BAB I
Kompetensi Vektor dan Matriks
Mahasiswa mampu:
1.
Memberikan contoh macam-macam vektor
dan Matriks
2.
Mengoperasikan jumlahan, pengurangan
Pengantar
PENDAHULUAN
VEKTOR
VEKTOR
Tidak secara lengkap terdefinisi sampai
besar dan arahnya ditentukan
•
Contoh :
pergerakan angin menunjukkan laju dan arah
Laju angin dan arah angin membentuk
besaran vektor yang disebut :
KECEPATAN
Vektor dapat disajikan secara geometris
Ekor panah disebut ttk pangkal Arah panah menentukan
arah vektor
Panjang panah menentukan
arah vektor
Ujung panah disebut
ttk ujung
VEKTOR EKUIVALEN
Vektor-vektor yang panjang dan arahnya
sama
OPERASI VEKTOR
VEKTOR NOL
•
Vektor yang panjangnya nol
•
Dinyatakan dengan O
VEKTOR NEGATIF
Adalah vektor yang besarnya sama
PENGURANGAN VEKTOR
Jika v dan w adalah 2 vektor sebarang,
maka selisih w dari v didefinisikan
sebagai :
v – w = v + (-w)
-PERKALIAN VEKTOR
Jika v adalah suatu vektor
tak nol dan k adalah suatu
bilangan real tak nol
(skalar), maka hasil kali kv
didefinisikan sebagai
vektor yang panjangnya
(k*panjang v)dan yang
arahnya sama dengan
arah v jika k>0 dan
MACAM-MACAM VEKTOR
Vektor adalah larik berdimensi satu
Vektor a dengan cacah n elemen ditulis :
biasa disebut vektor kolom
atau vektor saja
MACAM-MACAM VEKTOR
VEKTOR NOL
•
adalah vektor dengansemua elemennya bernilai nol
VEKTOR BASIS
•
adalah vektor dengananggota ke I bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol
SIFAT OPERASI VEKTOR
Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam
ruang berdimensi 2 atau 3 dan k serta l adalah
skalar, maka hubungan berikut ini berlaku :
•
u + v = v + u•
(u + v) + w = u + (v + w)•
u + 0 = 0 + u = u•
U + (-u) = 0•
k (lu) = (kl) u•
K (u+v) = ku + kvNORMA SUATU VEKTOR
Panjang suatu vektor u sering disebut sebagai Norma u dan
dinyatakan dengan ||u||
Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah 2 titik di dlm ruang
HASIL KALI TITIK
Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam
ruang berdimensi 2 atau 3 dan θ adalah sudut
antara u dan v, maka
hasil kali titik
atau
hasil
kali dalam Euclidean
u.v
didefinisikan sebagai :
MENCARI SUDUT ANTAR
VEKTOR
Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka
•
Θ lancip jika dan hanya jika u.v > 0•
Θ tumpul jika dan hanya jika u.v < 0•
Θ =π/2 jika dan hanya jika u.v = 0v
u
v
u
MATRIKS
•
Kompetensi
•
Macam-macam Matriks
Kompetensi
Mahasiswa mampu:
• Mendefinisikan matriks
• Memberikan contoh macam-macam matriks
• Mengoperasikan jumlahan, pengurangan dan
Pengantar
MATRIKS
• Adalah larik berdimensi
dua (karena
mempunyai baris dan
kolom)
• Susunan
elemen-elemen yg disusun
MACAM-MACAM
MATRIKS
• Matriks Nol
– Adalah matriks dengan semua elemennya bernilai nol.
– O=(0)
• Matriks Bujur Sangkar
– Adalah suatu matriks dimana cacah baris dan cacah kolomnya sama
MACAM-MACAM
MATRIKS
• Matriks Persegi Panjang
– Adalah matriks dengan cacah baris dan cacah kolom tidak sama.
– A = (aij) dengan i = 1, 2, . . n
j = 1, 2, . . m
• Matriks Diagonal
– Adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen pada diagonal utama bernilai real dan elemen-elemen lainnya bernilai nol
MACAM-MACAM
MATRIKS
• Matriks Satuan (identitas)
– Adalah matriks bujursangkar dengan
elemen-elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol
– A = ( aij ) dengan aij = 1 untuk i = j aij = 0 untuk i ≠ j • Matriks Segitiga Atas
– Adalah matriks bujur sangkar dengan
elemen-elemen dibawah diagonal utama nol dan elemen-elemen lainnya bernilai real
MACAM-MACAM
MATRIKS
• Matriks Transpose
– Adalah matriks dimana susunan elemen-elemen berkebalikan antara posisi baris dan kolom
– A=(aij); AT =(aji)
• Matriks Simetris
– Adalah matriks dimana susunan elemen-elemen antara matrik dengan transpose nya sama
OPERASI ALJABAR ATAS
MATRIKS
•
Operasi Perkalian Skalar
•
Operasi Penjumlahan
PENJUMLAHAN
MATRIKS
A + B
1 2
6
3
2 4
6
3
A = B =
+ = 36
PENGURANGAN
MATRIKS
A - B
1 2
6
3
2 4
6
3
A = B =
- = -1 -2
PERKALIAN MATRIKS
C
B
A
k
x
m
k
x
n
n
x
m
• A=(aij) dengan i=1,2,3,…,m dan j=1,2,3,…,n
• B=(bjk) dengan j=1,2,3,…,n dan k=1,2,3,…,p
Maka :
Program MATLAB (1)
>> a=[ 2 4 3 6; -12 9 -32 50; 1 4 8 12; 10 3 9 -12] %membentuk matriks a =
2 4 3 6 -12 9 -32 50 1 4 8 12 10 3 9 -12
>> b=diag(a) % Membentuk matriks diagonal dari matriks a b =
>> I=eye(4) % Membentuk matriks satuan berukuran 4 I =
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
>> c=triu(a) % Membentuk matriks segitiga atas dari a c =
2 4 3 6 0 9 -32 50 0 0 8 12 0 0 0 -12
>> d=tril(a) % Membentuk matriks segitiga bawah dari matriks a
d =
2 0 0 0 -12 9 0 0 1 4 8 0 10 3 9 -12
>> e=a' % Membentuk transpose matriks e =
2 -12 1 10 4 9 4 3 3 -32 8 9
>> f=a+e % Mencari jumlahan matriks f =
4 -8 4 16 -8 18 -28 53 4 -28 16 21 16 53 21 -24
>> g=a*f % Mencari perkalian matriks g =
84 290 70 163 552 3804 238 -1587 196 476 272 108 -140 -914 -152 796 >> j=inv(a) % Mencari invers matriks j =
-0.8878 0.1113 0.3557 0.3756 1.2050 -0.0991 -0.4995 -0.3100 0.0783 -0.0312 0.0344 -0.0566
Rangkuman
• Dua buah matriks dapat di jumlahkan atau
dikurangkan jika matriks tersebut mempunyai ukuran sama.
• Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B, jika
jumlah kolom matriks A = dengan jumlah baris matriks B
• Jumlahan matriks berlaku hukum komutatif
• Perkalian dua buah matriks belum tentu hukum komutatif berlaku.
