Ruang Vektor Euclid R n

(1)

Ruang Vektor Euclid R

ⁿ

Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016

MZI

Fakultas Informatika Telkom University

FIF Tel-U

Oktober 2015

(2)

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:

1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014,olehAdiwijaya.

2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010,olehH. Anton dan C. Rorres.

3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom UniversityolehJondri.

4 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UIolehKasiyah M. Junus dan Siti Aminah.

5 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UIolehL. Y. Stefanus.

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke<pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.

MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor Rn Oktober 2015 2 / 38

(3)

Bahasan

1 Pendahuluan dan Motivasi

2 Ruang Vektor Euclid Rⁿ

3 Vektor-vektor Basis Standar di Rⁿ

4 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di Rⁿ

5 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rⁿ

6 Beberapa Sifat-sifat Penting

(4)

Pendahuluan dan Motivasi

Bahasan

(5)

Sejarah Perkembangan Vektor

Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x; y) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x; y; z) untuk

merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3.

Pada akhir abad ke-19 matematikawan dan …sikawan mulai menyadari bahwakita tidak harus hanya berhenti pada tripel bilangan. Kita membutuhkan “alat” yang dapat merepresentasikan keadaaan pada dimensi yang lebih tinggi.

Kuadrupel bilangan (w; x; y; z) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada “ruang berdimensi 4”.

5-tupel bilangan (v; w; x; y; z) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada “ruang berdimensi 5”.

n-tupel bilangan (x1; x2; : : : ; xn) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada “ruang berdimensi n”.

(6)

Sejarah Perkembangan Vektor

(7)

Sejarah Perkembangan Vektor

(8)

Sejarah Perkembangan Vektor

(9)

Sejarah Perkembangan Vektor

(10)

Motivasi

Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi, Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di antaranya adalah kajian mengenai:

Pemrosesan citra digital (image processing ).

Teori pengkodean (coding theory ): cara untuk mengkompresi data dan mentransmisikan data.

Kriptogra…: cara untuk merahasiakan suatu data.

Pada bidang-bidang di atas, suatu data dapat direpresentasikan menjadi suatu vektor (a1; a2; : : : ; an).

Tujuan utama dari bahasan ini adalah untuk memperkenalkan operasi dan sifat vektor yang terdapat pada ruang berdimensi n.

(11)

Motivasi

(12)

Motivasi

(13)

Motivasi

(14)

Motivasi

(15)

Motivasi

(16)

Vektor dan Array

Vektor berdimensi n yang ditulis (x1; x2; : : : ; xn) analog dengan array yang telah Anda pelajari di kuliah-kuliah pemrograman. Kadang-kadang vektor dapat dipandang sebagai array yang komponen-komponennya adalah bilangan-bilangan.

Vektor berdimensi n dapat dipandang sebagai array dengan n komponen. Suatu vektor ~v yang berdimensi 5, yaitu ~v = (v₁; v₂; v₃; v₄; v₅) dapat dipandang sebagai array V = v₁ v₂ v₃ v₄ v₅ .

Jika pada kuliah-kuliah yang terkait pemrograman Anda akan mempelajari operasi array terkait struktur data dan algoritmanya, contohnya searching dan sorting, pada perkuliahan Aljabar Linier Anda akan mengkaji struktur dan operasi matematika yang dapat dilakukan pada suatu vektor (array ).

(17)

Vektor dan Array

(18)

Vektor dan Array

(19)

Ruang Vektor Euclid Rn

Bahasan

(20)

De…nisi Ruang Vektor Euclid R

ⁿ

De…nisi

Jika n adalah bilangan bulat positif, maka suatu vektor ~v adalah n tupel terurut (ordered n-tuple)

(v₁; v₂; : : : ; v_n) ,

dengan v_i2 R untuk 1 i n. Himpunan seluruh n tupel terurut disebutruang vektor Euclid berdimensi ndan ditulis denganRⁿ. Untuk meringkas, kita katakan ruang vektor Euclid berdimensi n sebagairuang Euclid berdimensi n (tanpa kata vektor).

Vektor pada Rⁿ dapat dinyatakan dalam bentuk

1 ntupel terurut, contohnya ~v = (v₁; v2; : : : ; vn)

2 matriks baris, contohnya ~v = v1 v2 vn , notasi ini jarang dipakai

3 matriks kolom, contohnya ~v = 2 66 64

v1

v2

... v_n

3 77 75

(21)

De…nisi Ruang Vektor Euclid R

ⁿ

De…nisi

(v₁; v₂; : : : ; v_n) ,

v1

v2

... v_n

3 77 75

(22)

De…nisi Ruang Vektor Euclid R

ⁿ

De…nisi

(v₁; v₂; : : : ; v_n) ,

v1

v2

... v_n

3 77 75

(23)

De…nisi Ruang Vektor Euclid R

ⁿ

De…nisi

(v₁; v₂; : : : ; v_n) ,

v1

v2

... v

3 77 75

(24)

Kesamaan Dua Vektor di R

ⁿ

De…nisi

Dua vektor ~u; ~v 2 Rⁿ dengan ~u = (u1; u2; : : : ; un) dan ~v = (v1; v2; : : : ; vn) dikatakan sama jika

(u1= v1) ^ (u²= v2) ^ ^ (uⁿ= vn) .

Jika ~udan ~v sama, kita dapat menuliskan ~u = ~v.

Catatan

Kesamaan dua vektor di Rⁿ juga dapat dipandang sebagai kesamaan dua matriks kolom dengan n baris, atau kesamaan dua matriks baris dengan n kolom.

(25)

Kesamaan Dua Vektor di R

ⁿ

De…nisi

(u1= v1) ^ (u²= v2) ^ ^ (uⁿ= vn) .

Catatan

(26)

Kesamaan Dua Vektor di R

ⁿ

De…nisi

(u1= v1) ^ (u²= v2) ^ ^ (uⁿ= vn) .

Catatan

(27)

Operasi Vektor di R

ⁿ

Kita perlu mende…nisikan operasi pejumlahan dan perkalian skalar untuk vektor di Rⁿ.

De…nisi

Jika ~u = (u₁; u₂; : : : ; u_n) dan ~v = (v₁; v₂; : : : v_n) adalah dua vektor di Rⁿ dan 2 R, maka

~

u + ~v =

(u₁+ v₁; u₂+ v₂; : : : ; u_n+ v_n)

~

u = ( u1; u2; : : : ; un)

~

u = ( u1; u2; : : : ; un)

~

u ~v = ~u + ( ~v) = (u₁ v₁; u₂ v₂; : : : ; u_n v_n)

De…nisi

Vektor ~0 di Rⁿ dide…nisikan sebagai ~0 = (0; 0; : : : ; 0). Vektor ~0 di Rⁿ juga dapat dipandang sebagai suatu matriks kolom (matriks baris) yang seluruh entrinya 0.

(28)

Operasi Vektor di R

ⁿ

De…nisi

~

u + ~v = (u₁+ v₁; u₂+ v₂; : : : ; u_n+ v_n)

~

u =

( u1; u2; : : : ; un)

~

u = ( u1; u2; : : : ; un)

~

u ~v = ~u + ( ~v) = (u₁ v₁; u₂ v₂; : : : ; u_n v_n)

De…nisi

(29)

Operasi Vektor di R

ⁿ

De…nisi

~

u + ~v = (u₁+ v₁; u₂+ v₂; : : : ; u_n+ v_n)

~

u = ( u1; u2; : : : ; un)

~

u =

( u1; u2; : : : ; un)

~

u ~v = ~u + ( ~v) = (u₁ v₁; u₂ v₂; : : : ; u_n v_n)

De…nisi

(30)

Operasi Vektor di R

ⁿ

De…nisi

~

u + ~v = (u₁+ v₁; u₂+ v₂; : : : ; u_n+ v_n)

~

u = ( u1; u2; : : : ; un)

~

u = ( u₁; u₂; : : : ; u_n)

~

u ~v =

~

u + ( ~v) = (u₁ v₁; u₂ v₂; : : : ; u_n v_n)

De…nisi

(31)

Operasi Vektor di R

ⁿ

De…nisi

~

u + ~v = (u₁+ v₁; u₂+ v₂; : : : ; u_n+ v_n)

~

u = ( u1; u2; : : : ; un)

~

u = ( u₁; u₂; : : : ; u_n)

~

u ~v = ~u + ( ~v) = (u1 v1; u2 v2; : : : ; un vn)

De…nisi

(32)

Catatan

Penjumlahan dua vektor di Rⁿ dapat dipandang sebagai penjumlahan dua matriks kolom dengan n baris. Perkalian suatu vektor dengan suatu skalar di Rⁿ juga dapat dipandang sebagai perkalian suatu matriks kolom dengan n baris dan suatu skalar di R.

(33)

Aritmetika Vektor di R

ⁿ

Teorema

Jika ~u; ~v; ~w 2 Rⁿ dan ; 2 R, maka

1 ~u + ~v = ~v + ~u

2 (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)

3 ~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u

4 ~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0

5 (~u + ~v) = ~u + ~v

6 ( + ) ~u = ~u + ~u

7 ( ~u) = ( ) ~u

8 1~u = ~u

Bukti

Cukup mudah. Tinjau ~u, ~v, dan ~wsebagai suatu matriks kolom berukuran n 1. Sifat-sifat yang dijelaskan pada teorema analog dengan sifat yang dimiliki matriks kolom berukuran n 1.

(34)

Aritmetika Vektor di R

ⁿ

Teorema

1 ~u + ~v = ~v + ~u

2 (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)

3 ~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u

4 ~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0

5 (~u + ~v) = ~u + ~v

6 ( + ) ~u = ~u + ~u

7 ( ~u) = ( ) ~u

8 1~u = ~u

Bukti

(35)

Aritmetika Vektor di R

ⁿ

Teorema

1 ~u + ~v = ~v + ~u

2 (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)

3 ~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u

4 ~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0

5 (~u + ~v) = ~u + ~v

6 ( + ) ~u = ~u + ~u

7 ( ~u) = ( ) ~u

8 1~u = ~u

Bukti

(36)

Aritmetika Vektor di R

ⁿ

Teorema

1 ~u + ~v = ~v + ~u

2 (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)

3 ~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u

4 ~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0

5 (~u + ~v) = ~u + ~v

6 ( + ) ~u = ~u + ~u

7 ( ~u) = ( ) ~u

8 1~u = ~u

Bukti

(37)

Aritmetika Vektor di R

ⁿ

Teorema

1 ~u + ~v = ~v + ~u

2 (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)

3 ~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u

4 ~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0

5 (~u + ~v) = ~u + ~v

6 ( + ) ~u = ~u + ~u

7 ( ~u) = ( ) ~u

8 1~u = ~u

Bukti

(38)

Aritmetika Vektor di R

ⁿ

Teorema

1 ~u + ~v = ~v + ~u

2 (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)

3 ~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u

4 ~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0

5 (~u + ~v) = ~u + ~v

6 ( + ) ~u = ~u + ~u

7 ( ~u) = ( ) ~u

8 1~u = ~u

Bukti

(39)

Aritmetika Vektor di R

ⁿ

Teorema

1 ~u + ~v = ~v + ~u

2 (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)

3 ~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u

4 ~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0

5 (~u + ~v) = ~u + ~v

6 ( + ) ~u = ~u + ~u

7 ( ~u) = ( ) ~u

8 1~u = ~u

Bukti

(40)

Aritmetika Vektor di R

ⁿ

Teorema

1 ~u + ~v = ~v + ~u

2 (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)

3 ~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u

4 ~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0

5 (~u + ~v) = ~u + ~v

6 ( + ) ~u = ~u + ~u

7 ( ~u) = ( ) ~u

8 1~u = ~u

Bukti

(41)

Aritmetika Vektor di R

ⁿ

Teorema

1 ~u + ~v = ~v + ~u

2 (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)

3 ~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u

4 ~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0

5 (~u + ~v) = ~u + ~v

6 ( + ) ~u = ~u + ~u

7 ( ~u) = ( ) ~u

8 1~u = ~u

Bukti

Cukup mudah. Tinjau ~u, ~v, dan ~wsebagai suatu matriks kolom berukuran n 1.

Sifat-sifat yang dijelaskan pada teorema analog dengan sifat yang dimiliki matriks kolom berukuran n 1.

(42)

Vektor-vektor Basis Standar di Rn

Bahasan

(43)

Vektor-vektor Basis Standar di R

ⁿ

Kita telah melihat bahwa ^{ = (1; 0) dan ^| = (0; 1) adalah vektor-vektor basis standar di R², sedangkan ^{ = (1; 0; 0), ^| = (0; 1; 0), dan ^k = (0; 0; 1) adalah vektor-vektor basis standar di R³.

De…nisi

Vektor-vektor basis standar di Rⁿ adalah ~e₁; ~e₂; : : : ; ~e_n dengan

~

e_i= 0; : : : ; 0; 1

posisi ke-i; 0; : : : ; 0 .

Jika ~v = (v₁; v₂; : : : ; v_n) 2 Rⁿ, maka kita memiliki sifat

~v = 1~e1+ 2~e2+ + n~en

, ( ₁= v₁) ^ ( 2= v₂) ^ ^ ( n= v_n) .

(44)

Vektor-vektor Basis Standar di R

ⁿ

De…nisi

~ e_i=

0; : : : ; 0; 1

posisi ke-i; 0; : : : ; 0 .

~v = 1~e1+ 2~e2+ + n~en

, ( ₁= v₁) ^ ( 2= v₂) ^ ^ ( n= v_n) .

(45)

Vektor-vektor Basis Standar di R

ⁿ

De…nisi

~

e_i= 0; : : : ; 0; 1

posisi ke-i; 0; : : : ; 0 .

~

v = 1~e1+ 2~e2+ + n~en

,

( ₁= v₁) ^ ( 2= v₂) ^ ^ ( n= v_n) .

(46)

Vektor-vektor Basis Standar di R

ⁿ

De…nisi

~

e_i= 0; : : : ; 0; 1

posisi ke-i; 0; : : : ; 0 .

~

v = 1~e1+ 2~e2+ + n~en

, ( ₁= v₁) ^ ( 2= v₂) ^ ^ ( n= v_n) .

(47)

Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di Rn

Bahasan

(48)

Norm dari Vektor di R

ⁿ

Norm dari vektor di Rⁿ merupakan perumuman dari norm vektor di R² dan R³.

De…nisi

Misalkan ~v = (v1; v2; : : : ; vn) 2 Rⁿ, norm Euclid atau panjang Euclid (Euclidean norm/ Euclidean length) dari ~v dinotasikan dengan k~vk dan dide…nisikan sebagai

k~vk = q

v²₁+ v²₂+ + v_n²

(49)

Norm dari Vektor di R

ⁿ

Norm dari vektor di Rⁿ merupakan perumuman dari norm vektor di R² dan R³.

De…nisi

Misalkan ~v = (v1; v2; : : : ; vn) 2 Rⁿ, norm Euclid atau panjang Euclid (Euclidean norm/ Euclidean length) dari ~v dinotasikan dengan k~vk dan dide…nisikan sebagai

k~vk = q

v²₁+ v²₂+ + v_n²

(50)

Jarak Dua Titik (Vektor) di R

ⁿ

Jarak dari dua titik (vektor) di Rⁿ merupakan perumuman dari jarak dua titik (vektor) di R² dan R³.

De…nisi

Misalkan P₁(x1; x2; : : : ; xn) dan P2(y1; y2; : : : ; yn) adalah dua titik di Rⁿ. Jarak dari P₁ke P₂ tidak lain merupakan panjang dari vektorP₁P!₂.

d (P1; P2) = P1P!2

= q

(y₁ x₁)²+ (y₂ x₂)²+ + (y_n x_n)². Jika ~u = (u1; u2; : : : ; un) dan ~v = (v1; v2; : : : ; vn) adalah dua titik di Rⁿ, maka jarak dari ~uke ~v (yang sama dengan jarak dari ~v ke ~u) adalah panjang dari vektor

~ u ~v

d (~u; ~v) = k~u ~vk

= q

(v1 u1)²+ (v2 u2)²+ + (vn un)².

(51)

Jarak Dua Titik (Vektor) di R

ⁿ

De…nisi

d (P1; P2) = P1P!2

= q

~ u ~v

d (~u; ~v) = k~u ~vk

= q

(v1 u1)²+ (v2 u2)²+ + (vn un)².

(52)

Jarak Dua Titik (Vektor) di R

ⁿ

De…nisi

d (P1; P2) = P1P!2

= q

~ u ~v

d (~u; ~v) = k~u ~vk

= q

(v1 u1)²+ (v2 u2)²+ + (vn un)².

(53)

Vektor Satuan di R

ⁿ

De…nisi vektor satuan di Rⁿ analog dengan de…nisi vektor satuan (unit vector ) di R²maupun R³.

De…nisi

Suatu vektor ~udi Rⁿ dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector ) apabila k~uk = 1.

Teorema

Misalkan ~v adalah suatu vektor tak nol di Rⁿ, maka _k~vk¹ ~v adalah sebuah vektor satuan yang searah dengan ~v.

Bukti

Jelas bahwa ¹

k~vk~v searah dengan ~v.

Kemudian perhatikan bahwa 1

k~vk~v = 1

k~vk k~vk = k~vk

k~vk= 1. (Q.E.D)

(54)

Vektor Satuan di R

ⁿ

De…nisi vektor satuan di Rⁿ analog dengan de…nisi vektor satuan (unit vector ) di R²maupun R³.

De…nisi

Suatu vektor ~udi Rⁿ dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector ) apabila k~uk = 1.

Teorema

Misalkan ~v adalah suatu vektor tak nol di Rⁿ, maka _k~vk¹ ~v adalah sebuah vektor satuan yang searah dengan ~v.

Bukti

Jelas bahwa ¹

k~vk~v searah dengan ~v. Kemudian perhatikan bahwa 1

k~vk~v = 1

k~vk k~vk = k~vk

k~vk= 1. (Q.E.D)

(55)

Catatan

Untuk memperingkas, kita akan menulis _k~vk^~^v untuk menyatakan _k~vk¹ ~v.

(56)

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn

Bahasan

(57)

Hasil Kali Titik di R

ⁿ

Hasil kali titik dua vektor di Rⁿ merupakan perumuman dari hasil kali titik dua vektor di R² dan R³.

De…nisi

Misalkan ~u = (u1; u2; : : : ; un) dan ~v = (v1; v2; : : : ; vn) adalah dua vektor di Rⁿ, maka

~

u ~v = u1v1+ u2v2+ + unvn

Catatan

Hasil kali titik (dot product) di Rⁿ selanjutnya juga akan dinamakan sebagai hasil kali dalam Euclid (Euclidean inner product).

(58)

Hasil Kali Titik di R

ⁿ

Hasil kali titik dua vektor di Rⁿ merupakan perumuman dari hasil kali titik dua vektor di R² dan R³.

De…nisi

Misalkan ~u = (u1; u2; : : : ; un) dan ~v = (v1; v2; : : : ; vn) adalah dua vektor di Rⁿ, maka

~

u ~v = u1v1+ u2v2+ + unvn

Catatan

Hasil kali titik (dot product) di Rⁿ selanjutnya juga akan dinamakan sebagai hasil kali dalam Euclid (Euclidean inner product).

(59)

Sudut di R

ⁿ

Berbeda dengan sudut antara dua vektor di R² maupun R³yang memiliki representasi geometris, sudut antara dua vektor di Rⁿ untuk n 4 tidak memiliki representasi geometris. Jadi kita perlu mende…nisikan sudut antara dua vektor di Rⁿ melaluide…nisi yang jelas dan tidak bertentangan dengan kaidah matematis yang sudah ada sebelumnya. Ingat kembali bahwa jika adalah cosinus sudut antara dua vektor, maka haruslah

1 cos 1.

(60)

Sudut di R

ⁿ

Berbeda dengan sudut antara dua vektor di R² maupun R³yang memiliki representasi geometris, sudut antara dua vektor di Rⁿ untuk n 4 tidak memiliki representasi geometris. Jadi kita perlu mende…nisikan sudut antara dua vektor di Rⁿ melaluide…nisi yang jelas dan tidak bertentangan dengan kaidah matematis yang sudah ada sebelumnya. Ingat kembali bahwa jika adalah cosinus sudut antara dua vektor, maka haruslah

1 cos 1.

(61)

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz di R

ⁿ

Jika ~u; ~v 2 Rⁿ, maka

j~u ~vj k~uk k~vk

(62)

Bukti

Misalkan t 2 R, tinjau bahwa

0 kt~u + ~vk² (norm selalu tak negatif)

= (t~u + ~v) (t~u + ~v) = k~uk²t²+2 (~u ~v)t + k~vk² (1) Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat

f (x) = ax²+ bx + c selalu bernilai non negatif, maka fungsi tersebut memotong sumbu x tepat di satu titik atau sama sekali tidak memotong sumbu x. Akibatnya nilai dari disriminannya, yaitu D = b² 4ac, selalu non positif. Pertidaksamaan (1) memberikan

4 (~u ~v)² 4 k~uk²k~vk² 0, atau (~u ~v)² (k~uk k~vk)²

j~u ~vj k~uk k~vk , karena k~uk ; k~vk 0 (Q.E.D).

(63)

Bukti

= (t~u + ~v) (t~u + ~v) =

k~uk²t²+2 (~u ~v)t + k~vk² (1) Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat

(64)

Bukti

f (x) = ax²+ bx + c selalu bernilai non negatif, maka

fungsi tersebut memotong sumbu x tepat di satu titik atau sama sekali tidak memotong sumbu x. Akibatnya nilai dari disriminannya, yaitu D = b² 4ac, selalu non positif. Pertidaksamaan (1) memberikan

(65)

Bukti

f (x) = ax²+ bx + c selalu bernilai non negatif, maka fungsi tersebut memotong sumbu x tepat di satu titik atau sama sekali tidak memotong sumbu x.

Akibatnya nilai dari disriminannya, yaitu D = b² 4ac, selalu non positif. Pertidaksamaan (1) memberikan

(66)

Bukti

(67)

Bukti

4 (~u ~v)² 4 k~uk²k~vk² 0, atau

(~u ~v)² (k~uk k~vk)²

(68)

Bukti

(69)

Sudut antara Dua Vektor Tak Nol di R

ⁿ

Teorema

Jika ~u; ~v 2 Rⁿ adalah dua vektor tak nol, maka maka 1 ~u ~v

k~uk k~vk 1

Bukti

Dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita memiliki j~u ~vj k~uk k~vk, yang berarti

k~uk k~vk ~u ~v k~uk k~vk . (2)

Jika ~udan ~v keduanya tak nol, maka k~uk k~vk > 0, akibatnya membagi ketaksamaan (2) dengan k~uk k~vk memberikan

1 ~u ~v

k~uk k~vk 1. (Q.E.D)

(70)

Sudut antara Dua Vektor Tak Nol di R

ⁿ

Teorema

k~uk k~vk 1

Bukti

1 ~u ~v

(71)

Sudut antara Dua Vektor Tak Nol di R

ⁿ

Teorema

k~uk k~vk 1

Bukti

1 ~u ~v

(72)

De…nisi (Sudut antara dua vektor tak nol di R

ⁿ

)

Jika ~u; ~v 2 Rⁿ adalah dua vektor tak nol, maka cosinus sudut antara ~udan ~v dide…nisikan sebagai

cos = ~u ~v k~uk k~vk.

Akibatnya, jika adalah sudut antara dua vektor tak nol ~u; ~v 2 Rⁿ, maka

= arccos ~u ~v k~uk k~vk .

Catatan

De…nisi di atas juga sesuai dengan kondisi di R²dan R³, yaitu

~

u ~v = k~uk k~vk cos .

(73)

De…nisi (Sudut antara dua vektor tak nol di R

ⁿ

)

Catatan

~

(74)

De…nisi (Sudut antara dua vektor tak nol di R

ⁿ

)

Catatan

~

(75)

Catatan

Kita tidak mende…nisikan sudut antara sebuah vektor dengan vektor nol. Hal ini terjadi karena vektor nol merupakan vektor yang “tidak memiliki arah yang jelas”.