RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)

RUANG VEKTOR

1

Nurdinintya Athari (NDT)

RUANG VEKTOR

Sub Pokok Bahasan

• Ruang Vektor Umum

• Subruang

• Basis dan Dimensi

• Basis Subruang

Beberapa Aplikasi Ruang Vektor

• Beberapa metode optimasi

• Sistem kontrol

• Operation Research

• dan lain-lain

Ruang Vektor Umum

Misalkan dan k, l  Riil

V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan.

Untuk setiap 2.

3.

4. Terdapat sehingga untuk setiap berlaku

5. Untuk setiap terdapat sehingga

V w

v

u , , 

V v

u V

v

u ,  maka   u

v v

u   

 v w   u v  w

u     

u u u  0  0  

V

0 u V

V

u 

 

^{u u }

^{   }

^{ u   u  u  0}

6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar.

Untuk setiap dan k  Riil maka 7.

8.

9.

10.

V

u  k u  V



^{u v}



^{ku kv}

k   



^{k  l}



^{u  ku lu}

     

^{lu l ku kl u}

k  

u u  . 1

Contoh :

1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar).

Notasi : Rⁿ (Ruang Euclides orde n)

• R : Bilangan real

• R² : Vektor di bidang

• R³ : Vektor di ruang tiga dimensi

2. Himpunan matriks berukuran m x n dengan operasi

standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar),

Notasi : M_mxn (Ruang Matriks mxn)

3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.

Notasi : P_n (Ruang Polinom orde n)

Ruang Euclides orde n

Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:

• Penjumlahan

• Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)

• Perkalian Titik (Euclidean inner product)

• Panjang vektor didefinisikan oleh :

• Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :



^{u v u v u}_n ^v_n



v

u   ₁  ₁, ₂  ₂,..., 



^{ku ku ku}_n



u

k  ₁, ₂,...,

n nv u v

u v

u v

u   _{1 1}  _{2 2} ...

u u¹²

u  

 

^{u v u v}

d ,      2 2²  ²

2 1

1 v u v ... u_n v_n

u      



2 2

2 2

1 u ... u_n

u   



Contoh :

Diketahui dan

Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut Jawab:

Panjang vektor : Jarak kedua vektor



^{1, 1, 2, 3}





u ^{v }



^{2, 2, 1, 1}



 

^{u v u v}

d ,  



u u



¹²

u    1² 1² 2² 3²  15 10

1 1 2

2²  ²  ²  ² 

 v



12

 

²  12

 

²  21

 

²  31



²



   

7

2 1 1

1 ^{2 2 2 2}















Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V.

W dinamakan subruang (subspace) V jika W juga merupakan ruang vektor yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.

Syarat W disebut subruang dari V adalah : 1. W  { }

2. W  V

3. Jika maka

4. Jika dan k  Riil maka

W v

u ,  u  v  W W

u  k u  W

Contoh 1:

Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2x2

Jawab :

2. Jelas bahwa W  M_2x2

3. Ambil sembarang matriks A, B  W

Tulis dan

0 maka 0

0

1. O 0 W



 



 

^{W }  



 





0 0

2

1

a

A a 



 



 

0 0

2

1

b B b

Perhatikan bahwa :

Ini menunjukan bahwa

4. Ambil sembarang matriks A  W dan k  Riil, maka

Ini menunjukan bahwa

Jadi, W merupakan Subruang dari M_2x2.



 







 



 







 







0 0

0 0 0

0

2 2

1 1

2 1 2

1

b a

b a

b

b a

B a A

W B

A  

ka W

kA ka  



 



 

0 0

2

1

W

kA 

Contoh 2

Apakah W sub ruang dari ruang vektor R³ jika W didefinisikan sebagai {(a,b,c) dimana a.b.c = 0}

Jawab

W = {(a,b,c) dimana a.b.c = 0, a,b,c  R}

Vektor (0,0,0)  W W ≠ { } dan W  R³

Misalkan a = (0,1,2), b = (2,1,0) adalah vector di W c = a + b = (2,2,2) c bukan vector di W

karena 2.2.2 = 8 ≠ 0 W bukan sub ruang di R³

* Jika c di W, kita tidak dapat membuat kesimpulan bahwa W sub ruang dari R³

Contoh 3:

Periksa apakah himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 yang determinannya nol merupakan subruang dari ruang vektor M_2x2

Jawab :

 

2 2

1. 0 0 , maka W 0 0

2. Jelas bahwa W

W M

_

 

 

 

 



W= a b det a b 0, , , ,

a b c d R

c d c d

     

   

     

   

 

 

B

A 

_



 





a b

b a

3. Misalkan ambil sembarang matriks A, B  W. Pilih a ≠ b :

=

Jadi W bukan merupakan subruang

karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan Karena a ≠ b

Maka det (A + B ) = a² – b² ≠ 0



 



 

0 0

b A a



 





a B b0 0

, jelas bahwa det (A) = 0 , jelas bahwa det (B) = 0

Contoh 4

Tunjukkan bahwa W : garis yang berasal dari titik pusat di bidang adalah sub ruang dari ruang vektor R²

Jawab

W = {(x,y) | ax + by = 0, a,b  R}

1. Garis x + y = 0 dan x – y = 0  W W ≠ { }

2. Misalkan Garis1: a₁x + b₁y = 0 dan Garis2 : a₂x + b₂y = 0 adalah garis di W

3. Garis3 = Garis1+Garis2 = (a₁+a₂)x + (b₁+b₂)y = 0 ada di W 4. k Garis1= ka₁x + kb₁y = 0 ada di W

Maka, W sub ruang di R²

W  R²

u

v

1 v₂ v_n

n n v k v

k v

k

u  _{1 1}  _{2 2}  ... 

Sebuah vektor dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor , , … ,

jika vektor-vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

dimana k₁, k₂, …, k_n adalah skalar riil.

Contoh

3) 1, – (1, 0)

4,

(2, 

 v

u

0) 0, (0, .

6) 5, (1, .

6) 2, (4, .





 c c

b b

a a

Misal dan adalah vektor-vektor di R³. Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor di atas

















 















 















6

2

4 3

1 -

1 0

4

2

2

1 k

k

















































6

2

4

3 0

1 - 4

1 2

2 1

k k

a. Tulis

akan diperiksa apakah ada k₁, k₂,

sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.

Ini dapat ditulis menjadi:

Jawab :

a v k u

k

₁



₂



















































0 0 0

2 1 0

1 0 1

~ 0 0 0

2 1 0

2

1

~ 6 3 0

2 1 - 4

4 1 2

¹₂

a

^u

v u

a   

 2



dengan OBE, diperoleh:

Dengan demikian, k₁ = 1 dan k₂ = 2

merupakan kombinasi linear dari vektor dan atau

v

b v k u

k   



 ₂

1

















 















 















6

5

1 3

1 -

1 0

4

2

2

1 k

k





















 





















6

5

1 3

0

1 - 4

1 2

2 1

k k

b. Tulis :

ini dapat ditulis menjadi:

1 1 1

2 2 2

2 1 1 1 0 1 1 4 -1 5 ~ 0 -3 3 ~ 0 1 2 ~ 0 3 6 0 3 6 0 0 3

     

     

     

     

     

-12

0 0 1 2 0 0 3

 

 

 

 

 

dengan OBE dapat kita peroleh :

Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa SPL tersebut adalah tidak konsisten (tidak mempunyai solusi).

Jadi, tidak ada nilai k₁ dan k₂ yang memenuhi

 b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari u dan v

c. Dengan memilih k₁ = 0 dan k₂ = 0, maka dapat ditulis

c v

k u

k   





₂

1

artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun.

LATIHAN

u v

a b

Misalkan = (1, 2, -1) dan

Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor di atas

= (9, 2, 7) adalah vektor di R³.

= (6, 4, 2)

b. = (4, -1, 8) a.

c.

c

= (2, 6, 10)

v1

v2

v3

Himpunan vektor

dikatakan membangun suatu ruang vektor V

jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S.

= (1, 1, 2),

= (1, 0, 1), dan

= (2, 1, 3)

Definisi membangun dan bebas linear



^{v v v}_n



S  ₁, ₂, ... ,

Contoh :

Tentukan apakah

membangun V???

















 































3 2 1

3 2 1

3 1 2

1 0 1

2 1 1

u u u

k k k

Jawab :

misalkan

.

Tulis :

.

Sehingga dapat ditulis dalam bentuk : Ambil sembarang vektor di R²

3 3 2

2 1

1

v k v k v

k

u   



















3 2 1

u u u u

Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear

SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten) Dengan OBE diperoleh :

Agar SPL itu konsisten haruslah u₃ – u₂ – u₁ = 0

Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang (unsur-unsurnya bebas, tak bersyarat)

Dengan demikian, vektor-vektor tersebut tidak membangun R³

 ^{u u u}

_n



S 

₁

,

₂

,...,

Misalkan

1 1 2 2 ... _{n n} 0

k u  k u   k u  0 ,

...

, 0 ,

0 ₂

1  k  k_n 

k

S dikatakan bebas linear (linearly independent)

hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni adalah himpunan vektor diruang vektor V

JIKA SPL homogen :

Jika solusinya tidak tunggal,

(Bergantung linear / linearly dependent)

maka S kita namakan himpunan tak bebas linear



1, 3, 2





u ^{a }



^{1, 1, 1}



2

0

1

 

  a k  u

k

















 



 





















 0

0 0 1

2

1 3

1 1 -

2 1

k k

Diketahui dan

Apakah saling bebas linear di R³

Tulis

atau Contoh :

Jawab :

~ 0 0 0 1 2

1 3

1 1 -



















~ 0 0 0 1 0

4 0

1 1















 

















0 0 0 0 0

1 0

0 1

dengan OBE dapat diperoleh :

dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu : k₁ = 0, dan k₂ = 0.

Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.

















 2 3 1 a



















 1 1 1

b 

















 4 6 2 c

c k b k a

k_{1 2 3}

0   

















 







































0 0 0 4

1 2

6 1

3

2 1

1

3 2 1

k k k

,

,

Jawab :

atau Tulis :

Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R³ Contoh :

Misalkan

~ 0 1 0

0 4 0

2 1 1















  















  

0 0

0

0 1

0

2 1

1

c b a, ,

dengan OBE diperoleh :

Ini menunjukan bahwa

k₁, k₂, k₃ merupakan solusi tak hingga banyak

adalah vektor-vektor yang bergantung linear.

Jadi

1 0 0 1 0 0

0 0 0

      1 0

0 1

0 0 0

      1 0

0 1

0 0 0       1 0

0 1

0 0                0

1 0 0 1

0 0               0

Basis dan Dimensi

Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū₁, ū₂, … , ū_n } merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor di V, maka S dinamakan basis bagi V jika kedua syarat berikut dipenuhi :

• S membangun V

• S bebas linear











 



 





 



 









 



 







 



 





 

2 1

0 , 1

4 12

8 , 0

0 1

1 , 0

6 3

6 M 3



 



 



 





 



 









 



 







 



 





 c d

b k a

k k

k 1 2

0 1 4

12

8 0

0 1

1 0

6 3

6 3

4 3

2 1

Contoh :

Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :

merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2 Jawab :

Tulis kombinasi linear :

atau



 



 



 























d c

b a k

k k

k k

k k

k k

k k

k

4 3

1 4

3 2

1

3 2

1 4

1

2 4

6 12

3

8 6

3









































































d c b a

k k k k

4 3 2 1

2 4

0 6

1 12

1 3

0 8

1 6

1 0

0 3

dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks, diperoleh SPL :

Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48

• det(MK)  0  SPL memiliki solusi untuk setiap a,b,c,d Jadi, M membangun M2 x 2

• Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0,

det(MK)  0 SPL homogen punya solusi tunggal.

Jadi, M bebas linear.

Karena M bebas linear dan membangun M_{2 x 2} maka M merupakan basis bagi M_{2 x 2}.

Ingat…

Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal.

Contoh :

Untuk ruang vektor dari M_{2 x 2}, himpunan matriks :











 



 



 



 



 



 



 



 





1 0

0 , 0

0 1

0 , 0

0 0

1 , 0

1 0

0 1

juga merupakan basisnya.





























1 2

2 1

1 3

2 1

1 1 2

1

A Vektor baris

Vektor kolom Misalkan matriks :

dengan melakukan OBE diperoleh :

Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE

matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :













































2 3 1 , 1 1 1

basis ruang baris diperoleh dengan cara, mentransposkan terlebih dahulu matriks A, lakukan OBE pada A^t,

sehingga diperoleh :

Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A).

Ini berarti, matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :









































 

























1 3 2 1 , 1

1 2 1

Dimensi basis ruang baris = ruang kolom dinamakan rank.

Jadi rank dari matriks A adalah 2.

Contoh :

Diberikan SPL homogen : 2p + q – 2r – 2s = 0 p – q + 2r – s = 0 –p + 2q – 4r + s = 0 3p – 3s = 0

Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas Jawab :

SPL dapat ditulis dalam bentuk :



































0 3 0

0 3

0 1 4 2

1

0 1 2

1 1

0 2 2

1 2

























0 0 0

0 0

0 0 0

0 0

0 0 2 1

0

0 1 0

0 1

b a

s r q

p

































































0 1 2 0

1 0 0 1

dengan melakukan OBE diperoleh :

Solusi SPL homogen tersebut adalah :

dimana a, b merupakan parameter.

Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah :





























































0 1 2 0 , 1 0 0 1

Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas.

Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.



 



 8 0

3 6



 





1 3 2

1 



 





4 2

1

0 



 







 2 0

2 4

Latihan Bab 5

1.Nyatakanlah matriks

sebagai kombinasi linear dari matriks berikut : dan

2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear ! a. {6 – x² , 6 + x + 4x² }

b. {1 + 3x + 3x², x + 4x², 5 + 6x + 3x², 7 + 2x – x²} , ,

3. Periksa, apakah himpunan A = {6 – x² , 6 + x + 4x² } membangun polinom orde 2 !



    

 a bx cx² a² b² c² J

4. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan basis bagi polinom orde 2 (P₂)

a. {4 + 6x + x², – 1 + 4x + 2x², 5 + 2x – x²} b. {– 4 + x + 3x², 6 + 5x + 2x², 8 + 4x + x²}

Periksa apakah J merupakan sub ruang dari ruang vektor Polinom orde dua

Jika ya, tentukan basisnya 5. Misalkan

merupakan himpunan bagian dari ruang vektor Polinom orde dua.

6. Diberikan SPL homogen : p + 2q + 3 r = 0

p + 2q – 3 r = 0 p + 2q + 3 r = 0,

Tentukan basis ruang solusi (buktikan) dan tentukan dimensinya.



























1 2

2 1

1 3

2 1

1 1 2

1

7. Tentukan rank dari matriks :