MATERI 5 MATRIKS INVERS

MATERI 5

MATRIKS INVERS

5.0. Capaian Pembelajaran

Setelah mempelajari bab ini, diharapkan mahasiswa dapat:

(1) mencari invers matriks persegi nonsingular dengan matriks adjoint (2) menjelaskan sifat-sifat matriks invers

(3) mencari invers matriks persegi nonsingular dengan OBE (4) mencari invers matriks persegi nonsingular dengan partisi (5) mencari invers kiri dan invers kanan dari matriks

(6) mencari matriks invers tergeneralisasi dari matriks (7) mencari matriks re-invers tergeneralisasi dari matriks

5.1. Invers dengan Matriks Adjoint

Dari pembahasan pada subbab 2.3, telah diketahui bahwa jika matriks persegi A = (aij) berdimensi n adalah invertibel (nonsingular), maka ada matriks A^-1, yang disebut sebagai matriks invers A, sedemikian hingga berlaku hubungan:

A A^-1 = A^-1 A = I (5.1)

Permasalahannya sekarang, bagaimanakah mendapatkan matriks A^-1?. Jika A merupakan matriks persegi berdimensi 2, dengan memakai hubungan kesamaan matriks (5.1), matriks A^-1 masih mudah dicari, tetapi bagaimana kalau A berdimensi lebih besar ? Secara teori, memakai hubungan kesamaan (5.1) untuk mencari A^-1 memang bisa dilakukan, tetapi sangat tidak efisien jika matriks persegi A berdimensi besar. Untuk itu perlu dicari cara yang lebih mudah dan efisien untuk mencari matriks invers.

Di sisi lain pada pembahasan subab 3.4, untuk setiap matriks persegi A = (aij) berdimensi n, ada adjoint matriks A, ditulis dengan adj(A), sedemikian hingga berlaku hubungan :

A adj(A) = adj(A) A = A I atau A A

A) ( adj =

A A) (

adj A = I (5.2)

dengan A  0.

Dari hubungan persamaan (5.1) dan (5.2) dapat disimpulkan bahwa:

A^-1 = A

A) (

adj ; dengan A  0.

Dengan demikian jelas bahwa suatu matriks persegi akan mempunyai invers jika determinan dari matriks tersebut tidak sama dengan nol, atau dengan kata lain matriks tersebut nonsingular. Di samping itu, memperhatikan hubungan (5.1) invers matriks persegi yang nonsingular ini harus merupakan matriks yang komutatif terhadap matriks A.

Teorema 5.1

Jika matriks persegi A nonsingular, maka A^-1 = A

A) ( adj

Contoh 5.1:

Diketahui matriks A = 



 

 



 d c

b

g a . Carilah invers dari matriks A!

Solusi :

Dicari dulu adjoint dari matriks A, yaitu : A11 = M11 = d A12 = - M12 = - c A21 = - M21 = -b A22 = M22 = a adj(A) = 

 





22 12

21 11

A A

A

A = 



 





−

− a c

b d

A = a11 A11 + a12 A12 = ad + b(-c) = ad – bc A^-1 =

A A) (

adj = ¹

ad−bc 



 





−

− a c

b d

Contoh 5.2:

Diketahui matriks B =

















−

−

−

4 2 1

1 3 4

4 3 2

. Carilah B^-1 !

Solusi :

B11 = M11 = ^{3 1}

2 4

−

− = - 10 B23 = - M23 = - ^{2 3} 1 2

− = - 7

B12 = - M12 = - 4 1

1 4

−

− = 15 B31 = M31 = ⁻

− 3 4

3 1 = - 15 B13 = M13 =

2 1

3

4 = 5 B32 = - M32 = -

1 4

4 2

− = 18

B21 = - M21 = - ⁻

− 3 4

2 4 = - 4 B33 = M33 =

3 4

3

2 −

= 18

B22 = M22 =

4 1

4 2

− = - 12

adj(B) =

























33 23 13

32 22 12

31 21 11

B B B

B B B

B B B

gg =

























−

−

−

−

−

18 7 5

18 12 15

15 4 10 g

B = b11 B11 + b12 B12 + b13 B13 = 2 (-10) - 3 (15) + 4 (5) = - 45

Jadi B^-1 = B

B) (

adj = - ¹ 45





















−

−

−

−

−

18 7 5

18 12 15

15 4 10 g

Untuk matriks persegi A yang mempunyai invers disebut invertibel. Pernyataan- pernyataan berikut ini ekivalen:

(1) Jika matriks persegi A invertibel, maka A nonsingular.

(2) Jika matriks persegi A nonsingular, maka A mempunyai rank penuh.

(3) Jika determinan matriks persegi A tidak nol, maka A invertibel.

Latihan 5.1

Carilah invers dari matriks berikut ini, jika matriksnya invertibel :

1. (a). A =

















−

1 1 0

3 1 1

2 0 1

(b). B =

























−1 2 0

8 0 4

4 0 4

g (c).C =

















4 1 4

2 3 3

1 4 2

2. Diketahui matriks A =

























10 8 7

6 5 4

3 2 1

gg . Carilah :

(a). adj(A) (b). det(A) (c). A^-1 (d). det(A^-1)

(e). apa yang dapat disimpulkan dari det(A) dan det(A^-1) ?

3. Diketahui matriks segitiga bawah B =

























−

2 1 4

0 3 2

0 0 1

g . Carilah B^-1 ! Matriks apakah B^-1 tersebut

?

4. Andaikan matriks persegi A adalah matriks invertible. Apakah (adj(A))^-1 = adj(A^-1) ?

5. Pilihlah sembarang matriks persegi A yang simetri. Kemudian cari A^-1. Apakah A^-1 juga matriks simetri ?

6. Tunjukan bahwa matriks A =

















−

−

−

−

−

3 2 1

4 3 1

4 2 2

merupakan matriks idempotent. Apakah matriks

A^-1 ada?. Jika ada, apakah A^-1 juga idempoten ?

5.2. Sifat-sifat Matriks Invers

Telah diketahui bahwa bila matriks persegi A = (aij) berdimensi n adalah nonsingular, maka matriks A ini mempunyai invers, yang dinotasikan dengan A^-1. Matriks invers ini adalah komutatif.

Artinya, berlaku hubungan A A^-1 = A^-1 A = I. Berikut ini adalah beberapa sifat dari matriks invers.

(1) Matriks invers (jika ada) adalah tunggal (uniqe) Bukti :

Andaikan B dan C adalah invers dari matriks A, maka berlaku : AB = BA = I, dan juga

AC = CA = I

Tetapi untuk : BAC = B(AC) = BI = B (5.3)

BAC = (BA)C = IC = C (5.4)

Dari (5.3) dan (5.4) haruslah B = C.

(2) Invers dari matriks invers adalah matriks itu sendiri.

Bukti :

Andaikan matriks C = A^-1, berarti berlaku :

AC = CA = I (5.5)

Tetapi juga berlaku C C^-1 = C^-1 C = I (5.6) Dari (5.5) dan (5.6) berarti :

C^-1 = A (A^-1)^-1 = A.

(3) Matriks invers bersifat nonsingular (determinannya tidak nol) Bukti :

det(A A^-1) = det(A) det(A^-1) det(I) = det(A) det(A^-1)

1 = det(A) det(A^-1) ; karena det(A)  0 , maka : det(A^-1) =

) det(

1

A , ini berarti bahwa det(A^-1) adalah tidak nol dan kebalikan dari det(A).

(4) Jika A = (aij) dan B = (bij) masing-masing adalah matriks persegi berdimensi n, dan berturut- turut A^-1 dan B^-1 adalah invers dari A dan B, maka berlaku hubungan: (AB)^-1 = B^-1 A^-1 Bukti :

(AB) (AB)^-1= (AB)^-1 (AB) = I (5.7)

di sisi lain :

(AB) (B^-1 A^-1) = A(BB^-1) A^-1 = A I A^-1 = A A^-1 = I

(B^-1A^-1)(AB) = B^-1(A^-1A)B = B^-1 I B = B^-1 B = I (5.8)

Menurut sifat (1) di atas matriks invers bersifat uniqe (tunggal), karena itu dari (5.7) dan (5.8) dapat disimpulkan (AB)^-1 = B^-1 A^-1 .

(5) Jika matriks persegi A = (aij) berdimensi n adalah non singular, maka berlaku (A^T)^-1 = (A^-1)^T . Bukti :

Menurut sifat determinan: A^T = A  0, oleh sebab itu (A^T)^-1 ada, dan haruslah :

(A^T)^-1 A^T = A^T (A^T)^-1 = I (5.9)

Di sisi lain menurut sifat transpose matriks : (A A^-1)^T = (A^-1)^T A^T

I^T = (A^-1)^T A^T

(A^-1)^T A^T = I, hubungan ini berarti bahwa (A^-1)^T adalah juga invers dari A^T . Padahal invers matriks bersifat tunggal, oleh karena itu memperhatikan (5.9), haruslah :

(A^-1)^T = (A^T)^-1 .

(6) Untuk semua matriks identitas, In = I ⁻_n¹ Bukti :

Karena In In = In , berarti In = I⁻_n¹ (7) Jika D = diag(aii), maka D^-1 = diag(

aii

1 ). Artinya invers dari matriks diagonal adalah matriks diagonal juga dengan unsur diagonal kebalikan dari matriks diagonal asal.

Latihan 5.2

1. Diketahui matriks A =

























−

−

1 0 1

1 1 0

0 2 1

gg dan B =

















−

3 3 2

1 1 1

1 0 1

. Carilah :

(a). AB (b). (AB)^-1 (c). A^-1 (d) B^-1 (e). apakah (AB)^-1 = B^-1 A^-1 ? 2. Diketahui matriks D = 



 





− 5 0

0

2 . Carilah D^-1 !

3. Andaikan A dan B merupakan matriks nonsingular dan commute, buktikan bahwa:

(a). A^-1 dan B commute (b). A dan B^-1 commute (c). A^-1 dan B^-1 commute

5.3. Matriks Invers dengan Operasi Baris Elementer

Pada pembahasan Bab 4, khususnya subbab 4.3 dan subbab 4.4, telah diketahui bahwa untuk matriks persegi A = (aij) berdimensi n yang nonsingular pasti ekivalen baris dengan matriks In = N (bentuk normal). Dengan demikian pasti ada matriks elementer Ei sedemikian hingga berlaku:

Ek Ek-1 Ek-2 ... E3 E2 E1 A = I (5.10) Jika P = Ek Ek-1 Ek-2 ... E3 E2 E1, maka hubungan (5.10) menjadi:

P A = I. Karena Ei nonsingular, maka P juga nonsingular; sehingga P^-1 ada. Jadi :

P^-1 P A = P^-1 I I A = P^-1 A = P^-1

Karena A merupakan matriks nonsingular, maka A^-1 tentu ada, sehingga:

A^-1 = (P^-1)^-1 A^-1 = P

Jadi A^-1 = Ek Ek-1 Ek-2 ... E3 E2 E1 (5.11)

Hal ini berarti mencari invers matriks A dapat dilakukan dengan melakukan perkalian matriks elementer Ei . Di dalam Bab 4 juga telah diketahui bahwa secara teknis hasil kali Ek Ek-1 Ek-2 ...

E3 E2 E1 = P bisa disederhanakan dengan jalan melakukan operasi baris elementer terhadap matriks I, hal ini karena :

Ek Ek-1 Ek-2 ... E3 E2 E1 I = P I = P, di sisi lain,

Ek Ek-1 Ek-2 ... E3 E2 E1 I = Hk Hk-1 Hk-2 ... H3 H2 H1(I); jadi:

P = Hk Hk-1 Hk-2 ... H3 H2 H1(I)

Di dalam teknis pengerjaan untuk mendapatkan matriks invers, matriks A digandeng di belakangnya dengan matriks I yang sesuai, kemudian dilakukan OBE untuk mereduksi matriks A menjadi matriks I, secara otomatis matriks I akan tereduksi menjadi matriks P = A^-1. Hal ini dapat digambarkan sebagai berikut.

(A | I)

~

H (I | A^-1) (5.12)

Contoh 5.3:

Carilah invers matriks A =

























−

−

−

1 0 1

1 1 0

2 1 1

g dengan OBE !

Solusi :

(A|I3)=

















−

−

−

1 0 0 1

0 1

0 1 0 1 1 0

0 0 1 2

1 1

~ H₃₁₍₁₎

















−

−

−

−

1 0 1 3

1 0

0 1 0 1 1 0

0 0 1 2

1 1

~ H₃₂₍₁₎

























−

−

−

1 1 1 2 0 0

0 1 0 1 1 0

0 0 1 2 1 1

g ~

H3(₂¹)

























−

−

−

2 1 2 1 2

1 1

0 0

0 1 0 1 1 0

0 0 1 2 1 1

g ~

H₂₃₍₁₎























− −

2 1 2 1 2 1

2 1 2 3 2 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1 2 1 1

g ~

H₁₂₍₁₎















−

2 1 2 1 2 1

2 1 2 3 2 1

2 1 2 3 2 3

1 0 0

0 1 0

2 0 1

~ H_13(-2)























− −

2 1 2 1 2 1

2 1 2 3 2 1

2 1 2 1 2 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

g ~

H_1(-1)























 − −

2 1 2 1 2 1

2 1 2 3 2 1

2 1 2 1 2 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

g =(I |A^-1)

Jadi A^-1 =















− −

2 1 2 1 2 1

2 1 2 3 2 1

2 1 2 1 2 1

Contoh 5.4:

Dengan OBE carilah invers dari matriks B =

1 2 1 1

1 0 0 1

1 2 1 0

2 1 0 1

−

−

−

−

















Solusi :

(B|I4)=

1 2 1 1 1 0 0 0

1 0 0 1 0 1 0 0

1 2 1 0 0 0 1 0

2 1 0 1 0 0 0 1

−

−

−

−

















~ H_21(-1)





















−

−

−

−

−

−

1 0 0 0 1 0 1 2

0 1 0 0 0 1 2 1

0 0 1 1 0 1 2 0

0 0 0 1 1 1 2 1

~ H₃₁₍₁₎





















−

−

−

−

−

−

1 0 0 0 1 0 1 2

0 1 0 1 1 2 4 0

0 0 1 1 0 1 2 0

0 0 0 1 1 1 2 1

~ H₄₁₍₂₎





















−

−

−

−

−

−

1 0 0 2 1 2 5 0

0 1 0 1 1 2 4 0

0 0 1 1 0

1 2 0

0 0 0 1 1 1 2 1

~ H_43(-1)





















−

−

−

−

−

−

1 1 0 1 0 0 1 0

0 1 0 1 1 2 4 0

0 0 1 1 0 1 2 0

0 0 0 1 1 1 2 1

~ H₄₂





















−

−

−

−

−

−

0 0 1 1 0 1 2 0

0 1 0 1 1 2 4 0

1 1 0 1 0 0 1 0

0 0 0 1 1 1 2 1

~ H₃₄₍₂₎





















−

−

−

−

−

−

−

0 0 1 1 0 1 2 0

0 1 2 1 1 0 0 0

1 1 0 1 0 0 1 0

0 0 0 1 1 1 2 1

~ H₃₄





















−

−

−

−

−

−

−

0 1 2 1 1 0 0 0

0 0 1 1 0 1 2 0

1 1 0 1 0 0 1 0

0 0 0 1 1 1 2 1

~ H_4(-1)





















−

−

−

−

−

−

−

0 1 2 1 1 0 0 0

0 0 1 1 0 1 2 0

1 1 0 1 0 0 1 0

0 0 0 1 1 1 2 1

~ H₃₂₍₂₎





















−

−

−

−

−

−

0 1 2 1 1 0 0 0

2 2 1 1 0 1 0 0

1 1 0 1 0 0 1 0

0 0 0 1 1 1 2 1

~ H_3(-1)





















−

−

−

−

−

−

−

0 1 2 1 1 0 0 0

2 2 1 1 0 1 0 0

1 1 0 1 0 0 1 0

0 0 0 1 1 1 2 1

~ H₁₄₍₁₎





















−

−

−

−

−

−

−

−

0 1 2 1 1 0 0 0

2 2 1 1 0 1 0 0

1 1 0 1 0 0 1 0

0 1 2 2 0 1 2 1

~ H_13(-1)





















−

−

−

−

−

−

−

−

0 1 2 1 1 0 0 0

2 2 1 1 0 1 0 0

1 1 0 1 0 0 1 0

2 3 1 3 0 0 2 1

~ H_12(-2)





















−

−

−

−

−

−

−

−

0 1 2 1 1 0 0 0

2 2 1 1 0 1 0 0

1 1 0 1 0 0 1 0

0 1 1 1 0 0 0 1

= (I | B^-1)

Jadi B^-1 =

1 1 1 0

1 0 1 1

1 1 2 2

1 2 1 0

− −

−

− − −

− −

















Latihan 5.3

Dengan OBE, carilah invers dari matriks-matriks di bawah ini !

1. (a). C =

2 3 4 4 3 1 1 2 4















 (b). D =

1 3 3 1 4 3 1 3 4

















2. (a). H =





















8 4 2 1

0 4 2 1

0 0 2 1

0 0 0 1

(b). K =





















k k k k

0 0 0

1 0

0

0 1 0

0 0 1

, dengan k ≠ 0.

3. Matriks C dan D adalah matriks-matriks dari soal no. 2, serta E =

1 1 0

1 2 1

1 1 1

−

−















. Carilah : (a). E^-1 (b). (CD)^-1 (c). (CDE)^-1

4. Tentukan invers kanan atau invers kiri (jika ada) dari matriks A =

1 1 1

3 4 3

2 1 5

3 3 4















 !

5.4. Matriks Invers dengan Partisi

Pada pembahasan di Bab 1 telah diketahui bahwa untuk memudahkan operasi perkalian matriks yang berdimensi besar, bisa dilakukan penyekatan atau partisi dari matriks sehingga menjadi submatriks yang lebih kecil dimensinya. Di samping itu penyekatan atau partisi dari matriks diharapkan menghasilkan submatriks-submatriks yang istimewa, misalnya submatriks nol, submatriks identitas, atau submatriks skalar, atau yang lain. Sebab submatriks-submatriks yang istimewa ini mempunyai kekhasan di dalam operasi matriks. Di samping itu kaitannya dengan matriks invers, submatriks yang istimewa juga mempunyai keistimewaan dalam hal inversnya.

Pembahasan kali ini akan mengkaji mencari matriks invers dari suatu matriks yang sudah dilakukan partisi. Teorema 5.2 menunjukkan cara mendapatkan matriks invers dengan partisi.

Teorema 5.2

Andaikan matriks A = (aij) berdimensi n mempunyai invers matriks B = (bij) yang masing- masing dapat dilakukan partisi sebagai berikut.

A = A pxp

A pxq A

qxp A qxq

11 12

21 22

( ) ( )

( ) ( )

















, dan B =

















) ( ) (

) ( ) (

22 21

12 11

qxq B qxp B

pxq B pxp B

, di mana p + q = n.

Hubungan antara matriks B dan A adalah:

• B11 = A + (₁₁⁻¹ A A₁₁⁻¹ 12) D^-1 (A21 A ) ₁₁⁻¹

• B12 = - (A A₁₁⁻¹ 12 ) D^-1

• B21 = - D^-1 (A21 A ) ₁₁⁻¹

• B22 = D^-1

di mana D = A22 – A21 (A A₁₁⁻¹ 12)

Supaya Teorema 5.2 tersebut dapat digunakan, di dalam melakukan partisi biasanya A11 diambil berdimensi (n-1) atau partisi yang menyebabkan A mudah dicari dan submatriks yang lain ₁₁⁻¹ mempunyai bentuk yang istimewa. Yang perlu diingat untuk A11 yang terpenting harus nonsingular, sebab perlu A untuk pengerjaan berikutnya sesuai hubungan pada Teorema 5.2 ₁₁⁻¹ tersebut. Sedangkan mencari A dapat dilakukan menggunakan matriks adjoint atau ₁₁⁻¹ menggunakan OBE.

Hubungan antara matriks B dan A pada Teorema 5.2 tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut. Karena B adalah invers dari A, maka harus berlaku AB = BA = In.

Untuk AB = I = ^{A A}

A A

11 12

21 22



 

 



 





22 21

12 11

B B

B B

AB = ^{A B A B A B A B}

A B A B A B A B

11 11 12 21 11 12 12 22

21 11 22 21 21 12 22 22

+ +

+ +



 

 = 



 





q p

I I

0

0 (5.13)

Untuk BA = I = 

 





22 21

12 11

B B

B

B A A

A A

11 12

21 22



 



BA = 



 





+ +

+ +

22 22 12 21 21 22 11 21

22 12 12 11 21 12 11 11

A B A B A B A B

A B A B A B A

B = 



 





q p

I I

0

0 (5.14)

Memperhatikan kesamaan matriks, dari (5.13) diambil:

(i) A11 B11 + A12 B21 = Ip

(ii) A11 B12 + A12 B22 = 0 Sedangkan dari (5.14) diambil:

(iii) B21 A11 + B22 A21 = 0 (iv) B21 A12 + B22 A22 = Iq

Dari (i), (ii), (iii), dan (iv) tersebut dicari nilai B11, B12, B21, dan B22.

Andaikan B22 = D^-1, kemudian disubtitusikan pada (ii) diperoleh : A11 B12 + A12 B22 = 0

A11 B12 + A12 D^-1 = 0 A11 B12 = - A12 D^-1

1 11

A A− 11 B12 = - A A₁₁⁻¹ 12 D^-1 I B12 = - A A₁₁⁻¹ 12 D^-1

B12 = - (A A₁₁⁻¹ 12 ) D^-1 Dari persamaan (iii) :

B21 A11 + B22 A21 = 0 B21 A11 + D^-1A21 = 0 B21 A11 = - D^-1A21

B21 = - D^-1(A21 A ) ₁₁⁻¹ Dari persamaan (i) :

A11 B11 + A12 B21 = Ip

A11 B11 – A12 D^-1(A21 A )₁₁⁻¹ = Ip

A11 B11 = Ip + A12 D^-1(A21 A ) ₁₁⁻¹ B11 = A I₁₁⁻¹ p + A A₁₁⁻¹ 12 D^-1(A21 A ) ₁₁⁻¹

B11 = A + (₁₁⁻¹ A A₁₁^{−1 12} ) D^-1(A21 A ) ₁₁⁻¹ Akhirnya dari persamaan (iv) diperoleh : B21 A12 + B22 A22 = Iq

- D^-1(A21 A )A₁₁⁻¹ 12 + D^-1 A22 = Iq

D^-1 { A22 - (A21 A ) A₁₁⁻¹ 12 } = Iq

D D^-1 { A22 - (A21 A ) A₁₁⁻¹ 12 } = D Iq

I {A22 - (A21 A ) A₁₁⁻¹ 12 } = D Jadi D = A22 - (A21 A ) A₁₁^{−1 12} .

Contoh 5.5:

Dengan membuat partisi pada A, carilah invers dari A =

1 2 2 1 3 2 1 2 3















 ! Solusi :

Andaikan A dipartisi sebagai berikut: A =

1 2 2 1 3 2 1 2 3















, berarti:

A11 = ^{1 2} 1 3



 

, yang berarti A = ₁₁^{−1 3 2} 1 1

−

−



 



A12 = ² 2



 

 , A21 =

(

1 2 , dan A

)

22 = (3), kemudian menggunakan Teorema 5.2 : D = A22 - (A21 A ) A₁₁⁻¹ 12

D = (3) –

(

^{1 2}

)

^{3 2}

1 1

−

−



 

 2 2



 

 = (3) – (1 0) ² 2



 

 = (3) – (2) = (1) D^-1 = (1) , sehingga:

B11 = A + (₁₁⁻¹ A A₁₁⁻¹ 12 ) D^-1(A21 A ) ₁₁⁻¹ B11 = ^{3 2}

1 1

−

−



 

 + { ^{3 2} 1 1

−

−



 

 2 2



 

} (1) {

(

^{1 2}

)

^{3 2}

1 1

−

−



 

}

B11 = ^{3 2} 1 1

−

−



 

+ ² 0



 



(

1 0

)

= ^{3 2} 1 1

−

−



 

 + ^{2 0} 0 0



 

 = 

 





−

− 1 1

2 5

B12 = - (A A₁₁⁻¹ 12 ) D^-1 B12 = - { ^{3 2}

1 1

−

−



 

 2 2



 

 } (1) = - 2 0



 

 = 

 



−

0 2

B21 = - D^-1(A21 A ) ₁₁⁻¹ B21 = - (1) {

(

^{1 2}

)

^{3 2}

1 1

−

−



 

} = - (1 0) = (-1 0) B22 = D^-1 = (1)

Jadi A^-1 = B = 



 





22 21

12 11

B B

B

B =

( ) ( )

5 2

1 1

2 0

1 0 1

−

−



 

 −

 



−















=

5 2 2

1 1 0

1 0 1

− −

−

−

















Contoh 5.6:

Dengan melakukan partisi, carilah invers matriks A =

2 1 1 0

5 3 0 1

0 0 1 1

0 0 1 1

−

















Solusi :

Andaikan matriks A dipartisi sebagai berikut: A =





















− 1 1 0 0

1 1 0 0

1 0 3 5

0 1 1 2

, berarti :

A11 = ^{2 1} 5 3



 

, A12 = ^{1 0} 0 1



 

 , A21 = ^{0 0} 0 0



 

 , dan A22 = ^−

 

 1 1

1 1 , yang berarti

1 11

A = − ^{3 1}

5 2

−

−



 

; sehingga : D = A22 - (A21 A ) A₁₁⁻¹ 12 D = ^−

 

 1 1

1 1 - ^{0 0} 0 0



 

 3 1 5 2

−

−



 

 1 0 0 1



 

 = ^−

 

 1 1 1 1

D^-1 = - ¹

2 

 





−

−

− 1 1

1

1 = −

 



1 2

1 2 1 2

1 2

B11 = A + (₁₁⁻¹ A A₁₁⁻¹ 12 ) D^-1(A21 A ) ₁₁⁻¹ B11= ^{3 1}

5 2

−

−



 

+ { ^{3 1} 5 2

−

−



 

 1 0 0 1



 

 }−

 



1 2

1 2 1 2

1 2

{ ^{0 0} 0 0



 

 3 1 5 2

−

−



 

}

B11 = ^{3 1} 5 2

−

−



 

 + ^{0 0} 0 0



 

 = ^{3 1} 5 2

−

−



 

 B12 = - (A A₁₁⁻¹ 12 ) D^-1

B12 = - ^{3 1} 5 2

−

−



 

 1 0 0 1



 

 −

 



1 2

1 2 1 2

1 2

= - −

−



 



2 1

7 2

3 2

= 



 





−

−

2 3 2 7

1 2

B21 = - D^-1(A21 A ) ₁₁⁻¹ B21 = - −

 



1 2

1 2 1 2

1 2

0 0 0 0



 

 3 1

5 2

−

−



 

 = 0 0 0 0



 



B22 = D^-1 = −

 



1 2

1 2 1 2

1 2

Jadi A^-1 = B = 



 





22 21

12 11

B B

B

B =























 



 −



 







 





−

 −



 





−

−

2 1 2 1

2 1 2 1

2 3 2 7

0 0

0 0

1 2 2

5 1 3

A^-1 =





















−

−

−

−

−

2 1 2 1

2 1 2 1

2 3 2 7

0 0

0 0

2 5

1 2 1 3

Latihan 5.4

Dengan melakukan partisi terlebih dahulu, carilah invers dari matriks berikut ini.

1. (a). N =

1 4 1 1

1 5 1 1

1 0 2 1

0 1 1 1

−

−

















(b). E =

3 2 1 0

1 1 0 1

1 0 1 1

0 1 2 3

















2. (a). H =

1 2 2 1 2

1 3 2 1 2

1 2 3 1 2

1 0 1 1 1

0 1 0 0 1

−





















(b). K =

4 0 5 2 3

0 1 6 4 1

3 0 4 1 2

1 1 2 4 1

3 1 1 1 2

−





















3. Andaikan matriks persegi A = (aij) berdimensi n adalah matriks yang dapat dilakukan partisi menjadi A = ^A

A

11

22

0 0



 

 dengan A11 dan A22 nonsingular. Tunjukkan bahwa A^-1 = A

A

11 1

22 1

0 0

−

−



 

 !

4. Carilah invers dari matriks C =

1 1 0 0 0 0 0 0

2 1 0 0 0 0 0 0

0 0 3 2 0 0 0 0

0 0 2 3 0 0 0 0

0 0 0 0 5 4 0 0

0 0 0 0 4 5 0 0

0 0 0 0 0 0 9 8

0 0 0 0 0 0 9 7

−

− −





























5.5. Invers kiri dan Invers kanan.

Pembahasan matriks invers pada subbab 5.1 sampai subab 5.3 terkait dengan matriks persegi yang nonsingular. Dari pembahasan telah diketahui bahwa invers matriks persegi yang nongsingular ialah tunggal (unique). Jika konsep matriks invers dimaknai sebagai sebuah matriks jika dikalikan dengan matriks lain menghasilkan matriks identitas, maka sangat mungkin menemukan matriks invers dari matriks yang bukan persegi (non-square). Jika A bukan matriks persegi, memungkin untuk mendapatkan invers kiri (left inverse) atau invers kanan (right inverse) dari A.

Definisi 5.3.

Andaikan matriks A berdimensi mxn. Matriks L disebut invers kiri dari matriks A jika berlaku hubungan:

L A = I (5.15)

tetapi A L ≠ I.

Sebaliknya matriks R disebut invers kanan dari matriks A jika berlaku hubungan:

A R = I (5.16)

tetapi R A ≠ I.

Selanjutnya digunakan notasi A^L untuk menyatakan invers kiri dari A dan A^R untuk menyatakan invers kanan dari A. Dengan demikian, jika invers kiri ada berlaku A^L A = I, sedangkan jika invers kanan ada berlaku A A^R = I. Selanjutnya Teorema 5.4 berguna untuk mengetahui syarat matriks mempunyai invers kiri atau mempunyai invers kanan. Teeorema 5.4 menunjukkan bahwa syarat matriks A berdimensi mxn mempunyai invers kiri atau invers kanan ialah r(A) = n atau r(A) = m.

Teorema 5.4.

Diketahui matriks A berdimensi mxn.

(i) jika m  n dan A mempunyai rank n, maka A mempunyai invers kiri.

(ii) jika m  n dan A mempunyai rank m, maka A mempunyai invers kanan.

Bukti :

(i) Dibuktikan sebaliknya, yaitu andaikan m < n dan A mempunyai invers kiri. Untuk m < n, jika A =

(

P_mxm | Q_mx(_n−m)

)

, dan matriks A^L berdimensi nxm adalah invers kiri dari A, di mana A^L =



 





− xmm n

mxm )

Y(

X

, maka :

A^L A= 

 





− xmm n

mxm )

Y(

X

(

P_mxm | Q_mx(_n−m)

)

= 

 





YQ YP

XQ

XP = In = 



 





− )

0 (

0

m n m

I I

ini berarti XP = I, XQ = 0, YP = 0, dan YQ = I. Karena XP = I, baik X dan P adalah matriks persegi, maka P = X^-1. Sementara itu,

YP = YX^-1 = 0 YX^-1X = 0 Y = 0

dan YQ = 0Q = 0  I. Hal ini bertentangan dengan A^LA = I. Jadi jika m < n, matriks A berdimensi mxn tidak mempunyai invers kiri. Berarti A akan mempunyai invers kiri jika m  n. Selanjutnya,