MATRIKS
Oleh Markus Yuniarto, S.Si
SMA SANTA ANGELA
Standar Kompetensi :
Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam
pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar :
Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk
menentukan invers matriks persegi.
BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini anda akan mempelajari unsur-unsur matriks,
ordo dan jenis matriks, kesamaan matriks, operasi penjumlahan
dan pengurangan matriks, determinan dan invers matriks, dan
penerapan matriks dalam sistem persamaan linear.
B. Prasyarat
Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah
menguasai dasar-dasar aljabar.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan
adalah sebagai berikut:
1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi
yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari
materi berikutnya.
3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui
kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah
mempelajari materi yang terkait.
4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda
pecahkan, catatlah,
kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap
muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan
materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda
juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Melakukan operasi aljabar atas dua matriks
2. Menentukan determinan matriks 2x2
3. Menentukan invers dari matriks 2x2
4. Menentukan persamaan matriks dari persamaan linear
BAB II. PEMBELAJARAN
A.
PENGERTIAN MATRIKS
Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk
baris dan kolom.
Bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom disebut elemen
matriks.
Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf kapital.
Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks.
Bentuk umum :
A =
n m m
m m
n n n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
. 3
. 2 . 1 .
. 3 3
. 3 2 . 3 1 . 3
. 2 3
. 2 2 . 2 1 . 2
. 1 3
. 1 2 . 1 1 . 1
...
:
...
:
:
:
...
...
...
1 . 1a
elemen matriks pada baris 1, kolom 1
2 . 1a
elemen matriks pada baris 1, kolom 2
3 . 1a
elemen matriks pada baris 1, kolom 3
.
.
.
n ma
.elemen matriks pada baris m, kolom n
B =
7
6
1
4
5
2
Ordo matriks B adalah B
2 x 3
3 . 1
a
- 4
2 . 2a
6
B. JENIS-JENIS MATRIKS
1. Matriks baris
adalah matriks yang hanya memiliki satu baris
Contoh : A = [ 2 3 0 7 ]
2.
Matriks kolom
adalah matriks yang hanya memiliki satu kolom
Contoh : C =
7
0
1
2
3.
Matriks persegi
adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.
Contoh : A =
3
5
10
7
6
0
9
5
4
6
8
1
3
5
0
2
4.
Matriks Identitas
adalah matriks persegi yang elemen-elemen pada diagonal
utamanya 1, sedangkan semua elemen yang lainnya nol.
Contoh :
A =
1
0
0
1
B =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
5. Matriks segitiga atas
adalah matriks persegi yang elemen-elemen dibawah
diagonal utamanya nol.
Contoh :
A =
5
0
0
4
1
0
1
3
2
6. Matriks segitiga bawah
adalah matriks persegi yang elemen-elemen diatas diagonal
utamanya nol.
B =
5
2
3
0
1
9
0
0
2
7. Matriks nol
adalah matriks yang semua elemennya nol.
Contoh :
C =
0
0
0
0
0
0
C. TRANSPOSE MATRIKS
adalah perubahan bentuk matriks dimana elemen pada baris
menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya.
Contoh :
A =
3
5
0
1
4
2
A
t= A
T=
A
=
0
1
5
4
3
2
D. KESAMAAN MATRIKS
Contoh :
A = B
4
5
3
2
=
4
5
3
9
3
6
Contoh : Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut
a.
5
9
4
12
5
2
4
3
b
a
3a = -12
a = -12/3
a = -4
2b = 9
b = 9/2
b = 4,5
b
3
2
2
3
1
3
5
4
1
6
1
a
b
a
a
-15
–
1 = 3b + 2
-16 = 3b + 2
3b = -18
b = -6
LATIHAN 1
1. Diketahui matriks A =
5
15
10
4
11
4
12
6
5
1
3
6
4
7
2
20
16
12
6
3
a. Tentukan ordo matriks A
b. Sebutkan elemen-elemen pada baris ke-2
c. Sebutkan elemen-elemen pada kolom ke-3
d. Sebutkan elemen a
2.3e. Sebutkan elemen a
3.52. Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut :
a.
b
a
a
a
b
a
7
6
5
4
15
2
b.
14
4
10
7
14
3
2
5
7
a
b
a
c.
b
a
a
b
b
a
a
1
1
2
10
8
3
2
2
a.
2
1
4
1
3
z
x
z
y
x
b.
y
z
x
x
z
y
1
2
9
22
c.
9
11
2
3
5
y
x
y
x
4. Diketahui P =
y
x
y
x
x
y
x
2
3
2
dan Q =
1
2
4
7
y
Jika P = Q
T, maka tentuka x
–
y
E.
PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS
1. PENJUMLAHAN MATRIKS
Dua matriks dapat dijumlahkan, jika keduanya berordo
sama, dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang
seletak.
Contoh :
2
11
0
3
6
5
4
1
5
3
4
2
2.
PENGURANGAN MATRIKS
Contoh :
1. Selesaikan operasi matriks berikut :
a.
a. X +
1
2
2
0
1
0
0
10
b. X -
5
3
7
4
1
2
5
3
c.
1
3
4
2
7
2
4
3
X
4. Tentukan x, y, w, dan z jika diketahui :
3
4
2
6
1
3
3
3
3
w
z
y
x
w
x
w
z
y
x
F. PERKALIAN MATRIKS
1. PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL
Suatu matriks dikalikan dengan bilangan real k, maka
setiap elemen matriks tersebut dikalikan dengan k.
Contoh :
2
12
8
10
6
6
4
5
3
2. PERKALIAN DUA MATRIKS
A
m x n. B
p x q= C
m x q1. Jika X adalah matriks berordo 2x2, tentukan matriks X dari :
2. Diketahui A =
4. Hitung perkalian matriks berikut :
a.
5. Diketahui matriks-matriks sebagai berikut :
c.
B.C
d.
(A.B).C
e.
A.(B.C)
f.
Buatlah kesimpulan untuk a dan b, serta d dan e
6. Jika P =
c
b
b
a
1
, Q =
d
c
a
1
0
, dan R =
1
0
0
1
Tentukan nilai d jika P + Q
T= R
27. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan :
1
1
3
0
.
4
2
1
3
.
2
6
11
8
6
.
2
3
2
4
x
8. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut :
18
8
.
4
3
2
1
y
x
G. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS ORDO 2X2
Jika matriks A =
d
c
b
a
, determinan dari matriks A
Invers matriks A dinyatakan dengan notasi
A
-1=
c
a
b
d
bc
ad
1
Jika ad
–
bc = 0, maka matriks tidak mempunyai invers
disebut matriks singular.
Jika ad
–
bc
0, maka matriks mempunyai invers
disebut matriks non singular.
Contoh :
Diketahui A =
3
1
5
2
, Tentukan determinan dan invers matriks
A.
Det A = ad
–
bc
= 2.3
–
5.1
= 6
–
5
= 1
A
-1=
c
a
b
d
bc
ad
1
A
-1=
2
1
5
3
1
1
=
2
1
5
3
LATIHAN 4
1. Diketahui matriks A =
3
9
5
2
x
x
, dan B =
x
3
13
4
5
Tentukan nilai x, jika Det A = Det B
2. Tentukan nilai x nya :
a.
5
1
3
b.
18
3
3
5
5
x
x
x
3. Diketahui matriks A =
5
3
2
1
, dan B =
2
1
6
4
Tentukan :
a.
A
-1b.
B
-1c.
A.B
d.
B.A
e.
A
-1.B
-1f.
B
-1.A
-1g.
(AB)
-1h.
(BA)
-1i.
Buatlah kesimpulan dari hasil tersebut
4. Diketahui B =
2
4
4
9
, Tentukan :
a. A
-1b. A
-1.A
c. A.A
-1d. Buatlah kesimpulan
H. PERSAMAAN MATRIKS
1. A.X = B
A
-1.A.X = A
-1.B
I.X = A
-1.B
X = A
-1.B
Jadi jika A.X = B, maka X = A
-1.B
X.I = B.A
-1X = B.A
-1Jadi jika X.A = B, maka X = B.A
-1Contoh : Tentukan matriks X nya
I. PEMAKAIAN INVERS MATRIKS
Invers matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem
persamaan linear.
Contoh :
5. Dengan menggunakan matriks selesaikan sistem persamaan
linear berikut :
a. 2x
–
3y = -1
x + 2y = 11
b. 3x + y = 7
x
–
3y = -1
1. Diketahui A =
tentukan nilai
matriks-matriks dibawah ini!
a. A + B
b. B
–
A c. A + 2B
d. -2A +
3. Tentukan elemen-elemen dari suatu matriks G2x2 !
5. Tentukan hasil dari perkalian
a.
Tentukan nilai dari
a.
2
R
P
c.
LA
Te.
R
P
Tb. L
T+ A
d.
A
T
Y
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat :
1. Diketahui matriks A=
a.
4 5
5 6
b.
5 4
6 5
c.
5 4
5 6
d.
1 3
2 4
e.
10 8
10 12
4. Diketahui matriks A =
9 6
3 15
, B =
10 3 2 x
, dan
C =
13 3
4 1
, Bila x merupakan penyelesaian persamaan
A – B = C- 1 maka x = ...
a. 3 b. 5 c. 7 d. 9 e. 11
5. Diketahui matriks A =
5 2
1 3
dan A2 = Ax + Iy
x , y bilangan real , I matriks identi tas dengan ordo 2 x 2 .Nilai x + y =...
a. – 1 b. – 3 c. 5 d. 11 e. 15
6. Jika
8
7
1 5
3 2
y
x
, maka nilai x2 + y2=…
a. 5 b. 9 c. 10 d. 13 e. 29
7. Jika matriks A =
3 2
4 1
, maka nilai x yang memenuhi
persamaan | A – x I | = 0 dengan I matriks satuan adalah...
a. 1 dan – 5 b. – 1 dan – 5 c. – 1 dan 5 d. – 5 dan 0 d. 1 dan 0
a.
18. Diketahui persamaan matriks
d.
e. – 2 , – 4 dan 2
29 Jika P = 5 ,
3 2 ,
3 2
1 6
Q y x t P dan
Q
Maka x – y =...
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8
30 Jika A =
1 4
3
0 2 1
dan At adalah transpos matriks A,
Maka baris pertama dari At A adalah...
a.
10 1 12
b.
10 1 12
c.
10 1 14
d.
10 1 12
e.
10 1 12
31. Jika
9
2
2 6
1 2
y x
maka 5x + 2y =...
a. – 3 2 1
b. – 3 c. – 2 2 1
d. 2 2 1
e. 3 2 1
32. Jika dua garis yang disajikan sebagai persamaan matriks
7 5
6 2
y x
b a
adalah sejajar , maka ab =...
a. – 12 b. – 3 c. 1 d. 3 e. 12
33. Jika x : y = 5 : 4 , maka x dan y yang memenhi Persamaan matriks
136010 5
25 30
5 4 1 10
2
x ya. x = 1 dan y = 5 4
b. x = 4 5
dan y = 1
c. x = 5 dan y = 4 d. x = – 10
e. x = 10 dan y = 8
34. Diketahui A =
3 4
1 2
. Nilai k yang memenuhi
Persamaan k . det At = det A-1 adalah...
a. 2 b. 1 4 1
c. 1 d. 2 1
e. 4 1
35. Hasil kali akar akar persamaan 0
2 1
3 1 3
x x
x
adalah...
a. 3 2 b.
3 4 c.
3 5 d.
3 2
e. 3 4
36 Invers matriks
cos sin
sin cos
adalah...
a.
cos sin
sin cos
b.
sin cos
cos sin
c.
cos sin
cos sin
d.
sin cos
sin cos
e.
cos sin
37. Jika diketahui A =
38. Diketahui persamaan matriks :
d.
38 18
27 11
e.
36 12
18 7
42. Diketahui matriks A =
x x x
4
2 2
dan
B =
3 3
4 6
x Bila det A = det B dan x1 dan x2
penyelesaian persamaan tersebut , maka
2 1 1 2
x x x x
=...
a. 457 b.447 c. 397 d.347 e.297
43. Matriks
b a a
a b a
tidak mempunyai invers jika...
a. a dan b sembarang b. a 0 , b 0 dan a = b c. a 0 , b 0 dan a = - b d. a = 0 dan b sembarang e. b = 0 dan a sembarang
44. Jika A =
3 2
0 1
dan I matriks satuan ordo 2 , maka
A2– 2 A + I =...
a.
4 0
0 4
b.
4 3
0 0
c.
4 3
0 1
d.
4 4
0 0
e.
4 4
0 2
2 1
0 0
3 4
1 2
1 2
2 1
d c
b a
adalah…
