definisi matriks, operasi dan invers matriks

MATRIKS BAB

3

K I K D Daftar Isi

DAFTAR

ISI

Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks

Intro

Kesamaan Dua Matriks Transpos Matriks

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Perkalian Bilangan Real (Skalar) dan Matriks

Persamaan Linear Matriks Invers Matriks 2 × 2

Perkalian Matriks

Determinan Matriks 2 × 2

Penggunaan Matriks dalam Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sebuah perusahaan mencatat hasil penjualan setiap bulan dari mobil jenis sedan dan minibus dari dua merek, yaitu merek A dan merek B. Pada bulan Januari, banyak sedan yang terjual adalah 5 unit merek A dan 7 unit merek B, sedangkan banyak minibus yang terjual adalah 9 unit merek A dan 2 unit merek B. Penulisan

masalah tersebut dalam bentuk tabel adalah sebagai berikut.

INTRO

K I K D Daftar Isi

Merek A Merek B

Sedan 5 7

Minibus 9 2

Jika kita mencatat angkanya saja, maka tabel tersebut dapat ditulis dalam bentuk berikut.

(

 ⁵9 ⁷2

)

Bentuk terakhir ini disebut dengan matriks.

Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks

K I K D Daftar Isi

Definisi 3.1

Matriks

Susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang disebut matriks.

Susunan bilangan tersebut diapit oleh tanda kurung ( ) atau [ ].

Contoh susunan bilangan dalam bentuk matriks:

atau

Baris pertama  

Baris kedua

kolom pertama

Kolom kedua

kolom ketiga

K I K D Daftar Isi

Beberapa contoh matriks dengan berbagai ukuran.

a. Matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut matriks kolom.

(

 −²7

)

b. Matriks yang hanya mempunyai satu baris disebut matriks baris.

c. Matriks yang mempunyai banyak kolom dan banyak baris yang sama disebut matriks persegi.

(

 

0 1 0 )

(

 ⁻5² −⁴2

)

Perhatikan matriks berikut.

K I K D Daftar Isi

(

 ⁻5^{2 1}0 ⁰7

)

Tentukan a₂₁ dan a₁₃.

Elemen pada baris kedua dan kolom pertama (a₂₁) adalah 5 dan elemen pada baris pertama dan kolom ketiga (a₁₃) adalah 0.

Pembahasan: ^a21

a₁₃

K I K D Daftar Isi

Diketahui tiga kota, yaitu Kota 1, 2, dan 3. Hubungan antarkota tersebut disajikan dalam gambar berikut.

Jika dari kota i ke kota j dihubungkan oleh jalan, maka elemen baris ke-i dan kolom ke-j sama dengan 1. Jika tidak dihubungkan dengan jalan, sama dengan nol. Sajikan hubungan ketiga kota tersebut dalam bentuk matriks.

•

1

•

2

•

³

Dari Kota Ke Kota

1 2 3

1 1 1 0

2 1 1 1

3 0 0 1

K I K D Daftar Isi

Pembahasan:

( ¿ )

  ^Hubungan

antarkota dalam matriks

Hubungan antarkota dalam tabel

1 1 0

  1

1 0

  0

1 1  

Diketahui sistem persamaan linear berikut.

 

K I K D Daftar Isi

Tuliskan koefisien-koefisien dalam sistem persamaan tersebut dalam bentuk matriks.

Pembahasan:

¿¿

¿   2

−  9

−3  6 4

−  10

Koefisien x Koefisien y Koefisien z

Persamaan (1) 2 –3 4

Persamaan (2) –9 6 –10

Transpos Matriks

K I K D Daftar Isi

Definisi 3.2

Transpos matriks

Misalkan matriks A berukuran m × n. Transpos dari matriks A adalah matriks baru berukuran n × m dan dituliskan dengan A^T. Elemen baris ke-i dari matriks baru ini berasal dari elemen

kolom ke-i dari matriks A.

Contoh: Elemen kolom pertama

matriks A menjadi elemen baris pertama pada matriks A^T

Elemen kolom kedua matriks A menjadi elemen baris kedua pada matriks A^T

A^T = 

 

5 9

 

7 2

 

Oleh karena ukuran baris pada matriks A sama dengan ukuran kolomnya, maka ukuran matriks A^T sama dengan ukuran matriks A

  A = 

A^T =   

  A = 

1 2

 

K I K D Daftar Isi

1. Tentukan transpos dari matriks berikut.

Pembahasan:

Transpos dari matriks A adalah:

Elemen kolom ke-i matriks A menjadi elemen baris ke-i pada matriks A^T

Ukuran matriks A^T adalah 4 × 2 Ukuran matriks A adalah 2 × 4

5 6

 

3 4

 

7 8

 

K I K D Daftar Isi

2. Tentukan transpos dari matriks berikut.

Pembahasan:

( 1 −3 9)

a.    

a.

(

 −³5

)

b.

b. ( 3 −5)

K I K D Daftar Isi

Untuk melatih kemampuan  pemahaman tentang pengertian,

notasi, ordo, dan transpos matriks 

Kerjakan Cek Poin dan Latihan  Pengembangan Kompetensi 

Halaman 70-73.

Kesamaan Dua Matriks

K I K D Daftar Isi

Definisi 3.3

Kesamaan dua matriks

Dua matriks A dan B disebut sama jika:

a. ukuran atau ordo kedua matriks sama dan b. elemen seletak juga sama.

Contoh: Ukuran kedua matriks

sama, yaitu 2 × 2

Elemen kedua matriks yang seletak juga sama.

=

=

= =

Jadi, matriks A = matriks B.

B =  A =   

 

K I K D Daftar Isi

Diketahui dua matriks berikut.

Pembahasan:

Tentukan a, b, c, dan d agar kedua matriks sama.

Ukuran kedua matriks sama. Agar kedua matriks sama, unsur yang seletak juga harus sama. Jadi, a = 0, b = 3, c = 4, dan d = –7.

  A =    B = 

(

⁵9 ⁷2

)

⁺

(

12^{3 13}5

)

⁼

(

^¿¿

)

 

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

K I K D Daftar Isi

Definisi 3.4

Penjumlahan dua matriks

Misalkan A dan B adalah dua matriks berukuran sama, yaitu m × n.

Jumlah matriks A dan B adalah matriks baru yang dinyatakan dengan A + B dan berukuran sama, yaitu m × n, dengan setiap

elemennya merupakan jumlah elemen seletak dari matriks A dan B.

Contoh:

   

7 + 13

 

2

 

+ 5 9

 

+ 12

5 + 3

 

K I K D Daftar Isi

Diketahui matriks-matriks berikut.

Pembahasan:

A = ,

    B = , dan

Tentukan hasil penjumlahan dua matriks yang mungkin.

A + B =  

  C =

Ukuran matriks A adalah 3 × 2

Ukuran matriks B adalah 3 × 2

Ukuran matriks C adalah 2 × 2

Oleh karena ukuran matrik C berbeda dengan ukuran matriks A dan B, maka penjumlahan dengan matriks C, yaitu A + B dan A + C tidak dapat dilakukan

K I K D Daftar Isi

1. Diketahui matriks:

Pembahasan:

  A =

Tentukan matriks O yang bersesuaian dengan matriks A.

Buktikan bahwa A + O = O + A = A.

A + O = = A  

  O =

Ukuran matriks A adalah 2 × 3

Oleh karena ukuran matrik A adalah 2 × 3, maka ukuran matriks O haruslah 2 × 3 juga.

O + A = = A  

Pembuktian A + O = O + A = A:

K I K D Daftar Isi

2. Diketahui tiga matriks berikut.

Pembahasan:

Tentukan nilai dari a, b, c, dan d sehingga A + B = O.

A + O =   

A = , dan O =   

2 + a = 0 –3 + b = 0 4 + c = 0 5 + d = 0

a = –2 b = 3

c = –4 d = –5

B  = 

(

⁻−²4 −³5

)

B  =   

(

⁻−²4 −³5

)

K I K D Daftar Isi

Definisi 3.5

Lawan terhadap penjumlahan dari matriks

Misalkan matriks A berukuran m × n. Lawan terhadap

penjumlahan atau negatif dari matriks A adalah matriks B yang berukuran sama, yaitu m × n, dengan elemen matriks B adalah lawan terhadap penjumlahan dari elemen matriks A yang

seletak.

Perhatikan bahwa

A + B = O = B + A

dengan O matriks berukuran m × n dengan semua elemennya sama adalah nol.

K I K D Daftar Isi

Diketahui matriks:

Pembahasan:

Tentukan lawan terhadap penjumlahan dari matriks A.

  A = 

Oleh karena matrik A

berukuran 2 × 3, maka lawan terhadap penjumlahan dari matriks A juga berukuran 2 × 3.

Oleh karena matrik A

berukuran 2 × 3, maka lawan terhadap penjumlahan dari matriks A juga berukuran 2 × 3.

Elemen-elemennya merupakan lawan terhadap penjumlahan dari matriks A,

Elemen-elemennya merupakan lawan terhadap penjumlahan dari matriks A,

A = A =   

K I K D Daftar Isi

Penjumlahan matriks

Misalkan matriks A, B, dan C berukuran m × n.

a. (A + B) + C = A + (B + C) disebut sifat asosiatif.

Berdasarkan sifat ini, kita dapat menuliskan A + B + C tanpa mempunyai arti ganda.

b. A + B = B + A disebut sifat komutatif. Berdasarkan sifat ini, kita dapat menukar urutan operasi.

c. Terdapat matriks O berukuran m × n dengan semua elemen sama dengan nol dan bersifat A + O = A.

d. Untuk setiap matriks A, terdapat matriks B dengan sifat A + B = O. Matriks B disebut lawan dari matriks A.

Matriks B ditulis sebagai –A.

Sifat 3.1

K I K D Daftar Isi

Tentukan matriks X yang memenuhi A + X = B jika:

  A =

Pembahasan:

X = B + (–A)   =

  =

  B = dan

Penyelesaian persamaan linear matriks

Misalkan matriks A dan B berukuran m × n. Penyelesaian dari persamaan matriks A + X = B adalah matriks:

X = B + (–A) = B – A Sifat 3.2

K I K D Daftar Isi

Untuk melatih kemampuan  pemahaman tentang kesamaan dua matriks, penjumlahan dan

pengurangan matriks

Kerjakan Cek Poin dan Latihan  Pengembangan Kompetensi 

Halaman 80-83.

Perkalian Bilangan Real (Skalar) dan Matriks

K I K D Daftar Isi

Definisi 3.6

Perkalian bilangan real dan matriks

Misalkan matriks A berukuran m × n dan c bilangan real. Hasil perkalian bilangan real c dengan matriks A, ditulis cA, adalah matriks berukuran m × n juga dengan setiap elemennya

diperoleh dari perkalian setiap elemen dari matriks A dengan c.

K I K D Daftar Isi

1. Diketahui matriks berikut.

Pembahasan:

  A = Tentukan:

a. 5A,

a. 5A = 5  

Angka 5 dikalikan dengan setiap elemen pada matriks A.

Angka 5 dikalikan dengan setiap elemen pada matriks A.

  10 15 = –25

20 10 25

K I K D Daftar Isi

Pembahasan:

b. cA dan dA, kemudian tunjukkan bahwa cA + dA = (c + d)A.

cA = dan d  

cA + d =  

  =

= (c + d)A

K I K D Daftar Isi

1. Diketahui A = dan B = .  

Pembahasan:

a. Tentukan matriks 2A, 3A, dan 6A. Apakah ketiga matriks tersebut memenuhi sifat 6A = 2(3A)?

a. 2A = , 3A = , dan 6A =  

2(3A) = = = 6A  

Jadi, sifat 6A = 2(3A) terpenuhi.

K I K D Daftar Isi

Pembahasan:

b. Tentukan matriks 5A. Jika 2A dan 3A pada soal (a), apakah ketiga matriks tersebut memenuhi sifat 2A + 3A = 5A?

b. 5A =  

2A + 3A =  

= = 5A  

Jadi, sifat 2A + 3A = 5A terpenuhi.

K I K D Daftar Isi

Pembahasan:

c. Tentukan matriks 2B. Jika 2A pada soal (a), apakah sifat 2(A + B) = 2A + 2B terpenuhi?

c. 2B =  

2(A + B) =  

= 2 =  

Jadi, sifat 2(A + B) = 2A + 2B terpenuhi.

2A + 2B =  

= = 2(A + B)  

K I K D Daftar Isi

Perkalian bilangan real dan matriks

Untuk matriks A dan B, serta bilangan real c dan d, berlaku:

a. (c + d)A = cA + dA b. c(dA) = (cd)A

c. c(A + B) = cA + cB d. 1A = A

Sifat 3.3

K I K D Daftar Isi

Diketahui matriks berikut.

Pembahasan:

Tentukan matriks X yang memenuhi 2A + 3X = B.

A = dan B =  

2A + 3X = B

3X = B + (–2A)   =

  =

  X =

Dengan membagi kedua ruas dengan , maka diperoleh:

 

K I K D Daftar Isi

Untuk melatih kemampuan  pemahaman tentang perkalian

bilangan bulat dan matriks

Kerjakan Cek Poin dan Latihan  Pengembangan Kompetensi 

Halaman 86-89.

Perkalian Matriks

K I K D Daftar Isi

1. Menghitung Perkalian Matriks

Definisi 3.7

Perkalian matriks khusus

Misalkan matriks A berukuran 1 × n dan B berukuran n × 1.

Hasil perkalian matriks AB didefinisikan sebagai matriks 1 × 1 dengan elemennya adalah:

AB =  

=   

Elemen AB merupakan jumlah dari perkalian elemen seletak dari A dan B.

K I K D Daftar Isi

Tentukan hasil kali dari setiap matriks berikut.

a. A = dan B =

    b. A = dan B =

Pembahasan:

a. AB =  

  =

b. AB =  

  =

K I K D Daftar Isi

Definisi 3.8

Perkalian matriks

Misalkan matriks A berukuran m × n dan B berukuran n × p.

Perkalian matriks A dan B, ditulis AB, adalah matriks berukuran m × p dengan elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks AB adalah hasil dari perkalian matriks baris ke-i matriks A dan matriks kolom ke-j matriks B.

K I K D Daftar Isi

Hasil perkalian matriks A berukuran m × n dan B berukuran n × p adalah matriks AB berukuran m × p.

(m × n) (n × p)

Definisi 3.8 diilustrasikan sebagai berikut:

(m × p)

Perkalian matriks A berukuran 3 × 3 dan B berukuran 3 × 2 adalah sebagai berikut.

¿¿

¿

(

^��� ^��h ^���

)

^×

(

^��� ^��^�

)

^=¿

 

��

 

+�� +�� ��

 

+�� +��

��

 

+ �� + ��

��

 

+h� +�� ��

 

+�� + ��

��

 

+h� +��

K I K D Daftar Isi

1. Tentukan (jika ada) ukuran hasil kali matriks A dan B jika ukuran matriks A dan B berturut-turut adalah sebagai berikut.

a. 2 × 3 dan 3 × 4 b. 3 × 4 dan 3 × 3 Pembahasan:

a. Banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B, yaitu 3. Hasil kali matriks AB ada dan berukuran 2 × 4.

b. Oleh karena banyak kolom matriks A tidak sama dengan banyak baris matriks B, maka perkalian matriks AB tidak dapat didefinisikan.

Hasil kali matriks AB ada jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.

K I K D Daftar Isi

c. 1 × 4 dan 4 × 1 d. 4 × 1 dan 1 × 4 Pembahasan:

c. Banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B, yaitu 4, Hasil kali matriks AB ada dan berukuran 1 × 1.

d. Banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B, yaitu 1, Hasil kali matriks AB ada dan berukuran 4 × 4.

K I K D Daftar Isi

2. Diketahui matriks berikut.

A = dan B =

Tentukan hasil kali matriks A dan B.

 

Pembahasan:

AB =  

� �

 

+��

��

 

+ ��

��

 

+ ��

  =   =

K I K D Daftar Isi

3. Diketahui matriks berikut.

A = dan B =

Misalkan C = AB, tentukan:

a. c₂₃ b. c₃₂  

Pembahasan:

AB =  

a. c₂₃ = 4 × (–1) + 1 × 1 + (–1) × 3 + 2 × (–3) = –12 1 × 1 + 3 × 2 + 0 × 3 + (–1) × 0 = 7

b. c₃₂ =

K I K D Daftar Isi

4. Diketahui matriks berikut.

A = dan B =

Tentukan matriks AB.

 

Pembahasan:

  =

AB =  

2 × 2 + 1 × 1

1 × 2 + (–3) × 1 1 × 3 + (–3) × (–1) 2 ×3 + 1 ×(–1)   =

K I K D Daftar Isi

Misalkan diketahui sistem persamaan linear:

Bentuk tersebut dapat dinyatakan dalam persamaan linear:

{ ax   + by   = p    cx + dy = q  

 

AX = B

dengan A = , X = , dan B = .  

K I K D Daftar Isi

Nyatakan setiap sistem persamaan linear berikut dalam bentuk matriks.

Pembahasan:

a. AX = B =  

a.

b.

 

b. AX = B =  

K I K D Daftar Isi

Untuk melatih kemampuan  pemahaman tentang perkalian

matriks

Kerjakan Cek Poin dan Latihan  Pengembangan Kompetensi 

Halaman 96-99.

Perkalian Matriks

K I K D Daftar Isi

2. Sifat Perkalian Matriks

1. Diketahui matriks-matriks berikut.

A = , B = , dan C =  

Tentukan:

a. BC dan A(BC) b. AB dan (AB)C

K I K D Daftar Isi

Pembahasan:

a. BC = =  

A(BC) =  =   

b. AB = =  

(AB)C == 

 

Dalam hal ini, berlaku (AB)C = A(BC).

K I K D Daftar Isi

2. Jika ada, tentukan matriks AB dan BA dari setiap pasangan matriks berikut. Lalu, buatlah kesimpulan dari hasil yang

diperoleh.

a. A = dan B =  

Pembahasan:

a. AB =  

BA =  

Dalam hal ini, berlaku AB ≠ BA.

K I K D Daftar Isi

b. A = dan B =  

Pembahasan:

b. AB =  

BA =  

Dalam hal ini, matriks AB dan BA terdefinisi, tetapi AB ≠ BA.

K I K D Daftar Isi

Diketahui matriks:

A =  

Pembahasan:

a. AI₃ =  

Jadi, AI₃ = A.

a. Tentukan AI₃ dengan I₃ =  

b. Tentukan AI₃ dengan I₂ =  

b. I₂A =

  Jadi, I₂A = A.

K I K D Daftar Isi

Matriks satuan (identitas)

Matriks satuan (identitas) adalah matriks persegi dengan elemen baris ke-i kolom ke-i (elemen diagonal) adalah 1 dan elemen lainnya adalah 0. Matriks satuan (identitas) dinyatakan dengan:

 

Elemen diagonal

K I K D Daftar Isi

Diketahui matriks berikut.

A = , B = , dan C =  

Pembahasan:

a. Tentukan A(B + C), AB, dan AC. Apakah berlaku sifat A(B + C) = AB + AC?

a. AB = =  

AC =  =   

K I K D Daftar Isi

A(B + C) =  

  =

AB + AC =  

  =

  =

Dengan demikian, ketiga matriks memenuhi sifat:

A(B + C) = AB + AC

A(B + C) = AB + AC

K I K D Daftar Isi

Pembahasan:

b. Tentukan (B + C)A, BA, dan CA. Apakah berlaku sifat (B + C)A = BA+ CA?

b. BA =  

CA = =  

  =

K I K D Daftar Isi

(B + C)A =  

  =

BA + CA =  

  =

Dengan demikian, ketiga matriks memenuhi sifat:

(B + C)A = BA+ CA

(B + C)A = BA+ CA

  =

K I K D Daftar Isi

Secara umum, sifat perkalian matriks dapat dituliskan sebagai berikut.

Operasi perkalian matriks

a. Sifat asosiatif (AB)C = A(BC) b. Matriks satuan (identitas)

• Untuk matriks A berukuran m × n, terdapat matriks satuan (identitas), yaitu I_n berukuran n × n, sehingga AI_n = A.

• Untuk matriks A berukuran m × n, terdapat matriks satuan (identitas), yaitu Im berukuran m × m, sehingga I_mA = A.

c. Sifat distributif A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA Sifat 3.4

K I K D Daftar Isi

Pembahasan:

Diketahui matriks berikut.

AB = =  

A = dan B =  

Perhatikan:

Untuk menghasilkan AB = O (perkalian matriks A dan matriks B sama dengan matriks nol), tidak harus salah satu dari

matriks (matriks A atau matriks B) merupakan matriks nol.

K I K D Daftar Isi

Untuk melatih kemampuan 

pemahaman tentang sifat perkalian matriks

Kerjakan Cek Poin dan Latihan  Pengembangan Kompetensi 

Halaman 104-107.

Perkalian Matriks

K I K D Daftar Isi

3. Matriks Persegi

1. Diketahui A = . Tentukan:

a. A² b. A³  

Pembahasan:

a. A² = =  

b. A³ = A²A = =  

K I K D Daftar Isi

2. Misalkan A = .

a. Tentukan A² dan A³.

b. Tuliskan rumus untuk Aⁿ dengan n bilangan asli, kemudian buktikan dengan menggunakan induksi matematika.

 

Pembahasan:

a. A² = =  

A³ = A²A = =  

3 × 2

3 × 3

b. Aⁿ =

Dugaan tersebut akan dibuktikan dengan induksi matematika.

  ^{3 × n}

K I K D Daftar Isi

Langkah 1

Untuk n = 1, maka A¹ = =  

Jadi, terbukti Aⁿ = Untuk n = 1  

Langkah 2

Asumsikan berlaku untuk n = k, maka A^k =.

 

Akan dibuktikan bentuk Aⁿ = berlaku untuk n = k + 1.

 

A^k+1 = A^kA =  

Jadi, terbukti Aⁿ = Untuk n = k + 1  

=  =   

K I K D Daftar Isi

2. Diketahui A = . Tentukan:

a. A² – 6A + 17I₂  

Pembahasan:

a. A² = =  

A² – 6A + 17I₂=  

  =

K I K D Daftar Isi

b. A³, dalam bentuk A dan I₂ Pembahasan:

b. Oleh karena A² – 6A + 17I₂ = O, maka A² = 6A + 17I₂ A³ = AA²

= A(6A + 17I₂)

=6A² – 17AI₂

= 6A² – 17A

= 6(6A – 17I₂) – 17A

= 36A – 102I₂ – 17A

= 19A – 102I₂

K I K D Daftar Isi

c. A⁴, dalam bentuk A dan I₂ Pembahasan:

c. A⁴ = AA³

= A(19A – 102I₂)

=19A² – 102AI₂

= 19(6A – 17I₂) – 102AI₂

= 114A – 323I₂ – 102AI₂

= 114A – 102A – 323I₂

= 12A – 323I₂

K I K D Daftar Isi

2. Diketahui A = . Tentukan fungsi suku banyak f(x) = x² + bx + c sehingga f(A) = A² + bA + cI₂ = O.

 

Pembahasan:

a. A² = =  

A² + bA + cI₂ = O A² = –bA – cI₂ = –b– c  

  =

• –b = 7 b = –7

• –2b – c = 1

Jadi, fungsi suku banyak tersebut adalah f(x) = x² – 7x + 13 –2(–7) – c = 1 c = 13

Untuk melatih kemampuan 

pemahaman tentang matriks persegi

Kerjakan Uji Kompetensi  Halaman 110-113.

K I K D Daftar Isi

Invers Matriks 2 × 2

K I K D Daftar Isi

Diketahui dua matriks berikut.

A = dan B = .

Tunjukkan bahwa AB = I₂ dan BA = I₂.  

Pembahasan:

AB = =  

BA = =  

Jadi, terbukti bahwa AB = I₂ dan BA = I₂.

K I K D Daftar Isi

Definisi 3.9

Invers matriks

Misalkan A matriks berukuran n × n. Matriks persegi B berukuran n × n disebut invers (kebalikan) matriks A jika BA = AB = I_n.

Invers matriks 2 × 2

Misalkan matriks A = . Jika ad – bc ≠ 0, maka A mempunyai invers, yaitu:

A^–1 =   Sifat 3.5

K I K D Daftar Isi

Jika ada, tentukan invers dari setiap matriks berikut.

a. A = b. A =  

Pembahasan:

A^–1 =  

a. ad – bc = 8(1) – 3(2) = 2

= =  

b. ad – bc = 2(4) – 1(8) = 0

Oleh karena ad – bc = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers.

K I K D Daftar Isi

c. A =  

Pembahasan:

A^–1 =  

c. ad – bc = 3(7) – 0(0) = 21

= =  

K I K D Daftar Isi

1. Misalkan A = . Tentukan A^–2, A^–3, dan A^–n dengan n bilangan asli.

 

Pembahasan:

A^–1 = =  

ad – bc = 1(1) – 3(0) = 1

A^–2 = = =  

A^–3 = =  

A^–n = =  

K I K D Daftar Isi

2. Diketahui matriks A = .

Dapat diuji bahwa A² – 6A – I₂ = O. Tentukan A^–1 tanpa menggunakan Sifat 3.5.

 

Pembahasan:

A² – 6A – I₂ = O A^–1 A² – 6A^–1 A – A^–1 = O

A – 6I₂ – A^–1 = O

–A^–1 = 6I₂ – A

= 6 –

= A^–1 =  

Dikalikan dengan A^–1

Untuk melatih kemampuan  pemahaman tentang Memahami

invers matriks 2 × 2

Kerjakan Uji Kompetensi  Halaman 117-120.

K I K D Daftar Isi

K I K D Daftar Isi

Definisi 3.10

Determinan matriks 2 × 2

Misalkan matriks A = . Bilangan ad – bc disebut determinan matriks A dan dinyatakan dengan:

det (A) = = ad – bc  

Definisi 3.11

Matriks singular

Matriks A berukuran 2 × 2 disebut singular jika det (A) = 0.

Jika det (A) ≠ 0, maka matriks A disebut matriks tak singular.

Determinan Matriks 2 × 2

K I K D Daftar Isi

Tentukan determinan dari setiap matriks berikut.

a. A = b. B = c. I₂ =  

Pembahasan:

a. det (A) = ad – bc = 2(7) – 5(1) = 9 b. det (B) = ad – bc = 2(6) – 3(4) = 0 c. det (I₂) = ad – bc = 1(1) – 0(0) = 1

K I K D Daftar Isi

Misalkan A = dan B = , maka:

Bukt:  

det (AB) =

= axdw + bzcy – aydz – bwcx

= (ad – bc)(xw – zy)

= det (A) det (B)  

AB = =  

Determinan perkalian matriks

Misalkan A dan B dua matriks berukuran 2 × 2, maka:

det (AB) = det (A) × det (B) Sifat 3.6

K I K D Daftar Isi

Sifat 3.7 berlaku juga untuk sebaliknya. Dengan demikian, Matriks A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) ≠ 0.

Hubungan antara matriks yang mempunyai invers dan determinannya

Misalkan A matriks berukuran 2 × 2. Jika A mempunyai invers, maka det (A) ≠ 0.

Sifat 3.7

K I K D Daftar Isi

1. Misalkan A matriks 2 × 2 dengan det (A) = k. Tentukan det (A²).

2. Tentukan k agar A = mempunyai invers.

 

Pembahasan:

1. det (A²) = det (A) × det (A)

= k × k = k²

2. Berdasarkan Sifat 3.7, matriks A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) ≠ 0.

3· 4 + 2· k ≠ 0 12 + 2k ≠ 0

2k ≠ –12 k ≠ –6

Jadi, agar matriks A mempunyai invers, nilai k ≠ –6.

Untuk melatih kemampuan  pemahaman tentang Memahami

determinan matriks 2 × 2

Kerjakan Uji Kompetensi  Halaman 122-125.

K I K D Daftar Isi

K I K D Daftar Isi

Persamaan Linear Matriks

Misalkan A matriks berukuran 2 × 2, B matriks berukuran 2 × 1 atau 2 × 2, dan X matriks berukuran 2 × 1 atau 2 × 2 (bergantung pada matriks B) sehingga AX = B. Jika A mempunyai invers, maka matriks X dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.

AX = B A^–1(AX) = A^–1B (A^–1A)X = A^–1B I₂X = A^–1B X = A^–1B

sifat asosiatif A^–1A = I₂ I₂X = X

Kalikan kedua ruas dengan A^–1 dari sebelah kiri

K I K D Daftar Isi

Diketahui A = dan B = . Tentukan X = jika AX = B.

 

Pembahasan:

A^–1 = =  

X = A^–1B =  =   

K I K D Daftar Isi

Misalkan A matriks berukuran 2 × 2, B matriks berukuran 1 × 2 atau 2 × 2, dan X matriks berukuran 1 × 2 atau 2 × 2 (bergantung pada matriks B) sehingga XA = B. Jika A mempunyai invers, maka matriks X dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.

XA = B (XA)A^–1 = BA^–1 X(AA^–1) = BA^–1 XI₂ = BA^–1 X = BA^–1

sifat asosiatif AA^–1 = I₂ XI₂ = X

Kalikan kedua ruas dengan A^–1 dari sebelah kanan

K I K D Daftar Isi

1. Diketahui A = dan B = . Jika XA = B, tentukan X = .  

Pembahasan:

A^–1 = =  

X = BA^–1 = =  

K I K D Daftar Isi

2. Misalkan A = , B = , dan C = . Tentukan matriks X berukuran 2 × 2 sehingga AXB = C.

 

Pembahasan:

AXB = C A^–1(AXB) = A^–1C (A^–1A)XB = A^–1C I₂XB = A^–1C XB = A^–1C (XB)B^–1 = A^–1CB^–1

X(BB^–1) = A^–1CB^–1 XI₂ = A^–1CB^–1 X = A^–1CB^–1

Sifat asosiatif

A^–1A = I₂ I₂XB = XB

Kalikan kedua ruas dengan A^–1 dari sebelah kiri

Sifat asosiatif

BB^–1 = I₂ XI₂ = X

Kalikan kedua ruas dengan B^–1 dari sebelah kanan

K I K D Daftar Isi

Substitusikan nilai A^–1, B^–1, dan C ke persamaan X = A^–1CB^–1, maka diperoleh:

A^–1 = =  

B^–1 = =  

X =

= =  

K I K D Daftar Isi

1. Diketahui A = dan B = . Buktikan bahwa matriks X = merupakan penyelesaian AX = B.

 

Pembahasan:

AX = = = = B  

Perhatikan:

det (A) = 1(6) – 3(2) = 0. Hal ini menunjukkan bahwa jika matriks A tidak mempunyai invers, maka tidak berarti bahwa persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

Perhatikan bahwa bentuk persamaan (2) bertentangan dengan persamaan (1), yaitu 1 ≠ . Jadi, AX = B tidak mempunyai

penyelesaian.

  K I

K D Daftar Isi

2. Diketahui A = dan B = . Buktikan bahwa persamaan AX = B tidak mempunyai penyelesaian.

 

Pembahasan:

AX = B

Dari persamaan tersebut, diperoleh:

(1) x + 3y = 1

(2) 2x + 6y = 3  x + 3y =    =

=  

Untuk melatih kemampuan  pemahaman tentang Memahami

persamaan linear matriks

Kerjakan Uji Kompetensi  Halaman 128-131.

K I K D Daftar Isi

K I K D Daftar Isi

Penggunaan Matriks dalam Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Langkah-langkah menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel menggunakan matriks:

1. Ubah sistem persamaan linear dua variable menjadi persamaan linear matriks.

2. Selesaikan persamaan linear matriks tersebut. Terdapat dua cara untuk menyelesaikan persamaan linear matriks, yaitu:

a. Menggunakan matriks invers.

b. Menggunakan rumus Cramer.

K I K D Daftar Isi

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan menggunakan matriks.

 

Pembahasan:

A = , X = , dan B =  

det (A) = 2 · 5 – (–4) (–3) = –2 ≠ 0 X = A^–1B

=

=  

Jadi, x = –14 dan y = –11.

K I K D Daftar Isi

dan  

Rumus Cramer

Misalkan diketahui sistem persamaan linear berikut.

Jika det = ad – bc ≠ 0, maka:

  Sifat 3.8

K I K D Daftar Isi

Diketahui sistem persamaan berikut.

Dengan menggunakan matriks, tentukan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.

 

Pembahasan:

A = , X = , dan B =  

Jadi, x = dan y = .  

 

     

K I K D Daftar Isi

Diketahui sistem persamaan berikut.

Ada tiga kemungkinan kedudukan dua garis:

 

a. Berpotongan di satu titik atau sistem persamaan mempunyai satu penyelesaian.

O X

Y

(x, y)

•

ax + by = p cx + dy = q

Titik potong det = ad – bc ≠ 0 

K I K D Daftar Isi

b. Sejajar atau tidak ada pasangan (x, y) yang memenuhi sistem persamaan.

O X

Y ax + by = p

cx + dy = q

det = ad – bc = 0  

det = pd – bq ≠ 0 atau det = aq – cp ≠ 0

 

c. Berimpit atau banyak pasangan (x, y) yang memenuhi sistem persamaan.

O X

Y

ax + by = p cx + dy = q

det = ad – bc = 0  

det = pd – bq = 0 dan det = aq – cp = 0

 

K I K D Daftar Isi

Tentukan kedudukan setiap pasangan garis berikut.

a.

b.

 

Pembahasan:

a. det = –18 + 18 = 0  

det = –45 + 45 = 0  

b. det = –18 + 18 = 0  

det = –45 + 45 = 0  

kedua garis berimpit.

kedua garis sejajar.

Untuk melatih kemampuan  pemahaman tentang Memahami

penggunaan matriks dalam menyelesaikan sistem persamaan

linear dua variabel

Kerjakan Uji Kompetensi  Halaman 136-138.

K I K D Daftar Isi

Untuk melatih kemampuan  pemahaman tentang Memahami pengertian, notasi, ordo, transpos,

kesamaan dua matriks, operasi, invers, determinan, persamaan

linear pada matriks, serta penggunaan matriks dalam menyelesaikan sistem persamaan

linear dua variabel

Kerjakan Uji Kompetensi  Halaman 138-144.

K I K D Daftar Isi

Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

KI 1

Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif, dan pro-aktif

sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

KI 2

KI 3

Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

KI 4

K I K D Daftar Isi

Menjelaskan matriks dan kesamaan matriks dengan

menggunakan masalah kontekstual dan melakukan operasi pada matriks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian, serta transpose

Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear dua variabel

KD 4.3 KD 3.3

K I K D Daftar Isi

Menganalisis sifat-sifat determinan dan invers matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3

KD 3.4

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan determinan dan invers matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3

KD 4.4