RUANG VEKTOR REAL. Kania Evita Dewi

Kania Evita Dewi

Definisi



Vektor adalah besaran yang mempunyai arah.



Notasi:



Notasi panjang vektor:

k a j a i a a a a a ₁ˆ ₂ ˆ ₃ ˆ 3 2 1               2 3 2 2 2 1 a a a a   

Vektor satuan  Vektor dengan panjang atau norm

Operasi vektor



Penjumlahan antar vektor

u

v

u  v

u

v

v

u 

Misalkan dan adalah vektor – vektor didefinisikan

yang berada di ruang yang sama, maka vektor           2 2 1 1 v u v u v u                  n n v u v u v u v u  2 2 1 1

Operasi Vektor 2



Perkalian vektor

1.

Perkalian dengan skalar

u

u

2

u

2



u

 

k

u

u u

u

Perkalian vektor dengan skalar k,

didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang vektor dengan arah

Jika k > 0  searah dengan

Jika k < 0  berlawanan arah dengan        2 1 ka ka a k              n ka ka ka a k  2 1

Ruang Vektor

Misalkan _{u,v, w V} dan k ,l R

V dikatakan RuangVektor jika terpenuhi aksioma: V v u V v u,     . 1 u v v u    . 2

   

v w u v w u      . 3 V u u u u V         0 0 0 , . 4

 

0 , . 5 uV uV  u  u  V u k V u R k  ,    . 6

 

lu

 

kl u k  . 7

 

u v ku kv k    . 8



k l



u  ku  lu . 9 u u  1 . 10

LATIHAN

1.

Misal V=R

2

adalah himpunan vektor-vektor yang

didefinisikan sebagai berikut

                                  ' ' ' ' y y x x y x y x                      y kx y x k 2.

Misal

                 a b R b a M V _x , 1 1 2 2

dengan penambahan matriks dan perkalian skalar

SUBRUANG

Jika S adalah himpunan bagian tidak kosong dari suatu

ruang vektor V dan S memenuhi syarat-syarat berikut ini

maka berlaku:

a)

k 

u

S

jika

u 

S

Untuk sebarang skalar k

b)

u



v



S

jika

u,v  S

LATIHAN

Cek apakah himpunan berikut subruang.

1.

Semua vektor yang berbentuk

2.

Matriks

3.

Semua vektor yang berbentuk

                a b c d Z d c b a M_2x2 , , ,                       a R a S 0 0                        b a c c b a S

Definisi Kombinasi linier

Sebuah vektro w dinamakan kombinasi linier vektor-vektor dari v₁, v₂, …, v_r jika vektor tersebut dapat ditulis dalam bentuk r r

v

k

v

k

v

k

w



_{1 1}



_{2 2}



...



dimana k₁, k₂, …, k_r adalah skalar

contoh

Tentukanlah kombinasi linier

            3 1 1 u dan            0 4 2 v

















































































0

0

0

.

6

2

4

.

6

5

1

.

3

3

3

.

d

b

c

a

Definisi merentang

Jika v₁, v₂, …, v_r adalah vektor-vektor pada ruang vektor V dan jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier v₁, v₂, …, v_r maka dapat dikatakan vektor-vektor ini merentang.

contoh

Tentukan apakah vektor-vektor yang diberikan dibawah ini merentang R3_.                                                                     8 1 8 , 2 1 4 , 3 1 2 . 0 0 3 , 0 2 2 , 1 1 1 . 3 2 1 3 2 1 v v v b v v v a                                                                                            1 2 6 , 3 4 1 , 4 3 1 , 3 3 1 . 1 4 1 , 9 2 5 , 5 3 2 , 4 1 3 . 4 3 2 1 4 3 2 1 v v v v d v v v v c

Definisi Bebas linier

Jika S = {v₁, v₂, …, v_r} adalah himpunan vektor, maka

persamaan vektor

0

...

2 2 1 1

v



k

v





k

r

v

r



k

Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni

0

...,

,

0

,

0

₂ 1



k



k

r



k

Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S dinamakan himpunan bebas linier. Tetapi jika ada solusi lain maka S dikatakan himpunan tak bebas linier.

teorema

Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah

a. Tak bebas linier jika dan hanya jika paling tidak satu

diantara vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor S lainnya.

b. Bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor S yang

dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor S lainnya.

teorema

a. Jika sebuah himpunan mengandung vektor nol, maka

himpunan itu tak bebas linier.

b. Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vektor

takbebas linier jika dan hanya jika salah satu vektor adalah

contoh

Yang manakah diantara himpunan-himpunan vektor berikut pada R3 _{berbentuk tak bebas linier?}

                                                                                                                              1 2 7 , 3 6 5 , 4 1 0 , 3 3 1 . 3 0 4 , 5 1 2 , 1 1 3 . 4 1 1 , 1 0 6 . 4 10 2 , 2 6 3 , 4 1 2 . d b c a

Definisi BASIS

Jika V adalah sebarang ruang vektor dan

S = {v1, v2, …,vr} merupakan himpunan berhingga dari

vektor-vektor pada V, maka S dinamakan basis untuk V jika

a. S bebas linier b. S merentang V

contoh

Jelaskan mengapa himpunan-himpunan vektor dibawah ini bukan merupakan basis untuk ruangan yang ditunjukkan.

2x2 3 2 1 2 3 2 1 M untuk 9 2 1 7 2 4 1 5 7 1 0 3 4 1 0 6 3 2 1 1 . R untuk , 1 1 6 , 2 3 1 . R untuk , 7 2 , 3 0 , 2 1 .                                                                                E D C B A c u u b u u u a

Definisi dimensi

Dimensi adalah ruang vektor V yang berdimensi berhingga

didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V.

teorema

a. Jika S = {v₁, v₂, …, v_n} adalah sebuah himpunan n vektor

bebas linier pada sebuah ruang V yang berdimensi n, maka

S adalah sebuah basis untuk V.

b. Jika S = {v₁, v₂, …, v_n} adalah sebuah himpunan n yang

merentang ruang V yang berdimensi n, maka S adalah sebuah basis untuk V.

contoh

Tentukanlah dimensi dan basis untuk ruang pemecahan sistem berikut. 0 5 6 0 3 4 0 2 2 3 0 . 4 0 2 6 8 2 0 3 4 . 3 0 5 0 3 . 2 0 0 2 2 0 . 1 3 1 3 2 1 3 2 1                                       z y x z y x z y x z y x d c b a d c b a d c b a d c b a x x x x x x x x

Vektor Koordinat

Misalkan V adalah ruang vektor dengan basis B = {v₁, v₂, …, v_n} dan

_{v }

_V

Vektor Koordinat terhadap basis B adalah:

v

 



























n B

k

k

k

v



2 1

v

v

k

v

k

v

k





...



_{n n}



dimana

2 2 1 1

Vektor koordinat terhadap suatu basis tertentu adalah

tunggal

Contoh

Tentukan vektor koordinat

           5 11 2 v

terhadap basis

                                         5 3 1 , 0 4 1 , 0 0 2 B

Latihan vektor koordinat

 Tentukan vektor koordinat terhadap basis:

1. 2.            8 5 3 v                                          4 3 2 , 2 2 1 , 1 1 1 B                                          17 2 4 , 12 7 3 , 8 4 2 ' B

Matriks transisi

Misalkan B = {b₁, b₂, …,b_n} dan U = {u₁, u₂, …,u_n} basis

untuk ruang vektorV. Matriks transisi dari B ke U adalah

   

 



b

_U

b

_U

b

n _U



P



₁



₂







Dan memenuhi persamaan

   

B

U

P

v

Contoh

a. Carilah matriks transisi dari perubahan basis

 

v

1

, v

2

ke

 

u

1

, u

2

dimana





























5

7

,

3

4

2 1

v

v

dan

_



























3

3

,

1

2

2 1

u

u

b.

Jika

 

_













2

3

v

x

tentukan

 

x

_U



Latihan matriks transisi

1. Tentukan matriks transisi dari basis {u₁, u₂} ke {v₁, v₂}

2. MisalkanV = {v₁, v₂, v₃} dan U = {u₁, u₂, u₃} danV dan U adalah

basis R3, dimana

a. Tentukan matriks transisi dari basis U keV

b. Jika , tentukan vektor koordinat x terhadap basis U

                                 2 1 0 , 1 1 0 , 7 6 4 3 2 1 v v v                                  4 3 2 , 2 2 1 , 1 1 1 3 2 1 u u u 3 2 1 3 4 2v v v x   

Rank dan nulitas

Jika A adalah matriks mxn maka subruang Rm yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A. Subruang dari Rn yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A. Ruang penyelesaian dari sistem persamaan homogen

adalah subruang dari Rn disebut ruang null/ruang kosong

dari A dinotasikan N(A)

0



x

A

Contoh

Misal



























7

2

4

1

1

7

5

3

1

0

1

2

A

Teorema

1.

Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah

matriks

2.

Vektor-vektor baris taknol berbentuk eselon baris dari

matriks A membentuk basis untuk ruang kolom A.

Contoh

Misal



























8

0

0

6

4

2

1

2

1

A

Definisi

Dimensi ruang baris atau ruang kolom matriks A dinamakan

rank A dan dinyatakan dengan rank(A). Nulitas adalah dimensi dari ruang nol.

Pada umumnya jumlah rank dan nulitas akan selalu sama dengan banyak kolom dari matriks.

Contoh 1

Tentukan basis dan dimensi dari ruang kosong A jika ada

               2 6 7 4 4 5 3 1 1 . A a             2 0 2 2 3 5 3 1 4 1 2 1 . A b

Contoh 2

Tentukan basis dari ruang yang direntang oleh vektor-vektor berikut ini!



























1

1

0

1

1

v



























1

7

3

3

2

v



























3

9

3

1

3

v































1

5

3

5

4

v