Nilai dan Vektor Eigen dan vektor

Mengingat kembali: perkalian

matriks

• Diberikan matriks A_2x2dan vektor-vektor u, v, dan w

• Hitunglah Au, Aw, Av. Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektor yang sejajar dengan vektor semula

Mengingat kembali: SPL homogen dan determinan

1.

A

_{adalah matriks}

n

_x

n

_{dan SPL}

Ax

_{= 0 mempunyai penyelesaian trivial saja. Apa}

kesimpulanm tentang

A

_?

2.

A

_{adalah matriks nxn dan SPL}

Ax

_{= 0 mempunyai penyelesaian TIDAK trivial. Apa}

kesimpulanmu tentang

A

_{dan det(}

A

_)?

Jawaban:

A

mempunyai inverse. Det(

A

) ≠ 0

Jawaban:

A

tidak mempunyai inverse.

Perkalian vektor dengan matriks

A

x

A

_{x =}

λ

x

x

A

x

x

Definisi: Nilai dan Vektor Eigen

Definisi:

Diberikan matriks

A

_nxn

, vektor tak nol

v

di R

n

_{disebut vektor eigen}

dari

A

jika terdapat skalar sedemikian hingga

A

v

=

λ

v

.

λ

disebut nilai eigen,

x

adalah vektor eigen dari

A

yang

bersesuaian dengan

λ

.

Syarat perlu:

v ≠ 0

Masalah Vektor Eigen

Diberikan matriks persegi

A,

Temukan semua vektor tidak nol

_x

sedemikian hingga

A

_x

adalah kelipatan skalar

_x

(

A

_x

sejajar dengan

_x

).

atau

Temukan semua vektor tak nol

_x

sedemikian hingga

A

_{x =}

λ

_x

untuk suatu skalar

λ

A

_x

sejajar

_x

Masalah Nilai Eigen

Diberikan matriks persegi

A.

A

=

Temukan semua skalar

λ

sedemikian hingga

A

x =

λ

x untuk suatu

vektor tak nol x.

atau

Temukan semua vektor skalar

λ

sedemikian hingga persamaan

A

x =

λ

x

mempunyai penyelesaian tak nol

x

λ

x

x vektor tak nol

Pernyataan-pernyataan ekuivalen

Jika

A

matriks persegi

n

x

n

, maka kalimat-kalimat berikut ekuivalen

1.



nilai eigen

A

2. terdapat vektor tak nol

x

sedemikian hingga

A

x

=



x

3. SPL (

A

–



I

)

x

=

0

mempuyai solusi tidak nol (non-trivial)

4.



adalah penyelesaian persamaan det(

A

–



I

) = 0

Persamaan Karakteristik

Jika diuraikan, det((

A -

λ

I

) merupakan suku banyak berderajat

n

dalam

λ

,

p(

λ

) =

λ

ⁿ

+ c

_n-1

λ

n-1

_+c

n-2

λ

n-2

+ …+

c

1

λ

+ c

0

suku banyak karakteristik

Persamaan det((

A -

λ

I

) =

λ

ⁿ

+ c

_n-1

λ

n-1

_+c

n-2

λ

n-2

+ …+

c

1

λ

+ c

0

=

0 disebut

persamaan

karakteristik

Persamaan dengan derajat

n

mempunyai paling banyak

n

penyelesaian, jadi

matriks

n

x

n

paling banyak mempunyai

n

nilai eigen.

A-

λ

I

det

λⁿ

_{+ c}

_n-1

λ

n-1

_+c

n-2

λ

n-2

+ …+

c

1

λ

+ c

0

λ

I

A

-=

= 0

•persamaan karakteristik

A-

λ

I

Contoh

Mencari semua nilai eigen

A=

2

0

4

1













Mencari semua penyelesaian persamaan

Mencari penyelesaian persamaan karakteristik

Nilai eigen

A

adalah

1

2

2,

1









det

2 -

λ

0

= 0

4

1 -

λ

( )( ) = 0

2 -

λ

1 -

λ

4

0

Prosedur: menentukan nilai eigen

Diberikan matriks persegi

A

.

Nilai-nilai eigen

A

dapat diperoleh sebagai berikut:

1. Tentukan persamaan karakteristik det((

A -

λ

I) = 0

tuliskan

A

dan matriks yang elemen diagonal utamanya dikurangi

λ

2. (Jika diperlukan) uraikan persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak

karakteristik:

λ

ⁿ

+ c

_n-1

λ

n-1

_+c

n-2

λ

n-2

+ …+

c

1

λ

+ c

0

=

0

Contoh: Menentukan nilai eigen

Diberikan matriks persegi

1. Tentukan persamaan karakteristik det(A -λI) = 0

2. Ubahlah persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik:

3. Selesaikan persamaan di atas untuk memperoleh nilai-nilai eigen

Nilai eigen matriks diagonal

Diberikan matriks diagonal

2 0 0 0

Nilai-nilai eigen matriks diagonal adalah elemen diagonal

utamanya.

•

Persamaan karakteristik:

•

Nilai-nilai eigen 2, 6, 5, 1

(merupakan entri diagonal utama)

Bagaimana menentukan apakah suatu skalar

merupakan nilai eigen?

• Tentukan apakah 2, 0, 4 merupakan nilai eigen A.

Jawab:

Bentuk det(A-λI) untuk λ= 2, 0, 4. Jika det(A-λI) ≠ , aka erupaka ilai eige , kalau = , maka bukan nilai eigen. Kunci: 2, 4 nilai eigen A, 0 bukan nilai eigen A.

2 adalah nilai eigen A

Kelipatan skalar vektor eigen

Kelipatan skalar vektor eigen

Kelipatan skalar (tak nol) dari vektor eigen adalah

vektor eigen terhadap nilai eigen yang sama

Menentukan semua vektor eigen E

_λ

• Diberikan vektor matriks Adan salah satu nilai eigennya, misalnya λ. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.

• Vektor-vektor eigen Ayang bersesuaian dengan λ = 3 dapat diperoleh dengan menyelesaikan SPL (A -λ I)x = 0. Vektor eigen adalah anggota Null(A- λI)

Null(

A

-

λ

I

)

Null(

A

-

λ

I

)-{

0

}

Himpunan semua penyelesaian SPL (A- λ I)x = 0

Himpunan semua vektor eigen

bersesuaian dengan

λ

Ruang Eigen

0

Ruang penyelesaian SPL (A- λ I)x = 0

Null

(

A

-

λ

I)

x

Ruang Eigen

E

λ

Ruang eigen

A

yang bersesuaian dengan

λ

terdiri atas semua

vektor eigen yang bersesuaian dengan

λ

dan

vektor nol

Null(

A

-

λ

I) =

E

_λ

Menentukan ruang eigen E

_λ

• Diberikan vektor matriks Adan salah satu nilai eigennya, misalnya λ= 3. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ= 3.

1 2 3 Himpunan penyelesaian

Nilai eigen matriks pangkat

• Nilai eigen dari A adalah 0, 2, dan 3.

• Tentukan nilai eigen untuk

• Diberikan sembarang matriks Adan diketahui bahwa λ adalah nilai eigennya. Maka terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga

Ax = λx kalikan kedua ruas dengan matriks A A.Ax = Aλx

A2_{x =} λ_{(Ax) substitusi Ax dengan} λ_x

A2_{x =} λ2_{x jadi,} λ2_{merupakan nilai eigen A}2

• Teorema: Jika n adalah bilangan bulat positif, λnilai eigen matriks A, maka λn

Nilai eigen matriks singular

• Misalkan = 0 merupakan nilai eigen dari A.

Maka 0 merupakan penyelesaian persamaan karakteristik:

dengan menganti



dengan 0, diperoleh c0 = 0.

Padahal det(

A

-



I) = 0, dengan



= 0, maka det(

A

) = c0 = 0.

Karena det(

A

) = 0 maka A tidak mempunyai inverse.

• Sebaliknya, det(A) = det(A -I) dengan mengambil = 0.Jadi det(A) = c0. Jika Atidak mempunyai inverse, maka det(A) = 0 = c0.

Sehingga = 0 merupakan salah satu penyelesaian persamaan karakteristik; = 0 merupakan salah satu nilai eigen dari A.

0 adalah nilai eigen

A

jika dan hanya jika

A

Nilai eigen matriks transpose

Misalkan



= 0 merupakan nilai eigen dari

A

,



maka det(

A

-



I)= 0

Karena matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama,



maka det(

A

-



I)

T

_{= 0}

Karena (

A

-



I)

T

_{= (}

_A

T

_-



_{I) ,}



maka det(

A

T

_-



_{I)= 0}

Jadi,



adalah nilai eigen dari

A

T

A

dan

A

T

mempunyai nilai eigen yang sama

det(

B

) = det(

B

T

)

(

A

-



I)

T

= (

A

T

-



I)

Diagonalisasi

Definisi: Matriks persegi

A

dapat didiagonalkan jika terdapat matriks yang

mempunyai inverse sedemikian hingga

P

-1

AP

=

D

adalah matriks diagonal

.

5

6

Kapan matriks

A

dapat didiagonalkan?

•

Teorema:

Jika

A

_{adalah matriks nxn, maka kalimat-kalimat berikut ini ekuivalen:}

1.

A

_{dapat didiagonalkan}

2.

A

_{mempunyai n vektor-vektor eigen yang bebas linier}

Bukti (1)  (2) Diberikan A

Misalkan Adapat didiagonalkan, maka terdapat matriks P yang mempunyai inverse

Sedemikian hingga P-1_{AP = D matriks diagonal}

Kapan matriks

A

dapat didiagonalkan? (lanjt)

P

-1

AP

=

D

, kalikan dengan

P

-1

,

AP = PD

AP = PD, jadi

Karena P mempunyai inverse, maka kolom-kolmnya bukan kolom

nol. Berdasarkan deinisi nilai eigen, maka

λ

₁

,

λ

₂

,

λ

₃

, …,λ

_n

merupakan nilai-nilai eigen

A

, dan kolom-kolom P adalah

vektor-vektor eigen

A

yang bebas linier (karena P mempunya

inverse)

Bukti untuk (2)



(1) kerjakanlah sebagai latihan untuk

Prosedur mendiagonalkan matriks

•

Diberikan matriks

A

_nxn

. Akan dicari P sedemikian hingga

PAP

-1

₌

_D

_.

Prosedur

1. Tentukan n vektor eigen

A

yang bebas linier, misalkan

p

₁

,

p

₂

,

p

₃

, …,

p

_n

2. Dibentuk matriks

P

yang kolom-kolomnya adalah

p

₁

,

p

₂

,

p

₃

, …,

p

_n

3. Mariks

D =

P

-1

_AP

_{adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah}

λ

1

,

Contoh: mendiagonalkan matriks

• Diberikan matriks A_nxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 _{= D.}

Prosedur

1. Tentukan 2 vektor eigen Ayang bebas linier. Pertama kita tentukan nilai-nilai eigennya yaitu λ₁= 2 dan λ₂= -1 (telah dihitung sebelumnya). Tentukan vektor eigen bersesuaian dengan nilai eigen, dengan menyelesaiakn SPL (A - λ I)x =0. Diperoleh

2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen di atas.

Masalah Diagonalisasi dan masalah vektor eigen

•

Masalah vektor eigen

Diberikan matriks

A

_nxn

, apakah terdapat basis di R

n

_{terdiri atas vektor-vektor eigen?}

•

Masalah diagonalisasi

Diberikan matriks

A

_nxn

apakah terdapat matriks yang mempunyai inverse P sedemikian

hingga nP

-1

_A

_{P adalah matriks diagonal?}

Teorema

:

A

_nxn

dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat

n

vektor eigen yang bebas linier.

Padahal, setiap n vektor yang saling bebas linier di R

n

_{merupakan basis R}

n

_.