Konstruksi Ruang 2-norm sebagai Luasan yang Direntang oleh Dua Vektor

Vol. 4, No. 2, November 2007, 45–51

KONSTRUKSI RUANG 2-NORM SEBAGAI LUASAN

YANG DIRENTANG OLEH DUA VEKTOR

Sadjidon

1

_{, H. Gunawan}

2

1_{Jurusan Matematika,}2_{Departemen Matematika} 1_{Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya}

2_{Institut Teknologi Bandung, Bandung} 2_{hgunawan@dns.math.itb.ac.id}

Abstrak

Pada paper ini akan dikaji tentang pengkonstruk-sian ruang 2-norm yang didasari oleh sifat-sifat or-thogonalitas dari dua vektor sehingga diperoleh pen-definisikan ruang 2-norm, khususnya untuk ruang ℓ2_.

Katakunci:_{Ruang ℓ}2_{, orthogonalitas, ruang 2-norm.}

1. Pendahuluan

Ruang

ℓ

2

_{yang dilengkapi dengan inner product}

_h

_{x, y}

_i

₌

P

j

x

j

y

j

,

merupak-an rumerupak-ang inner product. Begitu juga rumerupak-ang

ℓ

2

_{yang dilengkapi dengan}

nor-ma

k

x

k

=

∞

P

k=1

|

x

k

|

2

1 2

merupakan ruang Banach. Selanjutnya dual dari

ruang

ℓ

2

_{yaitu himpunan dari semua fungsional linier kontinu pada ruang}

ℓ

2

yang dinotasikan dengan

ℓ

2

∗

adalah ruang

ℓ

2

juga. Jika

f

∈

ℓ

2

∗

,

maka

f

∈

ℓ

2

_{dan dapat diinterpretasikan untuk}

_f

₍

_x

_{) =}

P

j

x

j

z

j

=

h

x, z

i

,

dengan

x

∈

ℓ

2

_{, z}

_∈

_ℓ

2

∗

=

ℓ

2

_.

Sekarang pandang

S

himpunan semua barisan bilangan real dan

meru-pakan ruang vektor atas field

R

. Setiap subruang vektor

S

juga merupakan

ruang barisan. Untuk

X

subruang

S

didefinisikan suatu fungsi bernilai real

k•

, ...,

•k

pada

X

n

yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :

1.

k

x

₁

, x

₂

, ..., x

n

k

= 0, jika dan hanya jika

x

1

, x

2

, ..., x

n

dependen linier

2.

k

x

₁

, x

₂

, ..., x

n

k

invarian terhadap permutasi

3.

k

x

₁

, x

₂

, ..., αx

n

k

=

|

α

| k

x

1

, x

2

, ..., x

n

k

untuk setiap

α

∈

R

4.

k

x

₁

, x

₂

, ..., x

n−₁

, y

+

z

k ≤ k

x

₁

, x

₂

, ..., x

n−₁

, y

k

+

k

x

₁

, x

₂

, ..., x

n−₁

, z

k

disebut

n

-norma pada

X

dan pasangan (

X,

k•

, ...,

•k

) disebut ruang

n

-norma.

Pada [2], [3] telah dikonstruksi dan dijabarkan tentang 2-norma, yang

disebut sebagai 2-norma standar, selanjutnya dengan memperhatikan

sifat-sifat orthogonalitas dari [1], [4], maka dikonstruksi 2-norma sehingga

dipe-roleh pendefinisian ruang 2-norm.

2. Ruang

ℓ

2

_dan

n

_{-norma Standarnya}

Sebelum menjabarkan n-norma dijelaskan untuk 2-norma pada ruang

ℓ

2

yang diberikan sebagai berikut :

k

x, y

k

=

Sup

(

h

x, z

i

h

y, z

i

h

x, w

i h

y, w

i

:

z, w

∈

ℓ

2

,

k

z

k

,

k

w

k ≤

1

)

.

Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz diperoleh

hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi ≤ hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi 1 2 hz, zi hz, wi hw, zi hw, wi 1 2 ≤ hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi 1 2 .

Hasil ini menunjukkan bahwa hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi 1 2

merupakan batas atas dari him-punan hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi : z, w∈ℓ2_{,kzk,kwk ≤1}

dan ini berarti bahwa :

Sup hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi :z, w∈ℓ2,kzk,kwk ≤1 ≤ hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi 1 2 (1) Selanjutnya untukz= x kxk ;w= y−αx ky−αxk = y′

ky′k denganzdany′ orthogonal, juga

memenuhikzk,kwk ≤1, maka diperoleh hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi = D x, x kxk E D y, x kxk E D x,_ky_y′′k E D y,_ky_y′′k E = hx, xi hy, xi hx, y′_{i hy, y}′_i kxk ky′_k = hx, xi hy, xi hx, yi hy, yi kxk ky′_k .

dengan menggunakan sifat-sifat determinan dan sifat-sifat inner product diperoleh juga bahwa hx, xi hy, xi hx, yi hy, yi 1 2 = hx, xi hy, xi hx, y′i hy, y′i 1 2 = hx, xi hy′_{, xi} hx, y′i hy′, y′i 1 2 =kxk ky′k sehingga hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi = kxk ky′k hx, xi hy, xi hy, xi hy, yi 1 2 kxk ky′_k = hx, xi hy, xi hx, yi hy, yi 1 2 .

Hasil ini menunjukkan bahwa hx, xi hy, xi hx, yi hy, yi 1 2 = hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi ≤Sup hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi :z, w∈ℓ2_{,kzk,kwk ≤1} (2) Dengan demikian dari Persamaan (1) dan Persamaan (2) diperoleh 2-norma pada ruangℓ2 _adalah kx, yk=Sup hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi :z, w∈ℓ2,kzk,kwk ≤1 = hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi 1 2

dan 2-Norma kx, yk tidak lain adalah luasan yang direntang oleh vektor-vektor

x dan y. Selanjutnya akan dijabarkan untuk n-normanya dalam ruang ℓ2 _yang dikenal sebagai ruang inner product dengan inner producthx, yi=P

j

xjyj, dapat dilengkapi dengann-normanya

kx₁, x₂, ..., xnk= hx₁, x₁i ... hx₁, xni .. .. .. hxn, x₁i ... hxn, xni 1 2

merupakan ruangn-norma standar sehingga ruangℓ2 _{merupakan ruangn-norma.} Khususnya jikan= 2 , maka 2-norma standar untuk ruangℓ2 _{adalah :}

kx, yk= hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi 1 2 .

Untukn-norma pada ruang ℓp _{khususnya ruang ℓ}2_{, penjabarannya dan} pengem-bangannya dalam [2].

Sekarang akan dijabarkan n-norma pada ruang ℓ2 _{menurut pendefinisian [1]} dengann-norma nya sebagai berikut :

kx₁, ..., xnk =Sup    f1(x1) ... f1(xn) .. ... .. fn(x1) ... fn(xn) :f₁, ..., fn∈ ℓ2 ∗ =ℓ2_,kf 1k, ...,kfnk ≤1   

atau dapat dituliskan

kx₁, ..., xnk =Sup    hx₁, z₁i ... hx₁, zni .. ... .. hxn, z1i ... hxn, zni :z₁, ..., zn ∈ℓ2,kz1k, ...,kznk ≤1    .

Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz didapatkan hx₁, z₁i ... hx₁, zni .. ... .. hxn, z1i ... hxn, zni ≤ hx₁, x₁i ... hx₁, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2 hz₁, z₁i ... hz₁, zni .. ... .. hzn, z1i ... hzn, zni 1 2 . ≤ hx₁, x₁i ... hx₁, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2

ini menunjukkan hx1, x1i ... hx1, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2

batas atas dari himpunan

   hx₁, z₁i ... hx₁, zni .. ... .. hxn, z1i ... hxn, zni :z₁, ..., zn∈ℓ2,kz1k, ...,kznk ≤1    berarti bahwa kx₁, ..., xnk =Sup    f1(x1) ... f1(xn) .. ... .. fn(x1) ... fn(xn) :f₁, ..., fn∈ ℓ2 ∗ =ℓ2,kf₁k, ...,kfnk ≤1    ≤ hx₁, x₁i ... hx₁, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2 .

Selanjutnya untuk {z₁, z₂, ..., zn} yang merupakan hasil proses orthonormalisasi Gram-Schmidt terhadap{x₁, x₂, ..., xn}, juga memenuhikz1k,kz2k, ...,kznk= 1, maka diperoleh hx₁, z₁i ... hx₁, zni .. ... .. hxn, z1i ... hxn, zni = hx₁, x₁i ... hx₁, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2

Hasil ini menunjukkan bahwa hx1, x1i ... hx1, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2 = hx1, z1i ... hx1, zni .. ... .. hxn, z1i ... hzn, zni ≤Sup    hx₁, z₁i ... hx₁, zni .. ... .. hxn, z1i ... hxn, zni :z₁, ..., zn∈ℓ2,kz1k, ...,kznk ≤1   

Dengan demikian dapat diperoleh

kx₁, ..., xnk = Sup ( hx₁, z₁i ... hx₁, zni .. ... .. hxn, z₁i ... hxn, zni :z₁, ..., zn∈ℓ2, kz₁k, ...,kznk ≤1 ) = hx₁, x₁i ... hx₁, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2

Sekarang diberikan fungsional linier padaℓ2 _{× ℓ}2_{yang diberikan} f(u) = ∞ X k₌₁ x1k+x2k wk =hx1, wi+hx2, wi denganu= (x1, x2)∈ℓ2 × ℓ2 dan w∈ ℓ2 ∗ =ℓ2 _dankuk=kx 1k+kx2k Maka 2-Norma pada ruangℓ2 _{× ℓ}2 _{didefinisikan menurut [1] dapat disajikan dengan}

ku, vk=Sup f(u) f(v) f(v) g(v) , f, g∈ ℓ2∗ =ℓ2_{,kfk,kgk ≤1}

denganu= (x₁, x₂) , v= (y₁, y₂). Sehingga dapat dituliskan dengan

ku, vk=Sup hx1+x2, wi hy1+y2, wi hx₁+x₂, zi hy1+y2, zi , w, z∈ ℓ2∗ =ℓ2_{,kwk,kzk ≤1} .

Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz diperoleh hx1+x2, wi hy1+y2, wi hx₁+x₂, zi hy1+y2, zi ≤ k x₁, y₁k+kx₁, y₂k+kx₂, y₁k+kx₂, y₂k=kuk kvk

Hasil ini menunjukkan bahwakuk kvkbatas atas dari himpunan hx₁+x₂, wi hy₁+y₂, wi hx₁+x₂, zi hy₁+y₂, zi , w, z∈ ℓ2∗ =ℓ2,kwk,kzk ≤1 dengan demikian ku, vk =Sup hx₁+x₂, wi hy₁+y₂, wi hx₁+x₂, zi hy₁+y₂, zi , w, z∈ ℓ2∗ =ℓ2,kwk,kzk ≤1 ≤ kuk kvk

Dari hasil yang dijabarkan diatas tentang 2-norma padaℓ2_{× ℓ}2_{dapat dilanjutkan} 2-norma untuk ruang ℓ2n

=ℓ2_×...×ℓ2_{. Untuk itu dalamℓ}2_×ℓ2_{apakah suatu} luasan yang dibentang dari jumlahan vektor yaitu (x₁+x₂) dan (y₁+y₂), begitu juga dalam ℓ2n

=ℓ2_{×...× ℓ}2_{.apakah luasan yang dibentang oleh jumlahan} dari vektor.

Pustaka

[1] C.R. Diminnie, A New Orthogonality Relation for Normed Linear Spaces, Math.Nachr.114 (197-203), 1983.

[2] H. Gunawan dan M. Mashadi, On n-normed spaces, Int.J.Math.Sci, (to ap-pear).

[3] H. Gunawan, The space of p-Summable sequences and its natural n-Norm, Bull.Austral.Math.Soc, Vol.64(137-147), 2001.

[4] J.R Partington, Orthogonality in Normed Spaces, Bull.Austral.Math.Soc.33 (449-455), 1986.

[5] Kreyszig,Introductory Fuctional Analysis with Applications, John Wiley and Son. Inc, 1978.