BAB 3. Vektor dan Matriks

BAB 3

Vektor dan Matriks

Vektor

Salah satu fitur yang dimiliki oleh Matlab adalah penggunaan vektor sebagai objek. Vektor adalah sebuah larik satu-dimensi dari bilangan-bilangan yang tersusun dalam baris atau kolom. Vektor kolom dapat dibuat dengan cara menyusun bilangan-bilangan dalam sebuah kurung kotak yang mana setiap elemen dibatasi titik koma.

>> A=[1;2;3] A =

1 2 3

Sedangkan untuk membuat vektor yang berbentuk baris adalah dengan menyusun bilangan-bilangan yang dibatasi dalam kurung kotak dan setiap elemen dipisahkan oleh spasi atau tanda titik koma.

>> A=[1,2,3,4] A =

1 2 3 4

Untuk menyatakan vektor baris dengan elemen-elemen dengan pola tertentu juga dapat dibuat

x =

1 2 3 4 5

Vektor tersebut juga dapat dituliskan dengan cara x=[1 2 3 4 5]

Sekarang cobalah dengan pernyataan Matlab berikut ini >> y=0:2:10

y =

0 2 4 6 8 10

Dengan demikian vektor yang berurutan dengan pola tertentu dapat dinyatakan secara umum sebagai

nama_vektor= bawah : panjang_langkah : atas

Untuk mengakses elemen pada vektor x maka kita dapat melakukannya dengan cara nama_vektor(indeks_elemen) Contoh: >>y(2) ans = 2 >> 4*y(3) ans = 16

Cara lain yang dapat digunakan untuk menyatakan vektor berurutan dengan pola tertentu adalah dengan perintah linspace.

>> z=linspace(0,10,5) z =

Secara umum dapat dituliskan sebagai

nama_vektor=linspace(bawah,atas,jmlh_elemen)

Manipulasi Vektor

Di pasal ini kita akan membahas perhitungan sederhana yang melibatkan vektor, dengan mengenalkan operasi dot (.). Lihat contoh berikut.

>> v=[1,2,3,4,5]; >> 2*v

ans =

2 4 6 8 10

Contoh di atas menjelaskan bahwa untuk mengalikan 2 pada setiap elemen vektor dapat dilakukan dengan cara seperti di atas.

>> v=[1,2,3,4,5]; >> w=[2,3,4,5,6]; >> v.*w

ans =

2 6 12 20 30

Hasil di atas dapat dinyatakan secara umum sebagai

[

v1w1,v2w2, v3w3,v4w4,v5w5

]

Selanjutnya jika v dan w dilakukan operasi pembagian pada setiap elemen seletak, maka digunakan operasi v./w.

>> v=[1,2,3,4,5]; >> w=[2,3,4,5,6];

>> y=v./w y =

0.5000 0.6667 0.7500 0.8000 0.8333 atau dapat dinyatakan sebagai

y=

[

v1 w₁, v₂ w₂, v₃ w₃, v₄ w₄, v₅ w₅,

]

Contoh 3.3

Dapatkan nilai fungsi dari fx= x 3

1x2 untuk domain 0x2 dengan panjang langkah 0.2.

Penyelesaian x=0:0.2:2; f=x.^3; g=x.^2+1; y=f./g; disp([y']) Hasilnya adalah 0 0.0077 0.0552 0.1588 0.3122 0.5000 0.7082 0.9270 1.1506 1.3755 1.6000

Untuk membuat vektor yang berbentuk kolom, dapat dibuat dengan memberikan tanda titik koma (semicolon) pada elemen-elemennya.

>> v=[1;2;3;4;5] v = 1 2 3 4 5 Subscript

Kita dapat mengakses salah satu elemen vektor v untuk dilakukan operasi khusus. Letak setiap elemen vektor tersebut ditandai dengan dengan subscript. Sebagai contoh

>> v=[2,4,6,8,10]; >> 2*v(2)

ans = 8

Pada contoh di atas kita dapat mengakses elemen nomor dua dari vektor v dengan memberikan subscrip 2 pada vektor v.

Transpose Vektor

Kalau kita sudah memiliki vektor w yang berbentuk baris, maka kita dapat membuatnya menjadi vektor kolom dengan cara mentranspose vektor tersebut. Transpose dapat dilakukan dengan cara memberikan tanda petik tunggal (') pada pada vektor w tersebut.

Contoh 3.4

Jika kita memiliki vektor berupa baris maka trsenposenya berupa vektor kolom >> w=[1,2,3,4,5]; >> w' ans = 1 2 3 4 5 Contoh

Jika kita memiliki vektor kolom, maka transposenya berupa vektor baris >> B=[1;2;3;4;5]; >> B' ans = 1 2 3 4 5 Operasi Vektor

Di bawah ini disajikan operasi array (vektor) beserta keterangannya, sebagaimana yang telah dijelaskan di atas.

No Simbol Keterangan

1 [ ] Konstruktur untuk array (vektor) 2 , Tanda pemisah kolom elemen vektor 3 ; Tanda pemisah baris elemen vektor

4 : Untuk menentukan range elemen 5 + Operasi penambahan vektor 6 - Operasi pengurangan vektor 7 .* Operasi perkalian elemen vektor 8 .^ Pangkat setiap elemen vektor 9 ./ Operasi bagi kanan

10 .\ Operasi bagi kiri

Operasi Penambahan dan Pengurangan

Untuk melakukan operasi penambahan atau pengurangan vektor, maka syaratnya kedua jenis vektor adalah sejenis. Misalnya untuk penambahan dua buah vektor baris A dan B

>> A=[1,2,3]; >> B=[3,4,5]; >> C=A+B C =

4 6 8

Kemudian untuk pengurangan dua buah vektor kolom P dan Q >> P=[1;2;3]; >> Q=[3;4;5]; >> C=P+Q C = 4 6 8

Pembagian antar elemen vektor

Matlab memiliki kemampuan untuk melakukan operasi antar elemen vektor seletak. Contoh

>> P=[8,6,4]; >> Q=[4,3,2]; >> P./Q ans = 2 2 2 >> P.\Q ans = 0.5000 0.5000 0.5000 Perkalian antar elemen vektor

Matlab juga memiliki fitur untuk mengalikan antar elemen vektor yang seletak >> A=[1,2,3,4]; >> B=[2,3,4,5]; >> C=A.*B C = 2 6 12 20

Pangkat untuk elemen vektor

Jika memiliki sebuah vektor, maka elemen-elemennya dapat dipangkatkan seperti contoh di bawah ini

>> A=[1,2,3,4]; >> A.^2

1 4 9 16

Membuat Vektor Lebih Besar dengan Variabel yang Sudah Ada

Apabila kita memiliki dua buah vektor A dan B, maka dengan bermodal pada vektor tersebut kita dapat membuat vektor baru lagi berdasarkan pada vektor tersebut dengan ukuran yang lebih besar.

d.1. Vektor A dan B adalah vektor kolom >> A=[1;2;3]; >> B=[6;7]; >> C=[A;B] C = 1 2 3 6 7

d.2. Vektor A dan B adalah vektor baris >> A=[1,2,3]; >> B=[6,7]; >> C=[A,B] C = 1 2 3 6 7 Sifat-Sifat Vektor

Perintah length()

Perintah length menyatakan jumlah elemen yang terkandung dalam sebuah vektor. Contoh

>> P=[1,2,3,4,5,6,7,8,10]; >> length(P)

ans = 9

Perintah max dan min

Kita juga dapat memperoleh informasi mengenai mana elemen yang terbesar (dengan perintah max ) maupun yang terkecil (dengan min ).

>> P=[1,2,3,4,5,6,7,8,10]; >> max(P) ans = 10 >> min(P) ans = 1

Mencari Magnitud vektor

Sebelum kita memberikan contoh Matlab untuk memperoleh magnitud dari sebuah vektor, kita ingatkan kembali jika kita memiliki sebuah vektor kolom v.

v=

[

v1 v₂ v₃ ⋮ v_n

]

maka magnitud vektor v adalah

∣v∣=



v₁2v₂2v₃2⋯v_n2

Jika kita memiliki sebuah vektor Q, kemudian vektor tersebut akan dicari magnitudnya >> Q=[4,3,2]; >> Q.*Q; >> y=sum(Q.*Q); >> magnitude=sqrt(y) magnitude = 5.3852

Bagaimana kalau elemen-elemen vektornya yang ada merupakan bilangan kompleks. Lihat contoh berikut

>> Q=[4;3+2i;2]; >> P=conj(Q); >> W=Q.*P; >> y=sum(W); >> sqrt(y) ans = 5.7446

Kalau kita perhatikan langkah untuk memperoleh magnitud bilangan kompleks tersebut terlampau panjang, maka lebih singkat dengan cara

>> Q=[4;3+2i;2];

>> magnitud=sqrt(sum(conj(Q).*Q)) magnitud =

5.7446

Kita dapat menggunakan perintah abs() untuk menentukan harga mutlak dari elemen vektor.

>> Q=[4;3+2i;2]; >> abs(Q) ans = 4.0000 3.6056 2.0000

Perkalian Dot dan Cross

Perkalian dot pada dua vektor A=

_[

a_1,a_2,a_3,⋯, a_n

_]

_dan B=

_[

b_1,b_2,b_3,⋯, b_n

_]

_{didefinisikan}

A⋅B=

∑

i

a_ib_i

Dalam Matlab operasi perkalian dot dapat dilakukan dengan cara

dot(a,b). >> A=[1,2,3,4]; >> B=[2,3,4,5]; >> dot(A,B) ans = 40

>> A=[1,2,3,4]; >> dot(A,A);

>> magnitud=sqrt(dot(A,A)) magnitud =

5.4772

Operasi dot juga dapat bekerja pada vektor kompleks, seperti di bawah ini

>> A=[4;3+2i;2]; >> dot(A,A) ans = 33

Operasi lain pada vektor selain dot adalah perkalian cross. Syarat agar dapat dilakukan operasi perkalian cross adalah jumlah elemen vektor harus sama dengan tiga.

>> A=[1,2,3]; >> B=[2,3,4]; >> C=cross(A,B) C = -1 2 -1 Dasar-dasar Vektor

Dibawah ini akan dibahas tentang berbagai macam pembangkitan dan pembangunan vektor (array) yang disediakan oleh Matlab.

No Perintah Keterangan

langkah sama.

2 linspace

Membangkitkan vektor pada jangkauan tertentu dengan jumlah langkah dapat diambilsesuai kebutuhan. Panjang langkah yang dibangkitkan memiliki lebar sama. 3 logspace

Membangkitkan secara logaritmik vektor dalam jangkauan tertentu dengan jumlah langkah dapat diambil sesuai keiinginan. 4 blkdiag Membangun sebuah matriks diagonal

dengan argumen masukan. 5 eye Membangun matriks identitas.

6 ones Membangun matriks dengan elemen sama dengan 1.

7 zeros Membangun matriks dengan elemen sama dengan 0

8 rand Membangun matriks dengan elemen random yang terdistribusi secara uniform 9 randn Membangun matriks dengan elemen

random yang terdistribusi secara normal 10 ndgrid Membangkitkan array (vektor) untuk fungsi

multidimensi dan interpolasi.

11 meshgrid Membangkitkan matriks X dan Y untuk tujuan plot 3 dimensi.

sudah diberikan di awal pembahasan tentang vektor. Sekarang kita akan membahas beberapa yang belum dijelaskan di atas.

TUGAS

1. Jika diketahui dua buah vektor masing-masing v=linspace(0,2,5) dan w=linspace(3,5,5), maka tunjukkan hasilnya jika dilakukan operasi berikut ini. a) v+w b) w-v c) v.*w d) v.^2 e) w./v f) 1./w g) w/2

2. Diketahui dua buah vektor yaitu A=(1 -3 2 5 6) dan B=(4 1 3 5 1) tentukan

(a) magnitud dari masing-masing vektor (b) hasil perkalian antar elemen yang seletak (c) hasil bagi antar elemen yang seletak. 2. Diketahui vektor A=(2+i -3+5i 5 1-3i 2).

(a) tentukan transpose matriks A.

(b) tentukan transpose konjugat dari matriks A. (c) tentukan magnitud matriks A.

3. Anggaplah kita memiliki bilangan 3,2,3,1 dan 6. Buatlah vektor kolom A dan vektor baris dengan elemen-elemen tersebut.

4. Jika diketahui A=[1,2,3,5,3] dan B=[ 4;3;2;5;2]. Tentukan (a) hasil kasil cross vektor A dengan vektor B

(b) transpose dari ketor B

(c) hasil kali dot vektor A dengan vektor B'. 5. Suppose vector a and b are defined as follows:

a=[1,2,-3,4,-2]; b=[4,-1,6,7,-3];

Evaluate by hand the vector c in the following statements, then check your answer with Matlab

6. Set up a vector n with elements 1,2,3,4,5. Use Matlab array operation on vector n to set up the following four vectors, each with elemens: