Vol. 4, No. 2, November 2007, 45–51
KONSTRUKSI RUANG 2-NORM SEBAGAI LUASAN
YANG DIRENTANG OLEH DUA VEKTOR
Sadjidon
1, H. Gunawan
21Jurusan Matematika,2Departemen Matematika 1Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
2Institut Teknologi Bandung, Bandung 2[email protected]
Abstrak
Pada paper ini akan dikaji tentang pengkonstruk-sian ruang 2-norm yang didasari oleh sifat-sifat or-thogonalitas dari dua vektor sehingga diperoleh pen-definisikan ruang 2-norm, khususnya untuk ruang ℓ2.
Katakunci:Ruang ℓ2, orthogonalitas, ruang 2-norm.
1. Pendahuluan
Ruang
ℓ
2yang dilengkapi dengan inner product
h
x, y
i
=
P
jx
jy
j,
merupak-an rumerupak-ang inner product. Begitu juga rumerupak-ang
ℓ
2yang dilengkapi dengan
nor-ma
k
x
k
=
∞P
k=1|
x
k|
2 1 2merupakan ruang Banach. Selanjutnya dual dari
ruang
ℓ
2yaitu himpunan dari semua fungsional linier kontinu pada ruang
ℓ
2yang dinotasikan dengan
ℓ
2∗adalah ruang
ℓ
2juga. Jika
f
∈
ℓ
2∗,
maka
f
∈
ℓ
2dan dapat diinterpretasikan untuk
f
(
x
) =
P
jx
jz
j=
h
x, z
i
,
dengan
x
∈
ℓ
2, z
∈
ℓ
2∗=
ℓ
2.
Sekarang pandang
S
himpunan semua barisan bilangan real dan
meru-pakan ruang vektor atas field
R
. Setiap subruang vektor
S
juga merupakan
ruang barisan. Untuk
X
subruang
S
didefinisikan suatu fungsi bernilai real
k•
, ...,
•k
pada
X
nyang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
1.
k
x
1, x
2, ..., x
nk
= 0, jika dan hanya jika
x
1, x
2, ..., x
ndependen linier
2.
k
x
1, x
2, ..., x
nk
invarian terhadap permutasi
3.
k
x
1, x
2, ..., αx
nk
=
|
α
| k
x
1, x
2, ..., x
nk
untuk setiap
α
∈
R
4.
k
x
1, x
2, ..., x
n−1, y
+
z
k ≤ k
x
1, x
2, ..., x
n−1, y
k
+
k
x
1, x
2, ..., x
n−1, z
k
disebut
n
-norma pada
X
dan pasangan (
X,
k•
, ...,
•k
) disebut ruang
n
-norma.
Pada [2], [3] telah dikonstruksi dan dijabarkan tentang 2-norma, yang
disebut sebagai 2-norma standar, selanjutnya dengan memperhatikan
sifat-sifat orthogonalitas dari [1], [4], maka dikonstruksi 2-norma sehingga
dipe-roleh pendefinisian ruang 2-norm.
2. Ruang
ℓ
2dan
n
-norma Standarnya
Sebelum menjabarkan n-norma dijelaskan untuk 2-norma pada ruang
ℓ
2yang diberikan sebagai berikut :
k
x, y
k
=
Sup
(
h
x, z
i
h
y, z
i
h
x, w
i h
y, w
i
:
z, w
∈
ℓ
2,
k
z
k
,
k
w
k ≤
1
)
.
Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz diperoleh
hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi ≤ hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi 1 2 hz, zi hz, wi hw, zi hw, wi 1 2 ≤ hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi 1 2 .
Hasil ini menunjukkan bahwa hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi 1 2
merupakan batas atas dari him-punan hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi : z, w∈ℓ2,kzk,kwk ≤1
dan ini berarti bahwa :
Sup hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi :z, w∈ℓ2,kzk,kwk ≤1 ≤ hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi 1 2 (1) Selanjutnya untukz= x kxk ;w= y−αx ky−αxk = y′
ky′k denganzdany′ orthogonal, juga
memenuhikzk,kwk ≤1, maka diperoleh hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi = D x, x kxk E D y, x kxk E D x,kyy′′k E D y,kyy′′k E = hx, xi hy, xi hx, y′i hy, y′i kxk ky′k = hx, xi hy, xi hx, yi hy, yi kxk ky′k .
dengan menggunakan sifat-sifat determinan dan sifat-sifat inner product diperoleh juga bahwa hx, xi hy, xi hx, yi hy, yi 1 2 = hx, xi hy, xi hx, y′i hy, y′i 1 2 = hx, xi hy′, xi hx, y′i hy′, y′i 1 2 =kxk ky′k sehingga hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi = kxk ky′k hx, xi hy, xi hy, xi hy, yi 1 2 kxk ky′k = hx, xi hy, xi hx, yi hy, yi 1 2 .
Hasil ini menunjukkan bahwa hx, xi hy, xi hx, yi hy, yi 1 2 = hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi ≤Sup hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi :z, w∈ℓ2,kzk,kwk ≤1 (2) Dengan demikian dari Persamaan (1) dan Persamaan (2) diperoleh 2-norma pada ruangℓ2 adalah kx, yk=Sup hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi :z, w∈ℓ2,kzk,kwk ≤1 = hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi 1 2
dan 2-Norma kx, yk tidak lain adalah luasan yang direntang oleh vektor-vektor
x dan y. Selanjutnya akan dijabarkan untuk n-normanya dalam ruang ℓ2 yang dikenal sebagai ruang inner product dengan inner producthx, yi=P
j
xjyj, dapat dilengkapi dengann-normanya
kx1, x2, ..., xnk= hx1, x1i ... hx1, xni .. .. .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2
merupakan ruangn-norma standar sehingga ruangℓ2 merupakan ruangn-norma. Khususnya jikan= 2 , maka 2-norma standar untuk ruangℓ2 adalah :
kx, yk= hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi 1 2 .
Untukn-norma pada ruang ℓp khususnya ruang ℓ2, penjabarannya dan pengem-bangannya dalam [2].
Sekarang akan dijabarkan n-norma pada ruang ℓ2 menurut pendefinisian [1] dengann-norma nya sebagai berikut :
kx1, ..., xnk =Sup f1(x1) ... f1(xn) .. ... .. fn(x1) ... fn(xn) :f1, ..., fn∈ ℓ2 ∗ =ℓ2,kf 1k, ...,kfnk ≤1
atau dapat dituliskan
kx1, ..., xnk =Sup hx1, z1i ... hx1, zni .. ... .. hxn, z1i ... hxn, zni :z1, ..., zn ∈ℓ2,kz1k, ...,kznk ≤1 .
Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz didapatkan hx1, z1i ... hx1, zni .. ... .. hxn, z1i ... hxn, zni ≤ hx1, x1i ... hx1, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2 hz1, z1i ... hz1, zni .. ... .. hzn, z1i ... hzn, zni 1 2 . ≤ hx1, x1i ... hx1, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2
ini menunjukkan hx1, x1i ... hx1, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2
batas atas dari himpunan
hx1, z1i ... hx1, zni .. ... .. hxn, z1i ... hxn, zni :z1, ..., zn∈ℓ2,kz1k, ...,kznk ≤1 berarti bahwa kx1, ..., xnk =Sup f1(x1) ... f1(xn) .. ... .. fn(x1) ... fn(xn) :f1, ..., fn∈ ℓ2 ∗ =ℓ2,kf1k, ...,kfnk ≤1 ≤ hx1, x1i ... hx1, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2 .
Selanjutnya untuk {z1, z2, ..., zn} yang merupakan hasil proses orthonormalisasi Gram-Schmidt terhadap{x1, x2, ..., xn}, juga memenuhikz1k,kz2k, ...,kznk= 1, maka diperoleh hx1, z1i ... hx1, zni .. ... .. hxn, z1i ... hxn, zni = hx1, x1i ... hx1, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2
Hasil ini menunjukkan bahwa hx1, x1i ... hx1, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2 = hx1, z1i ... hx1, zni .. ... .. hxn, z1i ... hzn, zni ≤Sup hx1, z1i ... hx1, zni .. ... .. hxn, z1i ... hxn, zni :z1, ..., zn∈ℓ2,kz1k, ...,kznk ≤1
Dengan demikian dapat diperoleh
kx1, ..., xnk = Sup ( hx1, z1i ... hx1, zni .. ... .. hxn, z1i ... hxn, zni :z1, ..., zn∈ℓ2, kz1k, ...,kznk ≤1 ) = hx1, x1i ... hx1, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2
Sekarang diberikan fungsional linier padaℓ2 × ℓ2yang diberikan f(u) = ∞ X k=1 x1k+x2k wk =hx1, wi+hx2, wi denganu= (x1, x2)∈ℓ2 × ℓ2 dan w∈ ℓ2 ∗ =ℓ2 dankuk=kx 1k+kx2k Maka 2-Norma pada ruangℓ2 × ℓ2 didefinisikan menurut [1] dapat disajikan dengan
ku, vk=Sup f(u) f(v) f(v) g(v) , f, g∈ ℓ2∗ =ℓ2,kfk,kgk ≤1
denganu= (x1, x2) , v= (y1, y2). Sehingga dapat dituliskan dengan
ku, vk=Sup hx1+x2, wi hy1+y2, wi hx1+x2, zi hy1+y2, zi , w, z∈ ℓ2∗ =ℓ2,kwk,kzk ≤1 .
Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz diperoleh hx1+x2, wi hy1+y2, wi hx1+x2, zi hy1+y2, zi ≤ k x1, y1k+kx1, y2k+kx2, y1k+kx2, y2k=kuk kvk
Hasil ini menunjukkan bahwakuk kvkbatas atas dari himpunan hx1+x2, wi hy1+y2, wi hx1+x2, zi hy1+y2, zi , w, z∈ ℓ2∗ =ℓ2,kwk,kzk ≤1 dengan demikian ku, vk =Sup hx1+x2, wi hy1+y2, wi hx1+x2, zi hy1+y2, zi , w, z∈ ℓ2∗ =ℓ2,kwk,kzk ≤1 ≤ kuk kvk
Dari hasil yang dijabarkan diatas tentang 2-norma padaℓ2× ℓ2dapat dilanjutkan 2-norma untuk ruang ℓ2n
=ℓ2×...×ℓ2. Untuk itu dalamℓ2×ℓ2apakah suatu luasan yang dibentang dari jumlahan vektor yaitu (x1+x2) dan (y1+y2), begitu juga dalam ℓ2n
=ℓ2×...× ℓ2.apakah luasan yang dibentang oleh jumlahan dari vektor.
Pustaka
[1] C.R. Diminnie, A New Orthogonality Relation for Normed Linear Spaces, Math.Nachr.114 (197-203), 1983.
[2] H. Gunawan dan M. Mashadi, On n-normed spaces, Int.J.Math.Sci, (to ap-pear).
[3] H. Gunawan, The space of p-Summable sequences and its natural n-Norm, Bull.Austral.Math.Soc, Vol.64(137-147), 2001.
[4] J.R Partington, Orthogonality in Normed Spaces, Bull.Austral.Math.Soc.33 (449-455), 1986.
[5] Kreyszig,Introductory Fuctional Analysis with Applications, John Wiley and Son. Inc, 1978.