Jenis dan operasi banyaknya matriks.pdf

Jenis dan Operasi Matriks

Pertemuan 01

Jenis dan Operasi Matriks

Pengertian

Matriks merupakan

Suatu alat atau sarana yang sangat ampuh untuk menyelesaikan model-model linier.

Definisi Matriks adalah

Bentuk Umum:

Elemen matriks : a_ij

Susunan bilangan atau nilai a_ij {bilangan real atau kompleks} Ukuran matriks :

Contoh:

Notasi matriks, menggunakan huruf besar (kapital)

Kesamaan matriks Matriks A = (a_ij)

B = (b_ij)

A = B jika a_ij = b_ij untuk semua i = 1, 2 .. m dan j = 1, 2,...n



























6

2

1

3

7

4

1

0

6

5

3

2

4 3x

A Ma triks

Contoh:

A = B

A  C (ukurannya tidak sama)

Matriks A dan Matriks B disebut sama, bila

•Ordo-ordonya sama

•Elemen-elemen yang seletak sama

  



 

  

  

 

 

1 4

3

0 2

1 4

3

2 1

4 3

2 1

C B

Bentuk Matriks Khusus 1. Matriks bujur sangkar

Suatu matriks dimana jumlah baris = jumlah kolom

2. Matriks Diagonal :

Matriks bujur sangkar dimana elemen-elemen pada diagonal utamanya tidak semua elemennya nol, sedangkan unsur-unsur yang lain adalah nol

Contoh :

3. Matriks Satuan (Matriks Identitas) :

Matriks bujur sangkar di mana elemen-elemen pada diagonal utamanya masing-masing adalah satu, sedangkan elemen-elemen yang lain adalah nol.

Contoh:

































1

0

0

0

1

0

0

0

1

,

1

0

0

1

3

2 I

4. Matriks Singular

Matriks bujur sangkar yang tidak mempunyai invers

(berarti : nilai determinannya = 0)

5. Matriks Non Singular

Matriks bujur sangkar yang mempunyai invers

(berarti: nilai determinannya



0)

6. Matriks Transpose

Bila matriks A berordo mxn, maka A

t

(Transpose

Derit) berordo nxm dengan

elemen baris ke I dan kolom ke j dari A

1

adalah

7. Matriks Simetris

Matriks bujur sangkar dimana diagonal utamanya berfungsi sebagai cermin atau refleksi (At = A).

Contoh :

8. Matriks Idempotent

Matriks bujur sangkar dimana berlaku A2 _{= A atau A}n _{= A untuk suatu n, bila}

n = 2, 3, 4,…. Contoh:

Program MAPLEnya:

# A = Matriks Idempotent, sehingga A2 _{= A}

> Restart:

> A:=matriks([[2,-2,-4], [-1,3,4], [1,-2,-3]])

9. Matriks Nilpotent

Matriks bujur sangkar dimana berlaku A3 = 0 atau An = 0 untuk suatu n, bila n = , , ,…..

Contoh:

Matriks nilpotent dari ordo 3 x 3

Program MAPLEnya:

# Matriks Nilpotent, sehingga > Restart

> A:=matriks([[1,1,3],[5,2,6],[-2,-1,-3]]);

> evalm(A&*A*A);



















2 1 3



6 2

5

3 1

1

:

 

 

A

 

 

 

 

0 0 0

0 0

0

0 0

0

:

A

10. Matriks Nol: adalah matriks di mana semua unsur nilainya nol

11. Matriks Identitas:

































1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

3 3

2 2

x x

Sifat Matriks Identitas dan Matriks Nol

Jika A = matriks berukuran n x n I . A = A . I = A

A + 0 = 0 + A = A A . 0 = 0 . A = 0

12. Matriks Segitiga (Triangular Matrix)

Matriks segitiga atas:

Matriks bujur sangkar, apabila setiap unsur yang terletak di bawah diagonal utamanya sama dengan nol

Contoh:

Matriks Segitiga Bawah

Matriks bujur sangkar dimana setiap unsurnya yang terletak diatas diagonal utamanya sama dengan nol

Contoh:

B_{3 3x}

32

0

=

b 0

b b 0

b b b

11 21 22

31 33



   



Operasi Aljabar Matriks

Penjumlahan dua matriks

A + B = (a_ij + b_ij) A – B = (a_ij – b_ij)

Syarat penjumlahan dua matriks atau pengurangan dua matriks adalah mempunyai ordo yang sama

Contoh:

 Maka

2

dan 4

Diketahui

2x3

2x3 2x3

2x3

2x3 2x3

Program MAPLEnya:

# Penjumlahan Dua Matriks > restart;

> A:=matrix([[5,6,7],[8,3,4]]);

> A:= matrikx(2,3,[5,6,7,8,3,4]);











8

3

4



7

6

5

:



A











8

3

4



7

6

> B:=matrix(2,3,[6,7,4,1,9,2]);

> C:=evalm(A+B);











1 9 2



4 7

6 :

B











9 12 6



11 13

11 :

C

Soal Latihan

Syarat:

  

 

23 58

20 22

2 2x C











4 0 5



2 3

1 :

A

 

 

 

 

 

6 3 4 1

2 7

:

B

26 Program MAPLEnya:

# Perkalian Dua Matriks > restart;

> A:=matrix(2,3,[1,3,2,4,0,5]);