Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3

(1)

Ruang Vektor Euclid R

²

dan R

³

Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016

MZI

Fakultas Informatika Telkom University

FIF Tel-U

September 2015

MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R2 dan R3 September 2015 1 / 116

(2)

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:

1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014,olehAdiwijaya.

2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010,olehH. Anton dan C. Rorres.

3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom UniversityolehJondri.

4 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UIolehKasiyah M. Junus dan Siti Aminah.

5 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UIolehL. Y. Stefanus.

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke<pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.

(3)

Bahasan

1 Vektor di Sekolah Menengah

2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya

3 Dasar-dasar Aljabar Vektor

4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R² dan R³

5 Vektor-vektor Basis Standar di R² dan R³

6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R² dan R³

7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R² dan R³

8 Proyeksi Ortogonal

9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R³

10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R³

11 Latihan

(4)

Vektor di Sekolah Menengah

Bahasan

(5)

Vektor di Sekolah Menengah: Operasi Aritmetika

Latihan

Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua titik di R², yaitu P₁(3; 5) dan P₂( 1; 2). Jika ~u =P₁P!₂dan ~v =P₂!P₁, tentukan:

1 ~u

2 ~v

3 3~u

4 4~v

5 1

2(~u + 4~v) ( 2~v + ~u) +¹₂~u

(6)

Solusi:

1 ~u =P₁P!₂= ( 1 3; 2 ( 5)) = ( 4; 3).

2 ~v = !

P2P1= (3 ( 1) ; 5 ( 2)) = (4; 3)

3 3~u = 3 ( 4; 3) = ( 12; 9)

4 4~v = 4 (4; 3) = ( 16; 12).

5 1

2(~u + 4~v) ( 2~v + ~u) +¹₂~u = ¹₂~u + 2~v + 2~v ~u +¹₂~u =

1

2~u + ¹₂~u ~u + 2~v + 2~v = 4~v = 4 (4; 3) = (16; 12).

(7)

Solusi:

1 ~u =P₁P!₂= ( 1 3; 2 ( 5)) = ( 4; 3).

2 ~v = !

P2P1= (3 ( 1) ; 5 ( 2)) = (4; 3)

3 3~u = 3 ( 4; 3) = ( 12; 9)

4 4~v = 4 (4; 3) = ( 16; 12).

5 1

2(~u + 4~v) ( 2~v + ~u) +¹₂~u = ¹₂~u + 2~v + 2~v ~u +¹₂~u =

1

2~u + ¹₂~u ~u + 2~v + 2~v = 4~v = 4 (4; 3) = (16; 12).

(8)

Solusi:

1 ~u =P₁P!₂= ( 1 3; 2 ( 5)) = ( 4; 3).

2 ~v = !

P2P1= (3 ( 1) ; 5 ( 2)) = (4; 3)

3 3~u = 3 ( 4; 3) = ( 12; 9)

4 4~v = 4 (4; 3) = ( 16; 12).

5 1

2(~u + 4~v) ( 2~v + ~u) +¹₂~u = ¹₂~u + 2~v + 2~v ~u +¹₂~u =

1

2~u + ¹₂~u ~u + 2~v + 2~v = 4~v = 4 (4; 3) = (16; 12).

(9)

Solusi:

1 ~u =P₁P!₂= ( 1 3; 2 ( 5)) = ( 4; 3).

2 ~v = !

P2P1= (3 ( 1) ; 5 ( 2)) = (4; 3)

3 3~u = 3 ( 4; 3) = ( 12; 9)

4 4~v = 4 (4; 3) = ( 16; 12).

5 1

2(~u + 4~v) ( 2~v + ~u) +¹₂~u = ¹₂~u + 2~v + 2~v ~u +¹₂~u =

1

2~u + ¹₂~u ~u + 2~v + 2~v = 4~v = 4 (4; 3) = (16; 12).

(10)

Solusi:

1 ~u =P₁P!₂= ( 1 3; 2 ( 5)) = ( 4; 3).

2 ~v = !

P2P1= (3 ( 1) ; 5 ( 2)) = (4; 3)

3 3~u = 3 ( 4; 3) = ( 12; 9)

4 4~v = 4 (4; 3) = ( 16; 12).

5 1

2(~u + 4~v) ( 2~v + ~u) +¹₂~u = ¹₂~u + 2~v + 2~v ~u +¹₂~u =

1

2~u + ¹₂~u ~u + 2~v + 2~v = 4~v = 4 (4; 3) = (16; 12).

(11)

Solusi:

1 ~u =P₁P!₂= ( 1 3; 2 ( 5)) = ( 4; 3).

2 ~v = !

P2P1= (3 ( 1) ; 5 ( 2)) = (4; 3)

3 3~u = 3 ( 4; 3) = ( 12; 9)

4 4~v = 4 (4; 3) = ( 16; 12).

5 1

2(~u + 4~v) ( 2~v + ~u) +¹₂~u = ¹₂~u + 2~v + 2~v ~u +¹₂~u =

1

2~u + ¹₂~u ~u + 2~v + 2~v = 4~v = 4 (4; 3) = (16; 12).

(12)

Vektor di Sekolah Menengah: Jarak dan Panjang

Latihan (Jarak dan Panjang di R

²

)

Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua titik di R², yaitu P₁(3; 5) dan P₂( 1; 2). Tentukan

1 Jarak dari P1 ke P2.

2 Panjang vektorP2P!1

Latihan (Jarak dan Panjang di R

³

)

Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua titik di R³, yaitu

P1(1; 1; 3) dan P2( 2; 1; 1). Tentukan

(13)

Solusi untuk vektor di R²:

1 Misalkan d adalah jarak dari P1 ke P2, maka d =

q

(x (P₂) x (P₁))²+ (y (P₂) y (P₁))²= q

( 1 3)²+ ( 2 ( 5))²= q

( 4)²+ (3)²= 5 satuan.

2 Panjang dari vektor !

P2P1= panjang dari vektor !

P1P2 = jarak dari P1ke P₂, yaitu 5 satuan.

Solusi untuk vektor di R³:

1 Misalkan d adalah jarak dari P₂ ke P₁, maka d =

q

(x (P1) x (P2))²+ (y (P1) y (P2))²+ (z (P1) z (P2))²= q

(1 ( 2))²+ ( 1 ( 1))²+ ( 3 1)²= q

(3)²+ (0)²+ ( 4)²= 5 satuan.

2 Panjang dari vektorP1P!2= panjang dari vektorP2P!1 = jarak dari P2ke P1, yaitu 5 satuan.

(14)

q

(x (P₂) x (P₁))²+ (y (P₂) y (P₁))²= q

( 1 3)²+ ( 2 ( 5))²= q

( 4)²+ (3)²= 5 satuan.

q

(x (P1) x (P2))²+ (y (P1) y (P2))²+ (z (P1) z (P2))²= q

(1 ( 2))²+ ( 1 ( 1))²+ ( 3 1)²= q

(3)²+ (0)²+ ( 4)²= 5 satuan.

(15)

q

(x (P₂) x (P₁))²+ (y (P₂) y (P₁))²= q

( 1 3)²+ ( 2 ( 5))²= q

( 4)²+ (3)²= 5 satuan.

q

(x (P1) x (P2))²+ (y (P1) y (P2))²+ (z (P1) z (P2))²= q

(1 ( 2))²+ ( 1 ( 1))²+ ( 3 1)²= q

(3)²+ (0)²+ ( 4)²= 5 satuan.

(16)

q

(x (P₂) x (P₁))²+ (y (P₂) y (P₁))²= q

( 1 3)²+ ( 2 ( 5))²= q

( 4)²+ (3)²= 5 satuan.

q

(x (P1) x (P2))²+ (y (P1) y (P2))²+ (z (P1) z (P2))²= q

(1 ( 2))²+ ( 1 ( 1))²+ ( 3 1)²= q

(3)²+ (0)²+ ( 4)²= 5 satuan.

(17)

q

(x (P₂) x (P₁))²+ (y (P₂) y (P₁))²= q

( 1 3)²+ ( 2 ( 5))²= q

( 4)²+ (3)²= 5 satuan.

q

(x (P1) x (P2))²+ (y (P1) y (P2))²+ (z (P1) z (P2))²= q

(1 ( 2))²+ ( 1 ( 1))²+ ( 3 1)²= q

(3)²+ (0)²+ ( 4)²= 5 satuan.

(18)

Vektor di Sekolah Menengah: Hasil Kali Titik dan Hasil Kali Silang

Latihan

Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua vektor di R³, yaitu

~

u = (2; 1; 0) dan ~v = (0; 2; 1). Tentukan nilai dari

~

u = (0; 0; 1) dan ~v = (0; 2; 2). Tentukan sudut terkecil antara ~udan ~v.

Solusi:

Kita memiliki hubungan ~u ~v = k~uk k~vk cos , dengan k~uk, k~vk berturut-turut adalah panjang dari vektor ~udan ~v, serta adalah sudut antara vektor ~udan ~v. Akibatnya

cos = ~u ~v

k~uk k~vk = (0; 0; 1) (0; 2; 2) k(0; 0; 1)k k0; 2; 2k

= 2

p0²+ 0²+ 1² p

0²+ 2²+ 2²

= 2

p1p 8 = 2

2p 2 = 1

p2 = 1 2

p2. Jadi

= 45 =

4 rad.

(22)

Vektor di Sekolah Menengah: Sudut antara Dua Vektor

Latihan

~

u = (0; 0; 1) dan ~v = (0; 2; 2). Tentukan sudut terkecil antara ~udan ~v.

Solusi:

Kita memiliki hubungan ~u ~v = k~uk k~vk cos , dengan k~uk, k~vk berturut-turut adalah panjang dari vektor ~udan ~v, serta adalah sudut antara vektor ~udan ~v.

Akibatnya

cos = ~u ~v

k~uk k~vk = (0; 0; 1) (0; 2; 2) k(0; 0; 1)k k0; 2; 2k

= 2

p0²+ 0²+ 1² p

0²+ 2²+ 2²

2 2 1 1p

(23)

Pendahuluan: Vektor dan Notasinya

Bahasan

11 Latihan

(24)

Pendahuluan: Skalar dan Vektor

Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah diperkenalkan dengan istilah besaran skalar dan besaran vektor.

Besaran Skalar

Besaran skalar adalah besaran yang cukup dijelaskan dengan suatu bilangan saja.

Contohnya:

massa, panjang, dan waktu.

Besaran Vektor

Besaran vektor adalah besaran yang memerlukan bilangan dan arah untuk mendeskripsikan secara lengkap besaran tersebut. Contohnya adalah kecepatan, perpindahan, dan gaya.

Di sini kita akan mengkajistruktur aljabar untuk vektordanhimpunan yang anggota-anggotanya adalah vektor.

(25)

Pendahuluan: Skalar dan Vektor

Besaran Skalar

Contohnya: massa, panjang, dan waktu.

Besaran Vektor

Besaran vektor adalah besaran yang memerlukan bilangan dan arah untuk mendeskripsikan secara lengkap besaran tersebut. Contohnya adalah

kecepatan, perpindahan, dan gaya.

Di sini kita akan mengkajistruktur aljabar untuk vektordanhimpunan yang anggota-anggotanya adalah vektor.

(26)

Pendahuluan: Skalar dan Vektor

Besaran Skalar

Contohnya: massa, panjang, dan waktu.

Besaran Vektor

Besaran vektor adalah besaran yang memerlukan bilangan dan arah untuk mendeskripsikan secara lengkap besaran tersebut. Contohnya adalah kecepatan, perpindahan, dan gaya.

Di sini kita akan mengkajistruktur aljabar untuk vektordanhimpunan yang

(27)

Penyajian Vektor

Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda belajar penyajian vektor dalam diagram berikut.

(28)

Kemudian, pada pelajaran Matematika, vektor pada bidang (vektor pada R²) juga dapat disajikan dengan cara berikut.

Pada kuliah ini,kita akan menyajikan vektor dalam bentuk tupel, matriks baris, atau matriks kolom. Jika ditinjau pada bidang, maka suatu vektor ditulis sebagai (a; b). Perlu diingat bahwa (a; b) tidak selalu sama dengan (b; a).

(29)

Kemudian, pada pelajaran Matematika, vektor pada bidang (vektor pada R²) juga dapat disajikan dengan cara berikut.

Pada kuliah ini,kita akan menyajikan vektor dalam bentuk tupel, matriks baris, atau matriks kolom. Jika ditinjau pada bidang, maka suatu vektor ditulis sebagai (a; b). Perlu diingat bahwa (a; b) tidak selalu sama dengan (b; a).

(30)

Vektor dan Notasinya

Suatu vektor ditulis dengan huruf cetak tebal (contoh: vektor a) atau huruf cetak miring dengan anak panah di atasnya (contoh: vektor ~a). Ini dilakukan untuk membedakan skalar dan vektor. VektorAB!menyatakan vektor dengan titik pangkal A dan titik akhir B.

(31)

Lebih Jauh tentang Notasi Vektor I

Secara aljabar, vektor di R²dapat ditulis dalam bentuk pasangan bilangan real (a; b), matriks baris a b , atau matriks kolom a

b . Kita akan cukup sering menggunakan notasi tupel (a; b) dan notasi matriks kolom a

b untuk

menyatakan suatu vektor. Notasi matriks baris a b jarang digunakan, tetapi perlu Anda ketahui.

(32)

Lebih Jauh tentang Notasi Vektor II

(33)

Lebih Jauh tentang Notasi Vektor III

(34)

Lebih Jauh tentang Notasi Vektor IV

Pada suatu vektor ~a = a = (a1; a2) yang ditinjau pada bidang (ditinjau pada R²), a1 dan a₂ keduanya adalah bilangan real.

Kita katakan a₁sebagai komponen pertama (atau komponen x) dari ~a dan a₂ sebagai komponen kedua (atau komponen y) dari ~a. Secara serupa, jika

~a = a = (a₁; a₂; a₃) 2 R³, maka a₁adalah komponen pertama (atau komponen x) dari ~a, a2 adalah komponen kedua (atau komponen y) dari ~a, dan a3 adalah komponen ketiga (atau komponen z) dari ~a.

(35)

Dasar-dasar Aljabar Vektor

Bahasan

11 Latihan

(36)

Kesamaan Vektor Secara Fisik

Secara intuitif,dua (atau lebih) vektor dikatakan sama bila besar dan arahnya sama(meskipun titik pangkal dan titik akhirnya mungkin berbeda).

(37)

Kesamaan Vektor Secara Geometris

Secara geometris, dua (atau lebih) vektor dikatakan sama ketika panjang dan arah dari vektor-vektor tersebut sama, tidak tergantung pada posisinya di sistem koordinat.

-4 -2 2 4

x y

Semua vektor yang ada pada gambar di atas adalah vektor yang sama, yaitu vektor (1; 2).

(38)

Kesamaan Vektor Secara Geometris

Secara geometris, dua (atau lebih) vektor dikatakan sama ketika panjang dan arah dari vektor-vektor tersebut sama, tidak tergantung pada posisinya di sistem koordinat.

-4 -2 2 4

x

y

(39)

Kesamaan Dua Vektor Secara Aljabar

Kesamaan Dua Vektor

Dua vektor ~a dan ~b sama, ditulis dengan ~a = ~b jika dan hanya jika komponen-komponen yang bersesuaian sama.

Diberikan dua vektor di R², yaitu ~a = (a₁; a2) dan ~b = (b1; b2), maka

~a = ~b , (a1= b₁) ^ (a2= b₂) .

Diberikan dua vektor di R³, yaitu ~a = (a₁; a₂; a₃) dan ~b = (b₁; b₂; b₃), maka

~a = ~b , (a¹= b1) ^ (a²= b2) ^ (a³= b3) .

(40)

Penjumlahan Vektor Secara Geometris

Dua buah vektor yang berada di ruang yang sama dapat dijumlahkan.

(41)

Sifat Komutatif Penjumlahan Vektor

Penjumlahan dua vektor di R² maupun R³mengikuti hukum paralelogram (hukum jajar genjang). Akibatnya penjumlahan vektor bersifat komutatif, yaitu v+ w = w + v untuk setiap vektor v dan w yang ada di ruang yang sama.

(42)

Sifat Asosiatif Penjumlahan Vektor

Penjumlahan dua vektor di R² maupun R³bersifat asosiatif. Jika u, v, dan w adalah tiga vektor di ruang yang sama, maka (u + v) + w = u + (v + w).

(43)

Penjumlahan Vektor Secara Aljabar

Penjumlahan Vektor

Diberikandua vektor ~a dan ~b pada ruang yang sama,suatu vektor ~c merupakan hasil penjumlahan dua vektor ~a dan ~b, ditulis dengan~a + ~b, bila

komponen-komponen vektor ~c diperoleh dengan menjumlahkan komponen vektor

~adan ~b yang bersesuaian.

Diberikan ~a = (a₁; a₂) dan ~b = (b₁; b₂). Jika ~c = (c₁; c₂) dan ~c = ~a + ~b, maka c₁= a₁+ b₁ dan c₂= a₂+ b₂. Kita dapat menulisnya sebagai

(a1; a2) + (b1; b2) = (a1+ b1; a2+ b2) a₁

a₂ + b₁

b₂ = a₁+ b₁ a₂+ b₂ Hal serupa juga berlaku untuk vektor di R³.

(44)

Penjumlahan Vektor Secara Aljabar

Penjumlahan Vektor

Diberikandua vektor ~a dan ~b pada ruang yang sama,suatu vektor ~c merupakan hasil penjumlahan dua vektor ~a dan ~b, ditulis dengan~a + ~b, bila

komponen-komponen vektor ~c diperoleh dengan menjumlahkan komponen vektor

~adan ~b yang bersesuaian.

Diberikan ~a = (a₁; a₂) dan ~b = (b₁; b₂). Jika ~c = (c₁; c₂) dan ~c = ~a + ~b, maka c₁= a₁+ b₁ dan c₂= a₂+ b₂. Kita dapat menulisnya sebagai

(a1; a2) + (b1; b2) = (a1+ b1; a2+ b2) a₁

a₂ + b₁

b₂ = a₁+ b₁ a₂+ b₂

(45)

Dari de…nisi penjumlahan vektor secara aljabar, jelas bahwa penjumlahan vektor bersifat komutatif dan asosiatif. Sebagai ilustrasi, di R² kita memiliki

a1

a2 + b1

b2 = a1+ b1

a2+ b2

= b1+ a1

b2+ a2 = b1

b2 + a1

a2 . Dan juga

a1

a2 + b1

b2 + c1

c2 = a1+ b1

a2+ b2 + c1

c2

= a1+ b1+ c1

a2+ b2+ c2

= a1

a2 + b1+ c1

b2+ c2

= a₁

a₂ + b₁

b₂ + c₁ c₂ .

(46)

a₁

a2 + b₁

b2 = a₁+ b₁ a2+ b2

= b1+ a1

b2+ a2 = b1

b2 + a1

a2 . Dan juga

a1

a2 + b1

b2 + c1

c2 = a1+ b1

a2+ b2 + c1

c2

= a1+ b1+ c1

a2+ b2+ c2

= a1

a2 + b1+ c1

b2+ c2

= a₁

a₂ + b₁

b₂ + c₁ c₂ .

(47)

a₁

a2 + b₁

b2 = a₁+ b₁ a2+ b2

= b1+ a1

b2+ a2 = b1

b2 + a1

a2 . Dan juga

a1

a2 + b1

b2 + c1

c2 = a1+ b1

a2+ b2 + c1

c2

= a1+ b1+ c1

a2+ b2+ c2

= a1

a2 + b1+ c1

b2+ c2

= a₁

a₂ + b₁

b₂ + c₁ c₂ .

(48)

Vektor Nol

Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol. Secara geometris vektor nol digambarkan sebagai titik di R² atau R³. Secara aljabar vektor nol, ditulis ~0, merupakan

~0 = (0; 0) , jika ~0 2 R² (0; 0; 0) , jika ~0 2 R³

(49)

Catatan

Vektor nol adalah satu-satunya vektor yang tidak berarah, vektor nol hanya memiliki besar (panjang) saja, yang nilainya adalah nol.

(50)

Latihan 0 Bagian 1

(51)

Latihan 0 Bagian 2

(52)

Perkalian Vektor dengan Skalar

Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas, b searah dengan a dan panjang b lima kali panjang a. Kita dapat menuliskan b = 5a ataupun a = ¹₅b.

(53)

Misalkan k 2 R dang k 6= 0. Kita memiliki

Jika k > 0, maka ka searah dengan a dan panjangnya k kali panjang a. Jika k < 0, maka ka berlawanan arah dengan a dan panjangnya k kali panjang a.

Jika k = 1, maka ka = a. Dalam hal ini adikatakan sebagai negatif dari a. Kita juga memiliki sifat a + ( a) = 0.

Dua Vektor yang Sejajar

Dua vektor a dan b dikatakan sejajar apabila a = kb untuk suatu k 2 R. Dengan perkataan lain ketika dua vektor sejajar maka vektor yang satu merupakan kelipatan skalar vektor yang lain.

(54)

Jika k > 0, maka ka searah dengan a dan panjangnya k kali panjang a.

Vektor dari Dua Titik

Misalkan P₁(x₁; y₁; z₁) dan P₂(x₂; y₂; z₂) adalah dua titik di R³ dan O menyatakan titik (0; 0; 0). VektorP₁P!₂ merupakan vektor yang dide…nisikan sebagai

P₁P!₂= (x₂ x₁; y₂ y₁; z₂ z₁) . Kita juga memiliki

OP!₁= (x₁; y₁; z₁) danOP!₂= (x₂; y₂; z₂) .

Akibatnya dengan memakai sifat aritmetika vektor, kita memiliki P1P!2=OP!2 OP!1.

Hal yang serupa juga jelas berlaku di R².

(60)

Vektor dari Dua Titik

OP!₁= (x₁; y₁; z₁) danOP!₂= (x₂; y₂; z₂) .

Akibatnya dengan memakai sifat aritmetika vektor, kita memiliki P₁P!₂=

OP!2 OP!1.

(61)

Vektor dari Dua Titik

OP!₁= (x₁; y₁; z₁) danOP!₂= (x₂; y₂; z₂) .

Akibatnya dengan memakai sifat aritmetika vektor, kita memiliki P₁P!₂=OP!₂ OP!₁.

(62)

Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R2 dan R3

Bahasan

(63)

Sifat Aritmetika Vektor

Teorema

Misalkan ~u, ~v, dan ~wketiganya adalah vektor di R²atau R³ (di ruang yang sama), serta ; 2 R, maka

1 ~u + ~v = ~v + ~u

2 (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)

3 ~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u

4 ~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0

5 ( ~u) = ( ) ~u

6 (~u + ~v) = ~u + ~v

7 ( + ) ~u = ~u + ~u

8 1 (~u) = ~u.

Bukti

Bukti

(72)

Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R2 dan R3

Teorema

Jika ~uadalah vektor di R² atau R³, dan 2 R maka

1 0~u = ~0

2 ~0 = ~0

3 ( 1) ~u = ~u

Teorema

Jika ~uadalah vektor di R² atau R³ dengan sifat ~u = ~0, maka = 0 atau ~u = ~0.

(73)

Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3

Bahasan

11 Latihan

(74)

Vektor-vektor Basis Standar di R

²

dan R

³

Basis Standar di R

²

Himpunan vektor-vektor basis standar di R² adalah fi = (1; 0) ; j = (0; 1)g.

Vektor i juga dapat ditulis sebagai ^{, ~e1, atau e1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ^|, ~e2, atau e2.

Setiap vektor ~v = (v₁; v2) 2 R² dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ^{

dan ^|secara tunggal

~

v = ^{ + ^| , =

v1dan = v2.

(75)

Vektor-vektor Basis Standar di R

²

dan R

³

Basis Standar di R

²

~

v = ^{ + ^| , = v1dan =

v2.

(76)

Vektor-vektor Basis Standar di R

~e1, atau e1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ^|, ~e2, atau e2. Vektor k juga dapat ditulis sebagai ^k, ~e3, atau e3.

Setiap vektor ~v = (v₁; v₂; v₃) 2 R³dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari

^{, ^|, dan ^k secara tunggal

~v = ^{ + ^| + ^k , =

v1, = v2, dan = v3.

(79)

Basis Standar di R

³

~v = ^{ + ^| + ^k , = v1, =

v2, dan = v3.

(80)

Basis Standar di R

³

~v = ^{ + ^| + ^k , = v1, = v2, dan =

v3.

(81)

Basis Standar di R

³

~v = ^{ + ^| + ^k , = v1, = v2, dan = v3.

(82)

Basis Standar di R

³

~v = ^{ + ^| + ^k , = v1, = v2, dan = v3.

(83)

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3

Bahasan

11 Latihan

(84)

Norm Euclid dari Vektor di R

²

Norm Euclid dari Vektor di R

²

Misalkan u = ~u = (u₁; u₂) adalah suatu vektor di R². Norm Euclid atau panjang dari u, ditulis dengan kuk, dide…nisikan sebagai

kuk = q

u²₁+ u²₂.

(85)

Norm Euclid dari Vektor di R

³

Norm Euclid dari Vektor di R

³

Misalkan u = ~u = (u1; u2; u3) adalah suatu vektor di R³. Norm Euclid atau panjang dari u, ditulis dengan kuk, dide…nisikan sebagai

kuk = q

u²₁+ u²₂+ u²₃.

(86)

Penting

Norm Euclid (panjang) dari suatu vektor selalu bernilai tak negatif. Untuk sembarang vektor u pada bidang maupun ruang, kuk 0.