DOKUMEN MODUL MATRIKS

MODUL MATRIKS

DI SUSUN OLEH :

NANDI MULYANA (221011401747)

a.Matriks dan Operasi Matriks

Matriks merupakan suatu ajaran bilangan (angka) berbentuk segi empat yang diapit dengan tanda kurang.

[

�_𝗆1 �_𝗆2 ⋯ �_𝗆�

Disebut matriks dengan 𝗆 baris dan � kolom, atau matriks 𝗆 × �. tiap baris dalam jajaran bilangan disebut sebagai vektor baris, dan tiap kolom dinamakan vektor kolom.

Bilangan �_11,�₁₂,...disebut unsur-unsur matriks, sedangkan vektor-vektor � dan �, yaitu :

�₁ �1

� = [�₂

] � = [�₂

⋮ ]

�_�

⋮

�_�

Berturut-turut adalah vektor yang di cari dan vektor konstan yang di berikan,apabila terdapat untuk tak nol dalam � maka dikatakan tak-homogen, unsur-unsur dalam � yang memenuhi persamaan disebut penyelesaian,untuk menyingkat penulisan kadang suatu matriks dengan � baris � kolom ditulis dengan

� = ( �_𝓲�) 𝓲 = 1,2, .... , � � = 1,2, ... ,

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS

Apabila dua buah matriks mempunyai kesamaan jumlah baris dan jumlah kolomnya (orde matriks sama), misal dua buah matriks � = ( �_𝔦�) dan = (�_𝑖�) dikatakan sama apabila A dan B mempunyai baris dan kolom yang banyaknya,serta unsur-unsur yang seletak semuanya sama,yaitu

�_𝖎� = �_𝖎�

Untuk semua 𝔦 𝑑�� � yang mungkin, dan dapat ditulis dengan � = . Kesamaan matriks ini hanya didefinisikan untuk dua matriks yang berukuran

sama,selanjutnya untuk penjumlahan dan pengurangan matriks, perkalian dan skalar,dan perkalian dua buah matriks akan dibahas dalam sub bab ini

�₁₁ �₁₂ ⋯ �1�

�₂₁ �₂₂ ⋯ �_2�

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ]

Jumlah dan pengurangan matriks

Jumlahan dan pengurangan dua matriks 𝗆 × �, yaitu � = (�𝖎�)��� = (𝖎�), ditulis

� +

� −

Adalah matriks � × � yang di peroleh dengan menjumlahkan atau mengurangkan unsur- unsur yang seletak dari � ��� ; jadi unsur matriks � + adalah

�_𝖎� + 𝖎 = 𝟏, . . . , � {� = 𝟏, . . . , �

Sama halnya pula dengan pengurangan,maka unsur-unsur yang seletak dari

� 𝑑�� 𝐵; ��𝑑𝑖 𝑢�𝑠𝑢� ��𝑡�𝑖𝑘𝑠 � − 𝐵 adalah

�_𝖎� − 𝖎 = 𝟏, . . . , � {� = 𝟏, . . . ,

Matriks nol 𝗆 × � didefinisikan sebagai matriks berukuran 𝗆 × � yang semua unsurnya nol, dinotariskan dengan 0. Berdasarkan definisi ini jumlahan matriks mempunyai sifat- sifat mirip dengan jumlahan bilangan real, yaitu

(a) � + B = B + �

(b) (𝑡 + �) + � = 𝑡 + (� + �) (c) � + � = �

(d)� + (−�) = �

Dalam hal ini −Α = (−�_𝔦�) adalah matriks 𝗆 × � yang diperoleh dengan mengalikan unsur-unsur matriks Α dengan

(−1) 𝑑�� 𝑑𝑖𝑠𝑒�𝑢𝑡 𝑑𝑒�𝑔�� �𝑒𝑔�𝑡𝑖� 𝑑��𝑖 Α. 𝑠𝑒𝑙���𝑢𝑡�𝑦� 𝑝𝑒�𝑢𝑙𝑖𝑠�� Α +

(−𝐵) 𝑑𝑖𝑠𝑖�𝑔𝑘�𝑡 𝑑𝑒�𝑔�� Α − Β dan disebut selisih dari Α dan B, unsur-unsur yang seletak dalam Α 𝑑�� Β, berdasarkan definisi ini pengurangan matriks mempunyai sifat- sifat mirip dengan jumlahan bilangan real, yaitu

(a) � + B = B + �

(b) (𝑡 + �) − � = 𝑡 − (� − �) (c) � − � = �

(d) � − (−� = 𝟐�

𝖎�

𝖎�

Perlu diperhatikan bahwa penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks mempunyai ukuran yang sama

Contoh 2.1.1 Jika diberikan

𝟏 𝟏 −𝟐 𝟏 � �

� [� −𝟏 � ] dan B = [𝟐 𝟏 −𝟏]

� � 𝟐

Jika

� −𝟐 𝟐

𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏

� + B = [𝟐 � 𝟐] → B + � = [𝟐 � 𝟐]

� −𝟐 � � −𝟐 �

Maka Α + Β = Β + Α berlaku sifat komutatif pada matriks penjumlahan,sedangkan jika

� 𝟏 −� � −𝟏 �

� − B = [−𝟐 −𝟐 � ] → B − � = [𝟐 𝟐 −�]

−� 𝟐 � � −𝟐 �

Maka Α − Β ≠ Β − Α tiadak berlaku sifat komutatif pada pengurangan,pada

sifat Α − (−Α) = 2Α, terdapat perkalian dengan skalar,pada contoh 2.1.1 kita kerjakan dengan sifat tersebut menjadi

𝟏 𝟏 −𝟐 𝟏 𝟏 −𝟐

� − (−�) = [� −𝟏 � ] − (− [� −𝟏 � ])

� � 𝟐 � � 𝟐

𝟏

= [� 𝟏

−𝟏

−𝟐 −𝟏

� ] − (− [ � −𝟏 𝟏

𝟐

−�])

� � 𝟐 � � −𝟐

𝟐

= [� 𝟐

−𝟐

−�

� ]

� � �

𝟏 𝟏 −𝟐 𝟐 𝟐 −�

Ekivalen dengan 2� = 𝟐 [� −𝟏 � ] = [� −𝟐 � ]

� � 𝟐 � � �

Perkalian Matriks Dengan Skalar

Hasil kali Α = (𝔦_�) matriks 𝗆 × � dengan skalar c ditulis 𝔠Α atau Α𝔠 merupakan matriks 𝗆 × � yang diperoleh dengan mengalikan tiap unsur dalam Α dengan 𝔠.

𝓬�_𝟏𝟏 𝓬�_𝟏𝟐 ⋯ 𝓬�_𝟏 𝓬� = �𝓬 = [ 𝓬�_𝟐𝟏 𝓬�_𝟐𝟐 ⋯ 𝓬�_𝟐 ] 𝓬�_�𝟏 𝓬�_�𝟐 ⋯ 𝓬�_�

Dari keterangan diatas, dapat diperiksa bahwa untuk sebarang matriks 𝗆 𝑑�� � tetap,dan sebarang bilangan,berlaku sifat-sifat berikut :

(a) 𝒸(Α + Β) = 𝒸Α + 𝒸Β (b) (𝒸 + Κ)Α = 𝒸Α + ΚΑ (c) 𝒸(ΚΛ) = (𝒸Κ)Α

(d)ΙΑ = Α , 𝑑𝑒�𝑔�� Ι �𝑑�𝑙�ℎ ��𝑡�𝑖𝑘𝑠 𝑖𝑑𝑒�𝑡𝑖𝑡�𝑠 Contoh 2.1.2 :

Diberikan Matriks

� =

𝟏. 𝟐� �. ��

[ ]

�. 𝟖� �. 𝟐�

Maka didapat

� + � = 𝟐� [𝟐. �� �. ��]

10� = [𝟏𝟐. � �. � 𝟖. � �𝟐. �] 𝚰� = [𝟏 �

] [𝟏. 𝟐� �. ��

] = [𝟏. 𝟐� �. ��

� 𝟏 �. 𝟖� �. 𝟐� �. 𝟖� �. 𝟐�] Identitas matriks ukuran 2× 2 adalah Ι = [1 0

], identitas matriks 0 1

1 0 0 Ukuran 3× 3 dapat ditulis dengan Ι3𝜒3 = [0 1 0].

0 0 1

1 0 ⋯ 0 Identitas matriks ukuran � × � adalah Ι_�×�=�0

⋮ 1

⋮

⋯

⋮ 01

⋮ I0 0 ⋯ 0I [0 0 0 1]

Membentuk diagonal angka 1 sesuai jumlah baris dan kolom,perlu diketahui bahwa Matriks identitas hanya memiliki matriks dengan ukuran (ordo) yang sama,dimana jumlah baris dan kolomnya sama.

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

PERKALIAN MATRIKS

Sama halnya dengan bilangan pada sistem persamaan linier, matriks juga menerapkan definisi perkalian matriks dari matematikawan inggris Arthur Cayley

(1821-1895).

Definisi perkalian matriks dengan matriks

Misal � = (�_𝔦�) dengan � × � dan B = (�_��) matriks 𝔯 × �. Hasil dari �B didefinisikan hanya untuk 𝔯 = �, dan �B adalah Matriks ∁= (𝔠_��) matriks 𝗆 × 𝑝 dengan unsur 𝒸_�� adalah (Anton,2015)

�

𝒸_�� = ∑ �

𝗆=1