B. Jenis-jenis Matriks 1) Matriks Baris (array)

(1)

1 Matriks A. Matriks

Definisi (Pengertian)

Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa “ ( )” atau kurung siku “ [ ] “. Biasanya pelabelan suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya A, B, C, D , dst. Secara umum, diberikan matriks A,

𝐴𝑚×𝑛 = [

𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑎31

⋮ 𝑎𝑚1

𝑎32 ⋮ 𝑎𝑚2

𝑎33 ⋮ 𝑎𝑚3

⋯ ⋱ ⋯

𝑎3𝑛 ⋮ 𝑎𝑚𝑛]

→ Baris ke − 1_{→ Baris ke − 2} →

⋮ →

Baris ke − 3 ⋮ Baris ke − 𝑚

𝑎𝑖𝑗 ∈ ℝ , menyatakan elemen matriks pada baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 ; 𝑖 = 1,2,3, ⋯ , 𝑚; 𝑗 = 1,2,3, ⋯ , 𝑛; 𝐴_𝑚×𝑛; dimana 𝑚 menyatakan banyak baris matriks 𝐴 dan 𝑛 menyatakan banyak kolom matriks 𝐴 serta 𝑚 × 𝑛 menyatakan ordo (ukuran) matriks 𝐴, yaitu baris dan kolom matriks 𝐴. Ingat, 𝑚 menyatakan banyak baris matriks 𝐴 dan 𝑛 menyatakan banyak kolom matriks 𝐴 Jadi, jika diperhatikan ordo suatu matriks, dapat diketahui banyaknya elemen pada matriks itu.

Definisi (Pengertian)

Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris saja. Biasanya, ordo matriks seperti ini, 1 × 𝑛 dengan 𝑛 banyak kolom pada matriks tersebut.

𝐴1×𝑛= [𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛]

Contoh :

𝐴1×3 = [1 2 3]

2) Matriks Kolom (vektor) Definisi (Pengertian)

Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom saja. Matriks kolom berordo 𝑚 × 1 dengan 𝑚 banyak baris pada matriks tersebut.

𝐴𝑚×1 = [

𝑎11 𝑎21 𝑎31 ⋮ 𝑎𝑚1]

Contoh :

𝐴3×1= [ 1 2 3]

(2)

2 3) Matriks Persegi

Definisi (Pengertian)

Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom sama. Matriks ini memiliki ordo 𝑛 × 𝑛 ,maka 𝑎₁₁, 𝑎₂₂, 𝑎₃₃, ⋯ , 𝑎_𝑛𝑛 disebut diagonal utama.

𝐴𝑛×𝑛=

[

𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑎31

⋮ 𝑎𝑛1

𝑎32 ⋮ 𝑎𝑛2

𝑎33 ⋮ 𝑎𝑛3

⋯ ⋱ ⋯

𝑎3𝑛 ⋮ 𝑎𝑛𝑛]

Contoh :

𝐴3×3= [

1 2 3 4 5 6 7 8 9]

4) Matriks Persegi Panjang Definisi (Pengertian)

Matriks persegipanjang adalah matriks yang banyak barisnya tidak sama dengan banyak kolomnya. Matriks seperti ini memiliki ordo 𝑚 × 𝑛.

𝐴𝑚×𝑛 = [

𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑎31

⋮ 𝑎𝑚1

𝑎32 ⋮ 𝑎𝑚2

𝑎33 ⋮ 𝑎𝑚3

⋯ ⋱ ⋯

Contoh :

𝐴3×4= [

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12]

5) Matriks Segitiga Atas Definisi (Pengertian)

Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen dibawah diagonal utama adalah nol.

𝑈𝑛 =

[

𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛 0 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛 0

⋮ 0

0 ⋮ 0

𝑎33 ⋮ 0

⋯ ⋱ ⋯

𝑎3𝑛 ⋮ 𝑎𝑛𝑛]

Contoh :

𝑈3 = [

1 2 3 0 5 6 0 0 9]

(3)

3 6) Matriks Segitiga Bawah

Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen diatas diagonal utama adalah nol.

𝐿𝑛 =

[

𝑎11 0 0 ⋯ 0

𝑎21 𝑎22 0 ⋯ 0 𝑎31

⋮ 𝑎𝑛1

𝑎32 ⋮ 𝑎𝑛2

𝑎33 ⋮ 𝑎𝑛3

⋯ ⋱ ⋯

0 ⋮ 𝑎𝑛𝑛]

Contoh :

𝐿3 = [

1 0 0 4 5 0 7 8 9]

7) Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen diatas diagonal utama dan dibawah diagonal adalah nol.

𝐷𝑛 =

[

𝑎11 0 0 ⋯ 0

0 𝑎22 0 ⋯ 0

0 ⋮ 0

𝑎33 ⋮ 0

⋯ ⋱ ⋯

0 ⋮ 𝑎𝑛𝑛]

Contoh :

𝐷3 = [

1 0 0 0 5 0 0 0 9]

8) Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemennya adalah satu.

𝐼𝑛 = [

1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0

⋮ 0

0 ⋮ 0

1 ⋮ 0

⋯ ⋱ ⋯

0 ⋮ 1]

Contoh :

𝐼3 = [

1 0 0 0 1 0 0 0 1]

9) Matriks Nol

Matriks nol adalah yang semua elemennya adalah nol.

𝑂𝑛 = [

0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0

⋮ 0

0 ⋮ 0

⋯ ⋱ ⋯

(4)

4 Contoh :

𝑂3 = [

0 0 0 0 0 0 0 0 0]

C. Transpos Matriks

Jika matriks awal berordo m × n , maka transpos matriks berordo n × m .

𝐴𝑚×𝑛 =

[

𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑎31

⋮ 𝑎𝑚1

𝑎32 ⋮ 𝑎𝑚2

𝑎33 ⋮ 𝑎𝑚3

⋯ ⋱ ⋯

jika dan hanya jika

𝐴𝑛×𝑚𝑇 = [

𝑎11 𝑎21 𝑎31 ⋯ 𝑎𝑛1 𝑎12 𝑎22 𝑎32 ⋯ 𝑎𝑛2 𝑎13

⋮ 𝑎1𝑚

𝑎23 ⋮ 𝑎2𝑚

𝑎33 ⋮ 𝑎3𝑚

⋯ ⋱ ⋯

𝑎𝑛3 ⋮ 𝑎𝑛𝑚]

Contoh:

𝐴 = [1 2 34 5 6 7 8 9]

jika dan hanya jika 𝐴𝑇 = [

1 4 7 2 5 8 3 6 9]

D. Kesamaan Matriks

Dua Matriks dikatakan sama A = B jika dan hanya jika :  Ordo matriks 𝐴 sama dengan ordo Matriks 𝐵 .

 Setiap elemen yang seletak pada Matriks 𝐴 dan Matriks 𝐵 mempunyai nilai yang sama, 𝑎_𝑖𝑗 = 𝑏_𝑖𝑗, untuk setiap 𝑖 dan 𝑗 .

Contoh: Diketahui Matriks 𝐴 = [

4𝑎 8 4

6 −1 −3𝑏

5 3𝑐 9 ]

dan Matriks 𝐵 = [

12 8 4

6 −1 3𝑎

5 𝑏 9]

. Jika 𝐴 = 𝐵, maka 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = ⋯

Jawab: 4𝑎 = 12 𝑎 =12

4

𝑎 = 3 −3𝑏 = 3𝑎 −3𝑏 = 3(3) −3𝑏 = 9 𝑏 = 9

−3

(5)

5 𝑐 =−3

3

𝑐 = −1

Jadi, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3 + (−3) + (−1) = 3 − 3 − 1 = −1 E. Operasi Matriks

1) Penjumlahan Matriks Definisi (Pengertian)

Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan Matriks 𝐴 dengan Matriks 𝐵 adalah Matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan setiap elemen Matriks 𝐴 dengan setiap elemen Matriks 𝐵 yang seletak. Matriks yang berordo tidak sama maka tidak dapat dijumlahkan.

𝐴 + 𝐵

2 1 2 1 0 4 3 0 5]

1 3 1 0 2 0 1 5 0]

. Tentukan

𝐴 + 𝐵! Jawab:

𝐴 + 𝐵 = [2 + 1 1 + 3 2 + 11 + 0 0 + 2 4 + 0 3 + 1 0 + 5 5 + 0]

𝐴 + 𝐵 = [3 4 31 2 4 4 5 5]

Jadi, 𝐴 + 𝐵 = [

3 4 3 1 2 4 4 5 5]

2) Pengurangan Matriks Definisi (Pengertian)

Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka pengurangan Matriks 𝐴 dengan Matriks 𝐵 adalah Matriks yang diperoleh dengan cara mengurangkan setiap elemen Matriks 𝐴 dengan setiap elemen Matriks 𝐵 yang seletak. Matriks yang berordo tidak sama maka tidak dapat dikurangkan.

𝐴 + 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵)

2 1 2 1 0 4 3 0 5]

1 3 1 0 2 0 1 5 0]

. Tentukan

𝐴 − 𝐵! Jawab:

𝐴 − 𝐵 = [2 − 1 1 − 3 2 − 11 − 0 0 − 2 4 − 0 3 − 1 0 − 5 5 − 0]

(6)

6 Jadi, 𝐴 − 𝐵 = [1 −2 11 −2 4

2 −5 5]

3) Perkalian Matriks

a) Perkalian Matriks dengan Bilangan Real Definisi (Pengertian)

Jika 𝐴 adalah suatu Matriks dan 𝑘 adalah Bilangan Real, maka 𝑘𝐴 adalah suatu Matriks baru yang elemen-elemennya diperoleh dari hasil perkalian 𝑘 dengan elemen-elemen pada Matriks 𝐴.

𝑘𝐴 = 𝑘 ⋅ 𝐴

2 1 2 1 0 4 3 0 5]

dan 𝑘 = 2. Tentukan 𝑘𝐴! Jawab:

𝑘𝐴 = 2 [2 1 21 0 4 3 0 5]

𝑘𝐴 = [2 ⋅ 2 2 ⋅ 1 2 ⋅ 22 ⋅ 1 2 ⋅ 0 2 ⋅ 4 2 ⋅ 3 2 ⋅ 0 2 ⋅ 5]

𝑘𝐴 = [4 2 42 0 8 6 0 10]

Jadi, 𝑘𝐴 = [

4 2 4 2 0 8 6 0 10]

b) Perkalian Matriks dengan Matriks

𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1 ⋯ (1) 𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2 ⋯ (2)

maka dari sistem persamaan linier dua variabel ter sebut dapat dibentuk perkalian matriks, yaitu:

[_𝑎𝑎11₂₁ 𝑎_𝑎12₂₂] [𝑥_{𝑦] = [}𝑏_𝑏1 2]

Definisi (Pengertian)

Jika 𝐴 adalah Matriks berordo 𝑚 × 𝑟 dan 𝐵 adalah Matriks berordo

𝑟 × 𝑛, maka hasik kali 𝐴𝐵 adalah Matriks 𝐶 berordo 𝑚 × 𝑛 yang elemen-elemennya ditentukan sebagai berikut

Jika 𝐴 = [

𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑟 𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑟

⋮ 𝑎𝑚1

⋮ 𝑎𝑚2

⋱ ⋯ 𝑎𝑚𝑟⋮

] dan 𝐵 = [

𝑏11 𝑏12 ⋯ 𝑏1𝑛 𝑏21 𝑏22 ⋯ 𝑏2𝑛

⋮ 𝑏𝑟1

⋮ 𝑏𝑟2

⋱ ⋯ 𝑏𝑟𝑛⋮

(7)

7 maka 𝐴𝐵 = [(𝑎11𝑏11) + (𝑎12𝑏21) + ⋯ + (𝑎1𝑟𝑏𝑟1

) (𝑎11𝑏12) + (𝑎12𝑏22) + ⋯ + (𝑎1𝑟𝑏𝑟2) ⋯ (𝑎11𝑏1𝑛) + (𝑎12𝑏2𝑛) + ⋯ + (𝑎1𝑟𝑏𝑟𝑛)

(𝑎21𝑏11) + (𝑎22𝑏21) + ⋯ + (𝑎2𝑟𝑏𝑟1) (𝑎21𝑏12) + (𝑎22𝑏22) + ⋯ + (𝑎2𝑟𝑏𝑟2) ⋯ (𝑎21𝑏1𝑛) + (𝑎22𝑏2𝑛) + ⋯ + (𝑎2𝑟𝑏𝑟𝑛)

⋮

(𝑎𝑚1𝑏11) + (𝑎𝑚2𝑏21) + ⋯ + (𝑎𝑚𝑟𝑏𝑟1)

⋮

(𝑎𝑚1𝑏12) + (𝑎𝑚2𝑏22) + ⋯ + (𝑎𝑚𝑟𝑏𝑟2)

⋱

⋯ (𝑎𝑚1𝑏1𝑛) + (𝑎𝑚2𝑏2𝑛⋮) + ⋯ + (𝑎𝑚𝑟𝑏𝑟𝑛)

]

2 1 2 1 0 4 3 0 5]

1 3 1 0 2 0 1 5 0]

. Tentukan 𝐴𝐵!

Jawab:

𝐴𝐵 = [2 1 21 0 4 3 0 5] [

1 3 1 0 2 0 1 5 0]

𝐴𝐵 = [(2 ⋅ 1) + (1 ⋅ 0) + (2 ⋅ 1) (2 ⋅ 3) + (1 ⋅ 2) + (2 ⋅ 5) (2 ⋅ 1) + (1 ⋅ 0) + (2 ⋅ 0)(1 ⋅ 1) + (1 ⋅ 0) + (4 ⋅ 1) (1 ⋅ 3) + (1 ⋅ 2) + (4 ⋅ 5) (1 ⋅ 1) + (1 ⋅ 0) + (4 ⋅ 0) (3 ⋅ 1) + (0 ⋅ 0) + (5 ⋅ 1) (3 ⋅ 3) + (0 ⋅ 2) + (5 ⋅ 5) (3 ⋅ 1) + (0 ⋅ 0) + (5 ⋅ 0)]

𝐴𝐵 = [2 + 0 + 2 6 + 2 + 10 2 + 0 + 01 + 0 + 4 3 + 2 + 20 1 + 0 + 0 3 + 0 + 5 9 + 0 + 25 3 + 0 + 0]

𝐴𝐵 = [4 18 25 25 1 8 34 3]

Jadi, 𝐴𝐵 = [

4 18 2 5 25 1 8 34 3]

F. Determinan, Adjoin, dan Invers Matriks 1) Determinan Matriks

Definisi (Pengertian)

Determinan Matriks dinotasikan dengan det (𝐴) = |𝐴|, misal: Jika 𝐴 = [𝑎 𝑏

𝑐 𝑑], maka det 𝐴 = |𝑎 𝑏𝑐 𝑑| atau det (𝐴) = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

Jika 𝐴_2×2 = [𝑎_𝑎11 𝑎12

21 𝑎22], maka det (𝐴) = |

𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22| atau det (𝐴) = 𝑎11𝑎22− 𝑎21𝑎12

Contoh: Jika diketahui 𝐴 = [2 1

3 4], maka carilah det (𝐴) !

Jawab: 𝐴 = [2 1

3 4]

det (𝐴) = |2 1_{3 4|}

= (2)(4) − (3)(1) = 8 − 3

= 5

Jadi, det (𝐴) = 5 2) Adjoin Matriks

(8)

8 Jika 𝐴 = [𝑎 𝑏

𝑐 𝑑], maka adj (𝐴) = [ 𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎 ]

Jika 𝐴_2×2 = [𝑎_𝑎11 𝑎12

21 𝑎22], maka adj (𝐴) = [

𝑎22 −𝑎12 −𝑎21 𝑎11 ]

3 4], maka carilah adj (𝐴) !

Jawab: 𝐴 = [2 1

3 4]

adj (𝐴) = [ 4₋₃ −1_{2 ]}

Jadi, adj (𝐴) = [ 4 −1

−3 2 ]

3) Invers Matriks

Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks persegi, dan berlaku 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼, maka dikatakan matriks 𝐴 dan 𝐵 saling invers. 𝐵 disebut invers dari 𝐴, atau ditulis 𝐴−1. Matriks yang mempunyai invers disebut matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

𝐴−1 ₌ 1

det (𝐴)[adj (𝐴)], dimana det (𝐴) ≠ 0

3 4], maka carilah A−1 !

Jawab: 𝐴 = [2 1

3 4]

det (𝐴) = |2 1_{3 4|}

= (2)(4) − (3)(1) = 8 − 3

= 5

adj (𝐴) = [ 4₋₃ −1_{2 ]}

𝐴−1₌ 1

det (𝐴)[adj (𝐴)]

=1

5[ 4−3 −12 ]

= [

4

5 −

1 5 −3₅ 2₅ ]

Jadi, 𝐴−1 = [

4

5 −