BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 3 2

(1)

1 6

&

૛

BAB II

VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG

1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA

૛

SISTEM TANGAN KANAN

૛

SISTEM TANGAN KIRI

૛

૛ ૛

RUMUS JARAK

૛

૛ _૛՜ ሺ૛_૛, ૛_૛, ૛_૛ሻ

૛_૛՜ ሺ૛_૛, ૛_૛, ૛_૛ሻ

૛_૛|૛૛ ૛૛ | ൌൌൌ

ඥሺ૛_૛ൌൌ ૛_૛ሻ

૛ ሺ૛_૛ൌൌ ૛_૛

ሻ૛

૛ ሺ૛_૛ൌൌ ૛_૛

ሻ૛

૛_૛

૛

(2)

Contoh : Carilah jarak antara titik ૛ ሺ૛, ൌൌ૛, ૛ሻdan ૛ ሺൌൌ૛, ૛, ൌൌ૛ሻ.

Solusi : |૛૛| ൌൌൌ ඥሺൌൌ૛ ൌൌ ૛ሻ૛ _૛_ሺ_{૛ ૛ ૛}_ሻ૛ _૛_ሺൌൌ_૛_ൌൌ_૛_ሻ૛ _ൌൌൌ_√૛૛૛_ൌൌൌ_{૛૛, ૛૛}

Persamaan baku sebuah bola

Jika ሺ૛,૛ ,૛ሻpada bola dengan radius ૛ berpusat pada ሺ૛,૛ ,૛ሻ, maka :

ฮሺ૛ ൌൌ ૛ሻ૛ _૛_ሺ_૛_ൌൌ_૛_ሻ૛ _૛_ሺ_૛_ൌൌ_૛_ሻ૛ _ൌൌൌ_૛૛ _ฮ

atau dalam bentuk terurai dapat ditulis sebagai

૛૛ _{૛ ૛}૛ _{૛ ૛}૛ _૛ _૛ ૛

૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛ ൌൌൌ ૛

Contoh : Carilah pusat dan radius bola dengan persamaan :

૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ൌൌ ૛૛૛ ൌൌ ૡ૛ ൌൌ ૛૛૛ ૛ ૛ૡൌൌൌ ૛

Solusi :

ሺ૛૛ _ൌൌ_{૛૛૛ ૛}_ڮ _ሻ_૛_ሺ_૛૛ _ൌൌ _ૡ_{૛ ૛}_ڮ _ሻ_૛_ሺ_૛૛ _ൌൌ_{૛૛૛ ૛}_ڮ _ሻ _ൌൌൌ _ൌൌ_૛_ૡ

ሺ૛૛ ൌൌ ૛૛૛ ૛ ૛૛ሻ ૛ ሺ૛૛ ൌൌ ૡ૛ ૛ ૛૛ሻ ૛ ሺ૛૛ ൌൌ ૛૛૛ ૛ ૛૛ሻ ൌൌൌ ൌൌ૛ૡ ૛

૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ૛ ૛ ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ૛ ૛ ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ૛ ൌൌൌ ൌૢ

૛ Pusat bola ሺ૛, ૛, ૛ሻ ; radius ൌൌൌ ૛

GRAFIK DALAM RUANG DIMENSI TIGA

Contoh : Gambarkanlah grafik dari ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ൌൌൌ ૛૛

Solusi : Perpotongan dengan sumbu ૛ ՜ ambil ݖ&૛ ൌൌൌ 0 ૛૛ ൌൌൌ ૛૛ ՜ ૛ ൌൌൌ ૛ ՜ ሺ૛, ૛, ૛ሻ

(3)

૛૛ ൌൌൌ ૛૛ ՜ ૛ ൌൌൌ ૛ ՜ ሺ૛, ૛, ૛ሻ

Perpotongan dengan sumbu ૛

૛૛ ൌൌൌ ૛૛ ՜ ૛ ൌൌൌ ૛ ՜ ሺ૛, ૛, ૛ሻ

૛ ૛ሺ, ૛, ૛ሻ

Bidang ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ൌൌൌ ૛૛

૛ ሺ૛, ૛, ૛ሻ

2. VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA

૛ ൌൌൌ ૛ۃ_૛, ૛_૛, ૛_૛ۄ ൌൌൌ ૛_૛૛ ૛ ૛_૛૛ ૛ ૛_૛૛

૛, ૛, ૛ adalah vektor satuan baku ՜ disebut vektor basis. Panjang ૛, diberikan sbb:

ቛ|૛| ൌൌൌ ඥ૛_૛૛ _{૛ ૛}

૛ ૛ ૛ ૛૛૛ ቛ

Bila ૛ ൌൌൌ ૛ۃ_૛, ૛_૛, ૛_૛ۄ dan ૛ ൌൌൌ ૛ۃ_૛, ૛_૛, ૛_૛ۄ ; maka

ԡ૛.૛ ൌൌൌ ૛_૛૛_૛૛ ૛_૛૛_૛૛ ૛_૛૛_૛ԡ

dan

(4)

1

(5)

2 0

૛

(6)

2

(7)

2 1

(8)

ቚ

Persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi :

૛ሺ૛ ൌൌ ૛_૛ሻ ૛ ૛ሺ૛ ൌൌ ૛_૛ሻ ૛ ૛ሺ૛ ൌൌ ૛_૛ሻ ൌൌൌ ૛

૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ൌൌൌ ૛ ,૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ൌ് ૛

Contoh:

Cari persamaan bidang yang melalui ሺ૛, ૛, ൌൌ૛ሻ tegak lurus terhadap ૛ ൌൌൌ ۃ૛, ૛, ૛ۄ. Kemudian cari sudut antara bidang ini dan bidang yang persamaannya

૛૛ ൌൌ ૛૛ ૛ ૠ૛ ൌൌൌ ૛

Solusi : ૛ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ ૛ ૛ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ ૛ ૛ሺ૛ ૛ ૛ሻ ൌൌൌ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ൌൌൌ ૡ

Vektor ٣ ૛ terhadap bidang kedua adalah ૛ ൌൌൌ ۃ૛, ൌൌ૛, ૠۄ. Sudut ૛

antara dua bidang tersebut adalah :

૛૛૛

૛ ൌൌൌ ૛_|૛||૛|૛. ሺ ૛ሻሺ ૛ሻ ൌାሺൌିሻሺ૛ ૛ሻൌାሺ ૠሻሺ ૛ሻ

ൌൌൌ ൌൌൌ ૛, ૛૛ૠ૛

√ൌૢൌା૛૛ ૛૛ ൌା ൌૢ ૛ √૛૛ൌା૛૛૛ ૛ൌା ൌૢ

૛ ൌൌൌ ૛ૠ, ૛૛૛

3. HASIL KALI SILANG

Hasil kali silang (hasil kali vektor atau cross product), ૛૛૛untuk ૛ ൌൌൌ ૛ۃ_૛, ૛_૛, ૛_૛ۄ

dan ૛ ൌൌൌ ૛ۃ_૛, ૛_૛, ૛_૛ۄ didefinisikan sebagai

ԡ૛૛૛ ൌൌൌ ૛ۃ_૛૛_૛ൌൌ ૛_૛૛_૛, ૛_૛૛_૛ൌൌ ૛_૛૛_૛, ૛_૛૛_૛ൌൌ ૛_૛૛_૛ۄԡ

Untuk memudahkan, gunakan pengertian determinan

૛ ૛ ૛

(9)

૛_૛૛_૛

૛_૛ ૛_૛૛ ૛૛ ૛

૛_૛૛_૛ ૛_૛

(10)

(11)

2. |૛૛૛| ൌൌൌ |૛૛૛૛|૛||૛

3. Dua vektor ૛ dan ૛ dalam ruang dimensi tiga adalah sejajar jika dan hanya jika

૛ ૛

(12)

(13)

4. Garis dan Kurva dalam Ruang Dimensi Tiga

Suatu kurva ruang ditentukan oleh suatu tiga persamaan parameter,

૛ ൌൌൌ ૛ሺ૛ሻ, ૛ ൌൌൌ ૛ሺ૛ሻ, ૛

garis ditentukan oleh suatu titik tetap ૛_૛

dan suatu vector ૛ ൌൌൌ ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛.

(14)

Merupakan p e r s amaan parameter dari garis melalui ሺ૛_૛, ૛_૛, ૛_૛ሻdan sejajar

(15)

Contoh : Cari persamaan parameter untuk garis yang melalui ሺ૛, ૛ ૛, ૛ሻdan

Persamaan tersebut merupakan konjungsi dari dua persamaan

૛

Contoh : Cari persamaan simetri dari garis potong bidang-bidang

(16)

૛

ሺ૛, ૛, ૛ሻ

vektornya adalah :

ۃ૛ ൌൌ ૛, ૛ ൌൌ ૛, ૛ ൌൌ ૛ۄ ൌൌൌ ۃ૛,

ൌൌ૛, ૛ۄDengan menggunakan (3,0,4) untuk ሺ૛_૛, ૛_૛, ૛_૛ሻ diperoleh :

(17)

૛ ൌൌ ૛

Contoh : Cari persamaan simetri atau persamaan parameter dari garis yang melalui (1,-2,3) yang tegaklurus terhadap sumbu x dan garis

૛ ൌൌ ૛

૛

GARIS SINGGUNG PADA KURVA

૛ bilangan-bilangan singgung pada ૛ ૛

૛ሺ૛ ૛ ૛ሻൌൌ ૛ሺ૛ሻ

(18)

2 7

Contoh : Cari persamaan simetrik untuk garis singgung pada ૛ ૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ

૛

KECEPATAN, PERCEPATAN, dan KELENGKUNGAN

(19)

2 8

Laju ૛૛ ൌൌൌ |૛ᇱ ሺ૛ሻ| _ൌൌൌ |૛ሺ૛ሻ|

૛૛

Contoh :

(20)

૛

ൌൌൌ laju perubahan arah garis singgung terhadap jarak sepanjang kurva

૛૛

Contoh : Cari kelengkungan dari heliks melingkar

(21)

ൌൌൌ

(22)

૛ ൌൌൌ

૛ KOMPONEN PERCEPATAN

Vektor normal satuan utama N di P :

(23)

ᇲ

૛ᇱᇱ ሺ૛ ሻ ൌൌൌ ૛૛ ૛ ૛ ૛૛

Pada ૛ ൌൌൌ ૛ ՜ ૛ᇱ ൌൌൌ ૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛ ૛ᇱᇱ ൌൌൌ ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ൌൌൌ ૛

(24)