SIFAT SIFAT RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN

(1)

SIFAT – SIFAT

RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN

Dosen Pengampu : Prof. Dr. Sri Wahyuni

DISUSUN OLEH:

Nama : Muh. Zaki Riyanto Nim : 02/156792/PA/08944 Program Studi : Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA

DAERAH ISTIMEWA YOGYAKARTA

2007

(2)

1 Sebelum melangkah lebih jauh untuk membahas sifat – sifat ruang vektor, perlu diberikan terlebih dahulu beberapa definisi dan teorema yang mendasarinya.

Pembaca diharapkan telah memahami beberapa konsep strukur aljabar seperti grup, gelanggang dan lapangan. Diberikan suatu himpunan V dan suatu lapangan F.

Elemen dari V disebut vektor dan elemen dari F disebut skalar.

Ruang vektor mempunyai dua operasi biner, yaitu “+” dan “.” yang masing – masing menotasikan operasi penjumlahan dua vektor dan operasi perkalian antara suatu vektor dan skalar. Berikut diberikan definisi dari ruang vektor.

DEFINISI 1:

Himpunan V disebut ruang vektor (vector space) atas lapangan F jika terhadap operasi biner “+” dan “.” memenuhi aksioma – aksioma di bawah ini. Untuk setiap , ,u v w V∈ dan ,k l F∈ ,

1) u v V+ ∈ , 2) u v v u+ = + ,

3) u+ +(v w) (= + + , u v) w

4) terdapat suatu elemen 0 V∈ sedemikian sehingga u+ = , 0 u 5) terdapat u V− ∈ sedemikian sehingga u+ − = , ( ) 0u

6) .k u V∈ ,

7) untuk suatu skalar 1∈F u u,1. = , 8) .(k u v+ =) k u k v. + . ,

9) (k l u k u l u+ ). = . + . , 10) ( ).kl u k l u= .( . ).

(3)

2 Aksioma 1 – 5 menunjukkan bahwa ( , )V + merupakan grup abelian (grup yang komutatif) terhadap operasi penjumlahan vektor. Aksioma 4 menunjukkan adanya vektor nol yaitu 0 V∈ yang menjadi elemen identitas terhadap operasi penjumlahan. Aksioma 5 menunjukkan adanya elemen invers untuk setiap vektornya yaitu vektor −u. Aksioma 6 menunjukkan bahwa V tertutup terhadap operasi perkalian skalar. Aksioma 8 dan 9 menunjukkan sifat distributif. Dan aksioma 10 menunjukkan bahwa operasi perkalian skalar bersifat assosiatif.

CONTOH 1:

Diberikan ^M^{m n}×

( )

himpunan semua matriks berukuran m n× atas dan lapangan dari bilangan – bilangan real terhadap operasi “+” dan “.”. Jika didefinisikan:

⊕ : operasi penjumlahan matriks

: operasi perkalian skalar dengan matriks, maka Mm n_×

( )

merupakan ruang vektor atas lapangan .

TEOREMA 1:

Misalkan V adalah suatu ruang vektor atas lapangan F, u vektor pada V dan sebuah skalar k F∈ . Maka

1) 0.u= . 0 2) .0 0k = . 3) ( 1).u− = − . u

4) Jika .k u= , maka 0 k= atau 0 u= . 0

(4)

3 DEFINISI 2:

Subset W dari suatu ruang vektor V disebut subruang V jika W merupakan ruang vektor terhadap operasi yang sama pada ruang vektor V.

Berikut ini deberikan sebuah teorema yang dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa suatu subset dari ruang vektor itu merupakan subruang dari ruang vektor tersebut. Jadi, untuk menunjukkan bahwa subset tersebut adalah subruang tidak harus menunjukkan ke sepuluh aksioma di atas (definisi 1) berlaku.

TEOREMA 2:

Jika W adalah subset tidak kosong dari suatu ruang vektor V, maka W merupakan subruang V jika dan hanya jika dipenuhi sifat-sifat di bawah ini

1) untuk setiap ,u v V∈ , maka u v W+ ∈ ,

2) untuk setiap k F∈ dan u W∈ , maka .k u W∈ .

Setiap ruang vektor pada V mempunyai paling sedikit dua subruang, yaitu V sendiri dan himpunan

{ }

⁰ yang elemennya hanya vektor nol saja, subruang ini sering disebut dengan subruang nol.

TEOREMA 3:

Jika V ruang vektor atas lapangan F, dan U, W subruang dari V, maka 1) U W∩ subruang dari V.

2) ^{U W}+ = +

{

u w u U w W^: ∈ ^, ∈

}

subruang dari V.

(5)

4 Perhatikan sistem persamaan linear berikut.

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

. . ... .

n n n n

m m mn n m

a x a x a x b

+ + + =

atau, dalam notasi matriks, Ax = b. Suatu vektor

1 2

n

s s s

s

= pada ⁿ disebut dengan

vektor penyelesaian (solution vector) dari sistem persamaan tersebut jika

1 1, 2 2,..., _n _n

x =s x =s x = merupakan penyelesaiannya. Dapat ditunjukkan bahwa s

himpunan semua vektor penyelesaian dari sistem homogen tersebut merupakan subruang dari ⁿ, dan disebut dengan ruang penyelesaian (solution space).

DEFINISI 3:

Suatu vektor w disebut kombinasi linear dari vektor – vektor v v₁, ,...,₂ v jika _r vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk

1 1. 2. 2 ... _r. _r w k v k v= + + +k v dengan k k₁, ,...,₂ k adalah skalar. r

DEFINISI 4:

Misal V ruang vektor atas lapangan F, dan S =

{

v v1, ,...,2 vr

}

subset V.

Himpunan W yang elemennya terdiri dari semua kombinasi linear dari vektor – vektor di S disebut himpunan yang dibangun oleh v v₁, ,...,₂ v (dibangun oleh S), dan _r

1, ,...,2 _r

v v v membangun/pembangun W, dinotasikan dengan W =span( )S .

(6)

5 TEOREMA 4:

Jika V ruang vektor atas lapangan F dan S =

{

v v1, ,...,2 vr

}

subset V, maka 1) W =span( )S subruang V.

2) W merupakan subruang terkecil yang memuat S, yaitu jika terdapat W’

subruang dari V dan S subset W’, maka W subset W’.

3) W =^{span( )}S =

{

U U: subruang danV S U⊂

}

yaitu irisan semua subruang dari V yang memuat S.

TEOREMA 5:

Misal V ruang vektor atas lapangan F, dan S =

{

v v1, ,...,2 v_r

}

,

{

1, ,...,2 r

}

S′ = w w w subset – subset V. Maka span( ) span( )S = S′ jika dan hanya jika untuk setiap i, 1 i r≤ ≤ , berlaku w_i∈span( )S dan v_i∈span( )S′ .

DEFINISI 5:

Misal V ruang vektor atas lapangan F, dan S=

{

v v1, ,...,2 v_r

}

subset V.

Himpunan S dikatakan bebas linear jika k v k v_{1 1}. + ₂. ₂+ +... k v_n. _n = hanya 0 mempunyai penyelesaian k₁ =k₂ = =... k_n = . Jika terdapat penyelesaian lain yang 0 tidak nol, maka himpunan S dikatakan tidak bebas linear.

TEOREMA 6:

Misal S =

{

v v1, ,...,2 v_r

}

adalah himpunan vektor – vektor di ⁿ. Jika r n> , maka S tidak bebas linear.

(7)

6 TEOREMA 7:

Misal V ruang vektor atas lapangan F, S subset V dengan S ≥2, maka berlaku :

1) S tidak bebas linear jika dan hanya jika terdapat paling sedikit satu vektor di S yang dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor lain di S.

2) S bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor dari S yang merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor yang lain di S.

TEOREMA 7:

Misal V ruang vektor atas lapangan F, S subset V dengan S < ∞. Jika S memuat vektor nol, maka S tidak bebas linear.

DEFINISI 6:

Misal V ruang vektor atas lapangan F dan S =

{

v v1, ,...,2 v_r

}

subset V. Jika S bebas linear dan span(S) = V, maka S disebut basis untuk V.

TEOREMA 8:

Misal V ruang vektor atas lapangan F dan S=

{

v v1, ,...,2 vn

}

basis untuk V dan

{

1, ,...,2 m

}

S′ = w w w subset V.

1) Jika m n> , maka S′ tidak bebas linear.

2) Jika m n< , maka span( )S′ ≠ . V

3) Jika S′ =

{

w w1, ,...,2 w_m

}

basis untuk V, maka n = m.

(8)

7 DEFINISI 7:

Dimensi dari suatu ruang vektor V atas lapangan F, ditulis dim(V) didefinisikan sebagai banyaknya vektor dalam basis untuk V. Dimensi dari ruang vektor nol didefinisikan dengan 0.

TEOREMA 9:

Misal V ruang vektor atas lapangan F, S subset tak kosong dari V.

1) Jika S bebas linear dan v V v∈ , ∉span( )S , maka ^S^∪

{ }

^v bebas linear.

2) Jika v S∈ dan v dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor yang lain di S, maka ^span

(

^S⁻

{ }

^v

)

⁼^{span( )}^S ^.

TEOREMA 10:

Misal V ruang vektor atas lapangan F dengan dim(V) = n dan

{

1, ,...,2 n

}

S = v v v subset V, maka S basis untuk V jika span(S) = V atau S bebas linear.

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard, 2000, Elementary Linear Algebra: Eight Edition, John Willey and Sons, Inc., New York.

Vanstone, Scott A. and van Oorschot, Paul C., 1989, An Introduction to Error Correcting Codes with Applications, Kluwer Academic Publishers, Massachusetts, USA.