BAB 8 TRANSFORMASI LINEAR. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.

KERANGKA PEMBAHASAN

1.

Transformasi Linier secara Umum

2.

Kernel dan Range

3.

Transformasi Linier Invers

4.

Matriks Transformasi Linear

5.

Similaritas

7.1

TRANSFORMASI LINIER SECARA UMUM

Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V  W dinamakan transformasi linear, jika

untuk setiap dan berlaku :

Jika V = W maka T dinamakan operator linear

V

b

a

,



 R



a b



 T . 1 T

 

a T

 

b



a



 T



. 2 T

 

a

Contoh 1 :

Tunjukan bahwa T : R2 _{ R}3_{, dengan}

merupakan tranformasi linear.

Jawab :

Ambil unsur sembarang di R2_,

Misalkan

(i) Akan ditunjukan bahwa                          y x y x y x T , 2 1        u u u 2 2 1 R v v v _      



u

v



T

 

u

T

 

v

T







Rumus Transformasi

Terbukti bahwa



u  v



 T _                   2 1 2 1 v v u u T



 







                 2 2 1 1 2 2 1 1 v u v u v u v u



 



                 2 2 1 1 2 2 1 1 v u v u v u v u                           2 1 2 1 2 1 2 1 v v v v u u u u



u v



Τ

 

u Τ

 

v T   

(ii) Ambil unsur sembarang

Jadi, T merupakan transformasi linear.

R

R

u



2

dan









_               2 1 u u u                 2 1 2 1 u u u u                        2 1 2 1 u u u u                 2 1 2 1 u u u u 

 

u Τ α 

Contoh 2 :

Misalkan T merupakan suatu transformasi dari M_2x2 ke R

yang didefinisikan oleh T(A) = det (A), untuk setiap A 

M_2x2, Apakah T merupakan Transformasi linier.

Jawab :

Misalkan

maka untuk setiap  R berlaku

det (



A) = 2 2 4 3 2 1                            x M a a a a A _              4 3 2 1                    det a a a a    



_{1 2 3 4}



2det( ) 2 A a a a a     

Contoh 3 :

Diketahui T : P₂ (Polinom orde-2)  R2_{, dengan}

a. Apakah T merupakan transformasi linear b. Tentukan            c a b a cx bx a T( 2) ) 1 ( x x2 T   2 3 2 1 u x u x u u   

_v

_

_v

₁

_

_v

₂

_x

_

_v

₃

_x

2 Jawab :

a.(i) Ambil unsur sembarang P₂,

Sehingga





v

Perhatikan bahwa









 







2



3 3 2 2 1 1 v u v x u v x u T v u T       



 





 



_            3 3 1 1 2 2 1 1 v u v u v u v u



 





 



_            3 1 3 1 2 1 2 1 v v u u v v u u                   3 1 2 1 3 1 2 1 v v v v u u u u







2



3 2 1 2 3 2 1 u x u x T v v x v x u T      

Memenuhi

T



u v



 Τ

 

u Τ

 

v

Ambil unsur sembarang P2, dan



 R, sehingga

Jadi, T merupakan transformasi linear

2 3 2 1 u x u x u u   







2



3 2 1 u x u x u T u T     









_        3 1 2 1 u u u u    









_        3 1 2 1 u u u u            3 1 2 1 u u u u 



2



3 2 1 u x u x u T    

 

u Τ α 

b.

Suatu transformasi linear T : V  W dapat direpresentasikan dalam bentuk :

 A dinamakan matriks transformasi dari T.

   ) 1 ( x x2 T _               0 0 1 1 1 1

 

u

A

u

T



untuk setiap

u



V.

Contoh 4:

Misalkan, suatu transformasi linear T : R2 _{ R}3 _{didefinisikan oleh :}

Jawab :

Perhatikan bahwa

Jadi matriks transformasi untuk T : R2 _{ R}3 _adalah

Jika T : Rn _{ R}m _{merupakan transformasi linear maka ukuran}

matriks transformasi adalah m x n

                                             y x y x y x y x 1 0 0 1 1 1              1 0 0 1 1 1 A                           y x y x y x

dengan



v

₁

,

v

₂







3 2 : R  R 

   

v_i  u_i 

 

 

_{2 2 2} 1 1 1 u v v T u v v T      



_{1 2}



_{2 2}



_{1 2}



_{3 2} 2 3x

v

v

x



u

u

x





v1 v2











1 2 1 2 1    u u v v Misalkan

basis bagi ruang vektor V dan

merupakan transformasi linear

untuk setiap i = 1,2.

Sehingga Jadi

basis bagi V

maka ia punya invers

Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara : Tulis :

                                             1 0 0 , 1 1 0 , 1 1 1 3 2 1 v v v 1 3 : R  P 

 

v

_i

A

v

_i

p

_i

T





x p p x p₁ 1 ; ₂ 1; ₃  2                       2 1 1 dan Contoh 5 : Misalkan

adalah basis bagi R3

Transformasi linear didefinisikan untuk setiap i = 1,2,3.

Tentukan :

Matrix transformasi A Jika





 

 

_                          2 0 2 ; 0 1 1 ; 1 1 1 _{2 3} 1 x B p B p x B p 3 , 2 , 1 ,    v_i p_{i i}                      2 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 1                       Jawab : Definisikan : Karena Maka atau

            0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1             1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 ~            1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ~                             2 2 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 1















1

2

2

0

1

0

invers matriks dicari dengan OBE :

Sehingga

                                   2 1 1 2 1 1                            1 1 2 1 1 2 2 1 0 1 0 x B                 1 1 1 ingat bahwa jadi Sementara itu,



  x



                       1 2 1 1



2 2



1 , , 1 x  x  x  x  x





            2 1 0 1 x T





             0 2 1 2 x x T





             0 1 2 1 x x2 T



2



1 x x T   Contoh 6 :

Jika T : P₂  R3 _{adalah transformasi linear}

dimana

Tentukan

.

Diketahui basis dari polinom orde dua adalah

Gunakan Definisi Membangun

Jawab :

Perhatikan bahwa

himpunan 3 polinom tersebut adalah basis bagi polinom orde 2

maka polinom tersebut ditulis nejadi :

Samakan suku-suku sejenis sehingga diperoleh SPL

dengan solusi k₁ =0 , k₂ = 2, dan k₃ = 1.

1

1

1

3 2 3 2 1 3 1

















k

k

k

k

k

k

k











2



3 2 2 1 2

1

1

1



x



x



k



x



k



x



x



k



x



x

Jadi kombinasi linear diatas berbentuk :

atau

Karena transformasi T bersifat linear maka :



2









2

 

2



1 2 1 0 1 x x T x T x x T x x T                                 0 1 2 0 2 1 2            0 5 4



2











2

 

2





1 1 2 1 0 1 x x T x x x x x T          







2

 

2



2 1 1 2 1 0 1 x  x   x   x  x   x  x

7.2 KERNEL DAN RANGE

Misalkan T : V → W merupakan transformasi linear. Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di W dinamakan kernel T dengan notasi ker ( T ) atau

Contoh 1 : Trans. Linear T : P₂  R2 Perhatikan bahwa maka

 



| 0



) (T  u V T u  Ker            c a b a cx bx a T( 2)    ) 1 ( x x2 T _               0 0 1 1 1 1 ) ( 1 x  x2  Ker T

Sementara itu,

karena

Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal transformasi merupakan unsur kernel T.

Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyai vektor tak nol sebagai unsur kernel T.

Teorema :

Jika T : V  W adalah transformasi linear maka Ker (T) merupakan subruang dari V

Bukti :

Ambil _{a, b  Ker (T)} sembarang dan Riil

)

(

2

1



x



x

2



Ker

T

0 1 1 ) 2 1 ( 2 _           x x T

1. Karena setiap artinya setiap maka Ker(T)  V

2. Perhatikan bahwa artinya setiap

oleh karena itu Ker(T) ≠ { }

3. Karena dan Ker(T)  V

Ingat bahwa V mrp ruang vektor, sehingga berlaku

akibatnya Jadi ) (T Ker a 

 

0 sehingga  V T a a ) ( 0  Ker T

 

0  A0  0 T ) ( , b Ker T a  V b a  



a  b



 T (a)  T (b)  0  0  0 T

 

T b a   ker

karena V adalah ruang vektor

maka untuk setiap   Riil berlaku :

Jadi,

Dengan demikian, terbukti bahwa

Jika T : V  W adalah transformasi linear maka

Ker(T ) merupakan subruang dari ruang vektor V Karena Ker(T ) merupakan subruang

 Basis Ker(T). V a T Ker a ( ) maka  Karena     4.

)

(

T

Ker

a









a







T

 

a





0



0

T

                    c b a T





 

 2 







2  



2  0                      x c b a x c a b a c b a T Contoh 2 :

Diketahui Transformasi linear T : R3 →P₂ dengan

Jawab :

Perhatikan bahwa :

=(a + b) + (2a – c)x + (2a + b + c)x2

                         0 0 0 2 2 c b a c b b a                      c b a T _               c b a c b b a 2 2            1 1 2 1 2 0 0 1 1           c b a Ini memberikan sehingga

Jadi, matriks transformasi bagi T adalah

            1 1 2 1 2 0 0 1 1 A

~ 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 1 1                        0 0 0 1 1 0 1 2 0 0 1 1            0 0 0 2 / 1 0 0 2 / 1 1 0 2 / 1 0 1 ~





















0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

~

Dengan melakukan OBE pada matriks tersebut :

Dengan demikian, Basis ker(T) = { } dan nulitasnya adalah nol.

                                         1 1 0 , 1 2 1 , 2 0 1



_{1 2x}2 _{, 1 2x  x}2 _{,  x  x}2



Perhatikan hasil OBE

maka basis ruang kolom dari matriks A adalah :

oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah :

                                             d c b a d c b a d c b a T 2 2 Contoh 3:

Diketahui transformasi linear T : R4 _{ R}3

didefinisikan oleh :

Jawab :                                              d c b a d c b a d c b a T 2 2                              d c b a   2 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 1                2 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 1 A Jadi

 

 

4 ,   0 R d c b a v v A v T                                             0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 1 ~ 2 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 1 ~ A

Basis Ker(T) dan Nulitasnya?

Dengan OBE

0



v

A

                                                                          0 ,  ,  2 1 1 0 0     0 0 1 1     s t s t d c b a d c b a                                            2 1 1 0 0  ,  0 0 1 1

Ker(T) = ruang solusi dari yaitu

Jadi Basis Ker(T) adalah

7.3 TRANSFORMASI LINIER INVERS

TRANSFORMASI SATU-KE-SATU

Transformasi linear

T: V



W

dikatakan

satu-ke-satu

jika

T

memetakan vektor jarak di V ke vektor

jarak di W

Contoh 1:

Jika A adalah matriks n x n dan

T

_A

:

R

n



R

n

adalah perkalian dengan A, maka TA adalah

satu-ke-satu jika dan hanya jika A adalah matriks yang

dapat dibalikkan

CONTOH 2

Misalkan

T

: P

_n



P

_n+1

adalah memiliki TL:

T

(

p

) =

T

(

p

(x)) =

xp(x)

Jika

= = + + ⋯ + dan = = + + ⋯ +

adalah polinomial jarak, maka keduanya berbeda paling tidak satu

koefisien. Sehingga,

= + + ⋯ + dan ( ) = + + ⋯ +

juga berbeda paling tidak satu koefisien. Karena itu,

T

adalah

satu-ke-satu, karena

T

memetakan polinomial jarak

p

dan

q

ke polinomial jarak

PERNYATAAN EKUIVALEN

Jika

T: V



W

adalah transformasi linear, maka

yang berikut ini adalah ekuivalen:

1.

T

adalah satu-ke-satu

2.

Kernel T

mengandung hanya vektor nol;

maka ker(T) = 0

CONTOH

Tentukan TL satu-ke-satu menggunakan kernel dan nullitas:

a)

T

:

R

2

_

_R

2

_{merotasi tiap vektor melalui sudut}

_θ

b)

T

:

R

3

_

_R

3

_{adalah proyeksi ortogonal pada bidang-}

_xy

JAWAB

a) Karena setiap vektor di bidang-xy dapat diperoleh dengan merotasikan beberapa vektor melalui sudut

θ, kita memiliki R(T) = R2_{. karena itu,}

hanya satu vektor yang merotasi dari 0 ke

0, sehingga ker(T) = {0}

b) Ker(T) adalah kumpulan titik yang memetakan

kedalam 0 = (0,0,0) yang ada di sumbu z. Karena T memetakan setiap titik di R3 kedalam bidang-xy, selang T harus ada beberapa sub-kumpulan di

bidang ini. Tetapi setiap titik (x₀,y₀,0) di bidang-xy adalah bayangan T dari beberapa titik; faktanya, itu adalah bayangan dari semua titik-titik pada garis vertikal yang lewat melalui (x₀,y₀,0). Karena R(T)

JAWAB

c) Rank

Hasil eselon baris terreduksi:

berarti

NULITAS (T) = 4

T OPERATOR LINEAR PADA DIMENSI-TENTU

Berikut ini adalah ekuivalen:

1.

T

adalah satu-ke-satu

2.

ker(T) = {0}

3.

Nullitas (

T

) = 0

CONTOH

Misalkan

T

:

R

4

_

_R

4

_{dikalikan dengan}

Apakah

T

_A

adalah satu-ke-satu?

JAWAB

karena det(A) = 0, maka tidak dapat dibalikkan, maka

TL BALIKAN (DARI SUBBAB 4.3)



Jika

T

_A

: R

n



_R

n

_{adalah OL-SKS, maka matriks A dapat dibalikkan}



: R

n

_

_R

n

_{sendiri adalah OL; dan disebut balikan}

_T

A



OL

dan

menghilangkan efek satu sama lainnya untuk semua x di

CONTOH

Seperti pada contoh sebelumnya, T: P_n  P_n+1 memiliki TL:

T(p) = T(p(x)) = xp(x)

adalah satu-ke-satu, karena itu memiliki balikan. Di sini selang T tidak semua dari P_n+1, sehingga R(T) adalah subruang dari P_n+1 yang terdiri atas

polinomial dengan sebuah konstanta nol. Buktinya:

+ + ⋯ + = + + ⋯ +

T-1_{: P}

n+1  Pn maka: + + ⋯ + = + + ⋯ +

CONTOH

Misalkan T:R3 _{ R}3 _{adalah operator linear dengan rumus}

, , = 3 + , −2 − 4 + 3 , 5 + 4 − 2 Tentukan apakah T adalah satu-ke-satu, dan temukan T-1

JAWAB:

DIMENSI DOMAIN DAN KODOMAIN

Jika

V

dan

W

ruang vektor dimensi-tentu dengan

dim(

W

)<dim(

V

), dan jika

T:V



W

adalah TL, maka T

bukan satu-ke-satu

.

Dengan kata lain, dimensi kodomain

W

harus sebesar

dimensi domain

V

agar menjadi TL-SKS dari

V

ke

W

Ini berarti, sebagai contoh,

bukanlah TL-SKS dari ruang

R

3

ke bidang R

2

7.4 MATRIKS TRANSFORMASI LINEAR

Andaikan bahwa

V

adalah vektor ruang berdimensi-

n

dan

W

adalah vektor ruang berdimensi-

m

. Jika kita

memilih basis

B

dan

B

’ untuk

V

dan

W

, maka untuk

setiap

x

di

V

, vektor koordinat [

x

]

_B

akan ada sebuah

vektor di R

n

_{, dan vektor koordinat [}

_T

₍

_x

_)]

B’

akan ada

MATRIKS STANDAR

Andaikan T:V



W adalah transformasi linear,

maka akan diperoleh peta dari R

n

_{ke R}

m

_yang

dapat ditunjukkan bahwa itu transformasi linear.

Jika A adalah matriks standar untuk

transformasi ini maka

[ ] =

( )

Matriks A adalah matriks untuk T yang

berhubungan dengan basis B dan B’

KALKULASI T(X) SECARA LANGSUNG DAN TAK-LANGSUNG

x

[x]

_B

[

T

(x)]

_B’

T

(x)

Menghitung vektor koordinat [x]_B Mengalikan [x]_B di kiri dengan [T]_B’,B Rekonstruksi dari vektor koordinat [T(x)]_B’ Perhitungan langsung

Andaikan

B =

[

u

₁

,

u

₂

, ...,

u

_n

] adalah basis ruang vektor V dan

B’ =

[

v

₁

,

v

₂

, ...,

v

_m

] adalah basis ruang vektor W, maka matriks

standarnya berdimensi mxn:

Persamaan-persamaannya:

MATRIKS OPERATOR LINEAR

Pada kasus khusus dengan

V = W

(sedemikian rupa hingga

T:V



V

adalah operator linear), biasanya B = B’ saat membangun matriks

T

.

Pada kasus ini matriks yang dihasilkan disebut

matriks T yang

berhubungan dengan basis B

yang dinotasikan dengan [

T

]

_B

bukan [

T

]

_B,B

Jika

B =

{

u

₁

,

u

₂

, ...,

u

_n

}, maka

CONTOH

Misalkan T: P₁  P₂ memiliki TL: T(p) = T(p(x)) = xp(x) Temukan matriks standar T yang sesuai dengan basis dengan

Cek hasilnya untuk x = a + bx di P₁ JAWABAN

CONTOH

Misalkan

T:R

2

_

_R

3

_{adalah operator linear dengan rumus}

Temukan matriks standar T yang sesuai dengan basis

dan

dengan

JAWABAN:

Matriks T dengan basis B:

Matriks T berbasis B relatif terhadap basis B’ ditemukan dengan

kombinasi linear:

=

+

+

dan

1 −2 −5 = 1 0 −1 + −1 2 2 + 0 1 2 dan 2 1 −3 = 1 0 −1 + −1 2 2 + 0 1 2 1 −1 0 0 2 1 −1 2 2 1 −2 −5 ~ 1 −1 0 0 2 1 0 1 2 1 −2 −4 ~ 1 −1 0 0 1 −1 0 1 2 1 2 −4 ~ 1 −1 0 0 1 −1 0 0 3 1 2 −6 ~ 1 0 −10 1 0 0 0 1 3 0 −2 ~ 1 0 00 1 0 0 0 1 1 0 −2 = 1, = 0, dan = −2 sehingga = − 2 1 −1 0 0 2 1 −1 2 2 2 1 −3 ~ 1 −1 0 0 2 1 0 1 2 2 1 −1 ~ 1 −1 0 0 1 −1 0 1 2 2 2 −1 ~ 1 −1 0 0 1 −1 0 0 3 2 2 −3 ~ 1 0 −10 1 0 0 0 1 4 1 −1 ~ 1 0 00 1 0 0 0 1 3 1 −1 = 3, = 1, dan = −1 sehingga = 3 + −

CONTOH

Misalkan T:R2

_

_R2 _{adalah operator linear dengan rumus:}

dengan basis B: B = {u₁, u₂}

a). Tentukan [T]_B b). Verifikasikan bahwa setiap x ada di R2

JAWABAN: a).

MATRIKS OPERATOR IDENTITAS

Jika B = {u₁, u₂, ..., u_n} adalah basis ruang vektor V dimensi-tentu dan I:V



V adalah

TEOREMA 8.4.1

Jika

T:R

n



R

m

adalah transformasi linear, dan jika

B dan B’ adalah basis-basis standar masing-masing

untuk R

n

dan R

m

, maka

KENAPA MATRIKS TRANSFORMASI LINEAR

PENTING?

Ada dua alasan penting mempelajari matriks TL umum, satu sangat

teoritis, yang kedua praktis:

1.

Jawaban untuk pertanyaan teoritis tentang struktur transformasi

linear umum pada ruang vektor berdimensi-hingga seringkali dapat

diperoleh dengan mempelajari hanya transformasi matriks. Hal

tersebut dianggap secara rinci dalam lebih lanjut kuliah aljabar

linear, tapi kami akan menyentuh pada mereka dalam bagian

berikutnya.

2.

Matriks ini memungkinkan untuk menghitung gambar vektor

menggunakan perkalian matriks. Perhitungan tersebut dapat

dilakukan dengan cepat pada komputer.

MATRIKS TRANSFORMASI KOMPOSISI DAN BALIKAN

1.

Jika

T

₁

:

U



V

dan

T

₂

:

V



W

adalah TL dan jika B, B”, dan B’

adalah basis untuk U, V dan W, maka

[

T

_2º

T

₁

]

_B’,B

=[

T

₂

]

_B’,B”

[

T

₁

]

_B”,B

2.

Jika

T:V



V

adalah operator linear, dan B adalah basis V,

maka berikut ini adalah pernyataan yang ekivalen:

a) T adalah satu-ke-satu

b) [T]_B dapat dibalikkan

Karena itu, maka

[

T

-1

_]

7.5 SIMILARITAS

Jika A dan B adalah matriks bujur-sangkar, dikatakan

B

SIMILAR dengan A

jika ada sebuah matriks P yang

dapat dibalikkan sehingga

B = P

-1

_AP

Sebuah matriks bujur-sangkar dikatakan

invarian

similaritas

jika sifatnya berbagi dengan dua matriks

CONTOH

Misalkan

T:R

2



_R

2

_{adalah operator linear dengan rumus:}

Tentukan det(T)

JAWABAN:

Basis B: