MATRIKS Tentukan ordo matriks tersebut! . Disebut jenis matriks apakah matriks F tersebut!

MATRIKS

A. Pengertian matriks

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom.

B. Bentuk umum matriks

               ... ... ... ... ... ... ... 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A C. Elemen-elemen matriks

Elemen-elemen matriks adalah bilangan-bilangan pada matriks D. Ordo matriks

Ordo matriks adalah banyaknya baris x banyaknya kolom E. Macam-macam matriks

a). Matriks baris b). Matriks kolom c). Matriks persegi d). Matriks diagonal e). Matriks segitiga atas f). Matriks segitiga bawah g). Matriks identitas Latihan Soal:

Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini:

1. A = _      3 5 0 4 . Tentukan a₁₁,a₁₂,a₂₁,dana₂₂ ! 2. B =              8 6 5 3 1 7 0 4 2 . Tentukan b₁₂,b₂₃,b₃₁,danb₃₃ ! 3. C = _       4 3 5 2 1 2 . Tentukan c₁₁,c₁₃,c₂₂,danc₂₃ ! 4. D =           6 5 4 3 2 1

. Tentukan ordo matriks tersebut !

5. E =



2 3 4



. Tentukan ordo matriks tersebut !

6. F =              6 5 3 0 4 2 0 0 1

. Disebut jenis matriks apakah matriks F tersebut !

F. Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks dikatakan sama/setara, jika ordo kedua matriks tersebut sama dan elemen-elemen yang seletak mempunyai nilai yang sama juga.

Contoh: Diketahui A = _      8 6 4 2 dan B = _      8 2 2 2 y x

. Jika A = B, tentukan nilai x dan y ! Jawab: A = B       8 6 4 2 = _      8 2 2 2 y x

Sehingga: 2x = 4 x = 2 2y = 6 y = 3 Latihan Soal:

Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini:

1. Tentukanlah nilai p dan q, jika _             0 2 6 15 2 6 3 q p ! 2. Diketahui P = _       b a 3 5 2 dan Q = _      3 2 5 b

. Jika P dan Q, tentukan nilai a !

3. Tentukanlah nilai dari m + n, jika _

              n m n m 2 10 3 3 !

4. Tentukanlah nilai a, b, dan c, jika matriks R = _       c b a 2 2 7 5 4 3

sama dengan matriks S =

          6 4 2 7 5 1 3 4 c b a 5. Diketahui _       4 3 2 1 c b a = _        4 2 3 1 6 b a b a . Tentukanlah nilai c !

G. Transpose Suatu Matriks

Transpose matriks A adalah suatu matriks baru yang dapat ditulis dengan AT dengan cara memindahkan elemen pada baris matriks A menjadi elemen kolom pada matriks baru (AT) dan elemen pada kolom matriks A menjadi elemen baris pada matriks baru (AT).

Contoh:

Tentukanlah tranpose dari matriks A = _      6 5 4 3 2 1 ! Jawab: AT =           6 3 5 2 4 1 Latihan Soal:

Tentukanlah transpose dari matriks berikut: 1.



1 2 3



2.           6 5 4 3. _         5 4 1 2 4. _       10 2 0 9 3 6 5.              6 9 4 8 1 7 6.           4 3 2 2 1 2 3 2 1

H. Operasi Penjumlahan Dua Matriks                         22 22 21 21 12 12 11 11 22 21 12 11 22 21 12 11 b a b a b a b a b b b b a a a a

I. Operasi Pengurangan Dua Matriks

                        22 22 21 21 12 12 11 11 22 21 12 11 22 21 12 11 b a b a b a b a b b b b a a a a Latihan Soal:

Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini:

Diketahui: A = _       6 1 3 2 B = _      1 2 4 3 C = _       7 5 0 2 Tentukanlah: 1. A + B 2. B + C 3. A – B 4. B – C 5. (A + C) – (B + C) 6. (A + B) – (A + C)

7. Tentukanlah matriks P, jika P + _

            6 1 7 5 4 2 3 1

8. Tentukanlah matriks Q, jika Q – _

              0 5 1 2 3 1 4 2

9. Tentukanlah matriks R, jika _

                 7 3 1 2 5 1 2 3 R 10.Jika _                           1 3 5 1 3 3 1 3 5 4 a c a c b d

b , tentukanlah nilai a, b, dan c !

J. Perkalian Skalar dengan Matriks

Jika A adalah suatu matriks dan k adalah suatu bilangan riil, maka kA adalah suatu matriks yang diperoleh dari hasil perkalian k dengan setiap elemen matriks A.

Contoh: Jika P = _         5 4 1 3 6 2 , tentukanlah -7P ! Jawab: -7P = -7 _         5 4 1 3 6 2 = _         35 28 7 21 42 14

K. Perkalian Matriks dengan Matriks

Syarat: banyak kolom matriks A = banyak baris matriks B 1). Perkalian matriks berordo 1 x 2 dengan matriks berordo 2 x 1







11 11 12 21



21 11 12 11 a .b a .b b b a a _      

2). Perkalian matriks berordo 2 x 1 dengan matriks berordo 1 x 2





_             12 21 11 21 12 11 11 11 12 11 21 11 . . . . b a b a b a b a b b a a

3). Perkalian matriks berordo 2 x 2 dengan matriks berordo 2 x 1                      21 22 11 21 21 12 11 11 21 11 22 21 12 11 . . . . b a b a b a b a b b a a a a

4). Perkalian matriks berordo 2 x 2 dengan matriks berordo 2 x 2                        22 22 12 21 21 22 11 21 22 12 12 11 21 12 11 11 22 21 12 11 22 21 12 11 . . . . . . . . b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a a

5). Perkalian matriks berordo 3 x 3 dengan matriks berordo 3 x 1

                                     31 33 21 32 11 31 31 23 21 22 11 21 31 13 21 12 11 11 31 21 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 . . . . . . . . . b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a a a a a a a Latihan Soal: 1. Diketahui: A = _       0 4 3 2 dan B = _        1 2 4 3 Tentukanlah: a. 2A b. 2B c. 2A + 2B d. A + B e. 2(A + B)

2. Tentukanlah matriks X, jika:

a. 3X = _       12 9 3 6 b. 2X + _             8 2 5 9 2 4 1 3 c. 4X – _             13 0 3 5 7 4 1 3 d. _      2 0 3 7 = 2X + _      4 2 3 1 Hitunglah: 1.





 

.... 4 3 2 1 _      2.





 

.... 4 1 5 3 _         3.





_              .... .... .... .... 2 4 3 2 4.





_                 .... .... .... .... 2 3 5 4 5. _                    .... .... 5 4 3 1 1 2 6. _                       .... .... 3 2 2 3 1 5 7. _                   .... .... .... .... 2 2 1 1 8 6 4 2 8. _                       .... .... .... .... 3 5 1 0 6 5 4 2

L. Determinan Matriks berordo 2 x 2

Determinan matriks berordo 2 x 2 adalah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dikurangi dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan matriks A dapat dituliskan dengan det A. A = _      d c b a det A = ad – bc M. Determinan Matriks berordo 3 x 3

Untuk menentukan determinan matriks berordo 3 x 3 digunakan metode Sarrus.

B =           i h g f e d c b a det B = h g e d b a i h g f e d c b a

= a.e.i + b.f.g + c.d.h – c.e.g – a.f.h – b.d.i Latihan Soal:

Tentukan determinan dari:

1. A = _      5 4 3 2 2. B = _        5 4 3 2 3. C = _      5 3 4 2 4. D = _        5 3 4 2 5. E =           9 8 7 6 5 4 3 2 1 6. F =           9 6 3 8 5 2 7 4 1 7. G =              9 8 7 6 5 4 3 2 1 8. H =               2 5 3 0 2 1 5 4 1

N. Matriks Minor Suatu Matriks berordo 3 x 3

Jika matriks A =           i h g f e d c b a

, maka dapat kita tentukan elemen matriks minornya sebagai berikut:

h f i e i h f e M11   .  . di f g i g f d M12   .  . dh eg h g e d M13   .  . h c i b i h c b M21   .  . ai cg i g c a M22   .  . ah bg h g b a M23   .  .

f c e b f e c b M₃₁   .  . a f cd f d c a M₃₂   .  . ae bd e d b a M₃₃   .  .

Sehingga matriks minor dari matriks A adalah:

          33 32 31 23 22 21 13 12 11 M M M M M M M M M Latihan Soal:

Tentukan matriks minor dari matriks berikut:

1. P =           9 8 7 6 5 4 3 2 1 2. Q =           9 6 3 8 5 2 7 4 1 3. R =              9 8 7 6 5 4 3 2 1 4. S =               2 5 3 0 2 1 5 4 1

O. Kofaktor suatu matriks berordo 3 x 3

Kofaktor dari elemen ke-ij dari matriks A dilambangkan dengan Kij. Kij = (-1)i+j |Mij|            33 32 31 23 22 21 13 12 11 K K K K K K K K K K Latihan Soal:

Tentukan matriks kofaktor dari :

1. P =           9 8 7 6 5 4 3 2 1 2. Q =           9 6 3 8 5 2 7 4 1 3. R =              9 8 7 6 5 4 3 2 1 4. S =               2 5 3 0 2 1 5 4 1

P. Adjoin Suatu Matriks

Adjoin matriks A adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara mentransposekan matriks kofaktor dari matriks A. Adjoin dari matriks A dapat dilambangkan Adj (A).

Latihan Soal:

Tentukan matriks adjoin dari :

1. P =           9 8 7 6 5 4 3 2 1 2. Q =           9 6 3 8 5 2 7 4 1 3. R =              9 8 7 6 5 4 3 2 1 4. S =               2 5 3 0 2 1 5 4 1

Q. Invers Matriks Berordo 2 x 2

Jika A dan B adalah matriks-matriks persegi yang ordonya sama dan berlaku AB = BA = I, maka B adalah invers dari A dan A invers dari B.

Jika A = _      d c b a

dan ad – bc 0, maka invers dari matriks A adalah:

A-1 = _         c a b d bc ad 1

R. Invers Matriks Berordo 3 x 3

Jika A =           i h g f e d c b a

, maka invers dari matriks A adalah:

A-1 = ( ) det 1 A adj A Latihan Soal:

Tentukan invers dari matriks berikut:

1. A = _      5 4 3 2 2. B = _        5 4 3 2 3. C = _       5 3 4 2 4. D = _        5 3 4 2 5. E =           9 6 3 8 5 2 7 4 1

S. Penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel dengan metode invers matriks Contoh:

Tentukan penyelesaian dari: 9x + 7y = 23

4x – 5y = -6 Jawab:

9x + 7y = 23 4x – 5y = -6

Dapat diubah dalam bentuk matriks menjadi:              y x 5 4 7 9 = _      6 23       y x = _               6 23 5 4 7 9 1 = _                6 23 9 4 7 5 det 1 = _                  6 23 9 4 7 5 28 45 1 = _           92 54 42 115 73 1 = _         146 73 73 1 =                 73 146 73 73       y x = _      2 1 Jadi x = 1 dan y = 2 Latihan Soal:

Dengan menggunakan metode invers matriks, tentukanlah penyelesaian dari: 1. 5x – 2y = 12 dan 2x + y = 3

2. 3x + 2y = -13 dan 2x + 3y = 23 3. –x + 2y = 4 dan 3x + 2y = 12 4. 2x + 3y = 13 dan x + 2y = 10

5. Harga lima buah buku tulis dan enam buah pensil adalah Rp14.500,00. Sedangkan harga enam buah buku tulis dan tiga buah pensil adalah Rp9.750.00. Jika kita akan membeli di toko yang sama, berapakah yang harus dibayar jika kita membeli dua buah buku tulis dan empat buah pensil? 6. Harga tiga baju dan dua kaos adalah Rp140.000,00. Sedangkan harga satu baju dan tiga kaos adalah Rp210.000,00. Berapakah yang harus kita bayar apabila kita membeli tiga baju dan 2 kaos di toko yang sama?

T. Penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel dengan metode determinan matriks Contoh:

Tentukan penyelesaian dari: 9x + 7y = 23

4x – 5y = -6 Jawab:

9x + 7y = 23 4x – 5y = -6

Dapat diubah dalam bentuk matriks menjadi:              y x 5 4 7 9 = _      6 23

 = 5 4 7 9  = -45 + (-28) = -73 x  = 5 6 7 23   = -115 – (-42) = -73 y  = 6 4 23 9  = -54 – 92 = -146 x =  x y =  y = 73 73   = 73 146   x = 1 y = 2 Jadi x = 1 dan y = 2 Latihan Soal:

Dengan menggunakan metode determinan matriks, tentukanlah penyelesaian dari: 1. 5x – 2y = 12 dan 2x + y = 3

2. 3x + 2y = -13 dan 2x + 3y = 23 3. –x + 2y = 4 dan 3x + 2y = 12 4. 2x + 3y = 13 dan x + 2y = 10

5. Harga lima buah buku tulis dan enam buah pensil adalah Rp14.500,00. Sedangkan harga enam buah buku tulis dan tiga buah pensil adalah Rp9.750.00. Jika kita akan membeli di toko yang sama, berapakah yang harus dibayar jika kita membeli dua buah buku tulis dan empat buah pensil? 6. Harga tiga baju dan dua kaos adalah Rp140.000,00. Sedangkan harga satu baju dan tiga kaos adalah Rp210.000,00. Berapakah yang harus kita bayar apabila kita membeli tiga baju dan 2 kaos di toko yang sama?

Tugas Kelompok: 1. Diketahui A = _        c b 2 3 5 4 , B = _         c b a a b c 2 1

, dan A = BT. Tentukan nilai a + b – c !

2. Jika A = _      0 1 2 k , B = _       4 3 2 1 , C = _         2 1 8 1

, dan AB = C. Tentukanlah nilai k yang memenuhi ! 3. P = _      10 4 15 x

adalah matriks singular. Tentukanlah nilai x yang memenuhi !

4. Diketahui Q = _       5 2 2 1

dan k . det QT = det Q-1. Tentukanlah nilai k yang memenuhi ! 5. Tentukanlah penyelesaian dari 2x – 3y = -4 dan x + 2y = 5 dengan metode matriks !

Uji Kompetensi: 1. A = _       c b b a 1 , B = _        d c a 1 0 , C = _      1 1 0 1

. Jika A + BT = C, tentukanlah nilai d !

2. Jika _                        5 16 2 0 1 2 1 4 2 5 4 5 y x

, tentukanlah nilai y yang memenuhi !

3. P = _        2 2 2 1 2 x x

adalah matriks singular, tentukanlah nilai x yang memenuhi !

4. Adi membeli empat roti dan tiga donat dengan harga Rp9.750,00. Sedangkan Budi membeli dua roti dan sebuah donat dengan harga Rp4.250,00. Pada toko yang sama, Cecilia membeli lima roti dan dua donat. Dengan menggunakan metode invers matriks, tentukanlah harga yang harus dibayar Cecilia !