BAB XIX. MATRIKS
Pengertian:
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur pada baris dan kolom dan letaknya di antara dua buah kurung.
A. Operasi Matriks :
2 baris dan 2 kolom Baris
Jika A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
d c
b a
dan B = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
s r
q p
kolom
disebut matriks berordo 2x2
1. Penjumlahan
A + B = ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
d c
b a
+ ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
s r
q p
= ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
+ +
s d r c
q b p a
2. Pengurangan
A – B = ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
d c
b a
- ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
s r
q p
= ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− −
− −
s d r c
q b p a
3. Perkalian
a. Perkalian skalar
k ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
d c
b a
= ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
kd kc
kb ka
b. Perkalian matriks dengan matriks
A . B = ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
d c
b a
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
s r
q p
= ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
+ +
ds cq dr cp
bs aq br ap
B. Kesamaan dua buah Matriks : A = B
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
d c
b a
= ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
s r
q p
⇔
s d r c
q b p a
= =
= =
, ,
C. Determinan Matriks :
1. Matriks ordo 2 x 2
Jika A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
d c
b a
Maka det(A) = |A| = ad – bc Æ jika det(A) = 0 maka matriks A disebut matriks singular
2. Matriks ordo 3 x 3
Jika A =
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
i h g
f e d
c b a
Maka det(A) = |A| = aei + bfg + cdh – gec – hfa – idb
diagram :
- - - arah negatif
i h g
f e d
c b a
g d a
h e b
+ + + arah positif
D. Invers Matriks :
- Jika A.B = I ; I = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
1 0
0 1
, maka A dan B dikatakan
saling invers
- Jika A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
d c
b a
, maka −1 A =
) det(
1
A . ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛ −
− a c
b d
=
bc ad −
1
. ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛ −
− a c
19. SOAL-SOAL MATRIKS
EBTANAS1998
1. Diketahui matriks A = ⎟⎟
Jawabannya adalah A
EBTANAS2000
2. Diketahui matrik A = ⎟⎟
jawabannya adalah E
UAN2004
3. Diketahui matriks A= ⎟⎟
⎟⎟
jawabannya adalah D
EBTANAS2000
4. Diketahui A = ⎟⎟
jawabannya adalah B
UAN2004
(S+M)2
Jawabannya adalah A
EBTANAS1997
6. Diketahui A = ⎟⎟
adalah matriks singular.
Nilai x = …. matriks A disebut matriks singular
B – A = Ct
jawabannya dalah C
EBTANAS1992
9. Matriks X berordo 2 x 2 yang memenuhi persamaan
⎟⎟
Jawabannya adalah C
UMPTN1990
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
23 13
9 5
. ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− −
1 3
2 5
= ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− + +
−
− + +
−
) 1 ( 23 2 . 13 3 . 23 ) 5 .( 13
) 1 ( 9 2 . 5 3 . 9 ) 5 ( 5
= ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− +
−
− +
−
23 26 69 65
9 10 27 25
= ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
3 4
1 2
Æ terbukti
E. Transpose Matriks :
Jika A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
d c
b a
, maka t =
A ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
d b
c a
t
A didapat dari mengubah kedudukan baris menjadi kolom dari matriks A
F. Persamaan Matriks : Jika A.B = C maka
1. A = C . B−1 2. B = −1
A . C
( urutan huruf diperhatikan !!)
G. Sifat-sifat Operasi Matriks :
1. A + B = B + A (sifat komutatif)
2. A . B ≠ B. A
3. A. (B. C) = (A . B) . C (sifat asosiatif)
4. (A + B) + C = A + ( B + C )
5. A + O = O + A ; O = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
0 0
0 0
6. A + (-A) = 0
7. A – B = A + (-B)
8. (A−1)−1 = A
9. t t A )
( = A
10. (A.B)−1 = B−1 . A−1
11. t
B A. )
( = t
B . t A
12. A . A−1 = I = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
1 0
0 1
13. A2
= A . A A3 = A . A2 A4
= A . A3 .
. .
An
= A. An−1
