Matriks

(1)

Matriks - 1: Beberapa De…nisi Dasar – Latihan Aljabar Matriks

Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016

MZI

Fakultas Informatika Telkom University

FIF Tel-U

Agustus 2015

(2)

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:

1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014,olehAdiwijaya.

2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010,olehH. Anton dan C. Rorres.

3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom UniversityolehJondri.

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke<pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.

(3)

Bahasan

1 Beberapa De…nisi Dasar

2 Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks

3 Perkalian Matriks

4 Struktur Aljabar Matriks

5 Latihan Aljabar Matriks

(4)

Beberapa De…nisi Dasar

Bahasan

3 Perkalian Matriks

(5)

De…nisi Matriks

Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom.

Kata “beberapa” mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagaientri (atau komponen)dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagaiorde (atau ukuran)dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ]. Bentuk umum matriks berukuran m n.

2 66 66 66 66 4

a11 a12 a1j a1n

a21 a22 a2j a2n

... ... . .. ... . .. ...

a_i1 a_i2 a_ij a_in

... ... . .. ... . .. ...

am1 am2 amj amn

3 77 77 77 77 5

(6)

De…nisi Matriks

Matriks

Kata “beberapa” mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom.

Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagaientri (atau komponen)dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagaiorde (atau ukuran)dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ]. Bentuk umum matriks berukuran m n.

2 66 66 66 66 4

a11 a12 a1j a1n

a21 a22 a2j a2n

... ... . .. ... . .. ...

a_i1 a_i2 a_ij a_in

... ... . .. ... . .. ...

am1 am2 amj amn

3 77 77 77 77 5

(7)

De…nisi Matriks

Matriks

Kata “beberapa” mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagaientri (atau komponen)dari matriks tersebut.

Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagaiorde (atau ukuran)dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ]. Bentuk umum matriks berukuran m n.

2 66 66 66 66 4

a11 a12 a1j a1n

a21 a22 a2j a2n

... ... . .. ... . .. ...

a_i1 a_i2 a_ij a_in

... ... . .. ... . .. ...

am1 am2 amj amn

3 77 77 77 77 5

(8)

De…nisi Matriks

Matriks

Kata “beberapa” mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagaientri (atau komponen)dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagaiorde (atau ukuran)dari matriks tersebut.

Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ]. Bentuk umum matriks berukuran m n.

2 66 66 66 66 4

a11 a12 a1j a1n

a21 a22 a2j a2n

... ... . .. ... . .. ...

a_i1 a_i2 a_ij a_in

... ... . .. ... . .. ...

am1 am2 amj amn

3 77 77 77 77 5

(9)

De…nisi Matriks

Matriks

Kata “beberapa” mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagaientri (atau komponen)dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagaiorde (atau ukuran)dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ].

Bentuk umum matriks berukuran m n.

2 66 66 66 66 4

a11 a12 a1j a1n

a21 a22 a2j a2n

... ... . .. ... . .. ...

a_i1 a_i2 a_ij a_in

... ... . .. ... . .. ...

am1 am2 amj amn

3 77 77 77 77 5

(10)

De…nisi Matriks

Matriks

2 66 66 66

a11 a12 a1j a1n

a21 a22 a2j a2n

... ... . .. ... . .. ...

a_i1 a_i2 a_ij a_in

... ... . .. ... . .. ...

am1 am2 amj amn

3 77 77 77 77 5

(11)

De…nisi Matriks

Matriks

2 66 66 66 66 4

a11

a12 a1j a1n

a21 a22 a2j a2n

... ... . .. ... . .. ...

a_i1 a_i2 a_ij a_in

... ... . .. ... . .. ...

am1 am2 amj amn

3 77 77 77 77 5

(12)

De…nisi Matriks

Matriks

2 66 66 66

a11 a12

a1j a1n

a21 a22 a2j a2n

... ... . .. ... . .. ...

a_i1 a_i2 a_ij a_in

... ... . .. ... . .. ...

am1 am2 amj amn

3 77 77 77 77 5

(13)

De…nisi Matriks

Matriks

2 66 66 66 66 4

a11 a12 a1j

a1n

a21 a22 a2j a2n

... ... . .. ... . .. ...

a_i1 a_i2 a_ij a_in

... ... . .. ... . .. ...

am1 am2 amj amn

3 77 77 77 77 5

(14)

De…nisi Matriks

Matriks

2 66 66 66

a11 a12 a1j a1n

a21 a22 a2j a2n

... ... . .. ... . .. ...

a_i1 a_i2 a_ij a_in

... ... . .. ... . .. ...

am1 am2 amj amn

3 77 77 77 77 5

(15)

De…nisi Matriks

Matriks

2 66 66 66 66 4

a11 a12 a1j a1n

a21 a22 a2j a2n

... ... . .. ... . .. ...

a_i1 a_i2 a_ij a_in

... ... . .. ... . .. ...

am1 am2 amj amn

3 77 77 77 77 5

(16)

De…nisi Matriks

Matriks

2 66 66 66

a11 a12 a1j a1n

a21 a22 a2j a2n

... ... . .. ... . .. ...

a a

a_ij a_in ... ... . .. ... . .. ...

am1 am2 amj amn

3 77 77 77 77 5

(17)

De…nisi Matriks

Matriks

2 66 66 66 66 4

a11 a12 a1j a1n

a21 a22 a2j a2n

... ... . .. ... . .. ...

a_i1 a_i2 a_ij a_in

... ... . .. ... . .. ...

am1 am2 amj amn

3 77 77 77 77 5

(18)

De…nisi Matriks

Matriks

2 66 66 66

a11 a12 a1j a1n

a21 a22 a2j a2n

... ... . .. ... . .. ...

a a a a

3 77 77 77

(19)

Matriks Persegi, Diagonal Utama, dan Trace

Matriks biasanya ditulis dengan huruf besar (dan cetak tebal). Jika A adalah suatu matriks berukuran m n, maka kita dapat menulis A = [a_ij]. Kita nyatakan entri dari suatu matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan a_ij atau (A)_ij.

Matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya dikatakan sebagai matriks persegi. Diagonal utama pada suatu matriks persegi adalah entri-entri aii

matriks tersebut. 2 66 64

a11 a12 a1n

a12 a21 a2n

... ... . .. ... a_n1 a_n2 a_nn

3 77 75

Untuk setiap matriks persegi A berorde n,trace dari A, dinotasikan dengan tr A, dide…nisikan sebagai jumlah semua entri diagonal utama A.

tr A = a11+ a22+ + ann= Xn i=1

aii.

(20)

Matriks Persegi, Diagonal Utama, dan Trace

matriks tersebut.

2 66 64

a11 a12 a1n

a12 a21 a2n

... ... . .. ... a_n1 a_n2 a_nn

3 77 75

tr A = a11+ a22+ + ann= Xn i=1

aii.

(21)

Matriks Persegi, Diagonal Utama, dan Trace

a11 a12 a1n

a12 a21 a2n

... ... . .. ... a_n1 a_n2 a_nn

3 77 75

Untuk setiap matriks persegi A berorde n,

trace dari A, dinotasikan dengan tr A, dide…nisikan sebagai jumlah semua entri diagonal utama A.

tr A = a11+ a22+ + ann= Xn i=1

aii.

(22)

Matriks Persegi, Diagonal Utama, dan Trace

a11 a12 a1n

a12 a21 a2n

... ... . .. ... a_n1 a_n2 a_nn

3 77 75

(23)

Matriks Identitas

Matriks identitasadalah matriks persegi yangentri diagonal utamanya semuanya 1danentri lainnya bernilai 0.

[1], 1 0 0 1 ,

2

4 1 0 0 0 1 0 0 0 1

3 5,

2 66 4

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

3 77 5, . . .

Kita notasikan matriks identitas berukuran berorde n dengan I_n jika n memang sigini…kan dan perlu ditulis. Jika tidak, cukup dengan I saja.

(24)

Transpos dari Matriks

De…nisi

Misalkan A = [aij] adalah suatu matriks berukuran m n, transpos dari A dinotasikan dengan A^T, merupakan matriks berukuran n mdan dide…nisikan sebagai A^T = [aji].

Dengan perkataan lainbaris-baris matriks A^T adalah kolom-kolom matriks A, dankolom-kolom matriks A^T adalah baris-baris matriks A.

Misalkan A = 2 4 2 3

1 4 5 6

3

5, B = 1 3 5 , dan C = [8], maka

A^T =

2 1 5

3 4 6 , B^T = 2 4 1

3 5

3

5, dan C^T = [8].

(25)

Transpos dari Matriks

De…nisi

1 4 5 6

3

5, B = 1 3 5 , dan C = [8], maka

A^T = 2 1 5

3 4 6 , B^T =

2 4 1

3 5

3

5, dan C^T = [8].

(26)

Transpos dari Matriks

De…nisi

1 4 5 6

3

5, B = 1 3 5 , dan C = [8], maka

A^T = 2 1 5

3 4 6 , B^T = 2 4 1

3 5

3

5, dan C^T =

[8].

(27)

Transpos dari Matriks

De…nisi

1 4 5 6

3

5, B = 1 3 5 , dan C = [8], maka

A^T = 2 1 5

3 4 6 , B^T = 2 4 1

3 5

3

5, dan C^T = [8].

(28)

Matriks Diagonal

De…nisi (Matriks diagonal)

Suatu matriks persegi D dikatakan sebagai matriks diagonal bilasemua entri matriks yang tidak berada pada diagonal utama bernilai 0.

Yang manakah yang merupakan matriks diagonal?

A= 0 0

0 0 , B = 2 0

0 0 , C = 2

4 3 0 0 0 1 0 0 0 2

3 5, D =

2 66 4

1 0 0 7 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4

3 77 5.

Yang termasuk matriks diagonal adalah A, B, dan C. Matriks D bukan matriks diagonal karena (D)₁₄= 7 6= 0.

(29)

Matriks Diagonal

De…nisi (Matriks diagonal)

A= 0 0

0 0 , B = 2 0

0 0 , C = 2

4 3 0 0 0 1 0 0 0 2

3 5, D =

2 66 4

1 0 0 7 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4

3 77 5.

Yang termasuk matriks diagonal adalah A, B, dan C. Matriks D bukan matriks diagonal karena

(D)₁₄= 7 6= 0.

(30)

Matriks Diagonal

De…nisi (Matriks diagonal)

A= 0 0

0 0 , B = 2 0

0 0 , C = 2

4 3 0 0 0 1 0 0 0 2

3 5, D =

2 66 4

1 0 0 7 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4

3 77 5.

Yang termasuk matriks diagonal adalah A, B, dan C. Matriks D bukan matriks diagonal karena (D)₁₄= 7 6= 0.

(31)

De…nisi

Suatu matriks persegiU= [u_ij]disebut matrikssegitiga atasbila semua entri“di kiri” (atau “bawah”) diagonal utamanya bernilai 0. Dengan perkataan lain u_ij = 0 bila i > j. Serupa dengan hal ini, matriks persegiL= [`_ij]disebut matriks segitiga bawahbila semua entri“di kanan” (atau “atas”)diagonal utamanyabernilai 0. Dengan perkataan lain `ij= 0 bila i < j.

Bentuk umum matriks segitiga atas berorde 4 4

2 66 4

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ 0 a₂₂ a₂₃ a₂₄ 0 0 a₃₃ a₃₄

0 0 0 a₄₄

3 77 5 .

Bentuk umum matriks segitiga bawah berorde 4 4 2

66 4

a₁₁ 0 0 0

a₂₁ a₂₂ 0 0 a₃₁ a₃₂ a₃₃ 0 a41 a42 a34 a44

3 77 5 .

(32)

De…nisi

Bentuk umum matriks segitiga atas berorde 4 4 2

66 4

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ 0 a₂₂ a₂₃ a₂₄ 0 0 a₃₃ a₃₄

0 0 0 a₄₄

3 77 5 .

Bentuk umum matriks segitiga bawah berorde 4 4

2 66 4

a₁₁ 0 0 0

a₂₁ a₂₂ 0 0 a₃₁ a₃₂ a₃₃ 0 a41 a42 a34 a44

3 77 5 .

(33)

De…nisi

Bentuk umum matriks segitiga atas berorde 4 4 2

66 4

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ 0 a₂₂ a₂₃ a₂₄ 0 0 a₃₃ a₃₄

0 0 0 a₄₄

3 77 5 .

Bentuk umum matriks segitiga bawah berorde 4 4 2

66 4

a₁₁ 0 0 0

a₂₁ a₂₂ 0 0 a₃₁ a₃₂ a₃₃ 0 a₄₁ a₄₂ a₃₄ a₄₄

3 77 5 .

(34)

Matriks Simetris

De…nisi

Suatu matriks persegi A = [a_ij] dikatakansimetris jika A = A^T, atau setara dengan a_ij = ajiuntuk setiap i; j.

Bentuk umum matriks simetris berorde 4 4

2 66 4

a b c

a d e

b d f

c e f 3 77 5 ,

entri tidak kita pedulikan, a; b; c; d; e; f 2 R.

(35)

Matriks Simetris

De…nisi

Suatu matriks persegi A = [a_ij] dikatakansimetris jika A = A^T, atau setara dengan a_ij = ajiuntuk setiap i; j.

Bentuk umum matriks simetris berorde 4 4 2

66 4

a b c

a d e

b d f

c e f 3 77 5 ,

entri tidak kita pedulikan, a; b; c; d; e; f 2 R.

(36)

Latihan

Periksa apakah matriks-matriks berikut adalah matriks simetris atau bukan

A = 2 0

0 0 , B = 2

4 1 0 3 0 2 8 3 8 3

3 5 , C =

2

4 0 0 0 0 2 1 0 0 0

3 5 ,

D =

2 66 4

1 0 9 3 0 1 2 1 9 2 0 0 3 1 2 1

3 77 5 , E =

2 66 4

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 77 5

Solusi:

yang termasuk matriks simetris adalah A (karena A^T = A), B (karena B^T = B), dan E (karena E^T = E).

(37)

Latihan

Periksa apakah matriks-matriks berikut adalah matriks simetris atau bukan

A = 2 0

0 0 , B = 2

4 1 0 3 0 2 8 3 8 3

3 5 , C =

2

4 0 0 0 0 2 1 0 0 0

3 5 ,

D =

2 66 4

1 0 9 3 0 1 2 1 9 2 0 0 3 1 2 1

3 77 5 , E =

2 66 4

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 77 5

Solusi: yang termasuk matriks simetris adalah A (karena A^T = A), B (karena B^T = B), dan E (karena E^T = E).

(38)

Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks

Bahasan

3 Perkalian Matriks

(39)

Kesamaan Dua Matriks

De…nisi

Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, ketikaukuran dari Adan B sama,sertasetiap entri yang bersesuaianpada keduamatriks tersebut sama.

Apakah A = 1 2 3

4 5 6 dan B = 1 2 7

4 5 6 sama?

Tidak, karena (A)₁₃6= (B)13.

Apakah A = 0

@ 1 4 7 2 5 8 3 6 9

1

A dan B = 0

@ 1 4 7 2 5 8 3 6 9

1

A sama? Ya, karena (A)_ij= (B)_ij untuk setiap 1 i; j 3.

Apakah A = 1 2 3

6 7 8 dan B = 1 2 3 0

6 7 8 0 sama? Tidak, karena A berorde 2 3, sedangkan B berorde 2 4.

(40)

Kesamaan Dua Matriks

De…nisi

Apakah A = 1 2 3

4 5 6 dan B = 1 2 7

4 5 6 sama? Tidak, karena (A)₁₃6= (B)13.

Apakah A = 0

@ 1 4 7 2 5 8 3 6 9

1

A dan B = 0

@ 1 4 7 2 5 8 3 6 9

1

Apakah A = 1 2 3

6 7 8 dan B = 1 2 3 0

(41)

Kesamaan Dua Matriks

De…nisi

Apakah A = 1 2 3

4 5 6 dan B = 1 2 7

Apakah A = 0

@ 1 4 7 2 5 8 3 6 9

1

A dan B = 0

@ 1 4 7 2 5 8 3 6 9

1 A sama?

Ya, karena (A)_ij= (B)_ij untuk setiap 1 i; j 3.

Apakah A = 1 2 3

6 7 8 dan B = 1 2 3 0

(42)

Kesamaan Dua Matriks

De…nisi

Apakah A = 1 2 3

4 5 6 dan B = 1 2 7

Apakah A = 0

@ 1 4 7 2 5 8 3 6 9

1

A dan B = 0

@ 1 4 7 2 5 8 3 6 9

1

Apakah A = 1 2 3

6 7 8 dan B = 1 2 3 0

(43)

Kesamaan Dua Matriks

De…nisi

Apakah A = 1 2 3

4 5 6 dan B = 1 2 7

Apakah A = 0

@ 1 4 7 2 5 8 3 6 9

1

A dan B = 0

@ 1 4 7 2 5 8 3 6 9

1

Apakah A = 1 2 3

6 7 8 dan B = 1 2 3 0

6 7 8 0 sama?

Tidak, karena A berorde 2 3, sedangkan B berorde 2 4.

(44)

Kesamaan Dua Matriks

De…nisi

Apakah A = 1 2 3

4 5 6 dan B = 1 2 7

Apakah A = 0

@ 1 4 7 2 5 8 3 6 9

1

A dan B = 0

@ 1 4 7 2 5 8 3 6 9

1

(45)

Jumlah dan Selisih Matriks

De…nisi

Jika A dan B adalah matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri yang bersesuaian pada A dan B. Serupa dengan hal ini, selisih A Badalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan mengurangkan entri-entri pada B dari entri-entri pada A yang bersesuaian.

Dalam notasi matriks, jika A dan B berukuran sama, maka (A + B)_ij = (A)_ij+ (B)_ij dan (A B)_ij = (A)_ij (B)_ij. Sebagai contoh, kita memiliki

1 2 3

4 5 6 + 4 5 6

7 8 9 =

5 7 9

11 13 15 dan

4 5 6 7 8 9

1 2 3

4 5 6 = 3 3 3

3 3 3 .

(46)

Jumlah dan Selisih Matriks

De…nisi

1 2 3

4 5 6 + 4 5 6

7 8 9 = 5 7 9

11 13 15 dan

3 3 3 3 3 3 .

(47)

Jumlah dan Selisih Matriks

De…nisi

1 2 3

4 5 6 + 4 5 6

7 8 9 = 5 7 9

11 13 15 dan

4 5 6 7 8 9

1 2 3

4 5 6 = 3 3 3

3 3 3 .

(48)

Perkalian Matriks dengan Bilangan Real

Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan real.

De…nisi

Jika A adalah suatu matriks dan k 2 R, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri matriks A dengan k.

Dalam notasi matriks, bila A = [a_ij], maka (kA)_ij= k (Aij) = kaij. Sebagai contoh, kita memiliki

3 1 2 3

4 5 6 = 3 6 9

12 15 18 , ¹₃ 2

4 3 6

9 12 15 18

3 5 =

2 4 1 2

3 4 5 6

3 5.

Catatan: kita akan menulis ( 1) A = A.

(49)

Perkalian Matriks dengan Bilangan Real

De…nisi

3 1 2 3

4 5 6 =

3 6 9

12 15 18 , ¹₃ 2

4 3 6

9 12 15 18

3 5 =

2 4 1 2

3 4 5 6

3 5.

(50)

Perkalian Matriks dengan Bilangan Real

De…nisi

3 1 2 3

4 5 6 = 3 6 9

12 15 18 ,

1 3

2

4 3 6

9 12 15 18

3 5 =

2 4 1 2

3 4 5 6

3 5.

(51)

Perkalian Matriks dengan Bilangan Real

De…nisi

3 1 2 3

4 5 6 = 3 6 9

12 15 18 , ¹₃ 2

4 3 6

9 12 15 18

3 5 =

2 4 1 2

3 4 5 6

3 5.

(52)

Perkalian Matriks dengan Bilangan Real

De…nisi

3 1 2 3

4 5 6 = 3 6 9

12 15 18 , ¹₃ 2

4 3 6

9 12 15 18

3 5 =

2 4 1 2

3 4 5 6

3 5.

(53)

Perkalian Matriks

Bahasan

3 Perkalian Matriks

(54)

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Cara Standar

Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852)

Jika matriks A berukuran m rdan matriks B berukuran r n, maka matriks ABberukuran

m ndan untuk setiap 1 i mdan 1 j n

(AB)_ij= (A)_i1(B)_1j+ (A)_i2(B)_2j+ + (A)_ir(B)_rj= Xr k=1

(A)_ik(B)_kj.

Ilustrasi cara menghitung (AB)_ij 2

66 66 66 66 4

a₁₁ a₁₂ a_1r a₂₁ a₂₂ a_2r ... ... . .. ... ai1 ai2 air

... ... . .. ... a_m1 a_m2 a_mr

3 77 77 77 77 5

2 66 64

b₁₁ b₁₂ b_1j b_1n b₂₁ b₂₂ b_2j b_2n ... ... . .. ... . .. ... br1 br2 brj arn

3 77 75

(55)

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Cara Standar

Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852)

Jika matriks A berukuran m rdan matriks B berukuran r n, maka matriks ABberukuran m ndan untuk setiap 1 i mdan 1 j n

(AB)_ij=

(A)_i1(B)_1j+ (A)_i2(B)_2j+ + (A)_ir(B)_rj= Xr k=1

(A)_ik(B)_kj.

66 66 66 66 4

... ... . .. ... a_m1 a_m2 a_mr

3 77 77 77 77 5

2 66 64

3 77 75

(56)

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Cara Standar

Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852)

(AB)_ij= (A)_i1(B)_1j+

(A)_i2(B)_2j+ + (A)_ir(B)_rj= Xr k=1

(A)_ik(B)_kj.

66 66 66 66 4

... ... . .. ... a_m1 a_m2 a_mr

3 77 77 77 77 5

2 66 64

3 77 75

(57)

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Cara Standar

Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852)

(AB)_ij= (A)_i1(B)_1j+ (A)_i2(B)_2j+

+ (A)_ir(B)_rj= Xr k=1

(A)_ik(B)_kj.

66 66 66 66 4

... ... . .. ... a_m1 a_m2 a_mr

3 77 77 77 77 5

2 66 64

3 77 75

(58)

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Cara Standar

Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852)

(AB)_ij= (A)_i1(B)_1j+ (A)_i2(B)_2j+ +

(A)_ir(B)_rj= Xr k=1

(A)_ik(B)_kj.

66 66 66 66 4

... ... . .. ... a_m1 a_m2 a_mr

3 77 77 77 77 5

2 66 64

3 77 75

(59)

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Cara Standar

Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852)

(AB)_ij= (A)_i1(B)_1j+ (A)_i2(B)_2j+ + (A)_ir(B)_rj =

Xr k=1

(A)_ik(B)_kj.

66 66 66 66 4

... ... . .. ... a_m1 a_m2 a_mr

3 77 77 77 77 5

2 66 64

3 77 75

(60)

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Cara Standar

Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852)

(AB)_ij= (A)_i1(B)_1j+ (A)_i2(B)_2j+ + (A)_ir(B)_rj = Xr k=1

(A)_ik(B)_kj.

66 66 66 66 4

... ... . .. ... a_m1 a_m2 a_mr

3 77 77 77 77 5

2 66 64

3 77 75

(61)

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Cara Standar

Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852)

(AB)_ij= (A)_i1(B)_1j+ (A)_i2(B)_2j+ + (A)_ir(B)_rj = Xr k=1

(A)_ik(B)_kj.

66 66 66 66 4

a11 a12 a1r

a₂₁ a₂₂ a_2r ... ... . .. ... ai1 ai2 air

... ... . .. ... a_m1 a_m2 a_mr

3 77 77 77 77 5

2 66 64

3 77 75

(62)

Perkalian Matriks

Syarat Perkalian Matriks

Diberikan dua matriks A dan B, syarat agar AB terde…nisi adalah:

(# kolom A) = (# baris B). Sebagai ilustrasi, hasil kali matriks berikut

2

4 4 1 4 3

0 1 3 1

2 7 5 2

3

5 1 2 4

2 6 0

tidak dide…nisikan (mengapa?).

(63)

Perkalian Matriks

Syarat Perkalian Matriks

Diberikan dua matriks A dan B, syarat agar AB terde…nisi adalah:

(# kolom A) = (# baris B). Sebagai ilustrasi, hasil kali matriks berikut 2

4 4 1 4 3

0 1 3 1

2 7 5 2

3

5 1 2 4

2 6 0

tidak dide…nisikan (mengapa?).

(64)

Perkalian Matriks

Contoh Perkalian Matriks

Tentukan nilai x.

1 2 4 2 6 0

2

4 4 1 4 3

0 1 3 1

2 7 5 2

3

5 = x

x =

(2 4) + (6 3) + (0 5) = 26.

1 2 4 2 6 0

2

4 4 1 4 3

0 1 3 1

2 7 5 2

3

5 = x

x = (1 3) + (2 1) + (4 2) = 13.

(65)

Perkalian Matriks

Contoh Perkalian Matriks

Tentukan nilai x.

1 2 4 2 6 0

2

4 4 1 4 3

0 1 3 1

2 7 5 2

3

5 = x

x = (2 4) +

(6 3) + (0 5) = 26.

1 2 4 2 6 0

2

4 4 1 4 3

0 1 3 1

2 7 5 2

3

5 = x

x = (1 3) + (2 1) + (4 2) = 13.

(66)

Perkalian Matriks

Contoh Perkalian Matriks

Tentukan nilai x.

1 2 4 2 6 0

2

4 4 1 4 3

0 1 3 1

2 7 5 2

3

5 = x

x = (2 4) + (6 3) +

(0 5) = 26.

1 2 4 2 6 0

2

4 4 1 4 3

0 1 3 1

2 7 5 2

3

5 = x

x = (1 3) + (2 1) + (4 2) = 13.

(67)

Perkalian Matriks

Contoh Perkalian Matriks

Tentukan nilai x.

1 2 4 2 6 0

2

4 4 1 4 3

0 1 3 1

2 7 5 2

3

5 = x

x = (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26.

1 2 4 2 6 0

2

4 4 1 4 3

0 1 3 1

2 7 5 2

3

5 = x

x = (1 3) + (2 1) + (4 2) = 13.

(68)

Perkalian Matriks

Contoh Perkalian Matriks

Tentukan nilai x.

1 2 4 2 6 0

2

4 4 1 4 3

0 1 3 1

2 7 5 2

3

5 = x

x = (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26.

1 2 4 2 6 0

2

4 4 1 4 3

0 1 3 1

2 7 5 2

3

5 = x

x =

(1 3) + (2 1) + (4 2) = 13.

(69)

Perkalian Matriks

Contoh Perkalian Matriks

Tentukan nilai x.

1 2 4 2 6 0

2

4 4 1 4 3

0 1 3 1

2 7 5 2

3

5 = x

x = (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26.

1 2 4 2 6 0

2

4 4 1 4 3

0 1 3 1

2 7 5 2

3

5 = x

x = (1 3) +

(2 1) + (4 2) = 13.

(70)

Perkalian Matriks

Contoh Perkalian Matriks

Tentukan nilai x.

1 2 4 2 6 0

2

4 4 1 4 3

0 1 3 1

2 7 5 2

3

5 = x

x = (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26.

1 2 4 2 6 0

2

4 4 1 4 3

0 1 3 1

2 7 5 2

3

5 = x

x = (1 3) + (2 1) +

(4 2) = 13.

(71)

Perkalian Matriks

Contoh Perkalian Matriks

Tentukan nilai x.

1 2 4 2 6 0

2

4 4 1 4 3

0 1 3 1

2 7 5 2

3

5 = x

x = (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26.

1 2 4 2 6 0

2

4 4 1 4 3

0 1 3 1

2 7 5 2

3

5 = x

x = (1 3) + (2 1) + (4 2) = 13.

(72)

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks barisadalah matriks yang hanya memuat 1 baris,matriks kolomadalah matriks yanghanya memuat 1 kolom.

Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran 1 1. Matriks 1 1 juga analog dengan bilangan real.

rc= r1 r2 rk

2 66 64

c1

c2

... c_k

3 77 75=

2 4

Xk j=1

rjcj

3 5 .

Dengan fakta di atas, bila A adalah matriks berorde m ndan c adalah matriks kolom dengan n baris (berorde n 1), maka Ac adalah matriks kolom dengan m baris (berorde m 1). Secara serupa, bila r adalah matriks baris dengan m kolom (berorde 1 m) dan B adalah matriks berorde m n, maka rB adalah matriks baris dengan n kolom (berorde 1 n).

(73)

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks barisadalah matriks yang hanya memuat 1 baris,matriks kolomadalah matriks yanghanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran

1 1. Matriks 1 1 juga analog dengan bilangan real.

rc= r1 r2 rk

2 66 64

c1

c2

... c_k

3 77 75=

2 4

Xk j=1

rjcj

3 5 .

(74)

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks barisadalah matriks yang hanya memuat 1 baris,matriks kolomadalah matriks yanghanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran 1 1. Matriks 1 1 juga analog dengan bilangan real.

rc= r1 r2 rk

2 66 64

c1

c2

... c_k

3 77 75=

2 4

Xk j=1

rjcj

3 5 .

(75)

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Matriks Baris dan Matriks Kolom

rc=

r1 r2 rk

2 66 64

c1

c2

... c_k

3 77 75=

2 4

Xk j=1

rjcj

3 5 .

(76)

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Matriks Baris dan Matriks Kolom

rc= r1 r2 rk

2 66 64

c1

c2

... c_k

3 77 75=

2 4

Xk j=1

rjcj

3 5 .

(77)

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Matriks Baris dan Matriks Kolom

rc= r1 r2 rk

2 66 64

c1

c2

... c_k

3 77 75=

2 4

Xk j=1

rjcj

3 5 .

Dengan fakta di atas, bila A adalah matriks berorde m ndan c adalah matriks kolom dengan n baris (berorde n 1), maka Ac adalah matriks

kolom dengan m baris (berorde m 1). Secara serupa, bila r adalah matriks baris dengan m kolom (berorde 1 m) dan B adalah matriks berorde m n, maka rB adalah matriks baris dengan n kolom (berorde 1 n).

(78)

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Matriks Baris dan Matriks Kolom

rc= r1 r2 rk

2 66 64

c1

c2

... c_k

3 77 75=

2 4

Xk j=1

rjcj

3 5 .

Dengan fakta di atas, bila A adalah matriks berorde m ndan c adalah matriks kolom dengan n baris (berorde n 1), maka Ac adalah matriks kolom dengan m baris (berorde m 1). Secara serupa, bila r adalah matriks baris dengan m kolom

baris dengan n kolom (berorde 1 n).

(79)

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Matriks Baris dan Matriks Kolom

rc= r1 r2 rk

2 66 64

c1

c2

... c_k

3 77 75=

2 4

Xk j=1

rjcj

3 5 .

(80)

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Meninjau Kolom

Diberikan matriks A yang berorde m rdan matriks B yang berorde r n, jika kita menulis B sebagai

B= b1 b2 bn ,

dengan b_i (1 i n) adalah matriks kolom dengan r baris, maka AB dapat dihitung sebagai

AB= Ab₁ Ab₂ Ab_n .