvi, Public Domain,

3.3

KEORTOGONALAN

3

Sub-Capaian Pembelajaran Mata Kuliah

Mampu menjelaskan konsep ruang vektor 𝑅𝑛 (C2)

4

MATERI

Vektor Ortogonal

Garis & Bidang

Proyeksi Ortogonal

Vektor Ortogonal

• Ingat kembali sudut antara dua vektor 𝐮 dan 𝐯 di 𝑅𝑛 didefinisikan oleh

𝜃 = cos−1 𝐮 ∙ 𝐯

𝐮 𝐯

• Dari rumus ini diperoleh:

𝜃 = 𝜋

2 jika dan hanya jika 𝐮 ∙ 𝐯 = 0

Definisi 1

6

•

Dua vektor tak nol

𝐮

dan

𝐯

di

𝑅

𝑛

dikatakan

ortogonal

(atau

tegak

lurus

) jika

𝐮 ∙ 𝐯 = 0

.

•

Vektor nol di

𝑅

𝑛

ortogonal ke setiap

vektor di

𝑅

𝑛

.

Contoh 1

7

a) Tunjukkan vektor 𝐮 = −2,3,1,4 dan 𝐯 = 1,2,0, −1 adalah ortogonal di 𝑅4.

b) Misalkan 𝑆 = 𝐢, 𝐣, 𝐤 adalah himpunan vektor satuan standar di 𝑅3. Tunjukkan setiap pasang vektor di 𝑆 adalah ortogonal.

Solusi.

a) Karena 𝐮 ∙ 𝐯 = −2 1 + 3 2 + 1 0 + 4 −1 = 0 maka 𝐮

orthogonal terhadap 𝐯.

Dalam geometri analitik, telah dipelajari bahwa

• Garis di 𝑅2 ditentukan secara tunggal oleh kemiringan dan satu titik di garis.

• Bidang di 𝑅3 ditentukan secara tunggal oleh “inklinasi” dan satu titik di bidang.

• Salah satu cara menentukan kemiringan dan inklinasi adalah

menggunakan vektor tak nol 𝐧 yang disebut normal, yaitu vektor yang tegak lurus garis atau bidang yang dicari.

Garis dan Bidang

9

Persamaan Titik-Normal

Garis

• Misalkan garis melalui 𝑃₀ 𝑥₀, 𝑦₀ dan memiliki normal 𝐧 = 𝑎, 𝑏 . Persamaan vektor garis adalah

𝐧 ∙ 𝑃₀𝑃 = 0 (*) dengan 𝑃 𝑥, 𝑦 adalah sembarang titik di garis.

Komponen vektor 𝑃₀𝑃 = 𝑥 − 𝑥₀, 𝑦 − 𝑦₀ . Maka persamaan (*) dapat ditulis sebagai

𝐧 ∙ 𝑃₀𝑃 = 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑥 − 𝑥₀, 𝑦 − 𝑦₀ = 𝑎 𝑥 − 𝑥₀ + 𝑏 𝑦 − 𝑦₀ = 0

• Persamaan 𝑎 𝑥 − 𝑥₀ + 𝑏 𝑦 − 𝑦₀ = 0 disebut persamaan titik-normal garis.

Persamaan Titik-Normal

Bidang

10

• Misalkan garis melalui 𝑃₀ 𝑥₀, 𝑦₀, 𝑧₀ dan memiliki normal 𝐧 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 . Persamaan vektor bidang adalah

𝐧 ∙ 𝑃₀𝑃 = 0

dengan 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 adalah sembarang titik di bidang.

Komponen vektor 𝑃₀𝑃 = 𝑥 − 𝑥₀, 𝑦 − 𝑦₀, 𝑧 − 𝑧₀ . Maka persamaan (*) dapat ditulis sebagai

𝐧 ∙ 𝑃₀𝑃 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∙ 𝑥 − 𝑥₀, 𝑦 − 𝑦₀, 𝑧 − 𝑧₀ = 𝑎 𝑥 − 𝑥₀ + 𝑏 𝑦 − 𝑦₀ + 𝑐 𝑧 − 𝑧₀ = 0

• Persamaan 𝑎 𝑥 − 𝑥₀ + 𝑏 𝑦 − 𝑦₀ + 𝑐 𝑧 − 𝑧₀ = 0 disebut persamaan titik-normal bidang.

Contoh 2. Persamaan Titik Normal

11

a) Persamaan titik-normal garis yang melalui titik 𝑃₀ 3, −7 yang memiliki normal 𝐧 = 6,1 adalah

6 𝑥 − 3 + 𝑦 + 7 = 0

b) Persamaan titik-normal bidang yang melalui titik 𝑃₀ 3,0,7 yang memiliki normal 𝐧 = 4,2, −5 adalah

Teorema 1

12

a) Jika 𝑎 dan 𝑏 konstanta yang tak keduanya nol, maka persamaan berbentuk

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

menyatakan garis di 𝑅2 dengan normal 𝐧 = 𝑎, 𝑏 .

b) Jika 𝑎, 𝑏 dan 𝑐 konstanta yang tak semuanya nol, maka persamaan berbentuk

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0

Contoh 3a.

Vektor Ortogonal ke Garis dan Bidang Melalui Titik

Awal

13

Persamaan

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0

menyatakan garis melalui titik awal di

𝑅

2

. Tunjukkan vektor

𝐧

₁

= 𝑎, 𝑏

dari koefisien persamaan

adalah ortogonal ke garis, yaitu ortogonal ke setiap vektor

sepanjang garis.

Solusi

.

𝑎, 𝑏 ∙ 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0

atau

𝐧

₁

∙ 𝑥, 𝑦 = 0

.

Contoh 3b.

Vektor Ortogonal ke Bidang Melalui Titik Awal

14

Persamaan

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0

menyatakan bidang melalui titik

awal di

𝑅

3

. Tunjukkan vektor

𝐧

₂

= 𝑎, 𝑏, 𝑐

dari koefisien

persamaan adalah ortogonal ke bidang, yaitu ortogonal ke

setiap vektor sepanjang bidang.

Solusi

.

𝑎, 𝑏, 𝑐 ∙ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0

atau

𝐧

₂

∙ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0

.

Ini artinya

𝐧

₂

ortogonal ke setiap vektor

𝑥, 𝑦, 𝑧

di bidang.

Bentuk Vektor Garis/Bidang Melalui Titik

Asal

15

• Persamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0 dan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0 disebut

persamaan homogen.

• Persamaan homogen ini dapat ditulis dalam bentuk vektor:

𝐧 ∙ 𝐱 = 0

dengan 𝐧 vektor koefisien dan 𝐱 sembarang vektor.

• Di 𝑅2 disebut bentuk vektor garis melalui titik asal

Proyeksi

Ortogonal

Proyeksi Ortogonal

Pada aplikasi, seringkali vektor 𝐮 didekomposisi ke dalam jumlahan dua suku

• Satu suku adalah kelipatan skalar vektor tak nol tertentu 𝐚

18

Dekomposisinya adalah sebagai berikut

– Jatuhkan secara tegak lurus ujung 𝐮 ke garis melalui 𝐚

– Konstruksi vektor 𝐰1 dari 𝑄 ke titik tegak lurus

– Konstruksi vektor 𝐰₂ = 𝐮 − 𝐰₁. Karena

𝐰₁ + 𝐰₂ = 𝐰₁ + 𝐮 − 𝐰₁ = 𝐮

Maka 𝐮 telah didekomposisi menjadi jumlahan dua vektor yang ortogonal, suku pertama adalah kelipatan skalar dari 𝐚, suku kedua orthogonal terhadap 𝐚.

Misalkan 𝐮 dan 𝐚 adalah vektor di 𝑅2 yang diletakkan hingga titik awalnya bersatu di satu titik 𝑄.

Teorema 2. Teorema Proyeksi

Jika 𝐮 dan 𝐚 adalah vektor di 𝑅𝑛, dan jika 𝐚 ≠ 0, maka 𝐮 dapat dinyatakan dengan tepat satu cara dalam bentuk

𝐮 = 𝐰₁ + 𝐰₂

Bukti Teorema 2

20

Karena vektor 𝐰₁ adalah kelipatan skalar dari 𝐚 maka memiliki bentuk

(1) 𝐰₁ = 𝑘𝐚

Tujuan kita adalah mencari skalar 𝑘 dan vektor 𝐰₂

sehingga ortogonal ke 𝐚 sehingga

(2) 𝐮 = 𝐰₁ + 𝐰₂

Gunakan (1) kemudian tulis kembali (2)

𝐮 = 𝐰₁ + 𝐰₂ = 𝑘𝐚 + 𝐰₂

Aplikasikan sifat aljabar hasil kali titik (Bab 3.2) untuk mendapatkan

Bukti Teorema 2

21

Karena 𝐰₂ harus ortogonal ke 𝐚 maka suku terakhir (3) haruslah nol, dan karena 𝑘 harus memenuhi persamaan maka,

𝐮 ⋅ 𝐚 = 𝑘 𝐚 2

Sehingga diperoleh,

𝑘 = 𝐮 ⋅ 𝐚 𝐚 2

yang merupakan satu-satunya nilai yang mungkin untuk 𝑘. Tulis kembali (2) untuk 𝐰₂,

𝐰₂ = 𝐮 − 𝐰₁ = 𝐮 − 𝑘𝐚 = 𝐮 − 𝐮 ⋅ 𝐚 𝐚 2 𝐚

Lalu buktikan 𝐰₂ ortogonal ke 𝐚 dengan menghitung

22

Catatan

Vektor 𝐰₁ dan 𝐰₂ pada teorema biasa disebut:

• 𝐰₁ disebut proyeksi ortogonal 𝐮 pada 𝐚 atau komponen vektor 𝐮 sepanjang 𝐚

dan dinotasikan: proy_𝐚𝐮

• 𝐰₂ disebut komponen vektor 𝐮 ortogonal pada 𝐚 dan dinotasikan: 𝐰₂ = 𝐮 − proy_𝐚𝐮

• Komponen vektor 𝐮 sepanjang 𝐚

proy_𝐚𝐮 = 𝐮 ∙ 𝐚 𝐚 𝟐 𝐚

• Komponen vektor 𝐮 ortogonal pada 𝐚

𝐮 − proy_𝐚𝐮 = 𝐮 − 𝐮 ∙ 𝐚 𝐚 𝟐 𝐚

Contoh 4

23

Carilah proyeksi ortogonal vektor 𝐞₁ = 1,0 dan 𝐞₂ = 0,1 pada garis

𝐿 yang membentuk sudut 𝜃 dengan sumbu-𝑥 positif di 𝑅2. Solusi

Sesuai gambar, 𝐚 = cos 𝜃 , sin 𝜃 adalah vektor satuan sepanjang garis

𝐿. Mula-mula cari proyeksi ortogonal 𝐞₁ sepanjang 𝐚. Karena

𝐚 = sin2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1

dan 𝐞₁ ⋅ 𝐚 = 1,0 ⋅ cos 𝜃 , sin 𝜃 = cos 𝜃, maka

proy_𝐚𝐞₁ = 𝐞1 ∙ 𝐚

𝐚 𝟐 𝐚 = cos 𝜃 cos 𝜃 , sin 𝜃 = cos

2 _{𝜃 , sin 𝜃 cos 𝜃}

Serupa dengan ini, karena 𝐞₂ ⋅ 𝐚 = 0,1 ⋅ cos 𝜃 , sin 𝜃 = sin 𝜃, maka

proy_𝐚𝐞₂ = 𝐞2∙𝐚

𝐚 𝟐 𝐚 = sin 𝜃 cos 𝜃 , sin 𝜃 = sin 𝜃 cos 𝜃 , sin 2 _𝜃

Contoh 5

24

Misalkan 𝐮 = (2,1, −3) dan 𝐚 = (4, −1,2). Carilah komponen vektor

𝐮 sepanjang 𝐚 dan komponen 𝐮 yang ortogonal pada 𝐚

Solusi.

𝐮 ∙ 𝐚 = 2 4 + 1 −1 + −3 2 = 15

𝐚 2 = 42 + −1 2 + 22 = 21

Maka komponen vektor 𝐮 sepanjang 𝐚 adalah

proy_𝐚𝐮 = 𝐮 ∙ 𝐚 𝐚 𝟐 𝐚 = 15 21 4, −1,2 = 20 7 ,− 5 7, 10 7

dan komponen 𝐮 yang ortogonal pada 𝐚

𝐮 − proy_𝐚𝐮 = 𝐮 − 𝐮 ∙ 𝐚 𝐚 𝟐 𝐚 = 2,1, −3 − 20 7 ,− 5 7, 10 7 = − 6 7, − 2 7, 11 7

Norm Komponen Vektor

𝐮

Sepanjang

𝐚

Rumus norm diturunkan sebagai berikut

proy_𝐚𝐮 = 𝐮 ∙ 𝐚 𝐚 𝟐 𝐚 = 𝐮 ∙ 𝐚 𝐚 𝟐 𝐚 = 𝐮 ∙ 𝐚 𝐚 𝟐 𝐚 Jadi, proy_𝐚𝐮 = 𝐮 ∙ 𝐚 𝐚

Jika 𝜃 adalah sudut antara 𝐮 dan 𝐚, maka 𝐮 ∙ 𝐚 = 𝐮 𝒂 cos 𝜃, maka,

26

Interpretasi Geometri dari Norm

Komponen Vektor

𝐮

Sepanjang

𝐚

Untuk 0 ≤ 𝜃 < 𝜋

2

Untuk 𝜋

Teorema 3. Teorema Phytagoras di

𝑅

𝑛

27

Jika 𝐮 dan 𝐯 adalah vektor ortogonal di 𝑅𝑛 dengan hasil kali dalam Euclidean, maka

𝐮 + 𝐯 2 = 𝐮 2 + 𝐯 2

BUKTI.

Karena 𝐮 dan 𝐯 adalah orthogonal, maka 𝐮 ⋅ 𝐯 = 0. Sehingga diperoleh,

𝐮 + 𝐯 2 = 𝐮 + 𝐯 ⋅ 𝐮 + 𝐯

= 𝐮 2 + 2 𝐮. 𝐯 + 𝐯 2