• Tidak ada hasil yang ditemukan

Latihan 2. Ruang Vektor. Bagian 1

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "Latihan 2. Ruang Vektor. Bagian 1"

Copied!
6
0
0

Teks penuh

(1)

Budi Murtiyasa, 2013, Latihan 2. Ruang Vektor Page 1

Latihan 2. Ruang Vektor

Bagian 1

1.

Andaikan H = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Operasi penjumlahan pada H adalah operasi penjumlahan

modulo 6. Apakah H merupakah grup ? Grup abelian ?

2.

Dengan operasi penjumlahan modulo 8, selidiki apakah himpunan G merupakan Grup?

Grup Komuatif ?, jika G = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

3.

Dengan operasi penjumlahan modulo 7, selidiki apakah himpunan H merupakan Grup?

Grup Komuatif ?, jika H = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

4.

Andaikan K = {2

y

|

y

 B}, di mana B adalah himpunan bilangan bulat. Selidiki apakah K

merupakan Grup ? Grup Komutatif, jika operasi pada K adalah :

a)

penjumlahan

b)

perkalian

5.

Dengan operasi perkalian modulo 8, selidiki apakah himpunan N merupakan Grup? Grup

Komuatif ?, jika N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

6.

Dengan operasi penjumlahan modulo 7, selidiki apakah himpunan P merupakan Grup?

Grup Komuatif ?, jika P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

7.

Andaikan diketahui

a

,

b

 Q, dengan a dan b anggota himpunan bilangan bulat. Operasi *

pada Q didefinisikan

a

*

b

=

a

+

b

+ 1. Selidiki apakah (Q, *) merupakan grup? Grup

komutatif?.

8.

Andaikan diketahui

a

,

b

ϵ

R, dengan a dan b anggota himpunan bilangan bulat. Operasi #

pada R didefinisikan

a

#

b

=

a

+

b

+

ab

. Apakah (R, #) merupakan grup? Grup komutatif?.

9.

Dengan operasi (i) penjumlahan, (ii) perkalian; manakah himpunan di bawah ini yang

merupakan grup? Grup abelian?. Jelaskan jawab saudara !

a)

Himpunan bilangan asli

b)

Himpunan bilangan cacah

c)

Himpunan bilangan bulat

d)

Himpunan bilangan rasional

e)

Himpunan bilangan real

10.

Diketahui S = {semua matriks berdimensi 2x2}. Dengan operasi penjumlahan matriks,

selidiki apakah (S, +) merupakan grup? Grup komutatif?

11.

Diketahui T = {semua matriks berdimensi 2x2}. Dengan operasi perkalian matriks, selidiki

apakah (T, x) merupakan grup? Grup komutatif?

12.

Dengan operasi penjumlahan modulo 8 dan perkalian modulo 8, selidiki apakah himpunan

F merupakan

Field

?, jika F = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

13.

Dengan operasi penjumlahan modulo 7 dan perkalian modulo 7, selidiki apakah himpunan

W merupakan

Field

?, jika W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

14.

Dengan operasi penjumlahan dan perkalian, selidiki himpunan bilangan manakah yang

merupakan

field

?

(2)

Budi Murtiyasa, 2013, Latihan 2. Ruang Vektor Page 2

b)

Himpunan bilangan rasional

c)

Himpunan bilangan real

d)

Himpunan bilangan kompleks

15.

Andaikan F = { (

a

+

b

√5) |

a

,

b

 R} di mana R himpunan bilangan real, dengan operasi

penjumlahan dan perkalian apakah merupakan

field

?

16.

Andaikan M = {





b

a

b

a

|

a

,

b

 R, dengan

a

≠ 0 atau

b

≠ 0}. Dengan operasi penjumlahan

dan perkalian, apakah M merupaan

field

?

17.

Diketahui

a

,

b

 N dengan

a

dan

b

anggota himpunan bulat. Operasi # pada N didefinisikan

a

#

b

=

a

+

b

– 1, dan operasi * pada N didefinisikan sebagai

a

*

b

=

a

+

b

+

ab

. Selidiki apakah

(N, #, *) merupakan

field

?

18.

Diketahui E = {

a

+

b

√3 |

a

,

b

 B}, B adalah himpunan bilangan bulat. Dengan operasi

penjumlahan dan perkalian, selidiki apakah (E, +, x) merupakan

field

?.

19.

Diketahui M = {semua matriks berdimensi 2x2}. Dengan operasi penjumlahan matriks dan

perkalian skalar terhadap matriks, selidiki apakah (M, +, x) merupakan

field

?

20.

Diketahui P adalah himpunan semua polinom berderajat dua, di mana P = {

a

+

bt

+ c

t

2

|

a

,

b

,

c

 R} dengan R adalah himpunan bilangan real. Dengan operasi penjumlahan polinom

dan perkalian skalar terhadap polinom, apakah P merupakan

field

?

Bagian 2

1.

Andaikan

V

= {

a

a

a

3

2

,

a

 R}. Dengan operasi penjumlahan di antara anggota

V

, serta

operasi perkalian antara anggota

field

F dengan anggota

V

, selidiki apakah

V

merupakan

ruang vektor ?

2.

Andaikan

V

= {

c

b

a

|

a

,

b

,

c

 R}. dengan operasi penjumlahan pada

V

di definisikan :

1 1 1

c

b

a

+

2 2 2

c

b

a

=

2 1 2 1 2 1

2

2

2

c

c

b

b

a

a

dan operasi perkalian pada

V

didefinisikan :

k

1 1 1

c

b

a

=

1 1 1

kc

kb

ka

.

Selidiki apakah

V

merupakan ruang vektor ?

(3)

Budi Murtiyasa, 2013, Latihan 2. Ruang Vektor Page 3

3.

Andaikan

V

= {

c

b

a

|

a

,

b

,

c

 R}. dengan operasi penjumlahan pada

V

di definisikan :

1 1 1

c

b

a

+

2 2 2

c

b

a

=

2 1 2 1 2 1

c

c

b

b

a

a

dan operasi perkalian pada

V

didefinisikan :

k

1 1 1

c

b

a

=

1 1

0

kc

ka

.

Selidiki apakah

V

merupakan ruang vektor ?

4.

Himpuna semua polinom berderajat dua P = {

a

+

bt

+

ct

2

; di mana

a

,

b

,

c

 R}. Operasi

penjumlahan pada P adalah penjumlahan polinom, dan operasi perkalian pada P adalah

perkalian skalar. Selidiki apakah P merupakan ruang vektor ?

5.

Diketahui sembarang

field

F dan X adalah himpunan yang tidak kosong. Pandanglah V

sebuah fungsi dari X into F. Jumlah dua fungsi f, g

 V adalah sebuah fungsi f + g

 V

yang didefinisikan (f+g)(x) = f(x) + g(x), dan Perkalian skalar

k

 F dengan fungsi f  V

adalah fungsi

k

f  V yg didefinisikan (

k

f)(x) =

k

f(x). Selidiki apakah V merupakan ruang

vektor atas

field

F ?

6.

Selidiki apakah W merupakan

subpaces

dari

V

= 

3

, jika :

(a)

W = {

z

y

x

|

x

+

y

+

z

= 0;

x

,

y

,

z

 R}

(b)

W = {

z

y

x

|

xy z

= 0;

x

,

y

,

z

 R}

7.

Andaikan

V

=

3

. Himpunan

W

merupakan himpunan bagian dari

V

. Selidiki

apakah himpunan

W

berikut ini merupakan

subspace

(ruang vektor bagian) dari

V

?.

Jelaskan jawab saudara !

(a)

W

= {

c

b

a

| 2

a

b

= 3

c

;

a, b, c

 R}.

(b)

W

= {

a

a

a

9

|

a

 R}.

8.

Andaikan

V

= 

3

. Apakah

W

subspace

dari

V

jika :

(a)

W

= {

c

b

a

|

a

+ 2

b

c

= 0;

a

,

b

,

c

 R}

(4)

Budi Murtiyasa, 2013, Latihan 2. Ruang Vektor Page 4

(b)

W

= {

c

b

a

|

a

+

b

> 1 ;

a

,

b

,

c

 R}

(c)

W

= {

c

b

a

|

a

=

b

c

;

a

,

b

,

c

 R}

(d)

W

= {

c

b

a

|

a

+

b

=

c

+ 1;

a

,

b

,

c

 R}

9.

Andaikan

V

= 

4

. Selidiki apakah

W

subspace

dari

V

, jika:

(a)

W

= {





d

c

b

a

|

a

– 2

d

=

b

+

c

;

a

,

b

,

c

,

d

 R}.

(b)

W

= {





d

c

b

a

|

a

+ 2

b

+

c

= 1 + 2

d

;

a

,

b

,

c

,

d

 R}

10.

Andaikan

V

= 

3

. Jika himpunan

U

= {

z

y

x

|

x

+ 2

y

z

= 0;

x

,

y

,

z

 R} dan

W

= {

z

y

x

|

2

x

+ 3

y

+

z

=0;

x

,

y

,

z

 R}, carilah

U

W

. Tunjukkan juga bahwa:

(a)

U

subspace

V

(b)

W

subspace

V

(c)

U

W

subspace

V

Bagian 3

1.

Andaikan

u =

7

5

1

,

v =

2

3

1

,

w =

 

1

4

2

, dan

s =

6

10

4

. Jika mungkin, nyatakan

s

(5)

Budi Murtiyasa, 2013, Latihan 2. Ruang Vektor Page 5

2.

Diketahui matriks

A

=





7

11

11

4

, dan himpunan vektor B = {

B

1

,

B

2

,

B

3

}, dengan

B

1

=





1

2

2

1

,

B

2

=





3

1

1

2

, dan

B

3

=





5

1

1

4

. Jika mungkin, nyatakan

A

sebagai kombinasi

linear dari vektor-vektor anggota B !.

3.

Diketahui

M

=





5

4

1

1

,

A

=





4

3

2

1

,

B

=





1

1

1

1

, dan

C

=





9

7

7

4

. Jika mungkin, nyatakan

M

sebagai kombinasi linear dari

A

,

B

, dan

C

!

4.

Diketahui

V adalah ruang vektor polinomial berderajat 3 atas

field

bilangan real R.

Andaikan

u

,

v

,

w

 V di mana

u

=

t

3

+ 4

t

2

– 2

t

+ 3,

v

=

t

3

+ 6

t

2

t

+ 4, dan

w

= 3

t

3

+ 8

t

2

– 8

t

+

7. Nyatakan jika mungkin

u

, sebagai kombinasi linear dari

v

dan

w

!

5.

Andaikan

A

=

1

2

1

1

2

1

,

B

=

0

1

1

2

1

1

,

C

=

2

0

3

1

1

2

, dan

M

=

4

3

6

1

2

3

. Jika mungkin,

nyatakan

M

sebagai kombinasi linear dari

A

,

B

, dan

C

!

6.

Diketahui himpunan P = {p

1

, p

2

, p

3

} di mana polinom p

1

= – 5 + 5

t

+ 3

t

2

, p

2

= 6 + 3

t

+

t

2

,

dan p

3

= 1 + 2

t

+

t

2

. Nyatakan

p = 4 + 5

t

+ 2

t

2

sebagai kombinasi linear dari

polinom-polinom di dalam P.

7.

Diketahui Q = {p

1

, p

2

, p

3

} di mana polinom p

1

= 1 + 2

t

+

t

2

, p

2

= 3 + 8

t

– 2

t

2

, dan p

3

= 2 + 5

t

.

Nyatakan p = -1 – 3

t

+ 3

t

2

sebagai kombinasi linear dari polinom-polinom di dalam Q.

8.

Selidiki apakah himpunan B = {b

1

, b

2

, b

3

} ini merupakan sistem pembentuk bagi 

2

, jika :

(a)

b

1

=





1

1

, b

2

=





3

1

, dan b

3

=







1

2

(b)

b

1

=





1

1

, b

2

=





0

1

, dan b

3

=





1

0

9.

Selidiki apakah himpunan P = {p

1

, p

2

, p

3

} ini merupakan sistem pembentuk bagi 

3

, jika :

(a)

p

1

=

1

1

1

, p

2

=

1

1

0

, dan p

3

=

1

0

0

(b)

p

1

=

1

2

3

, p

2

=

0

1

2

, dan p

3

=

0

0

1

.

Bagian 4

1.

Untuk matriks berikut ini, masing-masing carilah vektor-vektor yang membangun ruang

baris dan ruang kolom.

(6)

Budi Murtiyasa, 2013, Latihan 2. Ruang Vektor Page 6

(a)

A =





6

2

3

5

1

4

(b)

B =

0

1

2

4

3

0

1

0

1

0

3

2

1

1

2

2.

Andaikan u, v, w, dan s adalah vektor-vektor di 

3

. Dengan matriks, jika mungkin nyatakan

vektor s sebagai kombinasi linear dari vektor u, v, dan w, jika :

(a)

s =

2

1

1

, u =

1

2

3

, v =

3

3

2

, dan w =

4

5

5

(b)

s =

2

1

2

, u =

3

1

4

, v =

5

2

6

, dan w =

7

3

8

3.

Andaikan u, v, w, dan s adalah vektor-vektor di 

4

. Dengan matriks, jika mungkin nyatakan

vektor s sebagai kombinasi linear dari vektor u, v, dan w, jika :

(a)

s =





2

2

1

1

, u =





2

1

1

1

, v =





4

3

2

2

, dan w =





6

4

3

3

(b)

s =





 

0

1

2

1

, u =





2

1

5

3

, v =





2

3

1

1

, dan w =





 

6

2

4

2

Referensi

Dokumen terkait

Kegiatan mengulang kembali pelajaran di rumah itu merupakan langkah awal siswa untuk menguasai materi yang kemungkinan akan keluar pada ujian UAS, menguasai cara

Konsentrasi COD dengan keberadaan akar wangi selama 61 hari proses remediasi mengalami penurunan dari 3840 mg/L menjadi 24 mg/L (Gambar 5A). Akar wangi umur 75 HST pada

ABSTRAKSI : Pada zaman seperti saat ini, dengan kemajuan teknologi yang begitu pesat, kebutuhan terhadap informasi-informasi berbasiskan komputer sangat dibutuhkan.

 perlu diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris  contoh pemuatan kata yang tidak penting:.. “Pengalaman dari Praktik Sehari-hari …” atau, “Beberapa Faktor yang

Pendekatan yang dilakukan berlandas pada teori Konsep Asta Kosala Kosali Bali, Arsitektur Gereja Kristen, dan archetypes dalam arsitektur yang dikolaborasikan dengan aspek

Adaptasi fisiologi terhadap kerja fisik dapat dibagi dalam adaptasi akut dan kronik. Adaptasi akut merupakan penyesuaian tubuh yang terjadi pada saat kerja

Hatiku akan berpesta raya, jikalau Saudara-saudara menyetujui bahwa Negara Indonesia Merdeka, berasaskan Ke-Tuhan-an Yang Mah D (VD´ 25. Dari uraian dan pandangannya

(a) Sebuah gambaran umum dari pesawat yang menekankan karakteristik fisik yang mungkin memiliki pengaruh pada saat pendaratan darurat di air, evakuasi, dan dalam prosedur