1 A. PENGERTIAN MATRIKS
a. Definisi Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris dan kolom sehingga membentuk persegi panjang dan bujur sangkar dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh kolom dan baris yang ditulis diantara dua tanda kurung, yaitu ( ) dan [ ].
b. Simbol Matriks
Pada umumnya simbol matriks berbentuk | |, [ ], ( ). Secara umum sebuah matriks dapat ditulis :
Amxn =
m n m j
m m
in ij
i i
n j
n j
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
2 1
2 1
2 2
22 21
1 1
12 11
Matriks juga dapat dinyatakan sebagai: Amxn = [aij]mxn
Dimana: aij = elemen atau unsur matriks i = 1,2,3,...m, indeks baris j = 1,2,3,...n, indeks kolom c. Bentuk-Bentuk Matriks
1. Ordo 2 x 1 mengandung pengertian 2 baris dan 1 kolom.
Misalnya:
b a
2. Ordo 2 x 2 mengandung pengertian 2 baris dan 2 kolom.
2 Misalnya:
d c
b a
3. Ordo 3 x 3 mengandung pengertian 3 baris dan 3 kolom.
Misalnya:
i h g
f e d
c b a
B. JENIS-JENIS MATRIKS
Jenis matriks dapat dibedakan berdasarkan susunan elemen matriks dan berdasarkan sifat operasi dari matriksnya.
a. Berdasarkan Susuna Elemen Matriks
Berdasarkan susunan elemen matriks, ada beberapa jenis matriks yaitu:
1. Matriks kuadrat/bujur sangkar (square matrix) adalah matriks dimana jumlah baris (m) sama dengan jumlah kolom (n) atau m = n.
Contoh: A =
4 1
3
2 , B =
9 8 7
4 5 6
3 2 1
2. Matriks nol (null matrix) adalah matriks dimana semua elemenya mempunyai nilai nol (0).
Contoh: A =
0 0
0
0 , B =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
3. Matriks diagonal (diagonal matrix) adalah matriks dimana semua elemen diluar diagonal utamanya adalah nol (0) dan minimal ada satu elemen pada diagonal utamanya bukan nol.
3 Contoh: A =
5 0
0
3 , B =
0 0 9 0 0 0
4. Matriks kesatuan/identitas (unit matrix, identity matriix) adalah matriks dimana semua elemen pada diagonal utamanya bernilai satu dan elemen diluar diagonal utama bernilai nol.
Contoh: A =
1 0
0
1 , B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
5. Matriks skalar (scalar matrix) adalah matriks diagonal dimana elemen pada diagonal utamanya bernilai sama tetapi bukan satu atau nol.
Contoh: A =
4 0
0
4 , B =
5 0 0
0 5 0
0 0 5
6. Matriks tridiaonal (tridiagonal matrix) adalah matriks diagonal dimana elemen sebelah kiri dan kanan diagonal utamanya bernilai tidak sama dengan nol (0).
Contoh: A =
5 2 0
2 5 2
0 2 5
7. Matriks segitiga bawah (lower triangular matrix, L) adalah matriks diagonal mana elemen disebelah kiri (bawah) diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol.
Contoh: L =
1 2
0
1 , L =
5 3 4
0 3 2
0 0 1
4 8. Matriks segitiga atas (upper triangular matrix, U) adalah matriks diagonal dimana elemen sebelah kanan (atas) diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol.
Contoh: U =
3 0
2
1 , U =
5 0 0
1 4 0
2 3 5
9. Matriks simetris (symmertic matrix) adalah matriks bujur sangkar dimana elemen ke aij sama dengan ke aij atau (aij= aij) untuk semua i dan j.
Contoh: U =
2 2 5
2 4 1
5 1 2
, berlaku sifat AT = A
10. Matriks miring (skew matrix) adalah matriks bujur sangkar dimana elemen ke aij sama dengan –aji atau (aij = -aji) untuk semua i dan j tetapi elemen diagonal utama tidak semuanya bernilai nol.
Contoh: M =
−
−
−
2 4 6
4 0 5
6 5 7
, berlaku sifat MT = -M
11. Matriks miring simetris (skew-symmetric matrix) adalah matriks bujur sangkar dimana elemen ke aij sama dengan –aij atau (aij = -aji) untuk semua i dan dan semua elemen diagonal utama bernilai nol.
Contoh: M =
−
−
−
0 4 6
4 0 5
6 5 0
, berlaku sifat MT = -M
b. Berdasarkan Sifat Operasi Matriks
Berdasarkan sifat operasi matriks, ada beberapa jenis matriks yaitu:
1. Matriks singular (singular matrix) adalah matriks yang determinannya bernilai nol.
5 Contoh: A =
4 2
4
2 , B =
0 0 0 5 1 4
2. Matriks non singular (non singular matrix) adalah matriks yang determinannya bernilai tidak sama dengan nol.
Contoh: A =
2 1
5
4 , B =
2 1 2
2 2 1
1 2 2
3. Matriks ortogonal (orthogonal matrix) adalah matriks bujur sangkar yang transposenya sama dengan inversnya atau MT = M-1 atau MTM=I.
Contoh: M =
−
2 1 2 1
2 1 2 1
, dan MT =
−
2 1 2 1
2 1 2 1
MTM =
−
2 1 2 1
2 1 2 1
−
2 1 2
1 2 1 2 1
=
1 0
0 1 = I
4. Matriks involunter (involunter matriks) adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilakan matriks identitas atau M2 = I.
Contoh: M =
−
5 2 5 1
5 1 5 2
M2= M.M =
−
5 2 5 1
5 1 5
2
−
5 2 5 1
5 1 5 2
=
1 0
0 1 = I
6 5. Matriks idempotent (idempotent matrix) adalah matriks yang jika dikalikan
dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan matriks asal M2= M.
Contoh: M =
−
−
−
−
−
3 2 1
4 3 1
4 2 2
M2=
−
−
−
−
−
3 2 1
4 3 1
4 2 2
−
−
−
−
−
3 2 1
4 3 1
4 2 2
=
−
−
−
−
−
3 2 1
4 3 1
4 2 2
= M
6. Matriks nilpotent (nilpotent matrix) adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan matriks nol atau MP = 0, untuk p = bilangan bulat positif > 2.
Contoh: M =
−
−
−2 1 3
6 2 5
3 1 1
M3=
−
−
−2 1 3
6 2 5
3 1 1
−
−
−2 1 3
6 2 5
3 1 1
−
−
−2 1 3
6 2 5
3 1 1
M3=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
7. Matriks elementer (elementary matrix) adalah matriks hasil transformasi elementer terhadap matriks kesatuan (I).
Contoh: I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Transformasi elementer I12,I3(k),dan I23(k):
7 I12 =
0 0 1 0 0 1
I3(k) =
k 0 0
0 1 0
0 0 1
I23(k) =
1 0 0
1 0
0 0 1
k
Keterangan:
I12=b12 (baris 1 ditukar dengan baris 2) I3(k)=b3(k)=k xb3 (baris 3 dikali dengan k) I23(k)=b2+k x b3 (baris 2 + baris 3 dikali k)
C. ALJABAR MATRIKS
a. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Penjumlahan dan pengurangan matriks harus memperhatikan hal-hal berikut:
• Matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika mempunyai ukuran atau dimensi yang sama.
• Matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
• Matriks hasil penjumlahan atau pengurangan mempunyai ukuran yang sama dengan matriks asal.
• Penjumlahan matriks adalah menambahkan elemen pada posisi yang sama pada matriks.
8
• Pengurangan (selisih) matriks adalah mengurangi elemen pada posisi yang sama pada matriks.
Jumlah dua matriks A = (aij) dan B = (bij) yang berukuran m x n:
A + B = (aij + bij)mxn untuk i = 1,2, ..., m;
j= 1,2, ..., n;
selisih dua matriks A = (aij) dan B = (bij) yang berukuran m x n:
A - B = (aij - bij)mxn untuk i = 1,2, ..., m;
j= 1,2, ..., n;
Sifat penjumlahan dan pengurangan matriks:
• A + B = B + A Sifat komutatif
• A + B + C = C + B + A
• ( A + B ) + C = A + ( B + C ) Sifat Asosiatif
• A + 0 = A
• A – 0 = A
Contoh:
Tentukan penjumlahandan selisih dari matriks-matriks berikut:
A =
−
−
−
5 10 6
6 4 0
3 1 2
, B =
−
−
2 1 1
5 3 9
8 7 4
Penyelesaian:
A + B =
+
−
− + +
−
+ +
+
− + +
− +
2 5 ) 1 ( 10 1 6
5 6 3 4 9 0
) 8 ( 3 7 1 4
2
=
−
−
3 9 5
11 7 9
5 6 6
9 A - B =
−
−
−
−
−
−
−
−
−
2 5 ) 1 ( 10 1 6
5 6 3 4 9
0 =
−
−
−
7 11 7
1 1 9
b. Perkalian Matriks
1. Perkalian Skalar dengan Matriks
Jika k adalah bilangan real (skalar), maka perkalian skalar dengan matriks A=[aij]mxn :
kA =
m n m
m
n n
ka ka
ka
ka ka
ka
ka ka
ka
2 1
2 22
21
1 12
11
= (kaij)mxn
atau
Ak =
k a k
a k a
k a k
a k a
k a k
a k a
m n m
m
n n
2 1
2 22
21
1 12
11
= (aijk)mxn
Sifat perkalian skalar dengan matriks:
Jika A,B,C adalah matriks mxn, k1 dan k2 adalah skalar maka:
• k1 = Ak1
• (k1k2)A = k1(k2A)
• 1A = A
• (-1) A= -A
• K1(A+B) = k1A + k1B
• (k1+k2)A = k1A + k2A Contoh:
10 1. Jika A =
−
−
−
5 10 6
6 4 0
3 1 2
dan k = 2 tentukan kA dan Ak
Penyelesaian:
kA = 2
−
−
−
5 10 6
6 4 0
3 1 2
=
−
−
−
10 20 12
12 8 0
6 2 2
Ak =
−
−
−
5 10 6
61 4 0
3 1 2
2=
−
−
−
10 20 12
12 8 0
6 2 2
2. Jika diketahui matriks A dan B berikut,
A =
−1 3 2 5 0
4 , B =
7 5 3
1 1 1
Tentukan 2A dan 2A-B Penyelesaian:
2A = 2
−1 3 2 5 0
4 =
−2 6 4 10 0 8
2A-B = 2
−1 3 2 5 0
4 -
7 5 3
1 1
1 =
−
− 3 1 5
9 1 7
2. Perkalian Matriks dengan Matriks
Jika A matriks ukuran m x p dan B matriks ukuran p x n, maka perkalian matriks A dan B :
11 AB =
m m m p
p p
a a
a
a a
a
2 1
2 22
21
1 12
11
p p pn
n n
b b
b
b b
b
2 1
2 22
21
1 12
11
atau AB =
m xn p
k kj ikb a
=1
untuk semua i = 1,2,..., m ; j = 1,2,...,p.
Perkalian matriks yaitu mengalikan elemen baris ke-i matriks A dengan elemen kolom ke-j matriks B dan menjumlahkannya. Dimensi hasil perkalian matriks:
A
m x px B
p x n= AB
m x nsifat perkalian matriks dengan matriks:
• A(BC) = A (BC) Asosiatif
• A(B+C) = AB + AC Distributif kiri
• (B + C ) A = BA + C Distributif kanan
• r(AB) = (rA)B r = skalar
• ImA = A = AIn Asosiatif Contoh:
1. Jika diketahui A =
−
4 3
1
2 dan B =
−
−
6 7 5
2 9
3 tentukan AB
12 Penyelesaian:
AB =
−
4 3
1
2 x
−
−
6 7 5
2 9 3
=
− + +
− +
−
− +
− +
−
− +
) 6 ( 4 ) 2 ( 3 ) 7 ( 4 ) 9 ( 3 ) 5 ( 4 ) 3 ( 3
) 6 )(
1 ( ) 2 ( 2 7 ) 1 ( ) 9 ( 2 5 ) 1 ( ) 3 ( 2
=
−
−
18 1
29
10 25 1
c. Perpangkatan Matriks
Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks persegi, maka An = A x A x A x A ... x A (sebanyak n faktor) atau dapat juga dituliskan An = A x An-1 atau An = An-1 x A.
Contoh:
Diketahui matriks A =
−
− 3 1
2
1 , tentukan:
a. A2 b. A3 c. 2A4 Penyelesaian:
a. A2 =
−
− 3 1
2
1
−
− 3 1
2
1 =
−
− 11 4
8 3
b. A3 =
−
− 3 1
2
1
−
− 11 4
8
3 =
−
− 41 15
30 11
c. 2A4 = 2A x A3 = 2
−
− 3 1
2
1
−
− 41 15
30 11
= 2
−
− 153 56
112
41 =
−
− 306 112
224 82
d. Transpose matriks
13 dari matriks A dengan menukar elemen baris menjadi elemen kolom atau sebaliknya, sehingga beordo n x m. Notasi transpose Am x n adalah AnxmT .
Contoh:
Tentukan transpose dari matriks berikut:
A =
34 33 32 31
24 23 22 21
14 13 12 11
a a a a
a a a a
a a a a
, B =
6 5
4 1
3 2
Penyelesaian:
Transpose dari matriks tersebut adalah sebagai berikut:
AT =
34 24 14
33 23 13
32 22 12
31 21 11
a a a
a a a
a a a
a a a
BT =
6 4 3
5 1 2
