Proyeksi Ortogonal
Pada kuliah ini kita akan mempelajari proyeksi ortogonal dari suatu vektor pada sembarang vektor tak nol.
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagaiproyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akanmencari keterkaitan antara u1dan b.
Tinjau bahwa u1+ u2= u, akibatnya u1= u u2. Karena u1 sejajar dengan b, maka u1= kb, untuk suatu k 2 R. Perhatikan bahwa
u b = (u1+ u2) b = u1 b+ u2 b
= kb b + 0 (karena u1= kb dan u2?b)
= k kbk2 (karena b b = kbk2)
k = u b
kbk2.
MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R2 dan R3 September 2015 76 / 116
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagaiproyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akanmencari keterkaitan antara u1dan b. Tinjau bahwa u1+ u2= u, akibatnya u1=
u u2. Karena u1 sejajar dengan b, maka u1= kb, untuk suatu k 2 R. Perhatikan bahwa
u b = (u1+ u2) b = u1 b+ u2 b
= kb b + 0 (karena u1= kb dan u2?b)
= k kbk2 (karena b b = kbk2)
k = u b
kbk2.
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagaiproyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akanmencari keterkaitan antara u1dan b. Tinjau bahwa u1+ u2= u, akibatnya u1= u u2. Karena u1 sejajar dengan b, maka u1=
kb, untuk suatu k 2 R. Perhatikan bahwa
u b = (u1+ u2) b = u1 b+ u2 b
= kb b + 0 (karena u1= kb dan u2?b)
= k kbk2 (karena b b = kbk2)
k = u b
kbk2.
MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R2 dan R3 September 2015 76 / 116
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagaiproyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akanmencari keterkaitan antara u1dan b. Tinjau bahwa u1+ u2= u, akibatnya u1= u u2. Karena u1 sejajar dengan b, maka u1= kb, untuk suatu k 2 R.
Perhatikan bahwa
u b =
(u1+ u2) b = u1 b+ u2 b
= kb b + 0 (karena u1= kb dan u2?b)
= k kbk2 (karena b b = kbk2)
k = u b
kbk2.
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagaiproyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akanmencari keterkaitan antara u1dan b. Tinjau bahwa u1+ u2= u, akibatnya u1= u u2. Karena u1 sejajar dengan b, maka u1= kb, untuk suatu k 2 R.
Perhatikan bahwa
u b = (u1+ u2) b =
u1 b+ u2 b
= kb b + 0 (karena u1= kb dan u2?b)
= k kbk2 (karena b b = kbk2)
k = u b
kbk2.
MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R2 dan R3 September 2015 76 / 116
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagaiproyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akanmencari keterkaitan antara u1dan b. Tinjau bahwa u1+ u2= u, akibatnya u1= u u2. Karena u1 sejajar dengan b, maka u1= kb, untuk suatu k 2 R.
Perhatikan bahwa
u b = (u1+ u2) b = u1 b+ u2 b
=
kb b + 0 (karena u1= kb dan u2?b)
= k kbk2 (karena b b = kbk2)
k = u b
kbk2.
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagaiproyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akanmencari keterkaitan antara u1dan b. Tinjau bahwa u1+ u2= u, akibatnya u1= u u2. Karena u1 sejajar dengan b, maka u1= kb, untuk suatu k 2 R.
Perhatikan bahwa
u b = (u1+ u2) b = u1 b+ u2 b
= kb b + 0 (karena u1= kb dan u2?b)
=
k kbk2 (karena b b = kbk2)
k = u b
kbk2.
MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R2 dan R3 September 2015 76 / 116
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagaiproyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akanmencari keterkaitan antara u1dan b. Tinjau bahwa u1+ u2= u, akibatnya u1= u u2. Karena u1 sejajar dengan b, maka u1= kb, untuk suatu k 2 R.
Perhatikan bahwa
u b = (u1+ u2) b = u1 b+ u2 b
= kb b + 0 (karena u1= kb dan u2?b)
2 2
u b kbk2.
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagaiproyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akanmencari keterkaitan antara u1dan b. Tinjau bahwa u1+ u2= u, akibatnya u1= u u2. Karena u1 sejajar dengan b, maka u1= kb, untuk suatu k 2 R.
Perhatikan bahwa
u b = (u1+ u2) b = u1 b+ u2 b
= kb b + 0 (karena u1= kb dan u2?b)
= k kbk2 (karena b b = kbk2)
k = u b
kbk2.
MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R2 dan R3 September 2015 76 / 116
Proyeksi Ortogonal
Oleh karenanya kita memiliki
u1= u b kbk2
! b
Vektor u1juga akan kita tuliskan sebagai projbuyang berarti proyeksi dari vektor usepanjang vektor b.
Proyeksi Ortogonal
Diberikan sebuah vektor u dan vektor tak nol b pada ruang yang sama. Proyeksi ortogonal dari u sepanjang b (atau proyeksi ortogonal dari u pada b), ditulis dengan projbu, dide…nisikan sebagai
projbu= u b kbk2
! b.
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projbudengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa
ku1k = kuk cos ,
dengan adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1). Tinjau bahwa u b = kuk kbk cos
MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R2 dan R3 September 2015 78 / 116
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projbudengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa
ku1k = kuk cos ,
dengan adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1). Tinjau bahwa
u b = kuk kbk cos
cos = u b
kuk kbk, karena ku1k = kuk cos , maka ku1k = kuk u b
kuk kbk = u b kbk.
Karena u1= kb, maka ku1k = jkj kbk, jadi jkj = ku1k = kbk. Akibatnya diperoleh
u1= kb = ku1k
kbk b= u b kbk2b.
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projbudengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa
ku1k = kuk cos ,
dengan adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1). Tinjau bahwa
u b =
MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R2 dan R3 September 2015 78 / 116
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projbudengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa
ku1k = kuk cos ,
dengan adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1). Tinjau bahwa u b = kuk kbk cos
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projbudengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa
ku1k = kuk cos ,
dengan adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1). Tinjau bahwa u b = kuk kbk cos
MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R2 dan R3 September 2015 78 / 116
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projbudengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa
ku1k = kuk cos ,
dengan adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1). Tinjau bahwa u b = kuk kbk cos
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projbudengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa
ku1k = kuk cos ,
dengan adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1). Tinjau bahwa u b = kuk kbk cos
MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R2 dan R3 September 2015 78 / 116
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projbudengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa
ku1k = kuk cos ,
dengan adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1). Tinjau bahwa u b = kuk kbk cos
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projbudengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa
ku1k = kuk cos ,
dengan adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1). Tinjau bahwa u b = kuk kbk cos
MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R2 dan R3 September 2015 78 / 116
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projbudengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa
ku1k = kuk cos ,
dengan adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1). Tinjau bahwa u b = kuk kbk cos
cos = u b
kuk kbk, karena ku1k = kuk cos , maka ku1k = kuk u b
kuk kbk = u b kbk.
Karena u1= kb, maka ku1k = jkj kbk, jadi jkj = ku1k = kbk. Akibatnya diperoleh
u1= kb = ku1k
kbkb= u b kbk2b.
Proyeksi Ortogonal
Contoh
Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari ~u = ( 2; 4; 3) terhadap
~v = (1; 3; 4). Kita memiliki
MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R2 dan R3 September 2015 79 / 116
Proyeksi Ortogonal
Contoh
Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari ~u = ( 2; 4; 3) terhadap
~v = (1; 3; 4). Kita memiliki
Proyeksi Ortogonal
Contoh
Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari ~u = ( 2; 4; 3) terhadap
~v = (1; 3; 4). Kita memiliki
MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R2 dan R3 September 2015 79 / 116
Proyeksi Ortogonal
Contoh
Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari ~u = ( 2; 4; 3) terhadap
~v = (1; 3; 4). Kita memiliki
Proyeksi Ortogonal
Contoh
Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari ~u = ( 2; 4; 3) terhadap
~v = (1; 3; 4). Kita memiliki
MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R2 dan R3 September 2015 79 / 116
Proyeksi Ortogonal
Contoh
Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari ~u = ( 2; 4; 3) terhadap
~v = (1; 3; 4). Kita memiliki
Proyeksi Ortogonal
Latihan 3: Proyeksi Ortogonal
Latihan
1 Misalkan ~u = ( 1; 1) dan ~v = (0; 1). Tentukan
1 Proyeksi ortogonal dari ~uterhadap ~v.
2 Proyeksi ortogonal dari ~vterhadap ~u.
2 Misalkan ~a = (1; 1; 1) dan ~b = (0; 2; 2). Tentukan
1 Proyeksi ortogonal dari ~a terhadap ~b:
2 Proyeksi ortogonal dari ~b terhadap ~a.
MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R2 dan R3 September 2015 80 / 116
Proyeksi Ortogonal
Solusi:
1 Kita memiliki
1 proyeksi ortogonal dari ~uterhadap ~vadalah proj~v~u = ~u ~v
k~vk2~v =( 1;1) (0;1)
k(0;1)k2 (0; 1) = 11(0; 1) = (0; 1),
2 proyeksi ortogonal dai ~vterhadap ~uadalah proj~u~v = ~v ~u
k~uk~u = (0;1) ( 1;1)
k( 1;1)k2 ( 1; 1) =12( 1; 1) = 12;12 .
2 Kita memiliki
1 proyeksi ortogonal dari ~a terhadap ~b adalah proj~b~a = ~a ~b
k~bk2~b =(1;1;1) (0;2;2)
k0;2;2k2 (0; 2; 2) = 48(0; 2; 2) = (0; 1; 1).
2 proyeksi ortogonal dari ~b terhadap ~a adalah proj~a~b = ~b ~a
k~ak2~a =(0;2;2) (1;1;1)
k(1;1;1)k2 (1; 1; 1) = 43(1; 1; 1) = 43;43;43 .
Proyeksi Ortogonal
Solusi:
1 Kita memiliki
1 proyeksi ortogonal dari ~uterhadap ~vadalah proj~v~u = ~u ~v
k~vk2~v =( 1;1) (0;1)
k(0;1)k2 (0; 1) = 11(0; 1) = (0; 1),
2 proyeksi ortogonal dai ~vterhadap ~uadalah proj~u~v = ~v ~u
k~uk~u = (0;1) ( 1;1)
k( 1;1)k2 ( 1; 1) =12( 1; 1) = 12;12 .
2 Kita memiliki
1 proyeksi ortogonal dari ~a terhadap ~b adalah proj~b~a = ~a ~b
k~bk2~b =(1;1;1) (0;2;2)
k0;2;2k2 (0; 2; 2) = 48(0; 2; 2) = (0; 1; 1).
2 proyeksi ortogonal dari ~b terhadap ~a adalah proj~a~b = ~b ~a
k~ak2~a =(0;2;2) (1;1;1)
k(1;1;1)k2 (1; 1; 1) = 43(1; 1; 1) = 43;43;43 .
MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R2 dan R3 September 2015 81 / 116
Proyeksi Ortogonal
Solusi:
1 Kita memiliki
1 proyeksi ortogonal dari ~uterhadap ~vadalah proj~v~u = ~u ~v
k~vk2~v =( 1;1) (0;1)
k(0;1)k2 (0; 1) = 11(0; 1) = (0; 1),
2 proyeksi ortogonal dai ~vterhadap ~uadalah proj~u~v = ~v ~u
k~uk~u = (0;1) ( 1;1)
k( 1;1)k2 ( 1; 1) =12( 1; 1) = 12;12 .
2 Kita memiliki
1 proyeksi ortogonal dari ~a terhadap ~b adalah proj~b~a = ~a ~b
k~bk2~b =(1;1;1) (0;2;2)
k0;2;2k2 (0; 2; 2) = 48(0; 2; 2) = (0; 1; 1).
2 proyeksi ortogonal dari ~b terhadap ~a adalah proj~a~b = ~b ~a
k~ak2~a =(0;2;2) (1;1;1)
k(1;1;1)k2 (1; 1; 1) = 43(1; 1; 1) = 43;43;43 .
Proyeksi Ortogonal
Solusi:
1 Kita memiliki
1 proyeksi ortogonal dari ~uterhadap ~vadalah proj~v~u = ~u ~v
k~vk2~v =( 1;1) (0;1)
k(0;1)k2 (0; 1) = 11(0; 1) = (0; 1),
2 proyeksi ortogonal dai ~vterhadap ~uadalah proj~u~v = ~v ~u
k~uk~u = (0;1) ( 1;1)
k( 1;1)k2 ( 1; 1) =12( 1; 1) = 12;12 .
2 Kita memiliki
1 proyeksi ortogonal dari ~a terhadap ~b adalah proj~b~a = ~a ~b
k~bk2~b =(1;1;1) (0;2;2)
k0;2;2k2 (0; 2; 2) = 48(0; 2; 2) = (0; 1; 1).
2 proyeksi ortogonal dari ~b terhadap ~a adalah proj~a~b = ~b ~a
k~ak2~a =(0;2;2) (1;1;1)
k(1;1;1)k2 (1; 1; 1) = 43(1; 1; 1) = 43;43;43 .
MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R2 dan R3 September 2015 81 / 116
Proyeksi Ortogonal
Solusi:
1 Kita memiliki
1 proyeksi ortogonal dari ~uterhadap ~vadalah proj~v~u = ~u ~v
k~vk2~v =( 1;1) (0;1)
k(0;1)k2 (0; 1) = 11(0; 1) = (0; 1),
2 proyeksi ortogonal dai ~vterhadap ~uadalah proj~u~v = ~v ~u
k~uk~u = (0;1) ( 1;1)
k( 1;1)k2 ( 1; 1) =12( 1; 1) = 12;12 .
2 Kita memiliki
1 proyeksi ortogonal dari ~a terhadap ~b adalah proj~b~a = ~a ~b
k~bk2~b =(1;1;1) (0;2;2)
k0;2;2k2 (0; 2; 2) = 48(0; 2; 2) = (0; 1; 1).
2 proyeksi ortogonal dari ~b terhadap ~a adalah proj~a~b = ~b ~a
k~ak2~a =(0;2;2) (1;1;1)
k(1;1;1)k2 (1; 1; 1) = 43(1; 1; 1) = 43;43;43 .
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Bahasan
1 Vektor di Sekolah Menengah
2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
3 Dasar-dasar Aljabar Vektor
4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R2 dan R3
5 Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
8 Proyeksi Ortogonal
9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
11 Latihan
MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R2 dan R3 September 2015 82 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3