GENERALISASI INVERS PADA MATRIKS TURIYAM SIMBOLIK REAL
KARYA ILMIAH
OLEH
RENI ANGGRAINI NIM. 1903112875
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU 2023
GENERALISASI INVERS PADA MATRIKS TURIYAM SIMBOLIK REAL
Reni Anggraini
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
ABSTRACT
This article discusses the generalization of the inverse on a real symbolic Turiyam matrix of size m×nwith m̸=n. The operation properties of the general inverse on the real symbolic Turiyam matrix used are the operating properties on the symbolic Turiyam matrix. In the last section, an example will be given showing that the result of an inverse generalization on a real symbolic Turiyam matrix always exists in a matrix of size m×n with m ̸=n.
Keywords: Generalized inverse, Turiyam matrix, minor of matrix ABSTRAK
Artikel ini membahas generalisasi invers pada matriks Turiyam simbolik real yang berukuran m×n denganm̸=n. Sifat operasi general invers pada matriks Turiyam simbolik real yang digunakan merupakan sifat dari operasi pada matriks Turiyam simbolik. Pada bagian akhir akan diberikan contoh yang menunjukkan bahwa hasil generalisasi invers pada matriks Turiyam simbolik real selalu ada pada matriks yang berukuran m×n denganm ̸=n.
Kata kunci: Generalisasi invers, matriks Turiyam, minor matriks
1. PENDAHULUAN
Konsep invers matriks dibahas dalam beberapa buku teks [1, h. 43] [5, h. 14] [7, h. 106] [8, h. 60] yang menyatakan suatu matriks mempunyai invers jika matriks tersebut berukuran m×n dengan m = n dan non singular. Dengan kata lain, hanya matriks persegi dan non singular yang memiliki invers. Ternyata pada [2]
[6, h. 1] [9] [10] [11] [13, h. 59] dinyatakan bahwa bukan hanya matriks persegi yang mempunyai invers, tetapi matriks yang berukuran m×n dengan m ̸= n dan singular juga mempunyai invers yang disebut generalisasi invers. MisalkanAadalah sebarang matriks ukuran m×n, terdapat generalisasi invers yang dinotasikan G sedemikian hingga
AGA=A.
Secara umum matriks Gberukuran n×m selalu ada dan tidak tunggal. MatriksG memiliki rank yang sama dengan kolom atau baris pada matriks A, jikam=ndan rank(A) = n maka G=A−1.
Ada berbagai jenis matriks, salah satunya adalah matriks Turiyam simbolik [3].
Matriks Turiyam simbolik bermula dari himpunan Turiyam. Pada [3] [4] [12] menje- laskan bahwa himpunan Turiyam diperkenalkan untuk menangani suatu data yang tidak terdefinisi secara pasti dalam empat dimensi. Himpunan Turiyam simbolik didefinisikan pada [4] sebagai Tu ={T, F, Y, I} dengan
T= Benar, I= Ketidakpastian, F= Salah, Y= Kesadaran.
Bilangan Turiyam simbolik dinotasikan dengan Bu = [x0 +x1T +x2F +x3I + x4Y] dengan x0, x1, x2, x3, dan x4 merupakan sebarang bilangan. Namun, dalam penelitian ini dibatasi untuk x0, x1, x2, x3, dan x4 merupakan bilangan real.
Didalam artikel ini dibahas lebih lanjut metode dan contoh dari generalisasi invers pada matriks Turiyam simbolik real.
Pada artikel ini, di Bagian 2 dan 3 dijelaskan beberapa teori pendukung. Ke- mudian di Bagian 4 dijelaskan tentang generalisasi invers pada matriks Turiyam simbolik real, dan diakhiri dengan Bagian 5 yang berisi kesimpulan.
2. MATRIKS TURIYAM SIMBOLIK
Pada [3] [4] [12] menjelaskan bahwa matriks Turiyam berawal dari himpunan Turiyam yang merupakan himpunan yang diperkenalkan untuk menangani suatu data yang tidak terdefinisi secara pasti dalam empat dimensi. Definisi dan operasi aljabar dalam matriks Turiyam simbolik dibahas dalam [3] [4] [12] sebagai berikut:
Definisi 1 (Turiyam Simbolik) Didefinisikan himpunan Turiyam simbolik, yaitu Tu ={T, F, I, Y},
dengan
T:Benar, I:Ketidakpastian, F:Salah, Y:Kesadaran.
Bilangan Turiyam simbolik dinotasikan sebagai berikut:
Bu = [x0+x1T +x2F +x3I+x4Y], dengan x0, x1, x2, x3, dan x4 adalah sebarang bilangan.
Contoh 1 Bu adalah bilangan Turiyam simbolik real dengan Bu = [2T +F + 2I+ 3Y].
Operasi Aljabar Pada Turiyam Simbolik
Didefinisikan dalam [12] operasi aljabar antar simbol di Turiyam simbolik adalah sebagai berikut:
T ×T =T2 =T, F ×F =F2 =F, Y ×Y =Y2 =Y, I×I =I2 =I,
F ×I =I×F =I, T ×F =F ×T =F, F ×Y =Y ×F =Y, T ×I =I×T =I, Y ×I =I×Y =I, T ×Y =Y ×T =Y.
Misalkan x dan y adalah dua elemen sebarang di Turiyam simbolik, dengan x= [x0+x1T+x2F+x3I+x4Y] dany= [y0+y1T+y2F+y3I+y4Y]. Penjumlahan dan perkalian antara dua elemen Turiyam simbolik didefinisikan pada [12] adalah sebagai berikut:
Penjumlahan pada Turiyam Simbolik
x+y= (x0+y0) + (x1+y1)T + (x2+y2)F + (x3+y3)I+ (x4+y4)Y.
Perkalian pada Turiyam Simbolik
xy =x0.y0+T(x0.y1+x1.y0+x1.y1) +F(x0.y2+x1.y2+x2.y0+x2.y2 +x2.y1) +I(x0.y3+x1.y3+x2.y3+x3.y3+x3.y1+x3.y2+x3.y3+x3.y4+x4.y3) +Y(x0.y4 +x1.y4+x2.y4+x3.y4 +x4.y1+x4.y2+x4.y4).
Seiring berjalannya waktu, himpunan Turiyam telah dibahas dan dikembangkan menjadi matriks Turiyam simbolik. Pada [3] definisi matriks Turiyam simbolik adalah
Definisi 2 (Matriks Turiyam Simbolik) Didefinisikan matriks Turiyam simbolik sebagai berikut:
T =
a11 · · · a1n ... . .. ... am1 · · · amn
,
dengan aij adalahBu = [x0+x1T +x2F +x3I+x4Y].
Jikaaij adalah bilangan real Turiyam simbolik, makaT dikatakan matriks Turiyam simbolik real. Jikaaij adalah bilangan kompleks Turiyam simbolik, makaT dikatakan matriks Turiyam simbolik kompleks. Dalam penelitian ini dibatasi hanya untuk ma- triks Turiyam simbolik real.
3. GENERALISASI INVERS
Konsep invers matriks dibahas dalam beberapa buku teks [1, h. 43] [5, h. 14] [7, h. 106] [8, h. 60] yang menyatakan suatu matriks mempunyai invers jika matriks tersebut berukuran m×n dengan m = n dan non singular. Dengan kata lain, hanya matriks persegi dan non singular yang memiliki invers. Ternyata pada [2]
[6, h. 1] [9] [10] [11] [13, h. 59] dinyatakan bahwa bukan hanya matriks persegi yang mempunyai invers, tetapi matriks yang berukuran m×n dengan m ̸= n dan singular juga mempunyai invers yang disebut generalisasi invers.
Definisi 3 (Generalisasi Invers) Misalkan A adalah matriks berukuran m×n, ter- dapat generalisasi invers yang dinotasikan dengan G sedemikian hingga AGA=A.
Terdapat beberapa teorema dan lema mengenai generalisasi invers dalam [9] dan [6, h. 43] sebagai berikut:
Teorema 4 Jika matriksA berukuranm×n danG merupakan generalisasi invers dari matriks A, maka Gberukuran n×m.
Lema 5 Jika terdapat suatu matriks A yang berukuran m × n dan matriks G berukuran n×m yang merupakan generalisasi invers dari matriks A, makaAGdan GA merupakan matriks idempoten dan memiliki rank yang sama dengan matriks A.
Lema 6 Jika matriks Aberukuran m×n matriks Gberukuran n×m yang meru- pakan generalisasi invers dari matriks A, maka berlaku
(i) AG=Im jika hanya jikarank(A) = m.
(ii) GA=In jika hanya jika rank(A) =n.
Secara umum matriksGberukurann×mselalu ada dan tidak tunggal. Matriks Gmemilikirankyang sama dengan kolom atau baris pada matriksA, denganm =n dan rank(A) = n maka G=A−1.
Metode untuk mencari generalisasi invers pada matriks adalah sebagai berikut:
(i) Diberikan matriksA dengan ukuranm×n, tentukanrank (A), dan tentukan sebarang minor matriks non singular dengan ukuran dari rank (A) dan no- tasikan dengan Mi.
(ii) Tentukan Mi−1, jika Mi tidak memiliki invers maka lanjutkan ke sebarang minor matriks non singular lainnya.
(iii) Tentukan (Mi−1)T.
(iv) Pada (Mi−1)T tambahkan elemen nol untuk elemen diluar minor matriks non singular dan notasikan dengan AMi.
(v) Tentukan (AMi)T dan notasikan dengan G.
(vi) Matriks Gmerupakan generalisasi invers dari A ketika memenuhi AGA=A.
4. GENERALISASI INVERS PADA MATRIKS TURIYAM SIMBOLIK REAL
Matriks Turiyam simbolik real dinotasikan dengan matriks T dan generalisasi invers dari matriks Turiyam simbolik real dinotasikan dengan Gu. Pada matriks Turiyam simbolik real, berlaku juga Definisi 3, Teorema 4, Lema 5, dan Lema 6 yang ada pada Bagian 3.
Metode untuk mencari generalisasi invers pada matriks Turiyam simbolik real adalah sebagai berikut:
(i) Diberikan matriksT dengan ukuranm×n, tentukanrank (T), dan tentukan sebarang minor matriks non singular dengan ukuran dari rank (T) dan no- tasikan dengan Mi.
(ii) Tentukan Mi−1, jika Mi tidak memiliki invers maka lanjutkan ke sebarang minor matriks non singular lainnya.
(iii) Tentukan (Mi−1)T.
(iv) Pada (Mi−1)T tambahkan elemen nol untuk elemen diluar minor matriks non singular dan notasikan dengan T Mi.
(v) Tentukan (T Mi)T dan notasikan dengan Gu.
(vi) MatriksGu merupakan generalisasi invers dariT ketika memenuhiT GuT =T. Diberikan contoh mencari generalisasi invers pada matriks Turiyam simbolik real yang disajikan dalam beberapa kasus, sebagai berikut:
Kasus 1. Jika matriks T berukuran m×n dengan m̸=n.
Diberikan matriks Turiyam simbolik real yang dinotasikan denganT berukuran 2×3, T =
[ 2 +T F 1
2 Y 0
] .
Tentukan rank dari matriks T dengan melakukan operasi baris elementer, se- hingga diperoleh bentuk eselon baris tereduksi dari matriks T adalah
1 0 − Y
−2Y −T Y + 2F
0 1 2
−2Y −T Y + 2F
.
Jumlah baris tak nol dari matriks T adalah 2. Oleh karena itu rank matriks T adalah 2.
Tentukan sebarang minor matriks non singular dengan ukuran darirank(T) dan notasikan dengan Mi dengan i= 1,2,3.
M1 =
[ 2 +T 1
2 0
] ,
M2 =
[ 2 +T F
2 Y
] ,
M3 =
[ F 1 Y 0
] . Tentukan invers dari setiap Mi dengan i= 1,2,3.
M1−1 =
0 1 2 1 −2−T
2
,
Tentukan transpos dari setiapMi−1 dengani= 1,2,3.
(M1−1)T =
[ 0 1 1
2
−2−T 2
] ,
Selanjutnya, pada (M−1)T tambahkan elemen nol untuk elemen diluar minor matriks non singular dan notasikan dengan T Mi, dengan i= 1,2,3.
T M1 =
[ 0 0 1 1
2 0 −2−T 2
] ,
Transposkan setiap matriks T Mi, sehingga diperoleh matriks yang dinotasikan dengan Gu denganu= 1,2,3.
G1 =
0 1
0 20
1 −2−T 2
,
Matriks Gu, dengan u = 1,2,3 merupakan generalisasi invers dari matriks T ketika memenuhiT GuT =T. Karenarank(T) = m= 2, maka dengan menggunakan Lema 6 diperoleh T Gu =Im, sehingga
Untuk Gu, dengan u= 1.
T G1T =T,
T G1T =
[ 2 +T F 1
2 Y 0
]
0 1
0 20
1 −2−T 2
[ 2 +T F 1
2 Y 0
] ,
T G1T =
[ 2 +T F 1
2 Y 0
] .
Dengan terpenuhinyaT GuT =T, maka diperoleh generalisasi invers dari matriks T, yaitu
G1 =
0 1
2
0 0
1 −2−T 2
,
G2 =
− Y
−3Y + 2F
F
−3Y + 2F 2
−3Y + 2F − 2 +T
−3Y + 2F
0 0
,
G3 =
0 0
0 1
Y 1 −F
Y
.
Kasus 2. Jika matriks T singular berukuran m×n dengan m =n.
Diberikan matriks Turiyam simbolik real yang dinotasikan denganT berukuran 3×3,
T =
F +Y T 2 F 2 2T
2F 4 4T
.
Tentukan rank dari matriks T dengan melakukan operasi baris elementer, se- hingga diperoleh bentuk eselon baris tereduksi dari matriks T adalah
1 0 2(−2 +T2)
−2F −2Y +T F 0 1 2(T F +T Y −F)
−2F −2Y +T F
0 0 0
.
Jumlah baris tak nol dari matriks T adalah 2. Oleh karena itu rank matriks T adalah 2.
Tentukan sebarang minor matriks non singular dengan ukuran dari rank (T) dan notasikan dengan Mi dengani= 1,2,3, ...,9.
M1 =
[ F +Y T
F 2
] ,
M2 =
[ T 2 2 2T
] ,
M3 =
[ F +Y 2 F 2T
] ,
M4 =
[ F 2 2F 4
] ,
M5 =
[ 2 2T 4 4T
] ,
M6 =
[ F 2T 2F 4T
] ,
M7 =
[ F +Y T
2F 4
] ,
M8 =
[ F +Y 2
2F 4T
] ,
M9 =
[ T 2 4 4T
] .
Akan ditentukan generalisasi invers dari matriks T dengan menggunakan minor matriks non singular yang telah diperoleh.
Minor matriks non singular yang pertama dinotasikan dengan M1, M1 =
[ F +Y T
F 2
] . Tentukan invers dari minor matriks non singular,
M1−1 =
− 2
−F −2Y
T
−F −2Y F
−F −2Y − F +Y
−F −2Y
.
Tentukan transpos dari invers minor matriks non singular,
(M1−1)T =
− 2
−F −2Y
F
−F −2Y T
−F −2Y − F +Y
−F −2Y
.
Selanjutnya, pada (M1−1)T tambahkan elemen nol untuk elemen diluar minor matriks non singular dan dinotasikan dengan T M1,
T M1 =
− 2
−F −2Y
F
−F −2Y 0 T
−F −2Y − F +Y
−F −2Y 0
0 0 0
.
Transposkan matriksT M1, sehingga diperoleh matriks yang dinotasikan dengan
Gu dengan u= 1,
G1 =
− 2
−F −2Y
T
−F −2Y 0 F
−F −2Y − F +Y
−F −2Y 0
0 0 0
.
MatriksG1 merupakan generalisasi invers dari matriks T ketika memenuhi T G1T =T,
T G1T =
F +Y T 2 F 2 2T
2F 4 4T
− 2
−F −2Y
T
−F −2Y 0 F
−F −2Y − F +Y
−F −2Y 0
0 0 0
F +Y T 2 F 2 2T
2F 4 4T
,
T G1T =
F +Y T 2 F 2 2T
2F 4 4T
.
Dengan terpenuhinya T GuT = T, untuk Gu dengan u = 1,2,3, ...,9 maka ma- triks T memiliki enam generalisasi invers yaitu
Generalisasi invers yang pertama,
G1 =
− 2
−F −2Y
T
−F −2Y 0 F
−F −2Y − F +Y
−F −2Y 0
0 0 0
.
Generalisasi invers yang kedua,
G2 =
0 0 0
T
−2 +T − 1
−2 +T 0
− 1
−2 +T
T
−4 + 2T 0
.
Generalisasi invers yang Ketiga,
G3 =
T
Y −1
Y 0
0 0 0
− F 2Y
F +Y
2Y 0
.
Generalisasi invers yang keempat,
G7 =
− 2
−F −2Y 0 T
−2F −4Y F
−F −2Y 0 − F +Y
−2F −4Y
0 0 0
.
Generalisasi invers yang kelima,
G8 =
T
Y 0 − 1 0 0 2Y0
− F
2Y 0 F +Y 4Y
.
Generalisasi invers yang keenam,
G9 =
0 0 0
T
−2 +T 0 − 1
−4 + 2T
− 1
−2 +T 0 T
−8 + 4T
.
Kasus 3. Jika matriks T non singular berukuran m×n dengan m=n.
Diberikan matriks Turiyam simbolik real yang dinotasikan denganT berukuran 2×2, T =
[ F +Y 3
T 0
] .
Tentukan rank dari matriks T dengan melakukan operasi baris elementer, se- hingga diperoleh bentuk eselon baris tereduksi dari matriks T adalah
[ 1 0 0 1
] .
Jumlah baris tak nol dari matriks T adalah 2. Oleh karena itu rank matriks T adalah 2.
Tentukan sebarang minor matriks non singular dengan ukuran darirank(T) dan notasikan dengan M,
M =
[ F +Y 3
T 0
] .
Tentukan invers dari setiap minor matriks non singular,
M−1 =
0 1 1 T
3 −1 3
F +Y T
.
Tentukan transpos dari invers minor matriks non singular,
(M−1)T =
0 1 1 3
T −1 3
F +Y T
.
Selanjutnya, pada (M−1)T tambahkan elemen nol untuk elemen diluar minor matriks non singular dan dinotasikan dengan T M1,
T M1 =
0 1 1 3
T −1 3
F +Y T
.
Transposkan setiap matriks T M1, sehingga diperoleh matriks yang dinotasikan dengan Gu,
Gu =
0 1 1 T
3 −1 3
F +Y T
.
MatriksGu, merupakan generalisasi invers dari matriks T ketika memenuhi T GuT =T,
T GuT =
[ F +Y 3
T 0
]
0 1 1 T
3 −1 3
F +Y T
[ F +Y 3
T 0
] ,
T GuT =
[ F +Y 3
T 0
] .
Dengan terpenuhinyaT GuT =T, maka diperoleh generalisasi invers dari matriks T, yaitu
Gu =
0 1 1 T
3 −1 3
F +Y T
.
MatriksT berukuranm×n dengan m=n= 2 dan rank(T) = 2. Karena rank dari matriks T sama dengan kolom atau baris pada matriks T, maka Gu =T−1.
5. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, maka dapat disim- pulkan bahwa bukan hanya matriks persegi dan non singular yang mempunyai invers tetapi matriksT yang merupakan matriks Turiyam simbolik berukuranm×ndengan m ̸=n dan matriks singular T memiliki invers yang disebut generalisasi invers. Jika
matriksT merupakan matriks non singular yang berukuranm×m, maka generalisasi invers dari T adalah T−1.
Pada matriks Turiyam simbolik denganaij adalah bilangan real, berukuranm×n denganm ̸=n dan singular mempunyai invers yang disebut generalisasi invers pada matriks Turiyam simbolik real.
Ucapan terima kasih Ucapan terima kasih kepada Prof. Dr. Mashadi, M.Si.
yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] H. Anton dan C. Rorres, Elementary Linear Algebra: Applications Version, 11th Edition, John Wiley, New Jersey, 2013.
[2] I. A. Adetunde, N. Oladejo, dan D. Apio,On the generalized inverse of a matrix, American Journal of Scientific Research, (2010), 77–89.
[3] M. Bal, P. K. Singh, dan K. D. Ahmad, A short to the concept of symbolic Turiyam matrix, Journal of Neutrosophic and Fuzzy Systems, 2 (2022), 88–99.
[4] M. Bal, P. K. Singh, dan K. D. Ahmad,An introduction to the symbolic Turiyam R-modules and Turiyam modulo integers, Journal of Neutrosophic and Fuzzy Systems, 2 (2022), 8–19.
[5] R. B. Bapat, Linear Algebra and Linear Models, 2nd Edition, Springer, New York, 2000.
[6] A. Ben-Israel dan T. N. E. Greville, Generalized Inverse Theory and Applica- tions, 2nd Edition, Springer, New York, 2003.
[7] G. Hartaman, Fundamentals of Matrix Algebra, 3rd Edition, CreateSpace, Scotts Valley, 2011.
[8] B. Jacob, Linear Algebra, W. H. Freeman and Company, New York, 1990.
[9] M. Kumar, Generalized inverse, Jurnal Peluang, 2 (2013), 1–5.
[10] Mardiyana, N. Hijriati, dan Thresye, Invers tergeneralisasi Moore-Penrose, Ju- rnal Epsilon, 15 (2021), 78–92.
[11] C. C. Marzuki dan Y. Rosita, Generalized inversepada matriks atas Zn, Jurnal Sains Matematika dan Statistika, 1 (2015), 1–9.
[12] P. K. Singh, K. D. Ahmad, M. Bal, dan M. Aswad, On the symbolic Turiyam rings, Journal of Neutrosophic and Fuzzy System, 1 (2021), 80–88.
[13] H. Yanai, K. Takeuchi, dan Y. Takane,Projection Matrices, Generalized Inverse Matrices, and Singular Value Decomposition, Springer, New York, 2011.
