Bab RUANG VEKTOR UMUM

Bab 5

R

RU

U

A

A

N

N

G

G

VE

V

EK

KT

T

O

O

R

R

Pada bab sebelumnya, kita telah membahas tentang vektor di bidang dan diruang. Selanjutnya, kita akan mencoba memahami pengertian ruang vektor secara umum menurut definisi aljabar. Ini diperlukan sebagai landasan dalam memahami tentang basis dan ruang hasil kali dalam yang banyak dipakai dalam beberapa metode optimasi, sistem kontrol, operation research, dan lain-lain.

5.1 RUANG VEKTOR UMUM

Misalkan u, v, dan w adalah unsur pada ruang V dan k, l merupakan skalar bilangan Riil, maka V dinamakan ruang vektor jika memenuhi syarat berikut ini :

1. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada V maka u + v berada pada V juga.

2. u+v =v +u

3. u +

(

v + w

) (

= u +v

)

+w

4. Terdapat 0 di V sehingga u+0=0+u=u untuk setiap vektor

u di V

5. Untuk setiap u di V, terdapat – u di V yang dinamakan negatif u sehingga u+

( ) ( )

−u = −u +u=0

6. Jika k adalah sebarang skalar dan u berada di V, maka ku berada di V.

7. k

(

u +v

)

=ku+kv

8.

(

k+l

)

u = ku+lu

9. k

( ) ( ) ( )

lu =l ku = kl u

10. Terdapat unsur 1 sebagai unsur identitas perkalian sehingga

u u=

. 1

64 Bab 5 ● Ruang Vektor

Contoh 5.1 :

Berikut adalah beberapa contoh ruang vektor :

1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi

penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar). Notasinya Rn

2. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.

Bentuk umum polinom orde n pn(x) = a0+a1x+…+anxn

qn(x) = b0+b1x+…+bnxn

Operasi standar pada polinom orde n

pn(x)+qn(x) = a0 + b0 + a1x + b1x + … + anxn +bnxn kpn = ka0 + ka1x + … + kanxn

Notasi untuk ruang vektor ini adalah Pn

3. Himpunan matriks berukuran m x n dengan operasi

standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar), ruang vektor ini sering dinotasikan dengan Mmxn

Ruang n–Euclides

Secara geometri vektor-vektor di R4 _{dan seterusnya belum}

bisa digambarkan, tapi operasi-operasi vektor masih sama seperti

pada vektor-vektor di R2 _{dan R}3_{. Orang yang pertama kali}

mempelajari vektor-vektor di Rn _{adalah Euclides sehingga}

vektor-vektor yang berada di ruang Rn _{dikenal sebagai vektor Eucides}

sedangkan ruang vektornya disebuat ruang n–Euclides. Contoh vektor di ruang n–Euclides adalah a = (a1, a2,…, an). Seperti

halnya di R2 _{dan R}3 _{, dua vektor}

(

)

n u u u u= ₁, ₂,..., dan

(

v v vn

v= ₁, ₂,...,

)

pada Rn dikatakan sama jika u1 = v1, u3 = v3, … ,

un = vn.

Beberapa sifat yang berlaku pada ruang vektor Euclides adalah : 1. u+v =v +u

2. (u +

(

v +w

) (

= u +v

)

+w

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 65 4. u+

( )

−u =0, yakni u −u =0 5. k

( ) ( ) ( )

lu =l ku = kl u 6. k

(

u +v

)

=ku+kv 7.

(

k+l

)

u = ku+lu 8. 1.u =u

Sebelum melangkah lebih jauh dalam beberpa pengertian ruang Euclides, berikut adalah beberapa operasi standar pada ruang vektor Euclides, yaitu :

• Penjumlahan

(

u v u v un vn

)

v

u + = ₁+ ₁, ₂ + ₂,..., +

• Perkalian dengan skalar

(

ku ku kun

)

u

k = ₁, ₂,..., k adalah sebarang skalar.

• Perkalian Titik (Euclidean inner product)

n nv u v u v u v u• = _{1 1}+ _{2 2} +...+ Contoh 5.2 : Diketahui u = (–1, 3, 5, 7) dan v = (5, –4, 7, –1) Tentukan u ⋅ v ! Jawab: u . v = (–1)(5) + (3)( –4) + (5)(7) + (7)( –1) = –5 + (–12) + 35 + (– 7) = 11

Panjang vektor dalam suatu ruang vektor Euclides didefinisikan oleh : _u =

(

_u•_u

)

12 2 2 2 2 1 u ... un u + + + = (5.1)

Sementara itu, jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :

( )

u v u v d , = −

(

) (

)

2

(

)

2 2 2 2 1 1 v u v ... un vn u − + − + + − = (5.2)

66 Bab 5 ● Ruang Vektor

Contoh 5.3 :

Diketahui

u

=

(

1

,

1

,

2

,

3

)

dan v =

(

2, 2,1,1

)

Tentukan jarak antara u dan v !

Jawab:

Dengan menggunakan definisi u – v = (–1, –1, 1, 2)

maka jarak dua vektor tersebut adalah : d(u , v) = ((–1)2+(–1)2+12+22)1/2

₌

₇

5.2 SUBRUANG

Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan

subruang V jika W itu sendiri adalah ruang vektor yang tertutup

terhadap operasi penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V. Dengan demikian, syarat agar W dikatakan sebagai subruang dari V adalah :

1. W ≠ { } 2. W ⊆ V

3. Jika u dan v berada pada W maka u + v juga berada pada W

4. Jika u berada di W maka ku juga berada di W, dimana k adalah suatu skalar Riil.

Contoh 5.4 :

Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 yang setiap unsur diagonalnya nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2x2

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 67 (i) Misal O _⎟⎟∈W. Jadi W ≠ { }

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 0 0

(ii) Jelas bahwa W ⊆ Matriks 2x2 (iii) Akan diperiksa apakah A+B ∈ W

Ambil sembarang matriks A, B ∈ W Tulis : dan ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 2 1 a a A _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 2 1 b b B ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + 0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 2 1 2 1 b a b a b b a a B A Terlihat bahwa A+B ∈ W

(iv) Akan diperiksa apakah kA∈W

Untuk k ∈ Riil maka

W ka ka kA _⎟⎟∈ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 2 1

Jadi W merupakan subruang dari ruang vector matriks 2x2

Contoh 5.5 :

Periksa apakah himpunan D yang berisi semua matriks orde 2x2 yang determinannya nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2x2

Jawab :

Ambil sembarang matriks A, B ∈ W Pilih a ≠ b :

, jelas bahwa det (A) = 0

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 b a A

68 Bab 5 ● Ruang Vektor

, jelas bahwa det (A) = 0

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = a b B 0 0 Perhatikan bahwa : B A+ = _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ a b b a

Terlihat bahwa det (A + B ) = a2 _{– b}2_{≠ 0}

Jadi D bukan merupakan subruang karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan

5.3 Basis dan Dimensi

Sebuah vektor u dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor v1, v2, … , vn, jika vektor – vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

n nv k v k v k u= ₁₁+ _{2 2} + ... + (5.3)

dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil. Contoh 5.6 :

Misal u=(2, 4, 0), dan v = (1, –1, 3), adalah vektor-vektor di R3_.

Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas !

a. a= (4, 2, 6) b. b = (1, 5, 6) c. c = (0, 0, 0) Jawab:

a. Tulis

k

₁

u

+

k

₂

v

=

a

, akan diperiksa apakah ada k1, k2,

sehingga kesamaan tersebut dapat terpenuhi :

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 6 2 4 3 1 1 0 4 2 2 1 k k

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 69 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 6 2 4 3 0 1 4 1 2 2 1 k k

dengan OBE dapat kita peroleh: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0 2 1 0 2 1 ~ 6 3 0 6 3 1 2 1 12 12

Dengan demikian a merupakan kombinasi linear dari vektor u dan v yang ditulis dalam bentuk :

v

u

a

r

=

r

+

2

r

b. Tulis :

b

v

k

u

k

1

r

+

2

r

=

v

akan diperiksa apakah ada k1, k2, sehingga kesamaan

tersebut dapat terpenuhi; ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 6 5 1 3 1 1 0 4 2 2 1 k k

ini dapat ditulis menjadi:

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 6 5 1 3 0 1 4 1 2 2 1 k k

dengan OBE dapat kita peroleh:

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 0 0 2 1 0 1 ~ 6 3 0 3 3 0 0 1 ~ 6 3 0 5 1 4 1 1 2 12 12 12

Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa SPL tersebut adalah tidak konsisten(tidak mempunyaisolusi).

Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi

persamaan.

c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0, maka dapat ditulis

c v k u

70 Bab 5 ● Ruang Vektor

artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun. Ini berkorespondensi dengan pernyataan bahwa SPL homogen merupakan SPL yang konsisten (selalu punya solusi).

Sebelum memahami pengertian tentang basis suatu ruang vektor, terlebih dahulu harus dipahami tentang definisi membangun dan bebas linear.

Definisi membangun dan bebas linear

a. Himpunan vektor S =

{

v1,v2,...,vn

}

dikatakan membangun

suatu ruang vektor V jika setiap vektor pada ruang vektor V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di S. Contoh 5.7 : Tentukan apakah 1 v = (1, 1, 2), v₂ = (1, 0, 1), dan v₃ = (2, 1, 3) membangun 3

R

! Jawab :

Ambil sembarang vektor di 3

R

, misalkan ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 2 1 u u u u

Akan diperiksa apakah u merupakan kombinasi linear

dari vektor – vektor v1, v2, dan v3. Tulis : 3 3 2 2 1 1v k v k v k u = + +

Sehingga dapat ditulis dalam bentuk : ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 3 2 1 3 1 2 1 0 1 2 1 1 u u u k k k

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 71 Syarat agar dapat dikatakan bahwa v1, v2, dan v3 membangun (dari definisi kombinasi linear) adalah SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten). Dengan operasi baris elementer diperoleh :

3 R ⎡ ⎣ ⎢⎢ ⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥ ⎥⎥⎥ 1 1 2 u1 0 -1 -1 u2 − u1 0 0 0 u3 − − u1 u2

Terlihat bahwa agar SPL itu konsisten, haruslah u3 – u2 –

u1 = 0. Padahal diawal vektor u adalah vektor sembarang (unsur – unsurnya bebas, tak bersyarat). Dengan demikian vektor – vektor v1, v2, dan v3 tidak membangun R3. b. Misalkan S=

{

u1,u2,...,un

}

adalah himpunan vektor diruang

vektor V, himpunan S dikatakan bebas linear (linearly independent), jika SPL homogen :

0 ... 1 2 1 1u +k u + +knun = k (5.4)

hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni 0

1=

k , k₂=0, ... , k_n =0

Jika solusinya lebih dari satu, artinya ada solusi ki≠0 untuk

suatu i, maka S kita namakan himpunan tak bebas linear

(linearly dependent), ini dapat dikatakan bahwa himpunan S merupakan himpunan vektor yang bergantung linear.

Contoh 5.8 :

Diketahui

u

=

(

−

1

,

3

,

2

)

dan

a

=

(

1

,

1

,

−

1

)

Apakah saling bebas linear di 3

R

Jawab : Tulis : 0 2 1 r r r_{+k a=} u k atau

72 Bab 5 ● Ruang Vektor

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

0

0

0

1

2

1

3

1

1

-2 1

k

k

dengan operasi baris elementer dapat diperoleh :

~ 0 0 0 1 2 1 3 1 1 -⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ~ 0 0 0 1 0 4 0 1 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0 0 0 1 0 0 1

dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu : k1 = 0, dan k2 = 0.

Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear. Contoh 5.9 : Misal : ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− = 2 3 1 a , ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 1 1 b , ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 4 6 2 c di

R

3

Periksa apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear ? Jawab : Tulis : c k b k a k_{1 2 3} 0= + + atau ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − 4 1 2 6 1 3 2 1 1 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 2 1 k k k ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 73 ~ 0 1 0 0 4 0 2 1 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 0 0 0 0 1 0 2 1 1

k1, k2, k3 merupakan solusi tak hingga banyak, artinya

vektor a,b,c adalah vektor-vektor yang bergantung

linear.

Perhatikan bahwa jika kita ingin memeriksa sejumlah n vektor di Rn _{maka dapat dilakukan lebih cepat untuk memeriksa}

apakah himpunan vektor tersebut bebas linear atau tidak. Cara yang dilakukan adalah kumpulkan vektor – vektor tersebut dalam sebuah matriks sehingga vektor – vektor tadi merupakan vektor kolom pada matriks tersebut. Selanjutnya, cukup diperiksa determinan dari matriks tersebut. Jika determinan matriks tersebut tidak sama dengan nol maka himpunan vektor tersebut adalah bebas linear. Sebaliknya, jika determinan matriks tersebut sama dengan nol maka himpunan vektor tersebut adalah bergantung linear.

Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū1, ū2, … ,

ūn} merupakan himpunan berhingga dari vektor – vektor di V,

maka S dinamakan basis bagi V jika kedua syarat berikut

dipenuhi :

• S membangun V

• S bebas linear Contoh 5.10 :

Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2 1 0 1 , 4 12 8 0 , 0 1 1 0 , 6 3 6 3 M

74 Bab 5 ● Ruang Vektor

Jawab :

Tulis kombinasi linear :

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − c d b a k k k k 2 1 0 1 4 12 8 0 0 1 1 0 6 3 6 3 4 3 2 1 atau _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − − − − − − + d c b a k k k k k k k k k k k k 4 3 1 4 3 2 1 3 2 1 4 1 2 4 6 12 3 8 6 3

dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks tersebut, diperoleh : (5.5) ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − d c b a k k k k 4 3 2 1 2 4 0 6 1 12 1 3 0 8 1 6 1 0 0 3

Perhatikan bahwa determinan matriks koefisiennya (MK)

tidak sama dengan nol, yaitu 48.

• Karena det(MK) ≠ 0 maka SPL (5.5) memiliki solusi

untuk setiap a, b, c, d. Ini menunjukan bahwa M membangun M2x2.

• Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0, SPL (*) merupakan SPL

homogen. Karena det(MK) ≠ 0 maka SPL homogen

tersebut memiliki solusi tunggal. Dengan demikian, ini menunjukan bahwa M bebas linear.

Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2 maka M

merupakan basis bagi M2 x 2.

Yang perlu diingat, basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal. Jadi, suatu ruang vektor dapat mempunyai lebih dari satu basis. Sekedar contoh, untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan

matriks : ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 1 0 0 1

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 75

Misalkan matriks :

_{Vektor kolom}

A = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − 1 2 2 1 1 3 2 1 1 1 2 1

Vektor baris

dengan melakukan OBE kita peroleh bahwa matriks A berkorespondensi dengan :

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥⎥

1

2

0

-1

0

0

1

0

0

0

0

0

Dengan memperhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama berseseuaian dengan matriks asal. ini berarti, bahwa matriks A tersebut mempunyai basis ruang kolom : ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− 2 3 1 , 1 1 1

Sedangkan basis ruang baris diperoleh dengan cara, mentransposkanterlebih dahulu matriks A, lakukan OBE pada At_,

sehingga diperoleh : ⎡ ⎣ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥⎥ 1 0 -1 2 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0

Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A). Ini berarti, bahwa matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 1 3 2 1 , 1 1 2 1

76 Bab 5 ● Ruang Vektor

Dimensi dari basis ruang baris dan ruang kolom senantiasa sama dan dinamakan rank. Jadi rank dari matriks A adalah 2.

Contoh 5.11 :

Diberikan SPL homogen (dengan peubah p, q, r, dan s)

berikut :

2p + q – 2r – 2s = 0 p – q + 2r – s = 0 –p + 2q – 4r + s = 0 3p – 3s = 0

Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas Jawab :

Sistem persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − 0 3 0 0 3 0 1 4 2 1 0 1 2 1 1 0 2 2 1 2

dengan melakukan OBE diperoleh :

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 1 0 0 1

Solusi SPL homogen tersebut adalah : p = a,

q = 2b , s = a, dan r = b,

dimana a, b merupakan parameter. atau

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 77 b a s r q p ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 1 2 0 1 0 0 1

Dengan demikian, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah : ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 1 2 0 , 1 0 0 1

Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas.

78 Bab 5 ● Ruang Vektor

Latihan Bab 5

1. Nyatakanlah matriks sebagai kombinasi linear dari

matriks berikut : ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 8 0 3 6 , , dan ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −1 3 2 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 4 2 1 0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 2 0 2 4

2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear ! a. {6 – x2 _{, 6 + x + 4x}2 _}

b. {1 + 3x + 3x2_{, x + 4x}2_{, 5 + 6x + 3x}2_{, 7 + 2x – x}2_}

3. Periksa, apakah himpunan A = {6 – x2 _{, 6 + x + 4x}2 _}

membangun polinom orde 2

4. Periksa apakah { , , }

merupakan himpunan yang bebas linear ! Jelaskan.

2

2

1−x+ x 2+x−2x2 −1−5x+10x2

5. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan basis bagi polinom orde 2 (P2)

a. {4 + 6x + x2_{, – 1 + 4x + 2x}2_{, 5 + 2x – x}2_}

b. {– 4 + x + 3x2_{, 6 + 5x + 2x}2_{, 8 + 4x + x}2_}

6. Misalkan _J=_⎩⎨⎧_a+_bx+_cx2 _a2=_b2+_c2⎫_{⎭⎬ merupakan}

himpunan bagian dari ruang vektor Polinom orde dua.

Periksa apakah merupakan subruang dari ruang vektor Polinom orde dua Jika ya, tentukan basisnya

J

7. Diberikan SPL homogen (dengan peubah p, q, dan r) berikut : p + 2q + 3 r = 0

p + 2q – 3 r = 0 p + 2q + 3 r = 0,

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 79 8. Tentukan rank dari matriks :

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − 1 2 2 1 1 3 2 1 1 1 2 1