Budi Murtiyasa, 2013, Latihan 2. Ruang Vektor Page 1
Latihan 2. Ruang Vektor
Bagian 1
1.
Andaikan H = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Operasi penjumlahan pada H adalah operasi penjumlahan
modulo 6. Apakah H merupakah grup ? Grup abelian ?
2.
Dengan operasi penjumlahan modulo 8, selidiki apakah himpunan G merupakan Grup?
Grup Komuatif ?, jika G = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
3.
Dengan operasi penjumlahan modulo 7, selidiki apakah himpunan H merupakan Grup?
Grup Komuatif ?, jika H = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
4.
Andaikan K = {2
y
|
y
B}, di mana B adalah himpunan bilangan bulat. Selidiki apakah K
merupakan Grup ? Grup Komutatif, jika operasi pada K adalah :
a)
penjumlahan
b)
perkalian
5.
Dengan operasi perkalian modulo 8, selidiki apakah himpunan N merupakan Grup? Grup
Komuatif ?, jika N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
6.
Dengan operasi penjumlahan modulo 7, selidiki apakah himpunan P merupakan Grup?
Grup Komuatif ?, jika P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
7.
Andaikan diketahui
a
,
b
Q, dengan a dan b anggota himpunan bilangan bulat. Operasi *
pada Q didefinisikan
a
*
b
=
a
+
b
+ 1. Selidiki apakah (Q, *) merupakan grup? Grup
komutatif?.
8.
Andaikan diketahui
a
,
b
ϵ
R, dengan a dan b anggota himpunan bilangan bulat. Operasi #
pada R didefinisikan
a
#
b
=
a
+
b
+
ab
. Apakah (R, #) merupakan grup? Grup komutatif?.
9.
Dengan operasi (i) penjumlahan, (ii) perkalian; manakah himpunan di bawah ini yang
merupakan grup? Grup abelian?. Jelaskan jawab saudara !
a)
Himpunan bilangan asli
b)
Himpunan bilangan cacah
c)
Himpunan bilangan bulat
d)
Himpunan bilangan rasional
e)
Himpunan bilangan real
10.
Diketahui S = {semua matriks berdimensi 2x2}. Dengan operasi penjumlahan matriks,
selidiki apakah (S, +) merupakan grup? Grup komutatif?
11.
Diketahui T = {semua matriks berdimensi 2x2}. Dengan operasi perkalian matriks, selidiki
apakah (T, x) merupakan grup? Grup komutatif?
12.
Dengan operasi penjumlahan modulo 8 dan perkalian modulo 8, selidiki apakah himpunan
F merupakan
Field
?, jika F = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
13.
Dengan operasi penjumlahan modulo 7 dan perkalian modulo 7, selidiki apakah himpunan
W merupakan
Field
?, jika W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
14.
Dengan operasi penjumlahan dan perkalian, selidiki himpunan bilangan manakah yang
merupakan
field
?
Budi Murtiyasa, 2013, Latihan 2. Ruang Vektor Page 2
b)
Himpunan bilangan rasional
c)
Himpunan bilangan real
d)
Himpunan bilangan kompleks
15.
Andaikan F = { (
a
+
b
√5) |
a
,
b
R} di mana R himpunan bilangan real, dengan operasi
penjumlahan dan perkalian apakah merupakan
field
?
16.
Andaikan M = {
b
a
b
a
|
a
,
b
R, dengan
a
≠ 0 atau
b
≠ 0}. Dengan operasi penjumlahan
dan perkalian, apakah M merupaan
field
?
17.
Diketahui
a
,
b
N dengan
a
dan
b
anggota himpunan bulat. Operasi # pada N didefinisikan
a
#
b
=
a
+
b
– 1, dan operasi * pada N didefinisikan sebagai
a
*
b
=
a
+
b
+
ab
. Selidiki apakah
(N, #, *) merupakan
field
?
18.
Diketahui E = {
a
+
b
√3 |
a
,
b
B}, B adalah himpunan bilangan bulat. Dengan operasi
penjumlahan dan perkalian, selidiki apakah (E, +, x) merupakan
field
?.
19.
Diketahui M = {semua matriks berdimensi 2x2}. Dengan operasi penjumlahan matriks dan
perkalian skalar terhadap matriks, selidiki apakah (M, +, x) merupakan
field
?
20.
Diketahui P adalah himpunan semua polinom berderajat dua, di mana P = {
a
+
bt
+ c
t
2|
a
,
b
,
c
R} dengan R adalah himpunan bilangan real. Dengan operasi penjumlahan polinom
dan perkalian skalar terhadap polinom, apakah P merupakan
field
?
Bagian 2
1.
Andaikan
V
= {
a
a
a
3
2
,
a
R}. Dengan operasi penjumlahan di antara anggota
V
, serta
operasi perkalian antara anggota
field
F dengan anggota
V
, selidiki apakah
V
merupakan
ruang vektor ?
2.
Andaikan
V
= {
c
b
a
|
a
,
b
,
c
R}. dengan operasi penjumlahan pada
V
di definisikan :
1 1 1c
b
a
+
2 2 2c
b
a
=
2 1 2 1 2 12
2
2
c
c
b
b
a
a
dan operasi perkalian pada
V
didefinisikan :
k
1 1 1c
b
a
=
1 1 1kc
kb
ka
.
Selidiki apakah
V
merupakan ruang vektor ?
Budi Murtiyasa, 2013, Latihan 2. Ruang Vektor Page 3
3.
Andaikan
V
= {
c
b
a
|
a
,
b
,
c
R}. dengan operasi penjumlahan pada
V
di definisikan :
1 1 1c
b
a
+
2 2 2c
b
a
=
2 1 2 1 2 1c
c
b
b
a
a
dan operasi perkalian pada
V
didefinisikan :
k
1 1 1c
b
a
=
1 10
kc
ka
.
Selidiki apakah
V
merupakan ruang vektor ?
4.
Himpuna semua polinom berderajat dua P = {
a
+
bt
+
ct
2; di mana
a
,
b
,
c
R}. Operasi
penjumlahan pada P adalah penjumlahan polinom, dan operasi perkalian pada P adalah
perkalian skalar. Selidiki apakah P merupakan ruang vektor ?
5.
Diketahui sembarang
field
F dan X adalah himpunan yang tidak kosong. Pandanglah V
sebuah fungsi dari X into F. Jumlah dua fungsi f, g
V adalah sebuah fungsi f + g
V
yang didefinisikan (f+g)(x) = f(x) + g(x), dan Perkalian skalar
k
F dengan fungsi f V
adalah fungsi
k
f V yg didefinisikan (
k
f)(x) =
k
f(x). Selidiki apakah V merupakan ruang
vektor atas
field
F ?
6.
Selidiki apakah W merupakan
subpaces
dari
V
=
3, jika :
(a)
W = {
z
y
x
|
x
+
y
+
z
= 0;
x
,
y
,
z
R}
(b)
W = {
z
y
x
|
xy z
= 0;
x
,
y
,
z
R}
7.
Andaikan
V
=
3. Himpunan
W
merupakan himpunan bagian dari
V
. Selidiki
apakah himpunan
W
berikut ini merupakan
subspace
(ruang vektor bagian) dari
V
?.
Jelaskan jawab saudara !
(a)
W
= {
c
b
a
| 2
a
–
b
= 3
c
;
a, b, c
R}.
(b)
W
= {
a
a
a
9
|
a
R}.
8.
Andaikan
V
=
3. Apakah
W
subspace
dari
V
jika :
(a)
W
= {
c
b
a
|
a
+ 2
b
–
c
= 0;
a
,
b
,
c
R}
Budi Murtiyasa, 2013, Latihan 2. Ruang Vektor Page 4
(b)
W
= {
c
b
a
|
a
+
b
> 1 ;
a
,
b
,
c
R}
(c)
W
= {
c
b
a
|
a
=
b
–
c
;
a
,
b
,
c
R}
(d)
W
= {
c
b
a
|
a
+
b
=
c
+ 1;
a
,
b
,
c
R}
9.
Andaikan
V
=
4. Selidiki apakah
W
subspace
dari
V
, jika:
(a)
W
= {
d
c
b
a
|
a
– 2
d
=
b
+
c
;
a
,
b
,
c
,
d
R}.
(b)
W
= {
d
c
b
a
|
a
+ 2
b
+
c
= 1 + 2
d
;
a
,
b
,
c
,
d
R}
10.
Andaikan
V
=
3. Jika himpunan
U
= {
z
y
x
|
x
+ 2
y
–
z
= 0;
x
,
y
,
z
R} dan
W
= {
z
y
x
|
2
x
+ 3
y
+
z
=0;
x
,
y
,
z
R}, carilah
U
∩
W
. Tunjukkan juga bahwa:
(a)
U
subspace
V
(b)
W
subspace
V
(c)
U
∩
W
subspace
V
Bagian 3
1.
Andaikan
u =
7
5
1
,
v =
2
3
1
,
w =
1
4
2
, dan
s =
6
10
4
. Jika mungkin, nyatakan
s
Budi Murtiyasa, 2013, Latihan 2. Ruang Vektor Page 5
2.
Diketahui matriks
A
=
7
11
11
4
, dan himpunan vektor B = {
B
1,
B
2,
B
3}, dengan
B
1=
1
2
2
1
,
B
2=
3
1
1
2
, dan
B
3=
5
1
1
4
. Jika mungkin, nyatakan
A
sebagai kombinasi
linear dari vektor-vektor anggota B !.
3.
Diketahui
M
=
5
4
1
1
,
A
=
4
3
2
1
,
B
=
1
1
1
1
, dan
C
=
9
7
7
4
. Jika mungkin, nyatakan
M
sebagai kombinasi linear dari
A
,
B
, dan
C
!
4.
Diketahui
V adalah ruang vektor polinomial berderajat 3 atas
field
bilangan real R.
Andaikan
u
,
v
,
w
V di mana
u
=
t
3+ 4
t
2– 2
t
+ 3,
v
=
t
3+ 6
t
2–
t
+ 4, dan
w
= 3
t
3+ 8
t
2– 8
t
+
7. Nyatakan jika mungkin
u
, sebagai kombinasi linear dari
v
dan
w
!
5.
Andaikan
A
=
1
2
1
1
2
1
,
B
=
0
1
1
2
1
1
,
C
=
2
0
3
1
1
2
, dan
M
=
4
3
6
1
2
3
. Jika mungkin,
nyatakan
M
sebagai kombinasi linear dari
A
,
B
, dan
C
!
6.
Diketahui himpunan P = {p
1, p
2, p
3} di mana polinom p
1= – 5 + 5
t
+ 3
t
2, p
2= 6 + 3
t
+
t
2,
dan p
3= 1 + 2
t
+
t
2. Nyatakan
p = 4 + 5
t
+ 2
t
2sebagai kombinasi linear dari
polinom-polinom di dalam P.
7.
Diketahui Q = {p
1, p
2, p
3} di mana polinom p
1= 1 + 2
t
+
t
2, p
2= 3 + 8
t
– 2
t
2, dan p
3= 2 + 5
t
.
Nyatakan p = -1 – 3
t
+ 3
t
2sebagai kombinasi linear dari polinom-polinom di dalam Q.
8.
Selidiki apakah himpunan B = {b
1, b
2, b
3} ini merupakan sistem pembentuk bagi
2, jika :
(a)
b
1=
1
1
, b
2=
3
1
, dan b
3=
1
2
(b)
b
1=
1
1
, b
2=
0
1
, dan b
3=
1
0
9.
Selidiki apakah himpunan P = {p
1, p
2, p
3} ini merupakan sistem pembentuk bagi
3, jika :
(a)
p
1=
1
1
1
, p
2=
1
1
0
, dan p
3=
1
0
0
(b)
p
1=
1
2
3
, p
2=
0
1
2
, dan p
3=
0
0
1
.
Bagian 4
1.
Untuk matriks berikut ini, masing-masing carilah vektor-vektor yang membangun ruang
baris dan ruang kolom.
Budi Murtiyasa, 2013, Latihan 2. Ruang Vektor Page 6
