INVERS MOORE-PENROSE PADA MATRIKS TURIYAM SIMBOLIK REAL
KARYA ILMIAH
OLEH
ANI
NIM. 1903110972
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU 2023
INVERS MOORE-PENROSE PADA MATRIKS TURIYAM SIMBOLIK REAL
Ani
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
ani832132@gmail.com
ABSTRACT
This article discusses the Moore-Penrose inverse on a real symbolic Turiyam matrix of size m×n withm ̸=n and the singular symbolic Turiyam matrix. The nature of the Moore-Penrose inverse operation for the real symbolic Turiyam matrix used is the property of the operation on the symbolic Turiyam matrix. The demonstration example shows that the result of the Moore-Penrose inverse on a real symbolic Turiyam matrix always exists even if the matrix is not a single or square matrix.
This article is a modification of Thomas Britz’s writing [The Moore-Penrose Inverse of A Free Matrix, (2007), 208-215].
Keywords: Moore-Penrose inverse, Turiyam matrix, singular matrix ABSTRAK
Artikel ini membahas invers Moore-Penrose pada matriks Turiyam simbolik real yang berukuran m×n dengan m ̸= n dan matriks Turiyam simbolik yang singu- lar. Sifat operasi invers Moore-Penrose pada matriks Turiyam simbolik real yang digunakan merupakan sifat dari operasi pada matriks Turiyam simbolik. Contoh demonstrasi menunjukkan bahwa hasil invers Moore-Penrose pada matriks Turiyam simbolik real selalu ada walaupun matriksnya bukan matriks bujur sangkar dan singular. Artikel ini merupakan modifikasi dari tulisan Thomas Britz [The Moore- Penrose Inverse of A Free Matrix, (2007), 208-215].
Kata kunci: Invers Moore-Penrose, matriks Turiyam, matriks singular
1. PENDAHULUAN
Matriks yang berukuran m×n denganm̸=n dan matriks bujur sangkar yang sin- gular sudah pasti tidak memiliki invers. Namun, pada [6] telah ditemukan adanya invers untuk suatu matriks yang berukuranm×ndenganm̸=ndan matriks bujur sangkar yang singular yang disebut dengan invers Moore-Penrose. Invers Moore- Penrose merupakan peluasan dari konsep invers matriks dan biasanya dinotasikan
dengan A+. Pada [4] dijelaskan bahwa invers Moore-Penrose ada untuk setiap ma- triks baik matriks bujur sangkar yang singular maupun matriks yang tidak bujur sangkar. Invers Moore-Penrose merupakan invers dari suatu matrik jika memenuhi keempat kriteria invers Moore-Penrose, kriteria ini dapat dilihat pada [3, h. 40][5, h. 9][6][9, h. 79] yaitu,
(i) AA+A=A.
(ii) A+AA+ =A+.
(iii) A+A= (A+A)∗ (Hermitian).
(iv) AA+= (AA+)∗ (Hermitian).
Dengan A∗ merupakan konjugat transpos dari matriks A.
Salah satu bentuk khusus dari matriks bilangan kompleks adalah matriks Hermi- tian. Matriks Hermitian dalam [7] disebut juga dengan matriks bujur sangkar kom- pleks yang sama dengan konjugat transposnya. A disebut Hermitian jika A∗ = A, namun jikaA adalah matriks real, makaA∗ =AT. UntukAmatriks real, Adisebut matriks hermitian jika matriks A sama dengan transpos matriksnya.
Ada bermacam-macam jenis matriks, salah satunya adalah matriks Turiyam sim- bolik [2]. Matriks Turiyam simbolik bermula dari himpunan Turiyam. Pada [1][2][8]
menjelaskan bahwa himpunan Turiyam diperkenalkan untuk menangani suatu data yang tidak terdefinisi secara pasti dalam empat dimensi. Pada [1] didefinisikan bahwa himpunan Turiyam simbolik adalah Tu={T, F, Y, I}dengan
T:Benar, I:Ketidakpastian, F:Salah, Y:Kesadaran.
Bilangan Turiyam simbolik ditulis dalam bentukBu=[x0+x1T+x2F+x3I+x4Y].
Dengan x0, x1, x2, x3, x4 merupakan sebarang bilangan. Namun dalam penelitian ini dibatasi untuk x0, x1, x2, x3, x4 merupakan bilangan real. Operasi dasar aljabar dalam bilangan Turiyam simbolik pada [8] sebagai berikut:
T ×T =T2 =T, F ×F =F2 =F, Y ×Y =Y2 =Y, F ×Y =Y ×F =Y , F ×I =I×F =I, T ×F =F ×T =F, T ×Y =Y ×T =Y, T ×I =I×T =I, Y ×I =I×Y =I, I×I =I2 =I.
Dalam matematika, himpunan Turiyam masih sangat terbatas dibahas. Adapun yang telah dibahas oleh beberapa peneliti yaitu, Turiyam simbolik ring, ruang vek- tor, dan grup [1][2][8]. Himpunan Turiyam berkembang menjadi matriks Turiyam dalam bentuk simbolik yang disebut matriks Turiyam simbolik.
Didefinisikan matriks Turiyam simbolik pada [2] sebagai berikut.
Mu =
b11 · · · b1n ... . .. ... bm1 · · · bmn
,
bij adalah bilangan Turiyam simbolik. Jika bij adalah bilangan real Turiyam simbo- lik, makaMudikatakan matriks Turiyam simbolik real. Jikabij adalah bilangan kom- pleks Turiyam simbolik, maka Mu dikatakan matriks Turiyam simbolik kompleks.
Pada artikel ini, hasil penelitian sebelumnya dimodifikasi yaitu invers dari matriks Turiyam simbolik real ditentukan dengan menggunakan invers Moore-Penrose pada matriks Turiyam simbolik real yang berukuran m×n dengan m ̸= n dan matriks Turiyam simbolik real yang singular.
Artikel ini menjelaskan tentang invers Moore-Penrose pada matriks Turiyam simbolik real. Pada Bagian 2 dan 3 dijelaskan beberapa teori pendukung. Kemudian di Bagian 4 dijelaskan tentang invers Moore-Penrose pada matriks Turiyam simbolik real dan terakhir Bagian 5 yang berisi kesimpulan.
2. MATRIKS TURIYAM SIMBOLIK
Pada bagian ini dibahas mengenai matriks Turiyam simbolik yang digunakan dalam menghitung invers Moore-Penrose pada matriks Turiyam simbolik real. Dalam ma- triks Turiyam terdapat operasi penjumlahan dan perkalian yang eksistensinya pent- ing dalam artikel ini, Adapun beberapa definisi dan operasi aljabar dalam matriks Turiyam simbolik yang didefinisikan dalam [1][2][8] sebagai berikut.
Definisi 1 (Himpunan Turiyam Simbolik) Himpunan Turiyam simbolik didefin- isikan dengan
Tu ={T, F, I, Y},
T:Benar, I:Ketidakpastian, F:Salah, Y:Kesadaran.
Bilangan Turiyam simbolik dinotasikan dengan
Bu = [x0+x1T +x2F +x3I+x4Y], dengan x0, x1, x2, x3, x4 adalah sebarang bilangan.
Contoh 1 Bu adalah bilangan Turiyam simbolik real dengan Bu = [3T + 2F +I+ 5Y].
Operasi Aljabar pada Bilangan Turiyam Simbolik
Didefinisikan dalam [8] operasi aljabar antar simbol dalam bilangan Turiyam sim- bolik adalah sebagai berikut:
T ×T =T2 =T, F ×F =F2 =F, Y ×Y =Y2 =Y, F ×Y =Y ×F =Y, F ×I =I×F =I, T ×F =F ×T =F, T ×Y =Y ×T =Y, T ×I =I×T =I, Y ×I =I×Y =I, I×I =I2 =I.
Misalkanx= [x0+x1T+x2F +x3I+x4Y] dan y= [y0+y1T+y2F+y3I+y4Y] adalah dua elemen sebarang pada bilangan Turiyam simbolik, maka penjumlahan
dan perkalian antara dua elemen bilangan Turiyam simbolik didefinisikan pada [10]
adalah sebagai berikut.
Penjumlahan pada Bilangan Turiyam Simbolik
x+y= (x0+y0) + (x1+y1)T + (x2+y2)F + (x3+y3)I+ (x4+y4)Y. Perkalian pada Bilangan Turiyam Simbolik
xy = x0.y0+T(x0.y1+x1.y0 +x1.y1) +F(x0.y2 +x1.y2 +x2.y0+x2.y2 +x2.y1) + I(x0.y3+x1.y3+x2.y3+x3.y3+x3.y1 +x3.y2 +x3.y3 +x3.y4 +x4.y3) +Y(x0.y4+ x1.y4+x2.y4+x3.y4 +x4.y1+x4.y2+x4.y4).
Himpunan Turiyam telah berkembang menjadi suatu matriks yang masih mem- pertahankan bentuk simboliknya yang disebut matriks Turiyam simbolik. Menurut [2] definisi matriks Turiyam simbolik sebagai berikut.
Definisi 2 (Matriks Turiyam Simbolik) Didefinisikan matriks Turiyam simbolik se- bagai berikut.
Mu =
b11 · · · b1n ... . .. ... bm1 · · · bmn
,
denganbij adalahBu yang merupakan bilangan Turiyam simbolik [x0+x1T+x2F+ x3I+x4Y].
Jika bij adalah bilangan real turiyam simbolik, maka Mu dikatakan matriks Turiyam simbolik real. Jika bij adalah bilangan kompleks Turiyam simbolik, maka Mu dikatakan matriks Turiyam simbolik kompleks. Dalam penelitian ini dibatasi hanya untuk matriks Turiyam simbolik real.
3. INVERS MOORE-PENROSE
Pada bagian ini diberikan definisi dan teorema tentang Invers Moore-Penrose. Ter- dapat kondisi yang harus dipenuhi agar suatu matriks dapat dikatakan mempunyai invers Moore-Penrose yang dibahas pada [3, h. 40][5, h. 9][6][9, h. 79] sebagai berikut.
Definisi 3 Diberikan suatu matriks A yang berukuran m ×n, terdapat dengan tunggal matriks A+ yang berukuran n×m yang merupakan invers Moore-Penrose dari matriks A jika memenuhi keempat kriteria sebagai berikut:
(i) AA+A=A.
(ii) A+AA+ =A+.
(iii) A+A= (A+A)∗ (Hermitian).
(iv) AA+= (AA+)∗ (Hermitian).
Dengan A∗ merupakan konjugat transpos dari matriks A.
Langkah awal dalam menentukan invers Moore-Penrose adalah menentukan rank dari matriks tersebut. Berikut terdapat kategori untuk menentukan invers Moore- Penrose (A+) menurut [6] pada matriks berdasarkan ranknya.
Jika matriksAmemilikifull row rank, maka invers Moore-Penrose dapat dihitung dengan
A+=AT(AAT)−1. (1) Jika matriks A memiliki full columns rank, maka invers Moore-Penrose dapat dihitung dengan
A+= (ATA)−1AT. (2) Jika rank dari matriks A tidakfull rank, maka gunakan formula
A+=GT(GGT)−1(FTF)−1FT. (3) Jika suatu matriks A tidak full rank, adapun langkah-langkah untuk mencari invers Moore-Penrose dari matriks tersebut adalah sebagai berikut:
(i) Mereduksi matriks A tersebut menjadi matriks eselon baris tereduksi dan memisalkan matriks tersebut sebagai matriks baru dengan notasi Y.
(ii) Pada kolom yang memuat satu utama dari matriks Y, pilih kolom tersebut dari matriks A. Kolom yang dipilih dari matriks A dibentuk menjadi matriks baru yang dinotasikan dengan matriks F. Hitung (FTF)−1.
(iii) Memilih baris tak nol dari matriksY dan misalkan dengan matriksG. Menghi- tung (GGT)−1.
(iv) MenghitungA+=GT(GGT)−1(FTF)−1FT.
Jika A+ memenuhi keempat kriteria invers Moore-Penrose, maka invers Moore- Penrose dari matriks A yaitu A+. Dalam [10] dinyatakan sebagai berikut:
Teorema 4 Diberikan suatu matriks A yang berukuran m×n, terdapat matriks F yang berukuran m×r, dan matriks Gyang berukuran r×n denganrank(A)>
0. Jika matriks A = F G, maka A+ = GT(GGT)−1(FTF)−1FT merupakan invers Moore-Penrose dari matriks A.
Jika A suatu matriks, maka invers Moore-Penrose dari matriks A memiliki be- berapa sifat yang dibahas dalam [6][10] sebagai berikut.
Teorema 5 Untuk suatu matriksA, terdapat dengan tunggal invers Moore-Penrose dari matriks A yaituA+.
Pada [6] dijelaskan bahwa jika terdapat matriksAyang nonsingular maka invers dari matriks A merupakan invers Moore-PenroseA−1 =A+.
Teorema 6 Jika matriks A merupakan matriks nonsingular, maka invers dari ma- triks A merupakan invers Moore-Penrose, dengan kata lain invers matriks A sama dengan invers Moore-Penrose, A−1 =A+.
4. INVERS MOORE-PENROSE PADA MATRIKS TURIYAM SIMBOLIK REAL
Adapun tahapan-tahapan dalam menentukan invers Moore-Penrose pada matriks Turiyam simbolik real sebagai berikut:
(a) Mendefinisikan sebarang matriks Turiyam simbolik real yang dinotasikan dengan Mu.
(b) Menentukan rank pada matriks Turiyam simbolik real Mu.
Jika suatu matriksMu tidakfull rank, adapun langkah-langkah untuk mencari invers Moore-Penrose dari matriks Mu sebagai berikut:
(i) Mereduksi matriksMumenjadi matriks eselon baris tereduksi dan memisalkan matriks tersebut sebagai matriks baru dengan notasi Yu.
(ii) Pada kolom yang memuat satu utama dari matriks Yu, pilih kolom terse- but dari matriks Mu. Kolom yang dipilih dari matriks Mu dibentuk menjadi matriks baru yang dinotasikan dengan matriks Fu. Kemudian hitung (FuTFu)−1.
(iii) Memilih baris tak nol dari matriks Yu dan misalkan dengan matriks Gu. Menghitung nilai GTu dan (GuGTu)−1.
(iv) Menghitung Mu+=GTu(GuGTu)−1(FuTFu)−1FuT.
Jika suatu matriksMufull rank, adapun langkah-langkah untuk mencari invers Moore-Penrose dari matriks Mu sebagai berikut:
(i) Bila matriks Mu merupakan full row rank, maka invers Moore-Penrose dapat dihitung dengan
Mu+ =MuT(MuMuT)−1.
(ii) Bila matriksMumerupakanfull columns rank, maka invers Moore-Penrose dapat dihitung dengan
Mu+ = (MuTMu)−1MuT.
(c) JikaMu+memenuhi keempat kriteria invers Moore-Penrose, maka invers Moore- Penrose dari matriks Mu yaitu Mu+. Keempat kriteria dari invers Moore- Penrose sesuai dengan definisi 2.12 sebagai berikut:
(i) MuMu+Mu =Mu. (ii) Mu+MuMu+ =Mu+.
(iii) Mu+Mu = (Mu+Mu)∗ (Hermitian).
(iv) MuMu+ = (MuMu+)∗ (Hermitian).
denganMu∗ merupakan konjugat transpos dari matriks Mu.
Jika matriks Mu yang berukuran m ×n dengan m ̸= n adalah full row rank atau full columns rank.
Menentukan invers Moore-Penrose pada matriks Mu dengan,
Mu =
T + 2Y Y
F 2
T 0
.
(a) Menentukan rank dari matriks Mu. Bentuk eselon baris dariMu adalah
1 0 0 1 0 0
.
Jumlah baris tak nol adalah 2, sehingga rk(Mu) = 2 (full columns rank).
(b) Menghitung invers Moore-Penrose dari matriks Mu dengan menggunakan ru- mus Mu+= (MuTMu)−1MuT,
Mu =
T + 2Y Y
F 2
T 0
,
MuT =
[ T + 2Y F T
Y 2 0
] ,
MuT.Mu =
[ 2T + 8Y +F 3Y + 2F 3Y + 2F Y + 4
] ,
(MuT.Mu)−1 =
−(Y + 4)
−22Y −8T
3Y + 2F
−22Y −8T 3Y + 2F
−22Y −8T
−(2T + 8Y +F)
−22Y −8T
,
(MuT.Mu)−1MuT =
−(−6Y −4T) 2(11Y + 4T)
Y(F −6) 2(11Y + 4T)
T(Y + 4) 2(11Y + 4T)
−(2Y + 2F) 2(11Y + 4T)
−(−13Y −4T) 2(11Y + 4T)
−T(3Y + 2F) 2(11Y + 4T)
.
Diperoleh (MuTMu)−1MuT =Mu+.
(c) Cek Mu+ memenuhi keempat kriteria invers Moore-Penrose.
Mu+merupakan invers Moore-Penrose jikaMu+memenuhi keempat kriteria invers Moore-Penrose sesuai dengan definisi 3.
(i) MuMu+Mu =Mu.
Mu.Mu+.Mu =
8T + 82Y 2(11Y + 4T)
Y(14Y +F) (11Y + 4T) 8F + 22Y
2(11Y + 4T)
8F + 22Y 11Y + 4T T(8T + 22Y)
2(11Y + 4T)
T Y(2T + 3Y +F −6) 11Y + 4T
.
Cek entri b11 untuk mengetahui MuMu+Mu =Mu. 8T + 82Y
2(11Y + 4T) =T + 2Y.
8T+82Y=T+2Y(22Y+8T).
8T+82Y=38Y+44Y+8T.
8T+82Y=8T+82Y.
Diperoleh bahwa entri b11 pada MuMu+Mu sama dengan b11 pada Mu dan coba dengan cara yang sama, sehingga diperoleh matriks MuMu+Mu = Mu (terpenuhi kriteria 1).
(ii) Mu+MuMu+=Mu+.
Mu+MuMu+=
16T + 132Y + 2T Y 2(11Y + 4T)2
Y(16T −80T −86Y) 4(11Y + 4T)2
T(118Y + 32T) 4(11Y + 4T)2
−46Y −4F −6T Y −4T F 2(11Y + 4T)2
(482Y −4Y F + 32T) 4(11Y + 4T)2
T(−134Y −16F) 4(11Y + 4T)2
.
Cek salah satu entri, misalkan diambil entrib23padaMu+MuMu+ untuk menge- tahui Mu+MuMu+ =Mu+.
T(−134Y −16F)
4((11Y + 4T)2) =−T(3Y + 2F) 2(11Y + 4T).
−134T Y −16T F
484Y2+ 352T Y + 64T2 =−T(3Y + 2F) 2(11Y + 4T).
−1474T Y2−536T2Y −176F T Y −64F T2 =
−726T Y3−484F T Y2−528T2Y2 −352F T2Y −96T3Y −64F T3.
−1474Y −536Y −176Y −64F =−726Y −484Y −528Y −352Y −96Y −64F.
−2186Y −64F =−2186Y −64F.
Diperoleh bahwa entri b23 pada Mu+MuMu+ sama dengan b23 pada Mu+ dan coba dengan cara yang sama, sehingga diperoleh matriks Mu+MuMu+ = Mu+ (terpenuhi kriteria 2).
(iii) Mu+Mu = (Mu+Mu)∗ (Hermitian).
Untuk matriks real, konjugat transpos akan sama dengan operasi transpos biasa.
Mu+.Mu =
8T + 22Y 2(11Y + 4T)
Y(2T + 3Y +F −6) 11Y + 4T 0 −(−11Y −4T)
11Y + 4T
,
(Mu+Mu)∗ = (Mu+Mu)T =
8T + 22Y
2(11Y + 4T) 0
Y(2T + 3Y +F −6) 11Y + 4T
−(−11Y −4T) 11Y + 4T
.
Agar Mu+Mu = (Mu+Mu)∗ (Hermitian), entri b12 pada Mu+Mu harus sama nilainya dengan b12 pada (Mu+Mu)∗ (Hermitian).
Y(2T + 3Y +F −6)) 11Y + 4T .
=2Y + 3Y +Y −6Y 11Y + 4T .
= 0
11Y + 4T = 0.
Jadi, Mu+Mu = (Mu+Mu)∗ (Hermitian) (kriteria 3 terpenuhi).
(iv) MuMu+ = (MuMu+)∗ (Hermitian).
MuMu+ =
−(−2T −11Y) (11Y + 4T)
Y(F −2T + 3Y) 2(11Y + 4T)
−(T(−6Y −4T)) 2(11Y + 4T) Y
(11Y + 4T)
21Y + 8T 2(11Y + 4T)
T Y(F −6) 2(11Y + 4T) T(2T + 3Y)
(11Y + 4T)
T Y(F −6) 2(11Y + 4T)
(Y + 4)T 2(11Y + 4T)
,
(MuMu+)∗ =
−(−2T −11Y) (11Y + 4T)
Y (11Y + 4T)
T(2T + 3Y) (11Y + 4T) Y(F −2T + 3Y)
2(11Y + 4T)
21Y + 8T 2(11Y + 4T)
T Y(F −6) 2(11Y + 4T)
−(T(−6Y −4T)) 2(11Y + 4T)
T Y(F −6) 2(11Y + 4T)
Y + 4)T 2(11Y + 4T)
.
Agar MuMu+ = (MuMu+)∗ (Hermitian), entri b12 pada MuMu+ harus sama ni- lainya denganb12pada (MuMu+)∗ (Hermitian) dan entrib13padaMuMu+ harus sama nilainya dengan b13 pada (MuMu+)∗ (Hermitian).
b12=b12. Y
(11Y + 4T) = Y(F −2T + 3Y) 2(11Y + 4T) .
Y(22Y + 8T) = (11Y + 4T)(Y F −2T Y + 3Y2).
22Y + 8Y = 22Y2+ 8T Y.
22Y + 8Y = 22Y + 8Y. b13=b13.
T(2T + 3Y)
11Y + 4T = −T(−6Y −4T) 2(11Y + 4T) . 68Y + 66Y + 16T = 66Y2+ 68T Y + 16T2.
68Y + 66Y + 16T = 68Y + 66Y + 16T.
Jadi, MuMu+ = (MuMu+)∗ (Hermitian) (kriteria 4 terpenuhi).
Mu+memenuhi keempat kriteria invers Moore-Penrose sesuai definisi 3, sehingga invers Moore-Penrose dari matriks Mu adalah
Mu+ =
−(−6Y −4T) 2(11Y + 4T)
Y(F −6) 2(11Y + 4T)
T(Y + 4) 2(11Y + 4T)
−(2Y + 2F) 2(11Y + 4T)
−(−13Y −4T) 2(11Y + 4T)
−T(3Y + 2F) 2(11Y + 4T)
.
Sehingga untuk matriks Mu yang berukuran m×n dengan m ̸= n merupakan matriks yang full row rank atau full columns rank bisa dicari invers matriksnya dengan menggunakan invers Moore-Penrose.
5. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, maka dapat disim- pulkan bahwa untuk matriks Mu yang berukuran m×n denganm̸=n dan matriks singular Mu yang berukuran m×n dengan m =n memiliki invers Moore-Penrose secara tunggal. Dengan kata lain invers matriks tidak hanya ada untuk matriks nonsingular, namun untuk matriks yang tidak memiliki invers juga bisa dihitung dengan menggunakan invers Moore-Penrose karena invers Moore-Penrose ada un- tuk setiap matriks. Kemudian jika Mu merupakan matriks berukuran m×m yang nonsingular, maka invers Moore-Penrose dari Mu adalahMu−1.
Ucapan terima kasih Ucapan terima kasih kepada Prof. Dr. Mashadi, M.Si.
yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] M. Bal, P. K. Singh, dan K. D. Ahmad,An introduction to the symbolic Turiyam R-modules and Turiyam modulo integers, Journal of Neutrosophic and Fuzzy Systems (JNFS), 2 (2022), 8–19.
[2] M. Bal, P. K. Singh, dan K. D. Ahmad, A short to the concept of symbolic Turiyam matrix, Journal of Neutrosophic and Fuzzy Systems (JNFS), 2 (2022), 88–99.
[3] A. Ben-Israel dan T. N. E. Greville, Generalized Inverse Theory and Applica- tions, 2nd Editions, Springer, New York, 2003.
[4] T. Britz, The Moore-Penrose inverse of a free matrix, Electronic Journal of Linear Algebra, 16 (2007), 208–215.
[5] S. L. Campbell dan C. D. Meyer, Generalized Inverse of Linear Transforma- tions, SIAM, North Carolina, 2009.
[6] Mardiyana, N. Hijriati, dan Thresye, Invers tergeneralisasi Moore-Penrose, Ju- rnal Epsilon, 15 (2021), 78–92.
[7] L. Salaka, H. W. M. Patty, dan M. W. Talakua, Sifat-sifat matriks skew Her- mitian, Jurnal Barekeng, 7 (2013), 19–26.
[8] P. K. Singh, K. D. Ahmad, M. Bal, dan M. Aswad, On the symbolic Turiyam rings, Journal of Neutrosophic and Fuzzy System (JNFS), 1 (2021), 80–88.
[9] H. Yanai, K. Takeuchi, dan Y. Takane,Projection Matrices, Generalized Inverse Matrices, and Singular Value Decomposition, Springer, New York, 2011.
[10] Y. Yanti, Helmi, dan M. Kiftiah, Invers Moore-Penrose sebagai invers matriks, Buletin Ilmiah Matematika Statistika dan Terapannya (Bimaster), 8 (2019), 951–958.
