VEKTOR
1. Pengertian
Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang berarah dan memiliki panjang. Panjang ruas garis tersebut adalah panjang vektor. Ruas garis dari titik P dan berujung di titik Q maka vektornya disebut vektor 𝑃𝑄̅̅̅̅. Panjang vektor 𝑃𝑄
̅̅̅̅ ini dilambangkan dengan |𝑃𝑄̅̅̅̅̅|. Penulisan huruf kecil yang dicetak tebal adalah salah satu cara penulisan vektor. Vektor 𝑃𝑄̅̅̅̅ disamping dapat ditulis sebagai vektor a. Dapat juga huruf kecil dibubuhi tanda panah diatasnya seperti vektor 𝑎⃗.
Perhatikan gambar berikut:
Dengan menggunakan rumus jarak antara 2 titik, maka dapat ditentukan panjang vektor a dan b dengan rumus:
Pada gambar diatas juga terdapat vektor c dengan panjang vektor c adalah |𝒄| = √(𝑏1− 𝑎1)2+ (𝑏2− 𝑎2)2
Untuk setiap vektor a yang bukan vektor nol, dapat ditentukan suatu vektor satuan dari vektor a, dilambangkan dengan 𝑒̂ . Vektor satuan arahnya searah dengan vektor a dan panjangnya sama dengan satu satuan.
Jika vektor 𝒂 = (𝒙𝒚), maka vektor satuan dari a dirumuskan dengan: 𝑒̂ = |𝑎|𝑎 = 1 √𝑥2+𝑦2(
𝑥 𝑦)
Vektor – vektor satuan 𝑖̂ dan 𝑗̂ dapat dinyatakan dengan vector kolom, yaitu: 𝑖̂ = (10) 𝑑𝑎𝑛 𝑗̂ = (01)
Dengan pemahaman yang sama seperti vektor pada bidang (R2), kalian dapat memahami vektor pada ruang (R3).
2. Operasi Hitung pada Vektor
a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Perhatikan titik-titik A(a1, a2), B(b1, b2), dan C(c1, c2) pada koordinat Cartesius berikut ini! Pada gambar tersebut, vektor a, b, dan c dapat kalian tulis sebagai berikut.
a = (b1 – a1, b2 – a2)
Dapat pula ditulis, 𝒂 = (𝑏1−𝑎1
𝑏2−𝑎2) b = (c1 – b1, c2 – b2)
Dapat pula ditulis, 𝒃 = (𝑐1−𝑏1
𝑐2−𝑏2) c = (c1 – a1, c2 – a2)
Dapat pula ditulis, 𝒄 = (𝑐1−𝑎1
𝑐2−𝑎2)
Sekarang, jumlahkanlah vektor a dan b. Karena vektor merupakan matriks kolom, maka kalian dapat menjumlahkan vektor a dan b dengan menggunakan aturan penjumlahan matriks.
Dengan aturan ini, akan diperoleh:
𝒂 + 𝒃 = (𝑏1− 𝑎1 𝑏2− 𝑎2) + ( 𝑐1− 𝑏1 𝑐2− 𝑏2) = ( 𝑏1− 𝑎1+ 𝑐1− 𝑏1 𝑏2− 𝑎2+ 𝑐2− 𝑏2) = ( 𝑐1− 𝑎1 𝑐2− 𝑎2) Perhatikan bahwa (𝑐1−𝑎1 𝑐2−𝑎2) = 𝒄
Uraian tersebut menunjukkan bahwa a + b = c. Q P a A(a1,a2) c a B(b1,b2) a2 b2 O a1 b1 b y x
Panjang vektor a adalah |𝒂| = √𝑎12+ 𝑎22 Panjang vektor a adalah |𝒃| = √𝑏12+ 𝑏22
A(a1,a2) c a B(b1,b2) a2 b2 O a1 b1 b y x
Secara geometris, penjumlahan antara vektor a dan b ini dapat kalian lakukan dengan dua cara, yaitu: a. Cara Segitiga
Dalam cara ini, titik pangkal vektor b berimpit ruas dengan titik ujung vektor
a. Jumlah vektor a dan b didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal
vektor a ke titik ujung vektor b. Ruas garis ini diwakili oleh vektor c. Akibatnya, a + b = c.
b. Cara Jajargenjang
Misalkan, vektor a mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B dan vektor b mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal C ke titik D. Dalam cara jajargenjang, titik pangkal vektor a berimpit dengan titik pangkal vektor b, yaitu A = C. Dengan membuat jajargenjang ABED, akan diperoleh:
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Oleh karena 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒂, 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒃 𝑑𝑎𝑛 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒄, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝒂 + 𝒃 = 𝒄. Sekarang, jika vector a dijumlahkan dengan invers vector b, maka akan didapat penjumlahan vector a +(-b) seperti pada gambar di samping.
Seperti pada bilangan real, kalian dapat menuliskan a + (-b) = a - b. Secara geometris, kita dapat mengurangkan a dengan b seperti pada gambar di samping.
Dengan menggunakan aturan penjumlahan dan pengurangan matriks kolom, kalian dapat menyatakan aturan penjumlahan dan pengurangan vektor sebagai berikut.
Untuk a dan b vector – vector di R2, berlaku:
𝒂 + 𝒃 = (𝑎1 𝑎2 ) + (𝑏1 𝑏2 ) = (𝑎1+ 𝑏1 𝑎2+ 𝑏2 ) 𝒂 − 𝒃 = (𝑎1 𝑎2 ) − (𝑏1 𝑏2 ) = (𝑎1− 𝑏1 𝑎2− 𝑏2 )
Dengan menggunakan pasangan terurut, dapat dituliskan: 𝒂 + 𝒃 = (𝑎1, 𝑎2) + (𝑏1, 𝑏2) = (𝑎1+ 𝑏1, 𝑎2+ 𝑏2)
𝒂 − 𝒃 = (𝑎1, 𝑎2) − (𝑏1, 𝑏2) = (𝑎1− 𝑏1, 𝑎2− 𝑏2) Untuk a dan b vektor – vektor di R3, berlaku:
𝒂 + 𝒃 = ( 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ) + ( 𝑏1 𝑏2 𝑏3 ) = ( 𝑎1+ 𝑏1 𝑎2+ 𝑏2 𝑎3+ 𝑏3 ) 𝒂 − 𝒃 = ( 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ) − ( 𝑏1 𝑏2 𝑏3 ) = ( 𝑎1− 𝑏1 𝑎2− 𝑏2 𝑎3− 𝑏3 )
Dengan menggunakan pasangan terurut, dapat dituliskan:
𝒂 + 𝒃 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) + (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) = (𝑎1+ 𝑏1, 𝑎2+ 𝑏2, 𝑎3+ 𝑏3) 𝒂 − 𝒃 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) − (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) = (𝑎1− 𝑏1, 𝑎2− 𝑏2, 𝑎3+ 𝑏3)
b. Perkalian Skalar dengan Vektor
Pada bagian sebelumnya, kita telah mempelajari penjumlahan vektor. Apa yang terjadi jika vektor-vektor yang dijumlahkan adalah k vektor-vektor yang sama? Dalam penjumlahan tersebut, kita akan mendapatkan sebuah vektor baru yang setiap komponen-komponennya diperoleh dengan mengalikan k
(Oleh karena 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗) (Gunakan cara segitiga)
Perhatikan gambar berikut!
Dari gambar di atas, dapat dinyatakan: b + c = a d + e = c b + d + e = a
dengan setiap komponen-komponen vektor u. Akibatnya, vektor baru tersebut segaris dengan vektor u dan memiliki panjang 𝑘|𝒖|.
Dalam perkalian skalar dengan vektor ini, jika k > 0, maka vektor ku searah dengan vektor u. Adapun jika k < 0, maka vektor ku berlawanan arah dengan vektor u.
c. Sifat – sifat Operasi Hitung pada Vektor
Jika a, b, dan c vektor-vektor di R2 atau di R3 dan k serta l skalar tak nol maka berlaku hubungan berikut: a. a + b = b + a b. (a + b ) + c = a + ( b + c ) c. a + 0 = 0 + a = a d. a + (-a) = 0 e. k (la) = (kl) a f. k ( a + b ) = ka + kb g. (k + l) a = ka + la h. Ia = a d. Perbandingan Vektor
Dalam perbandingan PN : NQ = m : n terdapat dua kasus, yaitu: 1. Titik N membagi PQ di dalam.
PN : NQ = m : n
2. Titik N membagi PQ di luar.
PN : NQ = m : (-n)
e. Perkalian Skalar Dua Vektor
Jika a dan b vektor – vektor non nol dan 𝛼 sudut di antara vektor a dan b, maka perkalian scalar vektor a dan b didefinisikan oleh a . b = |a||b| cos 𝛼.
Jika a = (a1,a2,…,an) dan b = (b1,b2,…,bn) adalah sembarang vektor pada Rn, maka hasil kali dalam atau perkalian akalarnya adalah a . b = a1b1+a2b2+…+anbn.
Jika a, b dan c vektor – vektor di R2 atau di R3 dan k skalar tak nol, maka terdapat sifat – sifat sebagai berikut:
1. a.b = b.a
Jika k skalar tak nol dan vektor 𝒖 = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛), maka 𝑘𝒖 = (𝑘𝑢1, 𝑘𝑢2, … , 𝑘𝑢𝑛) O A B b a 𝛼
2. a.(b+c) = a.b + a.c 3. k(a.b) = (ka).b = a.(kb) 4. a.a = |a|2
f. Perkalian Silang Dua Vektor
Bila vektor 𝑎⃗ = 𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦1𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑧1𝑗 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan vektor 𝑏⃗⃗ = 𝑥1𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦2𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑧2𝑗 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, maka perkalian silang dua vektor 2𝑘 dirumuskan sebagai berikut:
𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = (𝑦1𝑧2− 𝑦2𝑧1)𝑖⃗ + (𝑥2𝑧1− 𝑥1𝑧2)𝑗⃗ + (𝑥1𝑦2− 𝑥2𝑦1)𝑘⃗⃗ Jika terdapat dua vektor 𝑎⃗ dan 𝑏⃗⃗ di R-3, dan 𝜃 adalah sudut apit antara 𝑎⃗ dan 𝑏⃗⃗, maka
|𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ | = |𝑎⃗||𝑏⃗⃗| sin 𝜃
3. Contoh Soal
a. Tentukan panjang vektor berikut: 1) 3𝑖⃗⃗⃗⃗ − 4𝑗⃗⃗⃗⃗ 2) −5𝑖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 12𝑗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3) 6𝑖⃗⃗⃗⃗ + 6𝑗⃗⃗⃗⃗ + 6𝑘⃗⃗⃗⃗⃗ 4) [ −3 0 5 ] 5) [ 9 −1 4 ] 6) PQ jika P (0,1) dan Q (6,0) 7) AB jika A (6, 6, 9) dan B (2, -2, -3).
b. Misalkan vektor posisi dari titik A dan B berturut-turut adalah 𝑎⃗ = 3𝑖⃗⃗⃗⃗ − 2𝑗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘⃗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = −2𝑖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝑗⃗⃗⃗⃗ + 4𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗. Tentukan vektor-vektor yang mewakili ruas garis 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dalam bentuk kombinasi linear. c. Misalkan vektor 𝑎⃗ = [ 𝑥 3 4 ] dan vektor 𝑏⃗⃗ = [ −1 1 5
]. Jika |𝑎⃗| = |𝑏⃗⃗|, tentukan nilai x.
d. Diketahui 𝑎⃗ = 2𝑖⃗⃗⃗⃗ + 𝑗⃗ − 4𝑘⃗⃗⃗⃗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = −4𝑖⃗⃗⃗⃗ + 3𝑖⃗⃗⃗⃗ − 5𝑘⃗⃗⃗⃗⃗. Tentukan: 1) 2𝑎⃗ − 3𝑏⃗⃗
2) |2𝑎⃗ − 3𝑏⃗⃗|
e. Diketahui 𝑎⃗ = 5𝑖⃗⃗⃗⃗ − 3𝑗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑘⃗⃗⃗⃗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = 4𝑖⃗⃗⃗⃗ + 2𝑗⃗⃗⃗⃗ − 𝑝𝑘⃗⃗⃗⃗⃗, dimana 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 12. Hitunglah nilai p! f. Misalkan U adalah titik (5, 4, -1) dan V adalah titik (11, -3, 2).
1) Tentukan titik tengah ruas garis yang menghubungkan U dan V.
2) Cari titik pada ruas garis yang menghubungkan U dan V yang berada pada jarak 2
5 kali dari jarak dari U ke V.
g. Ditentukan koordinat titik-titik A(-2, 6, 5), B(2, 6, 9), C(5, 5, 7), dan titik P terletak pada AB sehingga AP : PB = 3 : 1. Tentukan:
1) Koordinat titik P
2) Vektor 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dalam bentuk kombinasi linear 3) |𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗|, |𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗| dan |𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
h. Hitung 𝑢⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ dari vektor-vektor berikut, kemudian cari nilai cosinus dari sudut 𝜃 antara 𝑢⃗⃗ dan 𝑣⃗. 1) 𝑢⃗⃗ = 5𝑖⃗⃗⃗⃗ − 7𝑗⃗⃗⃗⃗ dan 𝑣⃗ = 3𝑖⃗⃗⃗⃗ − 9𝑗⃗⃗⃗⃗
2) 𝑢⃗⃗ = 3𝑖⃗⃗⃗⃗ − 𝑘⃗⃗ dan 𝑣⃗ = 15𝑖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑗⃗⃗⃗⃗ − 3𝑘⃗⃗⃗⃗⃗ 3) 𝑢⃗⃗ = 2𝑖⃗⃗⃗⃗ + 2𝑗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑘⃗⃗⃗⃗⃗ dan 𝑣⃗ = 𝑖⃗ + 7𝑗⃗⃗⃗⃗ − 4𝑘⃗⃗⃗⃗⃗
i. Tentukan besar sudut yang terbentuk oleh kedua vektor di bawah ini dengan menggunakan rumus perkalian skalar dua vektor.
1) 𝑎⃗ = 2𝑖⃗⃗⃗⃗ − 2𝑗⃗⃗⃗⃗ − 𝑘⃗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = 6𝑖⃗⃗⃗⃗ − 3𝑗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑘⃗⃗⃗⃗⃗ 2) 𝑎⃗ = 3𝑖⃗⃗⃗⃗ + 2𝑗⃗⃗⃗⃗ − 6𝑘⃗⃗⃗⃗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = 4𝑖⃗⃗⃗⃗ − 3𝑗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘⃗⃗ j. Diketaui 𝑎⃗ = [ 2 0 3 ] dan 𝑏⃗⃗ = [ 3 1 −2 ]. Hitunglah: 1) |𝑎|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan |𝑏|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2) 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗
3) Sudut antara 𝑎⃗ dan 𝑏⃗⃗
k. Hitunglah nilai m agar vektor 𝑎⃗ = 2𝑖⃗⃗⃗⃗ + 𝑚𝑗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘⃗⃗ tegak lurus vektor 𝑏⃗⃗ = 4𝑖⃗⃗⃗⃗ − 2𝑗⃗⃗⃗⃗ − 2𝑘⃗⃗⃗⃗⃗. l. Diketahui vektor 𝑎⃗ = 3𝑖⃗⃗⃗⃗ − 𝑗⃗ + 2𝑘⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑏⃗⃗ = 2𝑖⃗⃗⃗⃗ + 𝑗⃗ − 𝑘⃗⃗ dan 𝑐⃗ = 𝑖⃗ − 2𝑗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑘⃗⃗⃗⃗⃗. Tentukan:
1) 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ 2) 𝑎⃗ × 𝑐⃗ 3) 𝑎⃗ × (𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗) 4) 𝑎⃗ × (𝑏⃗⃗ − 𝑐⃗) m. Misalkan 𝑝⃗ = [ 3 2 −1 ], 𝑞⃗ = [ 0 2 −3 ] dan 𝑟⃗ = [ 2 6 7 ]. Hitunglah: 1) 𝑝⃗ × (𝑞⃗ × 𝑟⃗) 2) (𝑝⃗ × 𝑞⃗) × 𝑟⃗ 3) (𝑝⃗ × 𝑞⃗) × (𝑞⃗ × 𝑟⃗)
