BAB 4. MATRIKS

(1)

A. Pengertian Matriks

1. Pengertian dan Notasi Matriks

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berebentuk persegi panjang. Susunan bilangan-bilangan itu dibatasi oleh kurva biasa “( )” atau kurung siku “[ ]” Contoh :

A = 

  

5 4 3

10 8 6

Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf besar dan ditulis secara umum sebagai berikut:

       

 

       

 



mn m

m

n n

mxn

a a

a

a a

a

a a

a

A

. . .

. .

.

. .

.

. .

.

. . .

2 1

2 22

21

1 12

11

m ke baris

ke baris

 

. 2 .

1 .

kolom ke-n kolom ke-2 kolom ke-1

Amxn artinya matriks A mempunyai baris sebanyak m dan mempunyai kolom sebanyak n. Setiap

bilangan yang terdapat pada baris dan kolom dinamakan anggota atau elemen matriks dan diberi nama sesuai dengan nama baris dan nama kolom serta dinotasikan dengan huruf kecil sesuai dengan nama matriknya.

a11 = elemen baris pertama kolom pertama.

a12 = elemen baris pertama kolom kedua.

a1n = elemen baris pertama kolom ke-n.

a21 = elemen baris kedua kolom pertama.

a22 = elemen baris kedua kolom kedua.

a2n = elemen baris kedua kolom ke-n.

am1 = elemen baris ke-m kolom pertama.

am2 = elemen baris ke-m kolom kedua.

amn = elemen baris ke-m kolom ke-n.

Contoh:

A =

     

   

10 6 7

9 5 2

8 3 4

6 = elemen baris ketiga kolom kedua. 5 = elemen baris kedua kolom kedua. 9 = elemen baris kedua kolom ketiga. 10 = elemen baris ketiga kolom ketiga. dan seterusnya.

2. Ordo Matriks

Ordo suatu matriks adalah banyakna elemen-elemen suatu matriks atau perkalian antara baris dan kolom.

(2)

A =    

  

1

4 2 5

; A berordo 2x2 atau A2x2.

B = 

  

1 0

3

5 2 3

; B berordo 2x3 atau B2x3.

C =          

5 2 1

; C berordo 3x1 atau C3x1.

D = ( 6 7 8 ) ; D berordo 1x3 atau D1x3.

B. Macam-Macam Matriks

1. Matriks nol.

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol, dilambangkan dengan “O”. Contoh:

O2x2 =       

0 0

O2x3 =    

  

0 0 0

2. Matriks bujur sangkar (persegi).

Matriks bujur sangkar (persegi) adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Contoh:

A =       

3 1

2 4

B =

     

   

8 9 7

6 5 4

3 2 1

3. Matriks baris.

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris. Contoh:

A = ( 2 5 ) B = ( 1 2 3 5 )

4. Matriks kolom.

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom. Contoh:

A =       

2 4

C =          

6 4 2

D =     

 

    

 

7 6 5 1

5. Matriks diagonal.

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali pada diagonal utamanya ada yang tidak nol.

Contoh: A = 

     

1 0

0 2

B =

     

   

1 0 0

0 2 0

0 0 2

6. Matriks identitas.

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai satu, dilambangkan dengan “I” .

Contoh: I2 = _

     

1 0

0 1

I3 =

     

   

1 0 0

0 1 0

0 0 1

C. Kesamaan Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama jika kedua matriks itu berordo sama dan elemen-elemen yang seletak besarnya sama.

Contoh:

Jika A =    

  

1 5

2 3

dan B =    

  

1 5

2 3

maka dikatakan A = B. Jika M = 

  

8 1 7

5 3 2

dan N =    

  

8 1 7

5 3 2

maka dikatakan M = N.

(3)

Jika pada matriks A setiap baris ditempatkan pada setiap kolom maka matriks itu merupakan matriks transpos. Jika diketahui matriks A berordo mxn maka matriks transpos dari A dilambangkan dengan At_{yang berordo nxm.}

Contoh:

A =

     

   

3 1

2 3

0 2 3 1

5 6 5 4

maka matriks transposnya At₌

    

 

    

 



1 0 5

3 2 6

2 3 5

3 1 4

LATIHAN 4.1

1. Tentukan ordo dari matriks-matriks berikut:

a. b.

A =

         

0 9

7 5

1 2

B = 

  

  

2 1 5 4

0 6 2 1

2. Diketahui matriks berikut: A =

     

   

9 4 2

4 2 1

2 1 3

dan B =

     

   

 

1 1 1 1

2 2 1 1

a. Tentukan nilai a11, a23, a32 dan a31.

b. Tentukan nilai dari b11 + b12 + b13 + b14.

3. Tentukan nilai dari x dan y dari persamaan berikut :

a. 

            

  

 



1 8 2

2

y x

b. 

  

         

  

 4 30

2 8 5

4 2

3 x

y x

c. 

  

 

    

   

y x y

x

3 4

7 5 9 4

7

4. Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut :

a. b. c.

A = _

  

 

0 2 1

1 4 2

B =

  

 

  

 



3 0

2 1

6 4

C =

  

 

  

 

9 4 2

4 2 1

2 1 3

A. Penjumlahan Matriks

Dua matriks A dan matriks B dapat dijumlahkan jika ordo matriks A sama dengan ordo matriks B. Menjumlahkan matriks A dengan matriks B dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen-elemen matriks A dengan elemen-elemen matriks B yang bersesuaian letaknya. Apabila matriks A dan matriks B ordonya berlaianan maka penjumlahan matriks itu tidak didefinisikan.

Contoh:

Diketahui matriks A = _      

4 3

2 1

dan B = _      

1 6

7 5

a. Tentukan A + B b. Tentukan B + A

(4)

Jawab:

Dari contoh di atas, ternyata A + B = B + A. Jadi pada matriks berlaku sifat komutatif penjumlahan. Juga dapat kita buktikan bahwa pada matriks berlaku sifat assosiatif penjumlahan yaitu (A+B)+C = A+(B+C).

B. Pengurangan Matriks

Jika A dan B dua matriks yang ordonya sama maka matriks hasil pengurangan A dan B sama artinya dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatif (lawan) B, atau ditulis sebagai berikut: A – B = A + (-B).

Contoh:

1) Jika P = 

Jawab:

P – Q = _

2) Jika X matriks ordo 2x2, tentukan matriks X jika diketahui persamaan : X + 

Jawab:

X + _

C. Perkalian Matriks

1. Perkalian Skalar Dengan Matriks

Jika k adalah sebuah bilangan real dan A adalah sebuah matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan cara mengalikan k (bilangan skalar) dengan setiap elemen matriks A.

Contoh:

Jika A = _

Jawab:

(5)

Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B. Hasil perkaliannya adalah matriks baru yang ordonya adalah jumlah baris matriks A kali jumlah kolom matriks B. Secara umum ditulis :

A

mxp

x B

pxn

= C

mxn

Cara mengalikan kedua matriks tersebut adalah dengan jalan mengalikan setiap baris pada matriks A dengan setiap kolom pada matriks B, kemudian dijumlahkan.

Contoh:

1) Jika A = _

Jawab:

A x B = 

Jawab:

A x B = _

Jawab:

M x N tidak dapat dikalikan karena tidak memenuhi definisi

A

mxp

x B

pxn

= C

mxn

LATIHAN 4.2

1. Diketahui matriks-matriks: A =

Tentukan:

a. AB c. AC e. 2A + C

3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut : 

(6)

A. Determinan Dan Invers Matriks Ordo 2x2

Jika A = _      

d c

b a

, maka matriks A akan mempunyai invers jika det(A)  0 atau  A = a.d – b.c  0.

Secara umum hubungan ini dinyatakan :

Jika A = _      

d c

b a

, maka A-1₌

    

   



a c

b d A) det(

1

Keterangan :

A-1 _{= Invers dari matriks A}

det(A) = determinan dari matriks A

Contoh:

Diketahui A = _      

2 1

5 3

, tentukan A-1 _!

Jawab:

det(A) = ad – bc = 3.2 – 5.1 = 6 – 5 = 1 A = 

     

2 1

5 3

 A-1 =    

   



a c

b d A) det(

1

= 

  

   



3 1

5 2 1 1

= _

  

   



3 1

5 2

Jadi, invers matriks A adalah    

   



3 1

5 2

.

Apakah setiap matriks mempunyai invers? Telah diuraikan di atas bahwa matriks yang determinannya sama dengan nol (det = 0) tidak mempunyai invers dan disebut matriks singular; misalnya B = 

     

1 2

3 6

.

Invers sebuah matriks dapat digunakan untuk menyelesaiakn persamaan matriks.

Contoh:

Jika A matriks rdo 2x2, tentukan A dari :

    

   

3 4

1 2

A = 

  

 2 4

3 14

!

Jawab:

Untuk mencari matriks A, kedua ruas dikalikan dengan invers matriks. Invers matriks P = _

  

   

3 4

1 2

adalah P-1₌ 

  

         

   

 4 2

1 3 10

1 2 4

1 3 .

3 4

1 2

1

    

  

4 2

1 3 10

1

    

   

3 4

1 2

A = _

  

4 2

1 3 10

1

    

  

 2 4

3 14

       

1 0

0 1

A = 

  

 60 20

5 40 10

1

= _

  

 6 2

4 21

Jadi, matriks A = _   

  

 6 2

4 ₂1 .

Dua matriks yang saling invers.

Jika A dan B adalah dua buah matriks persegi yang berordo sama dan berlaku AB = BA = I (matriks satuan), maka dikatakan b invers dari A (ditulis B = A-1_{) atau A invers dari B (ditulis A = B}-1_).

Contoh:

Diketahui A= ₇ ₅

2 3

dan B = _₇ ₃ 

2 5

. Apakah A invers dari B ?

(7)

AB = _      

5 7

2 3

    

   



3 7

2 5

= _

  



  



3 . 5 ) 2 .( 7 ) 7 .( 5 5 . 7

3 . 2 ) 2 .( 3 ) 7 .( 2 5 . 3

= _      

1 0

0 1

= I

BA = _

  

   



3 7

2 5

       

5 7

2 3

= _

  



  



5 . 3 2 ). 7 ( 7 . 3 3 ). 7 (

5 ). 2 ( 2 . 5 7 ). 2 ( 3 . 5

=       

1 0

0 1

= I Jadi, A invers dari B atau B invers dari A.

B. Determinan Dan Invers Matriks Ordo 3x3

Misal A =

  

 

  

 

33 23 31

23 22 21

13 12 11

a a a

.

Invers matriks A yang berordo 3x3 dapat dicari dengan menggunakan aturan :

A-1₌ _. ₍ ₎

) det(

1

A Adj A

Keterangan :

A-1 _{= Invers dari matriks A}

Adj(A) = matriks Adjoin dari A det(A) = determinan dari matriks A

Cara menghitung determinan A adalah :

Cara I (metode sarrus)

- - - det (A) =

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

32 31

22 21

12 11

a a

+ + +

= (a11a22a33) + (a12a23a31) + (a13a21a32) – (a31a22a13) – (a32a23a11) – (a33a21a12)

Cara II (metode cramer)

det (A) =

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

= a11

33 32

23 22

a a

- a12

33 31

23 21

a a

+ a13

32 31

22 21

a a

= a11(a22a33-a32a23) – a12(a21a33-a31a23) + a13(a21a32-a31a22)

Cara menentukan matriks Adj(A) adalah :

Ajd(A) =

      

 

      

 



 



 



22 21

12 11 32

31 12 11 32

31 22 21

23 21

13 11 33

31 13 11 33

31 23 21

23 22

13 12 33

32 13 12 33

32 23 22

a a

a a a

a a a a

a a a

a a

a a a

a a a a

a a a

a a

a a a

a a a a

a a a

Contoh:

Hitunglah invers matriks A =

     

    

 

5 4 3

3 2 0

1 2 1

!

Jawab:

Pertama-tama kita hitung determinan A. - - - det(A) =

5 4 3

3 2 0

1 2

1

 



4 3

2 0

2 1



+ + +

= [1.(-2).5] + [2.3.(-3)] + [(-1).0.4] – [(-3).(-2).(-1)] – [4.3.1] – [ 5.0.2] = -10 – 18 + 0 + 6 – 12 – 0 = -34

(8)

det(A) =

5 4 3

3 2 0

1 2

1

 



= 1 ₄2 3₅ - 2 _0₃ 3₅ + (-1) _0₃ ₄2 = 1(-10-12) – 2(0-(-9)) + (-1)(0-6)

= -22 -18 + 6 = -34 Jadi, determinan A adalah -34.

Adjoin dari A adalah:

Adj(A) =

      

 

      

 

  

 

  

 

  



2 0

2 1 4

3 2 1 4

3 2 0

0 3

1 1 5

3 1 1 5

3 3 0

3 2

1 2

5 4

1 2 5

4 3 2

=

     

   

  

 

2 10 6

3 2

9

4 14 22

Invers dari matriks A adalah : A-1₌ _. ₍ ₎

) det(

1

A Adj A

Diperoleh :

A-1₌

34 1

 _

   

  

 

2 10 6

3 2

9

4 14 22

=

     

 

     

 



34 2 34 10 34

6 34

3 34

2 34

9 34

4 34

14 34 22

C. Penyelesaian Persamaan Matriks

Penyelesaian persamaan matriks berbentuk A.X = B atau X.A = B, dengan A, B, dan X adalah matriks-matriks berordo 2x2, dan matriks A adalah matriks nonsingular, sehingga matriks A mempunyai invers (A-1_).

1. Persamaan bentuk A.X = B

Untuk persamaan A.X = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A-1_{dari arah kiri.}

A-1_{.(A.X) = A}-1_.B

(A-1_{.A).X = A}-1_.B

I.X = A-1_.B_(sebab_A-1_{.A = I}₎

X = A-1_.B_(sebab_{I.X = X.I = X}₎

Jadi, jika A.X = B, maka X = A-1 _.B

2. Persamaan bentuk X.A = B

Untuk persamaan X.A = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A-1_{dari arah kanan.}

(X.A) A-1 _{= B. A}-1

X.(A. A-1_{) = B. A}-1

X.I = B. A-1_(sebab_A.A-1_{= I}₎

X = B. A-1 _(sebab_{I.X = X.I = X}₎

Jadi, jika X.A = B, maka X = B. A-1

Contoh:

Diketahui matriks-matriks A =       

5 7

2 3

dan B =       

3 2

1 5

.

Tentukan matriks X berordo 2x2 yang memenuhi persamaan berikut !

a. A.X = B b. X.A = B

Jawab:

det(A) = ₇3 ₅2 = 15 – 14 = 1, sehingga A-1₌

    

   



3 7

2 5

. a. Untuk persamaan matriks A.X = B penyelesaiannya adalah :

X = A-1_{.B =}

    

   



3 7

2 5

       

3 2

1 5

= 

  

   



2 29

1 21

(9)

D. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Denganinvers Matriks

Untuk persamaan linear berbentuk : 

Dapat diubah menjadi perkalian matriks sebagai berikut : 

dengan masing-masing ruas dikalikan invers matriks  

diperoleh :



Contoh:

Selesaikan persamaan : 

dengan menggunakan invers matriks !

Jawab:



LATIHAN 4.3

1. Hitunglah !

a. _5₁ ₃6 b.

2. Tentukan invers matriks-matriks berikut ! a. 

3. Tentukan matriks adjoin dari: P =

4. Tentukan invers matriks-matriks berikut ! a.

5. Tentukan matriks X ordo 2x2 sehingga A.X = B, jika : A = 

6. Tentukan matriks X ordo 2x2 sehingga X.A = B, jika : A = 

7. Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan berikut dengan matriks ! a.